導(dǎo)數(shù)的解題技巧

1、專題三導(dǎo)數(shù)的解題技巧第 課時共4課【考點聚焦】1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在 一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念.2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會 求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值.【命題趨向】導(dǎo)數(shù)命題趨勢：綜觀2007年全國各套高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)對導(dǎo)數(shù)的考查有以下一些知識類型與特點：（1） 多項式求導(dǎo)（結(jié)合不等式求參

2、數(shù)取值范圍），和求斜率（切線方程結(jié)合函數(shù)求最值）問題（2）求極值,函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用題，與三角函數(shù)或向量結(jié)合.分值在12-17分之間，一般為1個選擇題或1個填空題，1個解答題.【重點？難點？熱點】考點1:導(dǎo)數(shù)的概念對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函 數(shù)的概念.【問題11考查目的 解答過程 故填3.演練例（2007 年北京卷）f（X）是 f （x） x33本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計算等基礎(chǔ)知識和能力X22,Q f（X）f ( 1)2. ( 2006年湖南卷）設(shè)函數(shù)2x 1的導(dǎo)函數(shù)，貝y f （ 1）的值是2123.f (X) 3,集合 Mnx|f

3、(x)X 10 ,P =x| f(X) 0,若 厲 P,則實數(shù)a的取值范圍是（A.（- 0,1） B.（0,1）C.（1,+考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力解答過程由a 0,X 1/當(dāng)a1時,1 XOO )D. 1,+ o)a;當(dāng) a1 時,a x 1.2c X a / X aQy 77, y Xa 1.綜上可得M時,1.2X在X 1處可導(dǎo)，則aax思路：yf（X）ax b1處可導(dǎo),必連續(xù)lim f（X）1X 1f(1)lim f(X)X 1lim h 02 lih3f(a lim3h)f(a)2 h 03h|f(a) 22 2f(a)2b0、r f(ah2)f(a)f

4、(a) f(a h)0 2h1 f(a h) f(a) lim2 h 0lim f(a h2j f(a)hh 0h22lim f(a h?仙 lim hh 0h2f(a) 00說明：只有深刻理解概念的本質(zhì), 極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使例 3觀察(xn)nxn 1 , (sin X)cosx ,(cos x)sin x，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的例2 .已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限:2o、. f (a 3h) f (a h) “、. f(a h ) f (a)(1) lim ;(2) lim2hh 0Ohh 0

5、分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式， y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在x a處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。2h2h解：(1)lim f(a 3h) f(a h) lim f(a 3h) f(a) f(a)f(a h)h 0導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若f (x)為偶函數(shù)f( x) f(x)f(x) lxm0f(x x) f(x)xf(x x) f(x) lim x 0令 lim f(xx) f(x) f (x)x 0xlim f(xx)f(x)x 0f (x)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)f (

6、x)另證：f f ( X) f ( x) ( x)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)考點一：考小題，重在基礎(chǔ).有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的小題，其考查的重點在于基礎(chǔ)知識，如：導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)解析式、圖像、定義域、值域、性質(zhì)等仍是高考的重點.例1.(福建11)如果函數(shù)y=f (x)的圖象如圖1,那么導(dǎo)函數(shù)y f/(x)的圖象可能是()圖1解析：利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：函數(shù)遞增則導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)遞減則導(dǎo)數(shù)小于 0,從圖1可以看出，函數(shù)先遞增再遞減又遞增再遞減，故導(dǎo)函數(shù)的圖像應(yīng)該是先大于0再小于0又大于0再小于0,符合條件的只有 A答案，故選Abln(X 2)在(-1,+)上是減函數(shù)，則 b的取值范圍是

7、評注：利用函數(shù)的圖像求導(dǎo)函數(shù)的圖像，應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正、負的關(guān)系。 例2.(湖北卷7)若f (x)1 x22A. 1,)B. ( 1,)C. (, 1 D. (, 1)解析：由條件,函數(shù) f (x)1 2-x bln(X 2)在(-1,+)上是減函數(shù)，則f，(x)20，即f，x) x 士0 ,對任意的x (-1,+)恒成立，b x(x 2)對任意的x (-1,+)恒成立，而x(x 2)在x(-1,+)上的最小值為-1，故b 1，選C例3.(北京卷12)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段 ABC，其中A,B, C的坐標分別為(0,4) (2 0) (6 4)，則f ( f(0)lim

