第8章級(jí)數(shù)理論

1、級(jí)數(shù)理論引言一、級(jí)數(shù)理論的主要研究?jī)?nèi)容級(jí)數(shù)理論是研究級(jí)數(shù)-無(wú)窮個(gè)數(shù)的和（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）或無(wú)窮個(gè)函數(shù)的和（函 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）的理論，主要建立這樣無(wú)窮個(gè)和在什么條件下有意義-收斂性和相應(yīng)的判別法則、和具有什么樣的性質(zhì)。二、級(jí)數(shù)理論的地位和作用級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要的組成部分，他從離散的角度研究函數(shù)關(guān) 系，是分析學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和研究工具，在其他各分支、特別是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)各領(lǐng) 域中有著極為重要的作用，特別是由此發(fā)展起來(lái)的Fourier級(jí)數(shù)理論和進(jìn)一步的小波分析理論在工程技術(shù)領(lǐng)域如信號(hào)識(shí)別、圖像處理等領(lǐng)域中是一個(gè)有力而又 有效的快速計(jì)算和數(shù)值模擬工具。三、級(jí)數(shù)的發(fā)展史1、早期的工作數(shù)學(xué)史上，級(jí)數(shù)的出現(xiàn)比較早。

2、微積分產(chǎn)生之前就已經(jīng)有級(jí)數(shù)形式了，最早 出現(xiàn)的是公比小于1的幾何級(jí)數(shù)。古希臘時(shí)期，Aristotle在計(jì)算拋物弓形面積時(shí)， 實(shí)際上計(jì)算出了公比為14的無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。14世紀(jì)，法國(guó)Oresme證明：調(diào)和 級(jí)數(shù)?1發(fā)散，初步有了級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散思想，區(qū)別收斂和發(fā)散的級(jí)數(shù)。但心n是直到微積分發(fā)明時(shí)代，人們才把級(jí)數(shù)作為獨(dú)立的概念，把級(jí)數(shù)運(yùn)算作為一種 算術(shù)運(yùn)算并正式使用級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散兩個(gè)術(shù)語(yǔ)。事實(shí)上，正是微積分的創(chuàng)立， 為級(jí)數(shù)的運(yùn)用提供了活動(dòng)空間，為級(jí)數(shù)理論的建立提供了基本素材。如Newton研究級(jí)數(shù)是和他的流數(shù)法分不開的，和同時(shí)代或稍后的大多數(shù)數(shù)學(xué)家一樣，他 們研究稍微復(fù)雜的函數(shù)只能把他們展開成級(jí)數(shù)

3、，再進(jìn)行微分或積分才能處理他們，因此，在這一時(shí)期，Newton, Leibnize等獨(dú)立得到如sinx ,cosx、arcsinx等 一些特殊函數(shù)的級(jí)數(shù)，其后，Bernoulli , Euler等大量依靠了級(jí)數(shù)的運(yùn)用。這些工作表明。在17世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯砍胶瘮?shù)，用他們的級(jí)數(shù)來(lái)處理方面是富有成效的，在這個(gè)時(shí)期，級(jí)數(shù)還被用來(lái)計(jì)算一些特殊的量如兀，e等，除 此之外，級(jí)數(shù)還用在隱函數(shù)的計(jì)算方面。2、函數(shù)的展開17世紀(jì)后期和18世紀(jì)，擺在數(shù)學(xué)家面前的問題之一是函數(shù)表的插值。為適應(yīng)航海、天文、地理的發(fā)展，要求三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和航海表有較大的精度， 因而必須尋求更好的插值方法。Briggs、N

4、ewton和Gregory深入研究有限插值 方法，得到相應(yīng)的插值公式。這個(gè)公式由Taylor發(fā)展成為無(wú)窮級(jí)數(shù)的方法，從此之后，函數(shù)作為分析的等價(jià)物，用以計(jì)算函數(shù)的值，代表函數(shù)參加運(yùn)算，并 以所得結(jié)果解釋函數(shù)性質(zhì)，但在運(yùn)算過程中，級(jí)數(shù)視為多項(xiàng)式的直接的代數(shù)推 廣，或直接作為多項(xiàng)式來(lái)對(duì)待，沒有考慮級(jí)數(shù)的斂散性，這種觀點(diǎn)一直延續(xù)到19世紀(jì)初，取得了豐碩的成果。但是，直接運(yùn)用帶來(lái)成果的同時(shí)，也產(chǎn)生了悖 論等式。女口： James Bernoulli 利用公式1 1 1 匕壯十川十+111=24 821 1-，川,111，再相加得：5 2k+111 11+川+ _川=2(+1111 +11 +2兩端分別

