(2021年整理)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法

1、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法的全部?jī)?nèi)容。 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法一、緒論高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課。該課程以線性空間為背景，以線性變換為方法，以矩陣為工具，著

2、重研究線性代數(shù)的問(wèn)題。二次型式多元二次函數(shù)，其內(nèi)容本應(yīng)屬于函數(shù)討論的范圍,然而二次型用矩陣表示之后，用矩陣方法討論函數(shù)問(wèn)題使得二次型的問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)潔明確，二次型的內(nèi)容也更加豐富多彩。本文的中心問(wèn)題是如何化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，也就是用矩陣方法把對(duì)稱矩陣合同與對(duì)角矩陣。二次型是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一,二次型的基本問(wèn)題是要尋找一個(gè)線性替換把它變成平方項(xiàng)，即二次型的標(biāo)準(zhǔn)型.二次型的理論來(lái)源于解析幾何中二次曲線、二次曲面的化簡(jiǎn)問(wèn)題，其理論也在網(wǎng)絡(luò)、分析、熱力學(xué)等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用.將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型往往是困惑學(xué)生的一大難點(diǎn)問(wèn)題，而且它在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用,因此探索將實(shí)二次型化為標(biāo)

3、準(zhǔn)型的簡(jiǎn)單方法有重要的理論與應(yīng)用價(jià)值。我們知道，任一二次型和某一對(duì)稱矩陣是相互唯一確定，而任一實(shí)對(duì)稱矩陣都可以化成一對(duì)角矩陣，相應(yīng)的任一實(shí)二次型都可以化為標(biāo)準(zhǔn)型。在高等代數(shù)課本中介紹了將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的兩種方法:配方法和正交變換法;此外，由于任意矩陣可以利用初等變換化為對(duì)角矩陣，因此也可用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型.通過(guò)典型例題，更能體會(huì)在處理二次型問(wèn)題時(shí)的多樣性和靈活性，我們應(yīng)熟練掌握各種方法.以下就是幾種方法的簡(jiǎn)單介紹，并且又提出了一種新的方法：雅可比方法。我們?cè)诮鉀Q二次型問(wèn)題時(shí)可對(duì)它們靈活應(yīng)用.二、 二次型及其矩陣表示 在解析幾何中，我們看到，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與中心重合時(shí)，一個(gè)有心二次曲

4、線的一般方程是 . (1）為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì),我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕嵌?，作轉(zhuǎn)軸（反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)軸) （2）把方程（1）化成標(biāo)準(zhǔn)方程.在二次曲面的研究中也有類似的情況。 （1)的左端是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式.從代數(shù)的觀點(diǎn)看，所謂化標(biāo)準(zhǔn)方程就是用變量的線性替換(2）化簡(jiǎn)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,使它只含平方項(xiàng)。二次齊次多項(xiàng)式不但在幾何中出現(xiàn)，而且數(shù)學(xué)的其他分支以及物理、力學(xué)中也常會(huì)碰到?，F(xiàn)在就來(lái)介紹它的一些最基本的性質(zhì)。 設(shè)p是一數(shù)域,一個(gè)系數(shù)在數(shù)域p上的的二次齊次多項(xiàng)式稱為數(shù)域p上的一個(gè)n元二次型，或者在不致引起混淆時(shí)簡(jiǎn)稱二次型. 設(shè)；是兩組文字,系數(shù)在數(shù)域p中的一組關(guān)系式 (4）稱為由到的一

5、個(gè)線性替換，。如果,那么線性替換（4）就稱為非退化的. 在討論二次型時(shí)，矩陣是一個(gè)有力的工具，因此把二次型與線性替換用矩陣來(lái)表示.另,ij. 由于，所以=它的系數(shù)排成一個(gè)nn矩陣它就稱為二次型的矩陣。顯然它是對(duì)稱矩陣。令 于是二次型可寫成=非退化線性替換可以表示成x=cy三、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法之一:配方法定理：數(shù)域p上任意二次型都可以經(jīng)過(guò)非退化的線性替換變成平方和的形式，即標(biāo)準(zhǔn)形。證明：下面的證明實(shí)際就是一個(gè)具體的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。 我們對(duì)變量的個(gè)數(shù)做數(shù)學(xué)歸納法. 對(duì)于n=1，而二次型就是已經(jīng)是平方和的形式了.現(xiàn)假定對(duì)n1元二次型，定理的結(jié)論成立。再假設(shè)（=）分三