8、f(1 x) f(1)x 0解析：由圖易知.(用數(shù)字作答)f(f(0) f 4 =2;.AC4/3/2A/1/O1124L 5 6xlim f(1 x) f(1)x 0f (1) -2f(x) 2x 4(0x 2(2 xx 2)丿，由導(dǎo)數(shù)的定義知6)評注：用定義解題必須準確把握導(dǎo)數(shù)的定義f (xo)lirfx 0，另外還注意xf，(1)是先求f，(x)還是將x=1代入。1In x x的一條切線，則實數(shù) b=例4.(江蘇卷8)直線y X b是曲線y2解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f(x) 1x切點為 2,ln2，把切點代入切線方程得 b ln2 1但難度不是很大。評注：用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程一直是

9、高考的熱點, 考點二：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性例5.(全國一 19).已知函數(shù) f (x)x3 ax2(I)討論函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間;求a的取值范圍.2 1內(nèi)是減函數(shù),(n)設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間 2, 133解析：(1) f(x) x3 ax22x 1 求導(dǎo)：f(X) 3x2 2ax 1當(dāng)a2 3時, 0 , f(x)在 R 上遞增0,當(dāng) a23, f（X） 0求得兩根為X即f（x）在上遞增,3在存，亠尸上遞減,上遞增（2）由（1）得a Va23 V _3a 7a23 A _3A23，且13a23解得：a -4評注：禾U用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，簡潔明快,但要注意導(dǎo)數(shù)與可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

10、,f，（x）0是f（X）為增函數(shù)的充分不必要條件;f，（x）0是f（X）為增函數(shù)的必要不充分條件?？键c三：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例6.（陜西卷21）.已知函數(shù)f （X）kx 12 X c（C 0且c 1，k R ）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是X c .（I）求函數(shù)f （x）的另一個極值點;（n）求函數(shù)f （X）的極大值M和極小值m，并求M m 1時k的取值范圍.解析：（I） f（X）k(x2 c) 2x(kx 1)/ 22(X c)kx 2 2x 2 ck，由題意知 f ( c) 0 , (X c)即得 c2k 2c ck 0 ,( *) Q c2由 f (x)0得 kx 2x c

11、k 0,由韋達定理知另一個極值點為（或2-)k2（兒）由（*）式得k c 1 當(dāng)c 1時，k 0 ;當(dāng)0 c，即c(i )當(dāng) k 0時，f(x)在(,c)和(1,）內(nèi)是減函數(shù)，在（C,）內(nèi)是增函數(shù).m f( c)kc 1k2c2 c 2(k2)k2一 1 及 k2(k 2)0，解得 k 72 .(ii )當(dāng) k2 時，f（x）在（c）和（1,）內(nèi)是增函數(shù)，在（c,1）內(nèi)是減函數(shù).c)k22(k 2)kf(1) k 02k22(k 2) I 12(k 1)1 1恒成立.k 2綜上可知，所求k的取值范圍為（，2）uJ2,）.評注：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，先求fx），再令（x） 0求得根Xo，然后檢驗

12、極值點Xo左右f （x）的符號，左正右負為極大值，左負右正為極小值，對于含參數(shù)問題，注意分類討論?？键c四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例7.（江蘇卷17）.某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A,B及CD的中點P處，已知AB=20km,CB =10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且 A,B與等距離的一點0處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO ,0P ,設(shè)排污管道的總長為y km（I）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式: 設(shè)/ BAO= （rad），將y表示成 的函數(shù)關(guān)系式;設(shè)0P x （km），將y表示成x x的函數(shù)關(guān)系式.（n）請你選用（I）中的一個函數(shù)關(guān)系

13、式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短.10,故cosAQ解析：（I）由條件知 PQ垂直平分AB,若/ BAO= （rad），則OA 上旦cos10OB ，又 OP= 10 10tan 10 10tacos10 10所以 y OA OB OP 10 10tancos cosx21x所求函數(shù)關(guān)系式為 y 20 10sin 10 0COS20x200J2若 OP =x(km)，貝U OQ= 10 x，所以 OA =OB彳 10 x所求函數(shù)關(guān)系式為 y X2jx2 20x 200 0 X 10(n)選擇函數(shù)模型,10cos gcos 20 10sin2cossin10 2sin 12CO