5、乘以1 ,31 +丄21 13 =川）由此得到：13用氣-+:川2 3n川k) +34-276上式中的每一項(xiàng)都沒意義。這是一個(gè)矛盾的結(jié)論。事實(shí)上，3、收斂和發(fā)散性問題悖論等式的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到：級(jí)數(shù)的無(wú)限多項(xiàng)之和有別于有限項(xiàng)的和， 注意到了函數(shù)展開的有效性-收斂性。在1810年前后，數(shù)學(xué)家開始確切地表達(dá) 無(wú)窮級(jí)數(shù)。1821年，Cauchy給出級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的確切定義，并給出一些判別 法則。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性確切的表述屬于Weierstrass Dirichlet也給出了絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。到19世紀(jì)末，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的許多判別法都已經(jīng)建立， 理論完善。同時(shí)，18世紀(jì)中后期，Euler、 D

6、*Alember、Lagrange等研究天文學(xué)、物理學(xué)等問題時(shí)，相繼得到某些函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表達(dá)式。19世紀(jì)，F(xiàn)ourier研 究熱流現(xiàn)象時(shí)，提出了任意周期函數(shù)的三角展開，并斷言函數(shù)都能展開成三角級(jí)數(shù)。這就是Fourier級(jí)數(shù)，也是Fourier分析的起源，但是關(guān)于函數(shù)的三角級(jí) 數(shù)是否收斂于函數(shù)本身的問題，在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念之后才得到重 視和解決?，F(xiàn)在，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)已經(jīng)發(fā)展為Fourier分析理論。第九章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本章研究的主要對(duì)象為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 2 Un，顯然，這是一個(gè)無(wú)限和。以前處理n的對(duì)象都是有限和，因此，將要解決的主要問題是，如何將有限和過渡到無(wú)限 和-級(jí)數(shù)的收斂性問題，進(jìn)一步

7、研究，如果無(wú)限和確實(shí)存在，如何進(jìn)行運(yùn)算 級(jí)數(shù)的性質(zhì)問題。我們知道：將有限過渡到無(wú)限正是極限處理的對(duì)象的特點(diǎn)，因此，可以設(shè) 想，必將借助于極限理論將有限和推廣到無(wú)限和，進(jìn)一步形成級(jí)數(shù)的相關(guān)理論。 為此，先做一些準(zhǔn)備工作。 1 上極限和下極限給定有界數(shù)列an記ctk =隠佝 =i門心心月心,Pk =supan =su pakH1,ak42r n *則由此構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列 gk、Pk,且具有性質(zhì):k有界且單調(diào)上升，Pk有界且單調(diào)遞減。因而存在實(shí)數(shù)H和h，使得H =!邛丿 , h珂整叭，顯然h 0，必有an的無(wú)窮多項(xiàng)屬于 （H -z,H +z），至多有有限項(xiàng)屬于（H +s +oc）。證明：反證法。設(shè)存在名

8、0 A0，使得an中至多有有限項(xiàng)大于H -5，貝U存 在no，使得n no時(shí),因而，當(dāng)n A n0時(shí),Pn =S U坯十，an七，蘭H故, HJimn 蘭，矛盾。再證an中至多有有限項(xiàng)屬于（H , +處）。由定義，對(duì)pg 0，存在N 0，使得n N時(shí),因而，sup aN+,a N 七， v H ， 故n N時(shí)，an c H中& 。因此,Pe 0 ,至多有N項(xiàng)屬于（H + s , +垃）。注：與數(shù)列極限定義的區(qū)別。從集合上解釋。*H - s對(duì)下極限有類似的結(jié)論。定理1.2設(shè)h = lim an，則對(duì)任意s a 0，必有a.的無(wú)窮多項(xiàng)屬于n_（h-sh+g），至多有有限項(xiàng)屬于（=,h-g）。定理1

9、.3 H是an最大的聚點(diǎn)，h是an最小的聚點(diǎn)。即H=ma)E , h=mirE證明：僅對(duì)H進(jìn)行證明。由定理1.1，對(duì)任意S 0，必有an的無(wú)窮多項(xiàng)屬于（H -5 H + S，因而,取& =1，則存在0|，使得H -1 ca H +1 ;取名一，則在an ani中，仍11有無(wú)窮多項(xiàng)屬于（H -，H +），因而，2211H - V an2 V H + ，如此下去，可以構(gòu)造子列22存在an2ank i an，使得1H- k ankH，取e? A；旦)，e2A- He 0，則對(duì)e1 ，存在 ioAO，當(dāng) i Aio時(shí),2 1A + Han| A -邑=-+ Z H ，與定理1矛盾。故A蘭H。因此H =