6、種情況來(lái)討論：1)（i=1，2，n）中是少有一個(gè)不為零，例如0.這時(shí)=+=+2+=+=+，這里=-+是一個(gè)的二次型。令即這是一個(gè)非退化線性替換，它使=+.有歸納法假定，對(duì)有非退化線性替換能使它變成平方和。于是非退化的線性替換就使變成=由歸納法，即證.2）所有都等于0，但至少一（j1），不是一般性，設(shè)。令它是非退化線性替換，且使= = =這時(shí)上式右端是的二次型，且的系數(shù)不為0，屬于第一種情況，定理成立。3）由于對(duì)稱性,有這時(shí)是n1元二次型.根據(jù)歸納假設(shè)，它能用非退化線性替換變成平方和。 這樣就完成了定理得證明。說(shuō)明：雖然配方法是基礎(chǔ)方法，但在應(yīng)用化簡(jiǎn)二次型時(shí)比較麻煩。配方法需要通過(guò)觀察來(lái)配方，對(duì)

7、初學(xué)者來(lái)講，具有一定的盲目性.四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法之二：合同變換法（初等變換法）由上述配方法即得：定理 在數(shù)域p上,任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于以對(duì)角矩陣。即對(duì)于任意一個(gè)對(duì)稱矩陣a，都可以找到一個(gè)可逆矩陣c使成對(duì)角形。也即任意對(duì)稱矩陣都可用同樣類型的初等行變換和初等列變換化成與之合同的對(duì)角矩陣。典型例題：用合同變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出非退化的線性替換。解:的矩陣為a= 以下為合同變換過(guò)程： 因此d=，c=令x=cy，得=五、 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法之三：正交變換法(實(shí)二次型）利用歐式空間的理論,我們得到這樣的結(jié)論:對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)是對(duì)稱矩陣a,都存在一個(gè)n級(jí)是正交矩陣t，使 成對(duì)角形.定理

8、 任意一個(gè)實(shí)二次型 （=）都可經(jīng)過(guò)正交的線性替換變成平方和=其中平方項(xiàng)系數(shù)就使矩陣a的特征多形式全部的根. 因此只要求出特征根，二次型標(biāo)準(zhǔn)形也就求出來(lái)了。正交變換更具實(shí)用性.如：典型例題：作直角變換，把下述二次曲面方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它是什么二次曲面?解：此方程左端的二項(xiàng)式部分為： =下把它正交替換成標(biāo)準(zhǔn)型：它的矩陣a=(）（）()a的全部特征值是2,5，1對(duì)于特征值2，求出（2ea）x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系:把單位化，得對(duì)于特征值5，求出(5e-a)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系:把單位化，得對(duì)于特征值-1，求出（e-a）x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系：把單位化，得令t=，則t是正交矩陣，且令，則=所以原二次型

9、在新的直角坐標(biāo)系中的方程為:=1由此看出，這是單葉雙曲面。六、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法之四：雅可比方法(一)相關(guān)定義1、 雙線性函數(shù)定義v是數(shù)域p上一個(gè)線性空間，f(,）是v上一個(gè)二元函數(shù)，即對(duì)v中任意兩個(gè)向量、,根據(jù)f都唯一地對(duì)應(yīng)于p中一個(gè)數(shù)f（，)。如果f(,)有下列性質(zhì)：1） f（,+）=2） 其中是v中任意向量，是p中任意數(shù)，則稱f（,）為v上的一個(gè)雙線性函數(shù)。 例如：歐式空間v的內(nèi)積是v上雙線性函數(shù)。2、 對(duì)成雙線性函數(shù)的定義 f(，) 線性空間v上的一個(gè)雙線性函數(shù)，如果對(duì)v中任意兩個(gè)向量，都有f（，）=f（,）,則稱f（,)為對(duì)稱雙線性函數(shù)。3、 度量矩陣定義 設(shè)f（，）是數(shù)域p上n維