14、Sy 0 得 sin因為07，所以=60,6時,的減函數(shù)；當(dāng)6,4 時，y 0,y是的增函數(shù)，所以=一時,6ymin1010J3。這時點P位于線段AB的中垂線上，且距離 AB邊也km處。3例4.( 1)求曲線(2)運動曲線方程為2x在點(1, 1)處的切線方程;x 1S m 2t2，求t=3時的速度。 t2分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點P(X0，y0)處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導(dǎo)數(shù)。解：(1)泮/2八2(x 1)y|x1因此曲線2 2 0，即曲線在點(1, 1)處的切線斜率42xi y xk=0(2)

15、 St 1 t2-在(1, 1)處的切線方程為1(2t2) +4ty=i12 11lf。SIt 31 A927例5.求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間(1) yf(x) x32x(3) yk2x (k0)(4)2x2 In解：（1）3x2(3x2)(x1)2,3)(1 ,)時 y 0x ( |,1)-(1,1)(2),0),(0,k21 xk) (k ,k,0)(0,k)k), (k,k,0),(0,k)(1)(4) y 4x 1x4x2定義域為(0,)1X （0, ）y 02例7 .利用導(dǎo)數(shù)求和：& =1畑+加x (2,i 卄產(chǎn)1（衛(wèi)H 0顯們；分析:式(xn)解:(1)當(dāng) x=1 時,$ y+ 2斗 3C

16、：gg 巧。這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公nxn 1，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，禾U用導(dǎo)數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。1+2r”)工-嚴1-工兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得(X+J +，+齊7+5宀咼瀘（2）.（1+工 =1+0：卞+0冷2 +十站，兩邊都是關(guān)于X的函數(shù)，求導(dǎo)得叩十QZ二亡；十20十貯點F十十沁:嚴。令x=1得兀十2（7；十十-十曲:例&設(shè)a 0，求函數(shù)f（x） Jx In（X a）（x （0,）的單調(diào)區(qū)間.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力1 1解：f（X）（X 0）.2jx X

17、 a當(dāng) a 0,x0 時 f(X)0X2 (2a 4)x2f (x)0 X (2a4)xa20（i ）當(dāng)a 1時，對所有x0,有 X2(2a4)a2函數(shù)(iii（X）0,此時f（X）在（0, 1）內(nèi)單調(diào)遞增,f（x）在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增）當(dāng)0 a 1時，令f（X）又知函數(shù)0，即 X2(2a 4)xf（X）在X=1處連續(xù)，因此,a2即f（X）0,此時f（x）在（0,）內(nèi)單調(diào)遞增.a2(ii )當(dāng) a 1 時，對 X 1，有 X解得(2a 4)x因此，函數(shù)f（X）在區(qū)間（0,22斤石）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2a 2J1 a,)內(nèi)也單調(diào)遞增.令 f (x)0,即X2 (2a 4)xa20，解得2 a

18、 2山a2 a 2J1 a.因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2 a-2J1 a,2 a 2屮 a)內(nèi)單調(diào)遞減.考點2:曲線的切線(1) 關(guān)于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P( x,y )的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點的切線的 斜率.(2) 關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.1【問題21 (1) (2006湖南卷)曲線y -和xy=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是解析：曲線y 1和y=x2在它們的交點坐標是x(1 , 1),兩條切線方程分別是y= x+2 和 y=2x 1，它們與x軸所圍成的三角形的面積是

19、(2)( 2007年湖南文)已知函數(shù)f(x)1 2 -ax 2bx在區(qū)間1,1),(1,3內(nèi)各有一個極值點.(I )求a2 4b的最大值；(II )當(dāng)a 4b 8時，設(shè)函數(shù) y f(x)的圖象(即動點在點 A附近沿曲線y 求函數(shù)f (X)的表達式.思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率.1 3 (I )因為函數(shù)f (x)-X33y f (x)在點f (1)處的切線為l ,f(x)運動，經(jīng)過點A(1,若I在點A處穿過函數(shù)A時，從I的一側(cè)進入另一側(cè))解答過程:1 2 -ax 2bx在區(qū)間1,1),(1,3內(nèi)分別有一個極值點，所以f (x) x2設(shè)兩實根為ax b0在1,1) , (1,3內(nèi)分別有一個實根,