10、 max E。 證畢注、定理1.3表明，有界數(shù)列的上（下）極限是所有收斂子列的極限的最大（?。┲?，其聚點(diǎn)集E是有界集合，聚點(diǎn)集的上下確界都是可達(dá)的，且H = max E =supE ,h = min E = inf E。因此，自然成立下列結(jié)論。推論1.41）、存在子列an,anj，使得i?im? a = Hnik?im? an = h ；nklim an = lim an = A。 n 尹2）、lim an = A的充分必要條件是 n_）pc我們將上述定義和結(jié)論進(jìn)一步推廣到無(wú)界數(shù)列。設(shè)an為無(wú)上界的數(shù)列，規(guī)定liman；設(shè)a*為無(wú)下界的數(shù)列，規(guī)定nJCliman =亠，相應(yīng)的結(jié)論可以推廣。nJ

11、C定理1 .5 I）設(shè)H = liman，則當(dāng)H = +處時(shí)，對(duì)任意M 0，必有an的無(wú) 窮多項(xiàng)屬于（M，+處）；當(dāng)H =-處時(shí)，必有l(wèi)iman 。nTII） h = lim an，則當(dāng)h = -處時(shí)，對(duì)任意M aO，必有an的無(wú)窮多項(xiàng)屬于 njpc（, 一M）；當(dāng) h = +處時(shí) lim an = P 。 nT注、推論4當(dāng)A為正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮時(shí)仍成立。例 1、記an = n +(-1)nn計(jì)算 H , h 。解.由于 an -0且 a2n+ =0 , a2n = 2n，故，H = +處，h = 0。例 2、記 an =cosn，計(jì)算 H , h 。4解：由于 1 an 臣1，且 a8k T 1

12、 , a4(2k4t)T -1，故 h = 1 , h = -1。例3、證明nl馭Xn + yn）蘭n愛n +證明：只對(duì)各上極限有限的情形進(jìn)行討論。 法1、用定義法。由定義，對(duì)任意幾k，Xxk , supyn : nk因而 X +y】supXn +supyn lim Xn + lim yn 人 人 n淖n歩丈C由幾的任意性，貝USupXn +yn 0 ，至多有有限個(gè)記 a = lim xn , Pn-bCXn（a + S, +處），因而,存在N1，使得n N1時(shí),Xn N2時(shí),因此，故存在N = max N1, N2,當(dāng)n N時(shí),Xn +yn+ P +2S ；即至多有有限個(gè)xn + yn忘（a

13、 + P +2e, +比），故JimJXn +yn）蘭 a +P +2S由E的任意性，即得結(jié)論。法3、轉(zhuǎn)化為收斂子列的極限來(lái)討論。PynJ，使得記 0 =nlimXn，B =r!imyn，丫 =nlim（Xn 中 yn），則存在子列XnkkimPnk+ynkWY，kim/nk蘭P，因而 存在子列孤、yn,，使得1 蘭iliynki 邛1 蘭 P故,ll_Xnkl +% ) =8 + p1 0 , lim Xn H 0，貝U=nXn lim Xnn_j-bc證明:lim Xn則存在Xnk使得lim Xn =a，巻 k因而,lim xnnj 乂=lim 丄 -bc1因此，成立lim Iolim X

14、nn例5、設(shè)Xn蘭0 , yn 30，證明Lim Xn 壯yn證明：記 lim(Xn ?yn)n? yLi mn? l iymn + ylim Xn =+ ylim yn= b，貝U存n +?在子列使得k?im? (Xnk ?ynk)gUm Xnk1nk故存在子列，因而Lim Xn ?yn )k?y mk ?yn kn?278k|二/icXnkl 協(xié)ynkl =8 川1 a P 。注、將上下極限問題，通過轉(zhuǎn)化為收斂子列的極限問題，利用極限的運(yùn)算性質(zhì)，達(dá)到證明上下極限關(guān)系的目的，這是處理上下極限問題的一個(gè)重要方法。習(xí)題1、計(jì)算下列數(shù)列的上下極限。1+( 1 nn1)、 Xb =；2)、Xn =

