2012屆高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——兩平面的平行判定和性質(zhì)（福建版）

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績典型例題一例1：已知正方體求證：平面平面 證明：為正方體， 又 平面，故平面同理平面又， 平面平面說明：上述證明是根據(jù)判定定理1實(shí)現(xiàn)的本題也可根據(jù)判定定理2證明，只需連接即可,此法還可以求出這兩個(gè)平行平面的距離典型例題二例2:如圖,已知,，求證：證明：過直線作一平面，設(shè)， 又 在同一個(gè)平面內(nèi)過同一點(diǎn)有兩條直線與直線平行 與重合，即 說明：本題也可以用反證法進(jìn)行證明典型例題三例3：如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它和另一個(gè)也相交已知：如圖，求證:與相交證明：在上取一點(diǎn),過和作平面，由于與有公共點(diǎn),與有公共點(diǎn)與、都相交設(shè),又、都在平面內(nèi)，且和交于與相交所以與相

2、交典型例題四例4:已知平面，為夾在，間的異面線段，、分別為、的中點(diǎn)求證： ，證明：連接并延長交于，確定平面，且，所以, ，又， 又 ， ，故同理說明：本題還有其它證法，要點(diǎn)是對異面直線的處理典型例題六例6如圖，已知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的射影分別為、，且、互不重合,也無三點(diǎn)共線求證:四邊形是平行四邊形證明：， 不妨設(shè)和確定平面 同理 和確定平面 又，且 同理 又又,同理四邊形是平行四邊形典型例題七例7設(shè)直線、，平面、，下列條件能得出的是(）a，且,b，且c，且d，,且分析:選項(xiàng)a是錯誤的,因?yàn)楫?dāng)時(shí),與可能相交選項(xiàng)b是錯誤的,理由同a選項(xiàng)c是正確的，因?yàn)?所以，又，選項(xiàng)d也是錯誤的，滿足條件的可

3、能與相交答案：c說明：此題極易選a，原因是對平面平行的判定定理掌握不準(zhǔn)確所致本例這樣的選擇題是常見題目，要正確得出選擇,需要有較好的作圖能力和對定理、公理的準(zhǔn)確掌握、深刻理解，同時(shí)要考慮到各種情況典型例題八例8設(shè)平面平面，平面平面，且、分別與相交于、，求證：平面平面分析：要證明兩平面平行，只要設(shè)法在平面上找到兩條相交直線，或作出相交直線,它們分別與平行（如圖）證明：在平面內(nèi)作直線直線，在平面內(nèi)作直線直線平面平面,平面，平面,又,，平面平面說明：如果在、內(nèi)分別作，這樣就走了彎路,還需證明、在、內(nèi)，如果直接在、內(nèi)作、的垂線,就可推出由面面垂直的性質(zhì)推出“線面垂直，進(jìn)而推出“線線平行”、“線面平行”

4、,最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”其核心是要形成應(yīng)用性質(zhì)定理的意識，在立體幾何證明中非常重要典型例題九例9如圖所示,平面平面,點(diǎn)、，點(diǎn)，是、的公垂線，是斜線若，,、分別是和的中點(diǎn),(1)求證：；（2)求的長分析：（1）要證，取的中點(diǎn)，只要證明所在的平面為此證明,即可(2)要求之長，在中，、的長度易知,關(guān)鍵在于證明，從而由勾股定理可以求解證明:(1)連結(jié),設(shè)是的中點(diǎn),分別連結(jié)、是的中點(diǎn)，又，同理是的中點(diǎn)，,平面平面， （2）分別連結(jié)、，,又是、的公垂線，,，是等腰三角形又是的中點(diǎn)，在中，說明:（1）證“線面平行”也可以先證“面面平行”，然后利用面面平行的性質(zhì)，推證“線面平行，這是一種以

5、退為進(jìn)的解題策略（2）空間線段的長度，一般通過構(gòu)造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理來求解（3）面面平行的性質(zhì)：面面平行，則線面平行;面面平行,則被第三個(gè)平面所截得的交線平行典型例題十例10 如果平面內(nèi)的兩條相交直線與平面所成的角相等,那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是_分析：按直線和平面的三種位置關(guān)系分類予以研究解：設(shè)、是平面內(nèi)兩條相交直線（1）若、都在平面內(nèi)，、與平面所成的角都為，這時(shí)與重合，根據(jù)教材中規(guī)定，此種情況不予考慮(2)若、都與平面相交成等角，且所成角在內(nèi);、與有公共點(diǎn)，這時(shí)與相交若、都與平面成角，則，與已知矛盾此種情況不可能(3)若、都與平面平行,則、與平面所成的角都為,內(nèi)有兩條直線與