20、X1, X2 (x102a(IIJa2 4b W 4,4b的最大值是16.)解法一：由f (1)X2),貝U X2X1Ja22a4b W 16，且當(dāng) x1f(1) f (1)(x 1),因為切線I在點A(1, f (x)處空過y234b，且 0 X2x1 W 4 .于是1,X23，即a 2 , b3時等號成立.故a b知f (x)在點(1,2 1y (1 a b)x - a,32f (x)的圖象，f(1)處的切線I的方程是所以 g(x) f(x) (1 a b)x-a在x 1兩邊附近的函數(shù)值異號，則2X 1不是g(x)的極值點.而 g(x) X332X axg (x)若11 2 -ax 2bb

21、x(1b)x所以11 a，則 X1 a，即(1 1和xb)1又由丄a，且21 (x 1)(x 1 a).2xa都是g (x)的極值點.axa2 4b 8，得 b 1，故 f(X)1 x3 x2 x .32 1 解法二：同解法一得 g(x) f (x)(1 a b)x - 一a3 212 3a3-(x 1)x(1 )x (2-a).322因為切線I在點A(1, f (1)處穿過y f(x)的圖象，所以g(x)在x 1兩邊附近的函數(shù)值異號, 是存在 mj, m2 ( m1 1 m2).當(dāng)m,x或當(dāng)m1設(shè) h(x)1 時，g(x) 0，當(dāng) 1 x 1 時，g(x) 0 ,2 .3ax 1x2x mb

22、時，g(x) 0 ；x m2時，g(x) 0 .當(dāng)m1 x或當(dāng)m13a21 x，則由 h(1)所以a1 時，h(x) 0，當(dāng)1 時，h(x) 0，當(dāng) 1mb 時，h(x) 0 ； x m2 時，h(x)x 1是h(x)的一個極值點，貝y h(1)2又由a2 4b 8，得b1(2006年安徽卷)若曲線y4x y 3 0B4x y 3 0D1 3 -x 3 x4的一條切線I與直線x 4y 50x 4y 3 01，故 f (x)x 4 y 8 0垂直，則I的方程為演練A.C.考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.4x3,解答過程與直線x 4y 8 0垂直的直線I為4x y m

23、 0，即y x4在某一點的導(dǎo)數(shù)為4，而y 所以y x4在(1 , 1)處導(dǎo)數(shù)為4,此點的切線為4x y 3 0.故選A.演練2(2006年重慶卷)過坐標原點且與x2+y2 -4x+2y+?=0相切的直線的方程為()2=-3 x 或 y=lx B. y=-3x 或 y=-1 x =-3 x 或 y=-1 x D. y=3x 或 y=l x3333考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.解答過程解法1 :設(shè)切線的方程為y kx,収y 0.25y 1-,圓心為2, 1 .2 JI，3k2 8k 3 0. k又x 2 21，k 3.2k 1|Jk2 1y故選解法x,或

24、y3x.3A.2:由解法1知切點坐標為(丄22(xyx/(x 2)22) 2 yx 2y0,/yx(22)3,k23x, y-x3故選演練3(全國II(A) 2x+y+2=0A.(2,1)1, 0)作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為()(D) x-y+1=0解：y =2x+1，設(shè)切點坐標為(X0, y0)，則切線的斜率為2x0+1,且y0=X02+X0+1于是切線方程為y-( X02+X0+1)=(2 X0+1)( X-X0)，因為點(1，0)在切線上，可解得 X0= 0或4，代入可驗正D正確。選演練4已知兩拋物線C1 : y X2 求出此時公切線的方程 思路啟迪：先對C1 :

25、y X22x, C2 : y)過點(B)3x-y +3=0( C) x+y+1=0x2解答過程：函數(shù)y X2 2x的導(dǎo)數(shù)為y y (X12 2x1) 2(X1 2)(x X1)，即 y 2(X1 曲線C1在點Q(x2, x22 a)的切線方程是y2 y2x2X X2若直線I是過點2X12(1X11 X2,若 =4 4當(dāng)時2: yX2a求導(dǎo)數(shù)2x2 ,1)x2X1(X2a)a, a取何值時C1 , C2有且只有一條公切線,曲線C1在點P(x1,x122X2(X X2)即l的方程，故得2X,)處的切線方程為aP點和Q點的公切線，則式和式都是x22 1,消去 X2得方程，2X12 2X1 1 a 0