15、1+Bn2、證明：lim (xn + yn) ?n _lim xnn +斗np2皿yn。n + ?2863、設(shè) Xn 0 , yn HO，證明:?im Xn徊n )n?I i mn?n +-n + ?lim4、證明:I i mx -n? 斗n?丄嘰？b ；) + ?叫一yl55、設(shè) X, 0 ,石xn?l 1,證明：xn收斂。n?斗 n + ? X數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念本節(jié)，我們引入數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，并研究其基本性質(zhì) 、定義設(shè)Un是給定的數(shù)列。定義2.1無(wú)限多個(gè)數(shù)的和Unn 二稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記為 Z Un，其中Un稱為級(jí)數(shù)2 Un的通項(xiàng)。n 二1注、定義是形式的。因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)限多個(gè)數(shù)的和送U

16、n是否存在是未知的。n 二如根據(jù)等比數(shù)列的計(jì)算可知：S斗=2，無(wú)2n=+，顯然級(jí)數(shù)5： （-1）n不存在。 nT 2nnq因此，要研究級(jí)數(shù)，首先要解決上述形式上的合理性問題一一這便是級(jí)數(shù) 的收斂性問題。那么，如何定義級(jí)數(shù)的收斂性？我們分析一下，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一 作為未知的、將要被研究的東西和我們已經(jīng)掌握的知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別。從形式 上看，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)數(shù)的和，作為數(shù)的和，我們已經(jīng)掌握了有限個(gè)數(shù)的 和的定義、運(yùn)算和性質(zhì)，因此，很自然的想法是：如何將有限個(gè)數(shù)的和的定義、 運(yùn)算和性質(zhì)推廣到無(wú)限個(gè)數(shù)的和，由此得到關(guān)于級(jí)數(shù)的定義和性質(zhì)。因此，解 決問題的關(guān)鍵思想是如何將 “有限”過渡到“無(wú)限”一一這正是極

17、限的思想, 由此決定我們本節(jié)所采用的思想和過程：通過有限和的極限引入無(wú)限和一一收 斂的級(jí)數(shù)，禾用極限的性質(zhì)研究收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。下面，將按上述思想引入本 節(jié)的概念和性質(zhì)。為此先引入一個(gè)有限和一一級(jí)數(shù)的部分和。定義2.2稱級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和nSn =送 Uk =Ui +U2k =1為級(jí)數(shù)送Un的部分和。n#顯然，部分和是有限和，下面, 入級(jí)數(shù)的收斂性。通過部分和的極限過渡到無(wú)限和，進(jìn)而引C定義2.3若部分和數(shù)列Sn收斂（于S），稱級(jí)數(shù)2 Un收斂（于S），此n =Unn zt時(shí)，記送Un = S, S也稱為級(jí)數(shù)送Un的和；若部分和數(shù)列Sn發(fā)散，稱級(jí)數(shù)n =1Z Un發(fā)散。n 4注、由此定義可知：只有當(dāng)

18、級(jí)數(shù)h unn 二收斂時(shí)，這個(gè)無(wú)限和2 Un才有意義,nA此時(shí)，送Un就是一個(gè)確定的數(shù)；而當(dāng)級(jí)數(shù)ndZ Un發(fā)散時(shí),S Un只是一個(gè)記n 二號(hào)或形式。例1考察幾何級(jí)數(shù)5： qn的收斂性。n 其中 Ovqvi.解、利用等比數(shù)列的求和公式可得: q-qZ)kd：1q故，sn收斂于一。因此，幾何級(jí)數(shù)1 -q qn的收斂于n=i1 q在考察級(jí)數(shù)的收斂性時(shí)，還經(jīng)常涉及到另一個(gè)數(shù)列一一余和。定義2.4稱n =Un十+Un七+川為級(jí)數(shù)送Un的余和。n zi注、部分和和余和的區(qū)別于聯(lián)系。1、部分和是有限和，因此，只要級(jí)數(shù) Z Un給定，部分和就確定了；余和n=1和級(jí)數(shù)本身一樣，仍是一個(gè)無(wú)限和，因此，在不知道其

19、收斂的情形下，只是 個(gè)形式或記號(hào)。CUn七2、若級(jí)數(shù)送Un收斂于S，則n = S - S n = Un 4t+u n七+ ，此時(shí)，余和是n=1個(gè)收斂于0的確定的數(shù)列，反之也成立，這就是下面的定理。定理2.1級(jí)數(shù)送Un收斂等價(jià)于余和收斂于0。n=1證明：考察部分和和余和的 Cauchy片段的關(guān)系。顯然，對(duì)任意的n、p,| rp rn | =| U n 屮 + Un 甲 + j 11 + Un 帶 | =| Sn Sn |即二者有相同的Cauchy片段，因而，&和&具有相同的收斂性。因此,oC由定義，送Un收斂等價(jià)于Sn收斂于S,進(jìn)一步等價(jià)于rn收斂于0。心注、由此可以發(fā)現(xiàn)，部分和和余和都能刻畫級(jí)

