定積分的簡單應(yīng)用求體積

1、定積分的簡單應(yīng)用(二)復(fù)習:求曲邊梯形面積的方法是什么 定積分的幾何意義是什么微積分基本定理是什么引入:62我們前面學習了定積分的簡單應(yīng)用一一求面積。 面我們介紹一些簡單旋轉(zhuǎn)幾何體體積的求法。 簡單幾何體的體積計算求體積問題也是定積分的一個重要應(yīng)用。下問題：設(shè)由連續(xù)曲線y f(x)和直線x a， b及x軸圍成的平面圖形(如圖甲)繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，如何求V分析:Xn b，把曲線y f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)插入a歸納：則所得到的幾何體的體積為b 2a f2(x)dx(a x b )分割成n個垂直于x軸的“小長條”，如圖示。設(shè)第i個“小長條”的寬是 x x xi， i 1,2,L

2、, n。這個“小長條”繞x軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個厚度是 Xi的小圓片，如圖乙所示。當 x很小時，第i個小圓片近似于底面半徑為yi f (x)的小圓柱。因此,第i個小圓臺的體積Vi近似為Vif2(x) xi該幾何體的體積V等于所有小圓柱的體積和：2 2 2V f (Xi) Xi f (X2)X2 L f (xn) Xn 這個問題就是積分問題，則有：b 2 b 2V f2(x)dx f 2(x)dx設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線yf (x)和直線x a，x b及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成,利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積找準被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù) 分清端點確定幾何體的構(gòu)造利用定積分進行體

3、積計算a g2(y)dy一個以y軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)體的體積若求繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積，則積分變量變?yōu)閥，其公式為V類型一：求簡單幾何體的體積例1：給定一個邊長為a的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，求它的體積 思路：由旋轉(zhuǎn)體體積的求法知，先建立平面直角坐標系，寫出正方形旋轉(zhuǎn)軸對邊的方程，確定積分 上、下限，確定被積函數(shù)即可求出體積。解：以正方形的一個頂點為原點，兩邊所在的直線為 X, y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,如圖BC:y a。則該旋轉(zhuǎn)體即為圓柱的體積為:5a22 a3V 0 adx axl a規(guī)律方法:求旋轉(zhuǎn)體的體積，應(yīng)先建立平面直角坐標系，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)為f (x)。確

4、定積分上、下限a,b，則體積Vb 2a f2(x)dx練習1：體積。解：形成的幾何體的體積為一圓柱的體積減去一圓錐的體積。0 aV a2S 0y2dya3類型二：求組合型幾何體的體積 例2：如圖，求由拋物線y2 8x(y 一周所得幾何體的體積。思路：解答本題可先由解析式求出交點坐標。 再把組合體分開來求體積。y2解：解方程組x0)與直線x8x(y60)0x 2得: y 4y2 8x與直線x所求幾何體的體積為:0的交點坐標為(2,4)6V : (78?)2 dx(6x)2dx 166431123如圖所示，給定直角邊為a的等腰直角三角形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求形成的幾何體的規(guī)律方法:解決組合體的體積問

5、題，關(guān)鍵是對其構(gòu)造進行剖析，分解成幾個簡單幾何體體積的和或差， 然后，分別利用定積分求其體積。練習2：求由直線y 2x，直線X 1與X軸圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解:旋轉(zhuǎn)體的體積:(2x)2dx 4類型三：有關(guān)體積的綜合問題:例3:求由曲線y 1x2與y J2X所圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 思路：解題的關(guān)鍵是把所求旋轉(zhuǎn)體體積看作兩個旋轉(zhuǎn)體體積之差。畫出草圖 確定被積函數(shù)的邊界確定積分上、下限用定積分表示體積求定積分解：曲線y 2X2與y42X所圍成的平面圖形如圖所示:設(shè)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為根據(jù)圖像可以看出V等于曲線y 伍，直線X 2與X軸圍成的平面圖2/x

6、軸旋轉(zhuǎn)一周所JC得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為Vi ）減去曲線y1 2-X2直線X 2與X軸圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)2一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為Vi(72X)2dx2xdx0I 2.2 g2X|0V22dx4dX01X5|0 色55ViV2412反思：結(jié)合圖形正確地把求旋轉(zhuǎn)體體積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題是解決此類問題的一般方法。練習3：求由y JX|x2以及y軸圍成的圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：由4X12 2-X9得:V03 (X 1)dx ； g81x4dx 10誤區(qū)警示：忽略了對變量的討論而致錯2 1例：已知曲線y x2，y 和直線y 0 ， x a(a 0)。試用a表示該四條曲線圍成的平x面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積。思路：掌握對定積分的幾何意義，不要忽視了對變量 a的討論。x2解:x由示意圖可知:要對a與1的關(guān)系進行討論:a 1 時，Va 2 20 (x2)2dxx4dx1時，V(x2)2dx2