1正弦定理、余弦定理及解三角形課案

1、課題正弦定理、余弦定理及解二角形課型復(fù)習(xí)課時(shí)數(shù)3教學(xué) 目標(biāo)1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；2.能夠運(yùn)用正弦疋理、余弦疋理等知識(shí)解決些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的頭際冋題.重點(diǎn)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題難點(diǎn):能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.教學(xué) 方法自主合作探究教學(xué) 媒體PPT環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖:課 堂 自 主 導(dǎo) 學(xué)知識(shí)梳理1.正、余弦定理在厶ABC中，若角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b,c, RABC外接圓半徑，貝U梳理知識(shí)， 加強(qiáng)記憶。幫助學(xué)生構(gòu) 建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。定理正弦定理余弦定理內(nèi)

2、容abc一2 Rsin Asin B sin Ca2 b2 + c2 2bccos A；2 2 2b c + a 2cacos B ； c2 a2 + b2 2abcos C常見(jiàn)變形(1) a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C;a . c b(2) s in A 2R,sin B 2R,.c csm C 2R；(3) a : b : c sin A ：sin B : sin C；(4) asin B bsin A, bsin Ccsin B, asin C csin A222b + c a cos A2bc；c2 + a2 b2cos B2ac；2 ,22a + b

3、c cos C 2ab111abc 12S abc = 2*bs in C = qbcs in A= qacsin B= 4R = ?（* +b+ c） r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑），并可由此計(jì)算R, r.3.實(shí)際問(wèn)題中的常用角（1）仰角和俯角數(shù)學(xué)教學(xué)案授課人：邱瑤時(shí)間：8月31日在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角， 目 標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).A(2)方位角知識(shí)總結(jié)幫助學(xué)生總 結(jié)實(shí)際問(wèn)題 中常用角。從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平 夾角叫做方位角女口 b點(diǎn)的方位角為a如圖2).方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的 銳角，如

4、南偏東30北偏西45等.(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.診斷自測(cè)1 判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“V”或“X”) I精彩PPT展示(1) 在厶 ABC 中，AB 必有 sin Asin B. (V)(2) 在厶 ABC 中，a = 0, b = /2, B = 45 則 A= 60 或 120.( V)從A處望B處的仰角為a,從B處望A處的俯角 為B,則a， B的關(guān)系為a+180.( X )(4)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察 點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系，其范圍均是-10,刖(X )2. (2014江西卷)在厶ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若3a = 2b，

5、則2 22sin B-sin Asin2A的值為(卄 丄十、宀論片2sinB sin A 2b-a解析 由正弦疋理知，sjnA=022 2fb 勺加b 3 2sin B sin A2 J X 又知 3a 2b，所以 a 2, snA2 X 住j- 1 2，故選 D.答案 D3. 艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度 沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C 處有一座燈塔，海輪在 A處觀察燈塔，其方向是南偏東 70,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65,那么B，C 兩點(diǎn)間的距離是（）A . 10農(nóng)海里 B . 10海里C . 2曾海里 D . 20施海里解析 如圖所示，易知，在厶A

6、BC中，AB 20海里，BC/ CAB 30 / ACB 45 ，根據(jù)正弦疋理侍.Qn sin 30 sB，。解得 BC15/2（海里）.dt答案 A4. （2014 福建卷）在厶ABC 中，A 60，AC 2，BC也，貝U AB等于解析由余弦定理得 BC2 AC2 + AB2 - 2AC ABcos2 2A，即卩 3 4 + AB -2AB，即卩 AB -2AB+ 1 0解得 AB 1.答案15. （人教A必修5P10B2改編）在厶ABC中，acos Abcos B，則這個(gè)三角形的形狀為自我檢測(cè)。初步運(yùn)用知 識(shí)，總結(jié)題型 方法。dddd解析 由正弦定理，得sin Acos A= sin Bc

7、os B,即 sin 2A= sin 2B,所以 2A= 2B 或 2A= n 2B,n即 A= B 或 A + B = 2，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考點(diǎn)一正、余弦定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用【例1】在厶ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a,b，c.(1)若 a = 2衍，b/6, A= 45 貝U c=.深度思考若(a+ b+ c)(a b+ c)= ac,貝U B=.已知兩邊解析（1）法一 在厶ABC中，由正弦定理得sin B =及其中一bsin A 艮乎 1邊所對(duì)的a = c庁二2，因?yàn)閎va,所以BvA,所以B =a2 寸32角求另一簡(jiǎn)單熱身。30 C=

