(2021年整理)化二次型為標準型的方法

1、化二次型為標準型的方法化二次型為標準型的方法 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（化二次型為標準型的方法）的內(nèi)容能夠給您的工作和學習帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進步的源泉，前進的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進步，以下為化二次型為標準型的方法的全部內(nèi)容。 化二次型為標準型的方法一、緒論高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課。該課程以線性空間為背景，以線性變換為方法，以矩陣為工具，著

2、重研究線性代數(shù)的問題。二次型式多元二次函數(shù)，其內(nèi)容本應屬于函數(shù)討論的范圍,然而二次型用矩陣表示之后，用矩陣方法討論函數(shù)問題使得二次型的問題變得更加簡潔明確，二次型的內(nèi)容也更加豐富多彩。本文的中心問題是如何化二次型為標準形，也就是用矩陣方法把對稱矩陣合同與對角矩陣。二次型是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一,二次型的基本問題是要尋找一個線性替換把它變成平方項，即二次型的標準型.二次型的理論來源于解析幾何中二次曲線、二次曲面的化簡問題，其理論也在網(wǎng)絡、分析、熱力學等問題中有廣泛的應用.將二次型化為標準型往往是困惑學生的一大難點問題，而且它在物理學、工程學、經(jīng)濟學等領域有非常重要的應用,因此探索將實二次型化為標

3、準型的簡單方法有重要的理論與應用價值。我們知道，任一二次型和某一對稱矩陣是相互唯一確定，而任一實對稱矩陣都可以化成一對角矩陣，相應的任一實二次型都可以化為標準型。在高等代數(shù)課本中介紹了將實二次型化為標準型的兩種方法:配方法和正交變換法;此外，由于任意矩陣可以利用初等變換化為對角矩陣，因此也可用初等變換法將二次型化為標準型.通過典型例題，更能體會在處理二次型問題時的多樣性和靈活性，我們應熟練掌握各種方法.以下就是幾種方法的簡單介紹，并且又提出了一種新的方法：雅可比方法。我們在解決二次型問題時可對它們靈活應用.二、 二次型及其矩陣表示 在解析幾何中，我們看到，當坐標原點與中心重合時，一個有心二次曲

4、線的一般方程是 . (1）為了便于研究這個二次曲線的幾何性質,我們可以選擇適當?shù)慕嵌?，作轉軸（反時針方向轉軸) （2）把方程（1）化成標準方程.在二次曲面的研究中也有類似的情況。 （1)的左端是一個二次齊次多項式.從代數(shù)的觀點看，所謂化標準方程就是用變量的線性替換(2）化簡一個二次齊次多項式,使它只含平方項。二次齊次多項式不但在幾何中出現(xiàn)，而且數(shù)學的其他分支以及物理、力學中也常會碰到?，F(xiàn)在就來介紹它的一些最基本的性質。 設p是一數(shù)域,一個系數(shù)在數(shù)域p上的的二次齊次多項式稱為數(shù)域p上的一個n元二次型，或者在不致引起混淆時簡稱二次型. 設；是兩組文字,系數(shù)在數(shù)域p中的一組關系式 (4）稱為由到的一

5、個線性替換，。如果,那么線性替換（4）就稱為非退化的. 在討論二次型時，矩陣是一個有力的工具，因此把二次型與線性替換用矩陣來表示.另,ij. 由于，所以=它的系數(shù)排成一個nn矩陣它就稱為二次型的矩陣。顯然它是對稱矩陣。令 于是二次型可寫成=非退化線性替換可以表示成x=cy三、化二次型為標準形的方法之一:配方法定理：數(shù)域p上任意二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和的形式，即標準形。證明：下面的證明實際就是一個具體的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。 我們對變量的個數(shù)做數(shù)學歸納法. 對于n=1，而二次型就是已經(jīng)是平方和的形式了.現(xiàn)假定對n1元二次型，定理的結論成立。再假設（=）分三