26、a) 0,即a丄時，解得x1，此時點P、Q重合2 1 21 , C1和C2有且只有一條公切線，由式得公切線方程為y2xi22ax , g (x) 3a ln x b ,(2007湖北理)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f (X) - X220.設(shè)兩曲線y f(x) , y g(x)有公共點，且在該點處的切線相同.(I )用a表示b，并求b的最大值；(II )求證：f (X) g(x) ( X 0).考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力. 解：(1)設(shè)y f (X)與y g(x)(x 0)在公共點(滄，y0)處的切線相同.3a2，由題意 f(X0)

27、g(X0), f (X0) g (X0).X其中a5- f (x)x 2a , g (x)1 2即2x022ax0 3a ln x0Xo2a3a2b,由x。2a 得：X0 a，或 X03a (舍去).X0xo即有b令 h(t)1 -a 25t222a2 3a2lna Ia23a2 In a .3t2l nt(t 0)，則 h(t) 2t(1 3l nt) 于是當(dāng) t(1 31 nt)0 ,即 卩 0當(dāng) t(1 3l nt)故h(t)在0,0,即t1e3為增函數(shù)，在1t e3 時，h (t)0 ；1e3時，h(t)1e3,g為減函數(shù),于是h(t)在(0, g)的最大值為1e3Ie -1-X2則F

28、(x) x 2a近區(qū)旦乜xx(n)設(shè) F(x) f(x) g(x)22ax 3a ln x b(x 0),翌(x 0).故F(x)在(0, a)為減函數(shù)，在(a, g)為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0, g)上的最小值是F(a) F(x0) f(X0)g(X0) 0 .故當(dāng) x 0 時，有 f (x) g(x) 0,即當(dāng) x 0 時，f(x) g(x)2例9.已知拋物線y x 4與直線y=x+2相交于A、B兩點，過 A B兩點的切線分別為 h和l?。(1)求A B兩點的坐標；(2)求直線l1與l2的夾角。分析:解理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。 (1)2x由方程組4 解得A(-2 ,2,0

29、) , B(3,5)tany =2x，則 ylx 24, ylx36。設(shè)兩直線的夾角為0,根據(jù)兩直線的夾角公式,101 ( 4) 623所以10 arcta n 23就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，公式有絕對值符號?？键c3:導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的 工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數(shù) 的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起 來，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法 .復(fù)習(xí)時，應(yīng)高度重視以

30、下問題 ：1.求函數(shù)的解析式；2.求函數(shù)的值域；3.解決單調(diào)性問題；4.求函數(shù)的極值(最值)；5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式。在(a,b)內(nèi)的圖象【問題31( 2006年天津卷)函數(shù)f (x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f (x) 如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點()A. 1個B. 2個C. 3個(X)0,則必有()D. f(0) + f(2)2f(1)當(dāng) X 1 時，f(X)0,1)上是減函數(shù)，故f (X)當(dāng)x= 1時取得最小值，即有f(0) f (1) , f(2) f (1)，故0演練2若fx)是f(x)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)，y11114111 1 h.0ab 0abx1演練3

31、函數(shù) y f (X)在定義域則不等式f13,1U2,3)3 1 -U1,2)2 2(X)w 0的解集為B3(-,3)內(nèi)可導(dǎo)，2(A )4 81U-,-23 331 481UH-UH,3)22 33例6.求證下列不等式y(tǒng)A y f(x)/I ./1OXi/42 A!X/ 37 33；其圖象如圖所示.記y= f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 y f(X),(1)x2X In (1 x) X22X2(1 X)X (0,D. 4個考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力 解答過程由圖象可見，在區(qū)間(a,0)內(nèi)的圖象上有一個極小值點.故選A.演練1(江西卷)對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿

32、足(X-1) f(0) + f(2)2f(1) B. f(0) + f(2)2f(1) C. f(0) + f (2)2f(1)解：依題意，當(dāng)X 1時，f(X) 0,函數(shù)f(x)在(1,+ )上是增函數(shù);f (X)在( 選Cf/(X)的圖像如圖所示，貝y f (X)的圖象可能是下面各圖中22Xsin X X (0 , 一)2證:X sinx tanx(02)(1) f(X) ln(1X) (Xf(0)f (X)- y f(X)為(0,(0,f(X)0恒成立2X- ln(1 X) X g(X)2X2(1 X)ln(1X) g(0)0g(x) 1 4x4(1 x)2x21 x 4(1 g(x)在(