10、線性空間v上的一個(gè)雙線性函數(shù)。是v的一組基，則矩陣叫做f(，）在下的度量矩陣。 結(jié)論：雙線性函數(shù)是對(duì)稱的,當(dāng)且僅當(dāng)它在任一組基下的度量矩陣是對(duì)稱矩陣.（二)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的雅可比方法 設(shè)v是數(shù)域p上一個(gè)n維線性空間，取定v的一組基,令=,=，x=，y=,那么給定一個(gè)f上的n元二次型（其中a是n階對(duì)稱矩陣），則由a可以定義一個(gè)v上對(duì)稱雙線性函數(shù)f（,)= ，其中。反之亦然.在固定的基下，二次型和對(duì)稱雙線性函數(shù)f(，）=是互相唯一確定的(都是由a確定的）。 這種方法的中心問(wèn)題是:對(duì)在v的基下游二次型確定的對(duì)稱雙線性函數(shù)f(,）=，滿足條件=0,對(duì)ij(i,j=1,2,，n) 我們知道，設(shè)是v的另

11、一組基,而b=是f（,）關(guān)于這個(gè)基的矩陣，又設(shè)c=是由基到基的過(guò)渡矩陣,即=，i=1，n那么 b=, （1)即一個(gè)雙線性函數(shù)關(guān)于v的兩個(gè)基的兩個(gè)矩陣式合同的。 由于任一對(duì)稱矩陣必能合同于對(duì)角矩陣。設(shè)可逆矩陣c使成對(duì)角陣，b=， (2)再設(shè)c是基到基的過(guò)渡矩陣，由（1）式知，f(,)關(guān)于基的矩陣是對(duì)角矩陣（2）式,即=0，對(duì)ij（i，j=1，2,n)這表明，對(duì)于每一個(gè)對(duì)稱雙線性函數(shù)f(,），都存在一個(gè)適當(dāng)?shù)幕?使它可以寫成如下形式f（,）=,其中，從而它所確定的二次型可以寫成標(biāo)準(zhǔn)形=且二次型化為所作的非退化線性替換為x=cz，其中c是由基到基的過(guò)渡矩陣，它使=b。于是，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題就可

12、以歸結(jié)為上述關(guān)于對(duì)稱雙線性函數(shù)的“中心問(wèn)題”，為此,需要尋找滿足條件（2）得v的一個(gè)基。 在中,從一個(gè)基出發(fā)，利用施密特正交化方法，可以構(gòu)造一個(gè)與之等價(jià)的正交基.該方法的實(shí)質(zhì)就是設(shè)然后用待定系數(shù)法求使得=0（其中 ij，i,j=1，2，n）的系數(shù)。為此我們先解決下問(wèn)題：1）設(shè)v是數(shù)域p上一個(gè)n維線性空間，f（，)=使v上對(duì)稱雙線性函數(shù)，其中是v的一組基，=,=，x=，y=，a是n階對(duì)稱矩陣，那么從基出發(fā)，是否能構(gòu)造如下形式的基：使得 =0，對(duì)ij(i，j=1,2，,n) 解:將代入得=，所以,若對(duì)任意的i及ji有=0，則對(duì)ji，也有=0，又因雙線性函數(shù)f（，）是對(duì)稱的,則對(duì)ji,有=0，即是所