20、數(shù)的斂散性。、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)利用定義和極限的性質(zhì)，很容易得到收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。1、線性性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)送un、送vn是兩個(gè)收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a、b ，n 壬n =1CoCoCoC級(jí)數(shù)送(aun +bvn)也收斂且Z (aun +bVn) = a送 Un+bS Vn1。nAn zin z1n z1利用定義和數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)即可證明性質(zhì)2、不變性性質(zhì)2設(shè)2 Un收斂，則對(duì)2 Un任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)n =1nzi(U1+u2+uii)+(uii4i + +ui2)+也收斂且其和不變。分析：到目前為止，我們只學(xué)過級(jí)數(shù)的定義，因此，本性質(zhì)的證明必須采 用定義，實(shí)質(zhì)是考察二者的部分和關(guān)系。n

21、n證明：記Sn =2 Uk，An二送（Uik丄十+Uik）為兩個(gè)級(jí)數(shù)相應(yīng)的部分和，考k#k#察二者之間的關(guān)系，則Ai =Ui+UiiUii = Sii，A2 =U1 十+Ui2 = Si2， LAn = U1 + L + Ui = Sinn因而，數(shù)列An 是數(shù)列S的子列，由于fej收斂，因而，（aJ也收斂，且,注、由于子列收斂不一定保證原數(shù)列收斂，因而，其逆不成立。如5： （-1廣屮n 二0的級(jí)是發(fā)散的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，但若從第一項(xiàng)開始，相鄰兩項(xiàng)加括號(hào)，可得收斂于數(shù) 2 （1-1） =0。3、必要條件0性質(zhì)3設(shè)2 Un收斂，則必有l(wèi)imUn =0。n =1Tc事實(shí)上，設(shè) 2 Un = S ，則 Un

22、=Sn-Sn4T S-S=0。n呂處11注、此條件非充分，如2丄，有un =丄-? 0，但此級(jí)數(shù)發(fā)散。心nn注、此必要條件常用于判斷級(jí)數(shù)的發(fā)散性。例1判斷？ nln(1n=1Y1+ ）的斂散性。n解、由于n?imn?I n1- =) ? 10n因而，?n= 1nln（1+丄）發(fā)散。 n因此，在判斷級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，首先考察通項(xiàng)的極限，若Un不存在極限收斂，因而，n?im 2n（n+i）（2n二0 （具體的例子將在后面給出）。/ (2n)!?2n(n+1)n=1 2或存在極限但不為0,級(jí)數(shù)肯定發(fā)散；在un極限為0的條件下，再進(jìn)一步判斷 其斂散性，這是判斷級(jí)數(shù)斂散性的一般程序。注、性質(zhì)3的另一個(gè)應(yīng)用

23、是用于研究數(shù)列的收斂于0的性質(zhì)，即要證明lim un =0，只需證明 un收斂。而在有些時(shí)候，證明2 un的收斂性比證明數(shù) nnAn 丄 列Un的收斂性更簡(jiǎn)單，如利用后面我們給出的判別法很容易判斷4、充要條件Cauchy收斂準(zhǔn)則利用部分和數(shù)列收斂的Cauchy收斂準(zhǔn)則，可以得到判斷級(jí)數(shù)收斂的充分必 要條件，即相應(yīng)的Cauchy收斂準(zhǔn)則。性質(zhì)4級(jí)數(shù)un收斂的充要條件是對(duì)任意的 0 ,存在N 0使得nNn #時(shí)，對(duì)任意的自然數(shù)P都成立I Un十+ Un4p | 豈注、N僅依賴于S，與P無(wú)關(guān)。注、常稱|Un卅+川+ Un4p|為級(jí)數(shù)的Cauchy片段。注、由Cauchy收斂準(zhǔn)則，2 un收斂的充要條

24、件是充分遠(yuǎn)的 Cauchy片段nz1充分小，故級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)的前面有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，因而，去掉或增加或改變 級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性，但對(duì)收斂級(jí)數(shù)，上述的改變，雖然不改變 收斂性，但會(huì)改變收斂級(jí)數(shù)的和。注、用Cauchy收斂準(zhǔn)則判斷級(jí)數(shù)的收斂性時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)Cauchy片段作估計(jì)，從形式上看，類似于用定義考察數(shù)列的極限問題，因此，相應(yīng)的方法可以 移植到級(jí)數(shù)收斂性的判斷上。即要判斷級(jí)數(shù)的收斂性，通常對(duì) Cauchy片斷尋求 如下形式的估計(jì)（去掉P的影響），I Sn4p -Sn FWn十+fn柿戶 C（n）其中，C(n)應(yīng)滿足與P無(wú)關(guān)、單調(diào)遞減且C(n)T 0。最后，通過C(n)齢 0 .例2判