6、平面平行,這時(shí)綜上，平面、的位置關(guān)系是相交或平行典型例題十一例11試證經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行已知：，求證:過有且只有一個(gè)平面分析：“有且只有要準(zhǔn)確理解，要先證這樣的平面是存在的，再證它是惟一的，缺一不可證明：在平面內(nèi)任作兩條相交直線和,則由知，點(diǎn)和直線可確定一個(gè)平面,點(diǎn)和直線可確定一個(gè)平面在平面、內(nèi)過分別作直線、，故、是兩條相交直線，可確定一個(gè)平面，,，同理又，,所以過點(diǎn)有一個(gè)平面假設(shè)過點(diǎn)還有一個(gè)平面，則在平面內(nèi)取一直線，點(diǎn)、直線確定一個(gè)平面，由公理2知：，又,，這與過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾,因此假設(shè)不成立，所以平面只有一個(gè)所以過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平

7、面與已知平面平行典型例題十二例12已知點(diǎn)是正三角形所在平面外的一點(diǎn),且，為上的高,、分別是、的中點(diǎn),試判斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明分析1：如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結(jié)論成立，只需證明與平面內(nèi)的一條直線平行觀察圖形可以看出：連結(jié)與相交于,連結(jié)，就是適合題意的直線怎樣證明？只需證明是的中點(diǎn)證法1：連結(jié)交于點(diǎn)，是的中位線，在中，是的中點(diǎn),且，為的中點(diǎn)是的中位線,又平面，平面,平面分析2:要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設(shè)直接推出證法2：為的中位線，平面,平面，平面同理：平面,，平面平面，又平面，平面典型例題十三例13如圖,線段分別交兩個(gè)平行平面、于、

8、兩點(diǎn)，線段分別交、于、兩點(diǎn)，線段分別交、于、兩點(diǎn)，若,，的面積為72,求的面積分析：求的面積，看起來似乎與本節(jié)內(nèi)容無關(guān)，事實(shí)上，已知的面積，若與的對應(yīng)邊有聯(lián)系的話，可以利用的面積求出的面積解：平面，平面，又，同理可證:，與相等或互補(bǔ),即由,得，由，得：,又的面積為72，即的面積為84平方單位說明：應(yīng)用兩個(gè)平行的性質(zhì)一是可以證明直線與直線的平行,二是可以解決線面平行的問題注意使用性質(zhì)定理證明線線平行時(shí),一定第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，其交線互相平行典型例題十四例14 在棱長為的正方體中,求異面直線和之間的距離分析：通過前面的學(xué)習(xí)，我們解決了如下的問題：若和是兩條異面直線,則過且平行于的平面必平

9、行于過且平行于的平面我們知道，空間兩條異面直線,總分別存在于兩個(gè)平行平面內(nèi)因此，求兩條異面直線的距離，有時(shí)可以通過求這兩個(gè)平行平面之間的距離來解決具體解法可按如下幾步來求：分別經(jīng)過和找到兩個(gè)互相平等的平面；作出兩個(gè)平行平面的公垂線；計(jì)算公垂線夾在兩個(gè)平等平面間的長度解：如圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：連結(jié)，分別交平面和平面于和因?yàn)楹头謩e是平面的垂線和斜線，在平面內(nèi)，由三垂線定理:，同理:平面，同理可證:平面平面和平面間的距離為線段長度如圖所示：在對角面中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)和的距離等于兩平行平面和的距離為說明：關(guān)于異面直線之間的距離的計(jì)算，有兩種基本的轉(zhuǎn)移方法：轉(zhuǎn)化為線面距設(shè)、是兩條異面直線，作