8、 180A B= 105 sin C= sin 105 =sin(45 +知00-00 V6+V2邊可采用識(shí)60)=sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60 = .運(yùn)正弦定理用 C 2 害導(dǎo) 練故c=囂乙曇4卡+ 3.也可用余2弦定理來(lái)法二 在厶ABC中，根據(jù)余弦定理可得 a2 = b2 + c2解決，不妨2bccos A, 即卩 c2 2(3c 6= 0,所以 c=p33.因?yàn)?c0,所以 c= V3+ 3.兩種方法2 2 2(2)因?yàn)?a+ b+ c)(a b+ c) = ac,所以 a + c b =你都體驗(yàn)ac.一下吧！,a2 + c2 b21規(guī)律方由余弦定理的推論得

9、cos B=2= 2,2ac2法（1）在解所以B = 33有關(guān)三角形2冗答案 （1）3+護(hù)【訓(xùn)練1】 在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分 別為 a, b, c,且 2c2= 2a2 + 2b2 + &匕，則厶 ABC 是（）A 鈍角三角形C 銳角三角形（2014紹興模擬）在厶ABC中，A= 60 b= 1, Sa罠 nt,a+ b+ cabc=/3，貝U丄口丄.廠=.ysin A+ sin B + sin C解析 （1 ）由 2c2 = 2a2 + 2b2 + ab,得 a2 + b2 c2=11a2+ b2 c2 2ab1ab,所以 cos C= 2ab 2ab 40,所以 90v C

10、v 180,即厶ABC為鈍角三角形.1c逅庁，（2） - &abc qbcsin A2 *3, c 4,222221a2 b2 + c2 2bccos A 12+ 42 2X 4X 1X 13, 二 a V13,v口 2R（R是厶ABC的外接圓的半sin A sin B sin C徑.）a+ b+c十2Rsin A+ sin B + sin Ca伍239sin A sin 60 3 .“宀2融答案 （1）A 弋考點(diǎn)二 正、余弦定理的綜合運(yùn)用【例2】（2014山東卷）在厶ABC中，角A, B, C所x/6n對(duì)的邊分別是a, b, c.已知a 3, cos A 3 , B A+一題多解。 變式訓(xùn)練

11、。的題目時(shí)，要 有意識(shí)地考 慮用哪個(gè)定 理更適合，或 是兩個(gè)定理 都要用，要抓 住能夠利用 某個(gè)定理的 信息，一般 地，如果式子 中含有角的 余弦或邊的 二次式，要考 慮用余弦定 理；如果遇到 的式子中含 有角的正弦 或邊的一次 式時(shí)，則考慮 用正弦定理； 以上特征都 不明顯時(shí)，則綜合應(yīng)用。要考慮兩個(gè) 定理都有可 能用到. 解題中注意 三角形內(nèi)角 和定理的應(yīng) 用及角的范 圍限制.13.(1) 求 b的值；(2) 求厶ABC的面積.解在厶ABC中，由題意知，sin A 1-cossA弓，因?yàn)閎a+n， 所以 sin B sin”+才卜 cos A-誓.i B 3X罟由正弦定理，得basnB3 3

12、23由 B A+ n，得 cos B coSA+ 扌丿一sin A-由 A+ B+ C= n,得 C n- (A + B).所以 sin C sin - (A+ B) sin(A+ B) sin Acos B + cos Asin B 3 X11廠 1因此 ABC 的面積 S 2absin C / 3X 3 .2X 3【訓(xùn)練2】(2014重慶卷)在厶ABC中，內(nèi)角A, B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a+ b+ c 8.5(1)若 a 2，b 2,求 cos C 的值；Ba若 sin Acos 2 + sin Bcos 2 2sin C，且厶 ABC 的面9積S 2sin C，求 a和b的值

13、.提升難解 由題意可知c 8- (a+ b) 7.由余弦定理得cos C =2ab2X 2X 5度，提高能 力。_ 15.2 B2A由 sin Acos 2 + sin Bcosq _ 2sin C 可得:sin A 1 + cos B+ sin B1 + cos A2_ 2sin C變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)得 sin A+ sin Acos B+ sin B + sin Bcos A_4sinC .因?yàn)?sin Acos B+ cos Asin B_sin(A+ B)_sin C, 所以 sin A+ sin B_ 3sin C.由正弦定理可知a+ b_3c.又因?yàn)?a+ b+ c_8,故 a+ b_6