25、斷級(jí)數(shù)無(wú)4的斂散性。ni n證明：考察Cauchy片段12(n+1)+ +2 蘭+(n + p)2 n(n+1)(n + p-1)( n+ p)1 1=n n +1+n + P -1 n + p故，對(duì)任意的& 0存在N =丄+1，則當(dāng)n N時(shí)對(duì)任意p成立1+(n +1)2(n + p)21-0,證明:Y?n= 1=-(1+ n(n+ p) p+ i)。繪Y4、設(shè)2 Un收斂，證明：?心n=112（Un+ Un+1）也收斂。 3正項(xiàng)級(jí)數(shù) 2中，我們引入了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性的定義，并給出一個(gè)普遍性的判別法則一一Cauchy準(zhǔn)則，但是，要通過上述兩個(gè)方法判斷更一般級(jí)數(shù)的斂散性是很 困難的，必須借助其他

26、的手段獲得斂散性，這就需要一系列判別法則，從本節(jié) 開始，我們從最簡(jiǎn)單的正項(xiàng)級(jí)數(shù)開始，建立級(jí)數(shù)斂散性的判別法則。、定義和基本定理1、定義定義3.1、若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)送Un的通項(xiàng)滿足Un 0，則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)5： Un為正項(xiàng)n mn rn級(jí)數(shù)。2、基本定理Cn設(shè)無(wú)Un是給定的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則其部分和SZ Uk是單調(diào)遞增有下界0的n4k4定理3.1 （基本定理）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)列，因此，成立下面的結(jié)論:Z Un的部分和Sn有上界，則S Un必收n=n 二斂。否則，送Un發(fā)散到+處。心C注、基本定理也可以以充要條件的形式給出，即正項(xiàng)級(jí)數(shù)Z Un收斂的充分必要條件為其部分和Sn有界。注、用基本定理判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，需

27、要對(duì)部分和的上界進(jìn)行估計(jì), 這通常是很困難的，我們需要更好的判別法則。二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法則1、比較判別法定理3.2設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)2 Un、2 Vn滿足：存在C和N,使得n N時(shí)n4nAUn CVni）、若 Vn收斂，則S Un也收斂;n壬nTii）、若送Un發(fā)散，則送Vn也發(fā)散。n#n =1簡(jiǎn)單地說，大的收斂，小的也收斂；小的發(fā)散，大的也發(fā)散。只需利用基本定理比較其部分和關(guān)系即可證明結(jié)論，略去具體的證明。常用定理3.2的極限形式。定理3.2、若皿=1，則i）、當(dāng)0 1 +處時(shí)，藝Unn 二、藝Vn同時(shí)斂散;nUii）、當(dāng)l=0且h Vn收斂時(shí),n zt Un也收斂;n 二iii）、當(dāng) l=

28、0且送Un發(fā)散時(shí),n4Z Vn也發(fā)散;=+處且S Un收斂時(shí)，5： Vn也收斂; n 二nA=+處且2 Vn發(fā)散時(shí),nT Un也發(fā)散。n利用極限定義（取特殊的e）很容易建立級(jí)數(shù)通項(xiàng)之間的大小關(guān)系，然后, 利用定理3.2就可以證明結(jié)論，我們也略去具體的證明。f H. /步分注、結(jié)論的進(jìn)一步分析：我們知道/mUn =0是級(jí)數(shù)送Un收斂的必要條件，為什么這個(gè)條件不是充分的？從比較判別法來(lái)看，對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若Un Vn , nN且藝Vn收斂，則n=1m/n =0，因而母述比=0，但，顯然Un ? 0的速度要快于Vn T 0的速度,因此，可以猜想：通項(xiàng)UnT 0速度的快慢是決定級(jí)數(shù)收斂的原因，速度越快,收