10、出經(jīng)過而和平行的平面，通過計(jì)算和的距離,得出和距離,這樣又回到點(diǎn)面距離的計(jì)算；轉(zhuǎn)化為面面距，設(shè)、是兩條異面直線，作出經(jīng)過而和平行的平面，再作出經(jīng)過和平行的平面，通過計(jì)算、之間的距離得出和之間的距離典型例題十五例15正方體棱長為，求異面直線與的距離解法1:(直接法)如圖：取的中點(diǎn)，連結(jié)、分別交、于、兩點(diǎn),易證:，為異面直線與的公垂線段,易證:小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解但通常尋找公垂線段時(shí)，難度較大解法2:（轉(zhuǎn)化法）如圖:平面，與的距離等于與平面的距離,在中，作斜邊上的高，則長為所求距離,，小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離解法3：（轉(zhuǎn)化法）如圖：平面平面,與

11、的距離等于平面與平面的距離平面,且被平面和平面三等分；所求距離為小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離解法4：(構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點(diǎn),作于點(diǎn)，作于點(diǎn),設(shè)，則，且則，故的最小值，即與的距離等于小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量,構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過求這個(gè)函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離解法5：（體積橋法)如圖：當(dāng)求與的距離轉(zhuǎn)化為求與平面的距離后,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則，即與的距離等于小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離,再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之這種方法在后面將要學(xué)到說明:求異面直線距離的方法有:(1）（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時(shí)，直接求此時(shí),作出并證

12、明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵（2）（轉(zhuǎn)化法)把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線、距離，先作出過且平行于的平面，則與距離就是、距離（線面轉(zhuǎn)化法）也可以轉(zhuǎn)化為過平行的平面和過平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離（面面轉(zhuǎn)化法）（3)（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來求（4)（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解兩條異面直線間距離問題,教科書要求不高（要求會計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離)，這方面的問題的其他解法,要適度接觸，以開闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求典型例題十六例16如果，和是夾在平面與之間的兩條線段，且,直線與平面所

13、成的角為，求線段長的取值范圍解法1：如圖所示：作于，連結(jié)、,，在中，由余弦定理，得：,是與所在的角又，也就等于與所成的角，即,，,，即：，即長的取值范圍為解法2：如圖：必在過點(diǎn)且與直線垂直的平面內(nèi)設(shè)，則在內(nèi),當(dāng)時(shí)，的長最短，且此時(shí)而在內(nèi)，點(diǎn)在上移動，遠(yuǎn)離垂足時(shí)，的長將變大,從而，即長的取值范圍是說明:（1）本題考查直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系，對于運(yùn)算能力和空間想象能力有較高的要求，供學(xué)有余力的同學(xué)學(xué)習(xí)(2)解法1利用余弦定理,采用放縮的方法構(gòu)造出關(guān)于長的不等式,再通過解不等式得到長的范圍，此方法以運(yùn)算為主（3)解法2從幾何性質(zhì)角度加以解釋說明，避免了繁雜的運(yùn)算推導(dǎo),但對空間想

14、象能力要求很高,根據(jù)此解法可知線段是連結(jié)異面直線和上兩點(diǎn)間的線段，所以是與的公垂線段時(shí)，其長最短典型例題十七例17如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行已知：,，求證：分析：本題考查面面平行的判定和性質(zhì)定理以及邏輯推理能力由于兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)稱兩平面平行，帶有否定性結(jié)論的命題常用反證法來證明，因此本題可用反證法證明另外也可以利用平行平面的性質(zhì)定理分別在三個(gè)平面內(nèi)構(gòu)造平行且相交的兩條直線，利用線線平行來推理證明面面平行，或者也可以證明這兩個(gè)平面同時(shí)垂直于某一直線證明一：如圖，假設(shè)、不平行,則和相交和至少有一個(gè)公共點(diǎn)，即,，于是，過平面外一點(diǎn)有兩個(gè)平面、都和平面平行，這和“經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行”相矛盾，假設(shè)不成立。證明二：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與相交，與也相交，與也相交過作兩相交平面分別與交于直線、，且與、，交于直線、，,，同理又，、，證明三：如圖,任作直線,，說明：證明兩個(gè)平面平行，可根據(jù)定義、應(yīng)用判定定理來證明典型例題十八例18如圖,已知、是異面直線，求證：過和分別存在平面和,使分析：本題考查面面平行及線面垂直的判定和綜合推理能力根據(jù)前面學(xué)過的知識，過異面直線中的一條有且僅有一個(gè)平面與另一條平行這樣過和分別