13、求的基。于是，問(wèn)題歸結(jié)為求待定系數(shù)使向量 (3）滿足條件 =0，j=1，2,i1 （4）顯然，若滿足=0，則的數(shù)量倍也滿足=0，故為了確定，我們?cè)僖鬂M足條件=1。 (5） 這樣，可以利用條件（4）（5）唯一確定了，將（3)式代入（4）和(5）,得到關(guān)于的線性方程組 （6)這方程組的系數(shù)行列式為。因此，當(dāng)0時(shí)，方程組（6)由唯一解，從而可求得向量。于是,當(dāng)a=的順序主子式=，=，=都不等于0時(shí)，可以由方程組（6）求出向量，i=1，2，n2）由1）可知，在0，i=1，2,，n的情形下，由方程組（6)可求出上三角矩陣c=，從而由（3）式求得,i=1，2，n，它們滿足=0，對(duì)ij，i，j=1，2，,

14、n使得雙線性函數(shù)f(,）關(guān)于基的矩陣為b=，是對(duì)角矩陣，由此可見，二次型可經(jīng)非退化線性替換x=cz，化成標(biāo)準(zhǔn)形=其中x=，z=。下面計(jì)算=i=1，2，,n，由（3）（4)（5）可得 =再由克拉默法則，由方程組(6）可解得=（其中令=1)。因此,=，i=1,2，n綜上所述，我們可得以下結(jié)論：設(shè)二次型（其中=)中，順序主子式,， 都不等于零,則該二次型必可化為下面的標(biāo)準(zhǔn)形：其中=1。這個(gè)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法稱為雅可比方法。典型例題:用雅可比方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出非退化的線性替換。=解：由于矩陣a=，它的順序主子式=2，=，=都不等于零,故可用雅可比方法。 設(shè)，,雙線性函數(shù)f（,）關(guān)于基,，

15、的矩陣為a,則a=設(shè)系數(shù)可由條件=1求出，即=2=1故=，故有=系數(shù)可由方程組求出，得，故=系數(shù)可由方程組求出，得，故由此可得，由基，到的過(guò)渡矩陣為c=因此經(jīng)線性替換x=cz化成標(biāo)準(zhǔn)型=（三）雅可比方法在判定二次型的正定性問(wèn)題上的應(yīng)用1）實(shí)二次型=是正定的充要條件是:矩陣a的順序主子式,，, 全大于零；2）實(shí)二次型=是負(fù)定的充要條件是：證:1）必要性顯然成立,下正充分性。由于矩陣a的順序主子式全大于零，故該二次型必可化為 由于0（i=1,2，。.，n），故該二次型的正慣性指數(shù)等于n,所以它是正定的.2）證明與1）類似，只是因故0（i=1，2，。.，n)所以該二次型的負(fù)慣性指數(shù)等于n,是負(fù)定的。

16、七、小結(jié) 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法最基本的就是上述這些方法,當(dāng)然還有其他許多比較靈活的方法來(lái)解決特殊的二次型問(wèn)題，這里就不一一詳述.本科階段只需熟練掌握并靈活應(yīng)用上述方法,綜合代數(shù)和幾何知識(shí)靈活解決問(wèn)題。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，配方法是最基礎(chǔ)的方法，它的原理很容易被學(xué)生消化吸收，因此，這種方法需要熟練掌握,靈活應(yīng)用。配方法是推導(dǎo)二次型重要理論的基礎(chǔ)，要熟悉它的推導(dǎo)過(guò)程。對(duì)于簡(jiǎn)單的二次型也可以靈活使用合同變換法，有時(shí)候這種方法更具簡(jiǎn)便性，節(jié)約計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間。正交變換法由于具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn)而備受青睞.在用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型中,如何求正交矩陣是一個(gè)難點(diǎn),常見的求法只有一種，求解過(guò)程大致如下：先用二次型矩陣a的特征方程求出a的n個(gè)特征值，然后通過(guò)直接求矩陣方程的基礎(chǔ)解系，得到對(duì)應(yīng)于征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量,再用施密特正交化過(guò)程將它們正交化、單位化,進(jìn)而得到n個(gè)兩兩正交的單位特征向量，最后由這n個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交矩陣,即得所要求的正交變換和對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型。這種方法綜合性比較強(qiáng),算比較復(fù)雜.雅