33、0 ,(0,2一ln(12(1 x)x)0恒成立(2)原式sin xf(x)xcos x(x tanx)sin x/ x x (0 ,?)cosx 0 x tanx 0(0f (x) 0(0,?)f(?)-2x(3)令 f (x)tanx 2x si nxf(0)f (x) sec2 x2 cosx(1 cosx)(cos x2 cos xsin2 x)x (0,-) f (x)02- tanx x x sinx【問題4】(2007年全國1)設(shè)函數(shù)f(x)(I)求a、b的值；(n)若對于任意的思路啟迪：利用函數(shù)- (0,-)2x3 3ax2 3bx 8c在 x1及x 2時取得極值.解答過程：(

34、I) f因為函數(shù)f (x)在x日口 6 6a 3b 0, 即24 12a 3b 0.x 0,3，都有 f(X)f (x) 2x3 3ax22(x) 6x 6ax3bx3b ,2 c成立，求c的取值范圍.8c在x 1及x 2時取得極值構(gòu)造方程組求 a、b的值.1及x 2取得極值，則有f (1)0 , f (2)0 (n)由(I)可知，f(x)2x39x2f (x)6x2 18x 126( x1)(x2) 當(dāng)x(01)時，f (x)0 ；當(dāng)x(1,)時，f (x)0 ；當(dāng)x(2,3)時，f(x)0 所以，當(dāng)x 1時，f (x0取得極及大值f(1)12x 8c,f (x)的最大值為則當(dāng)x 0,3時,

35、因為對于任意的x0,3，有 f(x)f(3)c2恒成立,5 8c,又 f (0) 8c , f (3)9 8c 9 8c 所以 9 8c c2, 解得 c 1或c 因此c的取值范圍為演練1(2006年北京卷)已知函數(shù)9 ,(,1)U(9,f(x) ax3 bx2 cx在點X0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y f(x)的圖象經(jīng)過點(1,0) , (2,0)，如圖所示.求:(I) x0的值；(n) a, b,c 的值-考查目的本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值，函數(shù)與方程的 轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：(I)由

36、圖像可知，在故 f(x)在(-,1),因此f(n)3a得12aa b解法二：(n)設(shè),1 上 f (2 , + )上遞增，在(1,2)上遞減， x在x 1處取得極大值，所以xo 1f(x) 3ax2 2bx c,由 f(1) =0, f( 2)= 0, ( 1) 2b c 0,4b c 0 解得 a Zbc 5,(I)同解法一 f(x) m(x 1)(x 2)9,c 12.x 0，在=5,1,2 上 f x 0，在 2, 上 f x 0,mx2 3mx 2 m,m u3.,bTm,c 2m, f (x)x323由 f(1) 5,即-3m 2m 5 得 m 6,所以 a 2,b9,c 1232演

37、練2函數(shù)y J2xr4的值域是 .思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解， 也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。 解答過程：由2x 4 0得，x 2，即函數(shù)的定義域為x 30又 f(x)3ax2 2bx c,所以 a2,y丄v2x 42Ux 3又2仮372 x 42jx 3 V2x 42j2x 4 Jx 32x 8mx2 2mx,2).當(dāng)x函數(shù)2 時，yy J2x 423 J2x 40，J廠飛在(2,)上是增函數(shù)，而f( 2)y V2x 4 Jx 3的值域是1,).演練3(2006年天津卷)已知函

38、數(shù)fx 4x323x cos3 cos 16，其中x R,為參數(shù)，且02(1)當(dāng)時cos(2 )要使函數(shù)(3)若對(2)a的取值范圍.0,判斷函數(shù)f x是否有極值; f(x)的極小值大于零，求參數(shù) 中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)的取值范圍；，函數(shù)f X在區(qū)間2a 1,a內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)考查目的本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識, 考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.解答過程(I)當(dāng)cos 0時，f(x) 4x3，則f(x)在(，)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.(n) f (x) 12x2 6x cos，令 f(x) 0，得 xi 0,X2

39、 cos .2x(,0)0(0，co；)cos2(cos (2 ，)f (x)+0-0+f(x)極大值極小值由(I),只需分下面兩種情況討論.當(dāng) cos0時，隨x的變化f (x)的符號及f(x)的變化情況如下表:因此，函數(shù)f(x)在X處取得極小值口吆)，且f(cos ) lcos32243) 0，可得0 cos 逅.4211 .要使(2)0，必有 Icos (cos2c4魚，故-或乙2 6 2 20,隨X的變化，f(X)的符號及f(x)的變化情況如下表:2由于0 cosXcos(,2 )cos2cos(2 ,0)0(0,)f (X)+0-0+f(x)Z極大值極小值Z當(dāng)時cos因此，函數(shù)f(x)