6、種情況來討論：1)（i=1，2，n）中是少有一個不為零，例如0.這時=+=+2+=+=+，這里=-+是一個的二次型。令即這是一個非退化線性替換，它使=+.有歸納法假定，對有非退化線性替換能使它變成平方和。于是非退化的線性替換就使變成=由歸納法，即證.2）所有都等于0，但至少一（j1），不是一般性，設。令它是非退化線性替換，且使= = =這時上式右端是的二次型，且的系數(shù)不為0，屬于第一種情況，定理成立。3）由于對稱性,有這時是n1元二次型.根據(jù)歸納假設，它能用非退化線性替換變成平方和。 這樣就完成了定理得證明。說明：雖然配方法是基礎方法，但在應用化簡二次型時比較麻煩。配方法需要通過觀察來配方，對

7、初學者來講，具有一定的盲目性.四、化二次型為標準形方法之二：合同變換法（初等變換法）由上述配方法即得：定理 在數(shù)域p上,任意一個對稱矩陣都合同于以對角矩陣。即對于任意一個對稱矩陣a，都可以找到一個可逆矩陣c使成對角形。也即任意對稱矩陣都可用同樣類型的初等行變換和初等列變換化成與之合同的對角矩陣。典型例題：用合同變換法化二次型為標準型，并寫出非退化的線性替換。解:的矩陣為a= 以下為合同變換過程： 因此d=，c=令x=cy，得=五、 化二次型為標準形方法之三：正交變換法(實二次型）利用歐式空間的理論,我們得到這樣的結論:對于任意一個n級是對稱矩陣a,都存在一個n級是正交矩陣t，使 成對角形.定理

8、 任意一個實二次型 （=）都可經(jīng)過正交的線性替換變成平方和=其中平方項系數(shù)就使矩陣a的特征多形式全部的根. 因此只要求出特征根，二次型標準形也就求出來了。正交變換更具實用性.如：典型例題：作直角變換，把下述二次曲面方程化成標準方程，并指出它是什么二次曲面?解：此方程左端的二項式部分為： =下把它正交替換成標準型：它的矩陣a=(）（）()a的全部特征值是2,5，1對于特征值2，求出（2ea）x=0的一個基礎解系:把單位化，得對于特征值5，求出(5e-a)x=0的一個基礎解系:把單位化，得對于特征值-1，求出（e-a）x=0的一個基礎解系：把單位化，得令t=，則t是正交矩陣，且令，則=所以原二次型

9、在新的直角坐標系中的方程為:=1由此看出，這是單葉雙曲面。六、化二次型為標準形方法之四：雅可比方法(一)相關定義1、 雙線性函數(shù)定義v是數(shù)域p上一個線性空間，f(,）是v上一個二元函數(shù)，即對v中任意兩個向量、,根據(jù)f都唯一地對應于p中一個數(shù)f（，)。如果f(,)有下列性質：1） f（,+）=2） 其中是v中任意向量，是p中任意數(shù)，則稱f（,）為v上的一個雙線性函數(shù)。 例如：歐式空間v的內(nèi)積是v上雙線性函數(shù)。2、 對成雙線性函數(shù)的定義 f(，) 線性空間v上的一個雙線性函數(shù)，如果對v中任意兩個向量，都有f（，）=f（,）,則稱f（,)為對稱雙線性函數(shù)。3、 度量矩陣定義 設f（，）是數(shù)域p上n維

10、線性空間v上的一個雙線性函數(shù)。是v的一組基，則矩陣叫做f(，）在下的度量矩陣。 結論：雙線性函數(shù)是對稱的,當且僅當它在任一組基下的度量矩陣是對稱矩陣.（二)化二次型為標準型的雅可比方法 設v是數(shù)域p上一個n維線性空間，取定v的一組基,令=,=，x=，y=,那么給定一個f上的n元二次型（其中a是n階對稱矩陣），則由a可以定義一個v上對稱雙線性函數(shù)f（,)= ，其中。反之亦然.在固定的基下，二次型和對稱雙線性函數(shù)f(，）=是互相唯一確定的(都是由a確定的）。 這種方法的中心問題是:對在v的基下游二次型確定的對稱雙線性函數(shù)f(,）=，滿足條件=0,對ij(i,j=1,2,，n) 我們知道，設是v的另