14、.19由于 S_qabsin C_2Sin C,所以 ab_9, 從而 a2 6a + 9_ 0,解得 a_ 3, b_ 3.考點(diǎn)三 正、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例3】如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向距 A為（；31）海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75 方向，距A為2海里的C處的緝私船奉命以10 一 3海里/ 時(shí)的速度追截走私船.此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的速度 從B處向北偏東30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最 快追上走私船？并求出所需要的時(shí)間（注：;6 2.449）.解 設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截規(guī)律方 法有關(guān)三 角形面積問(wèn) 題的求解方 法：1）靈活運(yùn) 用正、

15、余弦定 理實(shí)現(xiàn)邊角 轉(zhuǎn)化；（2）合理 運(yùn)用三角函 數(shù)公式，如同 角三角函數(shù) 的基本關(guān)系、 兩角和與差 的正弦、余弦 公式、二倍角 公式等.獲（在D點(diǎn)）走私船，則有CD _ 10. 3t（海里）,BD _ 10t（海 里）在厶ABC中AB= （ 3- 1）海里，AC = 2海里，/BAC = 45+ 75= 120根據(jù)余弦定理，可得BC = 、 ,3- 1 2+ 22 - 2X 2X（ 1 pos 120 =（海里）根據(jù)正弦定理，可得sin/ABC=ACsin 120 =BC=2X乎6/ ABC = 45，易知CB方向與正北方向垂直,從而/ CBD= 90 + 30 = 120.在厶BCD中，根

16、據(jù)正弦定理，可得./BDsin/CBD 10t sin 120 0 1si n/ BCD= Cd =10 ；3t = 2，解決實(shí)際 問(wèn)題。 / BCD = 30 / BDC = 30 BD = BC= 6(海里)，則有10t=6，t= 老0.245小時(shí)=14.7分鐘.故緝私船沿北偏東60方向，需14.7分鐘才能追上走 私船.【訓(xùn)練3】（2014新課標(biāo)全國(guó)I卷）如圖，為測(cè)量山 高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A 點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角/ MAN = 60C點(diǎn)的仰角/ CAB= 45 以及/ MAC = 75從C點(diǎn)測(cè)得/ MCA = 60.已知山高BC解析 在 Rt ABC 中，/ CA

17、B= 45 BC= 100 m， 所以 AC= 100,2(m).將實(shí)際問(wèn)題抽象為在厶AMC 中，/ MAC= 75 / MCA = 60 從而/AMC = 45由正弦定理，得AC _ AMsin 45 _sin 60因此AM _100 ,3(m).在 Rt MNA 中,AM_ 100 3 m,/ MAN_60,由：M _sin 60，。得 MN_ 100 3X ,_ 150(m).答案 150微型專題解三角形中的向量法解三角形問(wèn)題是歷年高考的必考內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)是將幾 何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題及方程問(wèn)題.解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵 是正確分析邊角關(guān)系，依據(jù)題設(shè)條件合理地設(shè)計(jì)解題程 序，將三角形中的邊角關(guān)系進(jìn)

18、行互化.解三角形問(wèn)題的一 般解題策略有：公式法、邊角互化法、構(gòu)造方程法、向量 法、分類討論法等.【例4】 已知 ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(3,4), B(0,0)，C(5,0),則 sin A 的值為.點(diǎn)撥 先把坐標(biāo)用向量來(lái)表示，再利用向量的數(shù)量積求解即可.解析 因?yàn)锳B_ ( 3， 4)，AC_ (2， 4)，所以 Ab Ac_ 6+16_ 10,|AB|_ “ 3 2+ 4 2_ 5,|AC|_ .22+ 4 2_ 2 .5.所以 cosAB，AC_ ABAC _ 10 _心AB| |AC| 10 5 5 數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決。即cosA_ 55因?yàn)?所以sin A_魯50v Av n例4的求 解如果不 采用向量 法，難度就 加大了，需 要先作出 圖形，求得 角A 一鄰規(guī)律方 法解三角 形應(yīng)用題的 兩種情形： 實(shí)際問(wèn)題經(jīng) 抽象概括后， 已知量與未 知量全部集 中在一個(gè)三 角形中，可用答案255邊上的高，正弦定理或不