40、在X 0處取得極小值f(0)，且f (0)-3cos16若f (0) 0,則cos 0.矛盾.所以當(dāng)cos 0時，f (X)的極小值不會大于零.綜上，要使函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為(_,_)6 2 )內(nèi)都是增函數(shù)。(III )解：由(II )知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a 1,a)內(nèi)是增函數(shù)，則2a 1 aa 02a2a,)與(答,a須滿足不等式組a1-cos2由(II ),參數(shù)時(匚，二)6 24疵8綜上，解得a 0或4応8所以a的取值范圍是(,0)必有2a 1手，(沙)時，呼,1).cos迥.要使不等式2a21 -cos2關(guān)于參數(shù)恒成立,演

41、練4(2007年全國已知函數(shù)f (x)丄ax3 bx23在X X1處取得極大值，在X(1) 證明a 0;2)(2 b)xX2處取得極小值，且0 x11X22.(2) 若z=a+2b,求z的取值范圍。解答過程求函數(shù)f (X)的導(dǎo)數(shù)f(X)(I)由函數(shù)所以f (X)當(dāng)X X1時，2axf(x)在X X1處取得極大值，a(x X1)(x X2)f (X)為增函數(shù)，f(X)0 ,2bX在X(n)在題設(shè)下,0 X11 X22等價于 f2 b .X2處取得極小值，知X1,X2是f(X)0的兩個根.X1X2(0)(1)4a2b 24b 22化簡得a5b 20此不等式組表示的區(qū)域為平面 aOb上三條直線:4a

42、所圍成的 ABC的內(nèi)部，其三個頂點分別為:2 b0,A 4 6A ,7 7a 3b 2 0,4aB(2,2) 0(4,2).z在這三點的值依次為 16,6,8 7B(2,2)所以z的取值范圍為16,8 .7C(4,2)4 a求f(X)的單調(diào)區(qū)間.,函數(shù)的極值的判定，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問X(1,丄)a1 a(丄，)af(x)一0+f (X)極小值Zf(x)、f(x)隨X的變化情況如下表從上表可知(1 )當(dāng)1 a 0時，f (x)0,函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減，(2)當(dāng) a 0時，由 f(X) 0,解得 x !.af(x)0,函數(shù)f(x)在(1丄)上單調(diào)遞減.，a當(dāng)X(1丄)

43、時，a1 時af(x)0,函數(shù)f(x)在(丄，)上單調(diào)遞增.aa 0時，函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞減.f (X)在(丄，)上單調(diào)遞增. a，X2 ax be3 x X R的一個極值點.的單調(diào)區(qū)間；綜上所述：當(dāng)1當(dāng)a 0時，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)a(2006年湖北卷)設(shè)X 3是函數(shù)f a與b的關(guān)系式1演練(I)求(用(n)設(shè)Xa表示b )，并求f25 eX.若存在40,4使得I f 1 g J 1成立，求a的取值范小結(jié)：本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性 規(guī)劃有機結(jié)合.【問題51 (2006年山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln( x+1)，其中a -1 考查目的本題

44、考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法題解決問題的能力解答過程由已知得函數(shù)f(x)的定義域為(1,)，且f(x) 2(a1),圍.考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的 能力.解答過程(I) f(x) = X2 + (a 2)X + b-a e3X,23 3由 f(3)=0 ，得 一3 + (a 2)3 + b a e = 0,即得 b = 3 2a,則 f(x) = X2 + (a 2)X 3 2a a e3X=X2 + (a 2)X 3 3a e3 X= (x 3)( x + a+1)e3 X.令f(X)= 0，得X1= 3或X2= a 1，由于x= 3是極值點,所以 x+a+1M 0,那么 a* 4.當(dāng) a3= X1,貝U 在區(qū)間(一8,3) 上, f (X) 0 在區(qū)間(一a1,+ 8) 上, f (x) 當(dāng) a 4 時，X20 在區(qū)間(3,+ 8) 上, f (x)0,(n)由(I)知，當(dāng)f (x)為減函數(shù)；,f (x)為增函數(shù)；0, f (x)為減函數(shù).0時，f (x)在區(qū)間(0, 3) 上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3, 4