29、斂的可能性也越大。事實(shí)上，比較判別法正是通過比較速度獲得斂散性的關(guān) 系。即01 +處時(shí)，兩個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)具有相同的收斂速度，因而，兩個(gè)級(jí)數(shù)也 具有相同的斂散性。1=0時(shí)，通項(xiàng)UnT 0的速度大于通項(xiàng)VnT 0的速度，因此,由級(jí)數(shù)5： Vn的收斂性可以推出級(jí)數(shù)S Un收斂；同樣，I =代 時(shí)，通項(xiàng)UnT 0的n ztnzt速度小于通項(xiàng)Vn T 0的速度，因此，由級(jí)數(shù)2 Un的收斂性可以推出級(jí)數(shù)S Vnn=1nz1收斂。禾用比較判別法，結(jié)合數(shù)列極限中已經(jīng)掌握的速度關(guān)系，就可以利用已知的簡(jiǎn)單的收斂和發(fā)散級(jí)數(shù)，判斷更為復(fù)雜的級(jí)數(shù)的斂散性。C1處1判斷2 sin 1、2 (1 -cos1)的斂散性。n2n

30、n2n分析目前已知斂散性的級(jí)數(shù)只有簡(jiǎn)單的幾個(gè)，如? -、？n=1 n n=1丄n2?n= 1qn,(| q 0,使得n/un 蘭 q , nN，則2 Un收斂;nlCii）、若存在N0,使得yUn 1 , nN，則送Un發(fā)散。n 分析 所給的條件，已經(jīng)表明了兩個(gè)級(jí)數(shù)通項(xiàng)間的關(guān)系，因此，直接利用 比較判別法即可。證明：i）由條件得，Un乂 nEqnN由于S qn收斂，因而,n少Z Un收斂。n iii ）、由于nN時(shí),Un 3，故Un不收斂于0，因而，2 Un發(fā)散。 n T定理3.3的極限形式為:定理33、設(shè)z Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且r =匝何，則i）、r1時(shí)，級(jí)數(shù)Z Un發(fā)散;n zioCiii）

31、、r=1時(shí)，級(jí)數(shù)2： Un的斂散性不能確定。nrn分析 證明的思路是從條件出發(fā)，將極限所滿足的條件形式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 通項(xiàng)所滿足的如同定理3.3中的條件形式。證明：i）、取 0，使得q = r + sc1，由上極限定義，對(duì)此e,存在N0, 使得nN時(shí),0 # VU?r + e= q 1,，則存在子列口，使得對(duì)充分大nk，増 r -坯=q13C因而， Un不收斂于0，故2： Un發(fā)散。n 4iii）、如對(duì)級(jí)數(shù)送丄、2 2，都有r=1,但前者發(fā)散，后者收斂。 nA n n 二 n注、上述的上極限條件形式可以改為極限形式，即若r = lim ，結(jié)論仍n_-bc=lim和7 1,但能保證n-bC成立。但

32、應(yīng)注意，上極限肯定存在，而極限不一定存在。注、定理的逆不成立，即若 Z Un收斂，不能保證nq52的斂散性。r pmyUn蘭1 ；在相應(yīng)極限存在的條件下，只能保證niimJun蘭1，也不能保證 n1%曲如例2判斷級(jí)數(shù)?n= 1解、由于n(z0,（0,1）使得nN時(shí),啞0使得nN時(shí)，上 1，Un分析 證明的思路仍然是將所給的條件形式轉(zhuǎn)化為如同比較判別法中通項(xiàng) 所滿足的條件形式。證明：i）、由于當(dāng)nN時(shí)，q，故此時(shí)Uj N時(shí)，則Un41Un,故Un不收斂于0,因而，S Un發(fā)散。 n呂類似有此定理的極限形式。OC定理3.4設(shè)送Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。n zii）、若応血=r1，則 2 un 發(fā)散;Unnd

33、：lii）、若r =1或匚=1，則不能確定其斂散性。 還有下述的極限形式。Un十定理3.5設(shè)無(wú)Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若r，則n =1n 7UnCr1n =1時(shí)5： Un發(fā)散；r=1時(shí)級(jí)數(shù)送Un的斂散性不能確定。nUnl注、上述兩個(gè)定理的證明與定理 3.4的證明類似，我們不再給出證明。注、注意定理3.3與定理3.4的區(qū)別。定理3.3只涉及上極限，而定理 3.4 同時(shí)涉及到上極限和下極限。處nn例3判斷級(jí)數(shù)送麗的斂散性。nd解、記UnUnH1r=3，故，由D”Alembert判別法，級(jí)數(shù)收斂。注、由Cauchy判別法和D limbert判別法的形式可以發(fā)現(xiàn)：若通項(xiàng)是幕次 形式時(shí)，常用Cauchy判別法，

34、若通項(xiàng)中含有n！形式，常用DAlembert判別法。注、Cauchy判別法與D”Alembert判別法的關(guān)系：下面，我們簡(jiǎn)要討論兩個(gè)判別法間的關(guān)系。兩個(gè)判別法的實(shí)質(zhì)都是比較判 別法的應(yīng)用，都是與幾何級(jí)數(shù)作比較，只是比較的手段和形式不同，因此，兩 個(gè)判別法之間應(yīng)該存在某種聯(lián)系，事實(shí)上，我們有下面的結(jié)論。定理3.6設(shè)hUn是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則關(guān)于通項(xiàng)成立以下關(guān)系n ztP n - -nT址unnT說門一七lim 業(yè)1 0，存在N0，使得nN時(shí),u nUn即 Un+ (r +E)Un , n aN，故丿亠 、n _NUnH! (r +E)UN。因此jimun - r +名，由s的任意性，則imyn乞r。

35、類似可以證明左半部分。例4設(shè)詁十1 +存尹+存 +，判斷收斂性。證明：由Cauchy判別法,臥血巳臥(0)2n1 1，故級(jí)數(shù)收斂。但若用DAlembert判別法，則TmU nTUn3nJ1拓注*Un故此法失效。注、從另一個(gè)角度講，兩個(gè)判別法在判斷級(jí)數(shù)的收斂性時(shí)，是將級(jí)數(shù)與幾 何級(jí)數(shù)作比較，此時(shí)，通項(xiàng)能被qn(0q t 0，存在d 0，使得X? (0,d)時(shí)，成立1- sx0，使得因而,(X)cO , x-(0,6).。1sxcd-xjt , x(0,6)。定理3.7為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且lim n(1 -nUn卅Un)=r，則當(dāng)r1時(shí)收斂，當(dāng)r1 時(shí),取e 0，使得s =r - e 1，因而，存在N，使

36、得nN 時(shí),Uns-,n取t,使得r s t 1，則,由引理3.1,啞 1-0 ,使得AUn+1 1，故，S Un收斂。n=1當(dāng)r0使得r + e 1 ,則由條件，對(duì)充分大的n,1一啞 十Un因而，1 - nUn+1擠，故Un（n-1Un0,使得nUn+ B，即Un+1 故，2 Un發(fā)散。nA注、Raabe判別法的另一形式為:引理3.2對(duì)任意的S t 1，存在d 0，使得xOP)時(shí),1 +sx（1 +x）t。f（0）= 0， f （0） =s-t0，證明：令 f(X)=1 +sx-(1 +x)t，則由連續(xù)性，存在6 0，使得當(dāng)x(09)時(shí)，(x)。，故f(x)單調(diào)遞增，因而,1 + SX A（

37、1 +x）tx（0P）定理3.8設(shè)2 Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且n =1釀吃“，則CoCi)、當(dāng)r1時(shí)，級(jí)數(shù) Un收斂；ii)、當(dāng)r1時(shí)，取S、t使得：rst 1,由于unlim n(1) = r A s Aty Un十1則對(duì)充分大的n，使得0:丄( n+oln半，故n充分大時(shí)，n單調(diào)遞減。因而數(shù)列n 有上tAoc界A,即n un A , i.e un 1，故，送山收斂。n心ii)、當(dāng)r0,因而n Ln B 0_1處即,Un B ,故 5： Un 發(fā)散。n心注、Raabe判別法可以處理Cauchy判別法和D”Alembert判別法失效的情形。 我們?cè)俳o出一個(gè)更加精細(xì)的判別法。Y 1例5判斷?,P 0的

38、斂散性。n=1 np分析 由于Cauchy判別法和D Alembert判別法都失效，必須采用更精細(xì)的 判別法如Rabbe判別法。解、由于U1lim n(亠-1)= lim n(1+ )p- 1) n?斗un+1n +?n1mn （+ 卞 1） p?汁Y 1理1故, p1時(shí)，?收斂；0 P 0，使得當(dāng)CnN時(shí)Kn 6，則送Un收斂;nd：ii）、若存在N0，使得nN時(shí),Kn N時(shí)CnUn- Cn+iUn+i 吵d%0，因此，CnUn （n N）非負(fù)單調(diào)遞減，因而有極限，不妨設(shè) 厚uCnUn=A。3C考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)送（CnUn -5初時(shí)），其部分和數(shù)列心Sn =CiUi -Cn+Un十 T 山 一 ACoC故級(jí)數(shù)2 （CnUn -Cn+Un+）收斂，因而，2 Un也收斂。n #n#ii）、若Kn蘭0 ,則Cn十Un+ 3CnUn，