11、一組基,而b=是f（,）關于這個基的矩陣，又設c=是由基到基的過渡矩陣,即=，i=1，n那么 b=, （1)即一個雙線性函數(shù)關于v的兩個基的兩個矩陣式合同的。 由于任一對稱矩陣必能合同于對角矩陣。設可逆矩陣c使成對角陣，b=， (2)再設c是基到基的過渡矩陣，由（1）式知，f(,)關于基的矩陣是對角矩陣（2）式,即=0，對ij（i，j=1，2,n)這表明，對于每一個對稱雙線性函數(shù)f(,），都存在一個適當?shù)幕?使它可以寫成如下形式f（,）=,其中，從而它所確定的二次型可以寫成標準形=且二次型化為所作的非退化線性替換為x=cz，其中c是由基到基的過渡矩陣，它使=b。于是，化二次型為標準形的問題就可

12、以歸結為上述關于對稱雙線性函數(shù)的“中心問題”，為此,需要尋找滿足條件（2）得v的一個基。 在中,從一個基出發(fā)，利用施密特正交化方法，可以構造一個與之等價的正交基.該方法的實質就是設然后用待定系數(shù)法求使得=0（其中 ij，i,j=1，2，n）的系數(shù)。為此我們先解決下問題：1）設v是數(shù)域p上一個n維線性空間，f（，)=使v上對稱雙線性函數(shù)，其中是v的一組基，=,=，x=，y=，a是n階對稱矩陣，那么從基出發(fā)，是否能構造如下形式的基：使得 =0，對ij(i，j=1,2，,n) 解:將代入得=，所以,若對任意的i及ji有=0，則對ji，也有=0，又因雙線性函數(shù)f（，）是對稱的,則對ji,有=0，即是所

13、求的基。于是，問題歸結為求待定系數(shù)使向量 (3）滿足條件 =0，j=1，2,i1 （4）顯然，若滿足=0，則的數(shù)量倍也滿足=0，故為了確定，我們再要求滿足條件=1。 (5） 這樣，可以利用條件（4）（5）唯一確定了，將（3)式代入（4）和(5）,得到關于的線性方程組 （6)這方程組的系數(shù)行列式為。因此，當0時，方程組（6)由唯一解，從而可求得向量。于是,當a=的順序主子式=，=，=都不等于0時，可以由方程組（6）求出向量，i=1，2，n2）由1）可知，在0，i=1，2,，n的情形下，由方程組（6)可求出上三角矩陣c=，從而由（3）式求得,i=1，2，n，它們滿足=0，對ij，i，j=1，2，,

14、n使得雙線性函數(shù)f(,）關于基的矩陣為b=，是對角矩陣，由此可見，二次型可經(jīng)非退化線性替換x=cz，化成標準形=其中x=，z=。下面計算=i=1，2，,n，由（3）（4)（5）可得 =再由克拉默法則，由方程組(6）可解得=（其中令=1)。因此,=，i=1,2，n綜上所述，我們可得以下結論：設二次型（其中=)中，順序主子式,， 都不等于零,則該二次型必可化為下面的標準形：其中=1。這個化二次型為標準形的方法稱為雅可比方法。典型例題:用雅可比方法化二次型為標準型，并寫出非退化的線性替換。=解：由于矩陣a=，它的順序主子式=2，=，=都不等于零,故可用雅可比方法。 設，,雙線性函數(shù)f（,）關于基,，

15、的矩陣為a,則a=設系數(shù)可由條件=1求出，即=2=1故=，故有=系數(shù)可由方程組求出，得，故=系數(shù)可由方程組求出，得，故由此可得，由基，到的過渡矩陣為c=因此經(jīng)線性替換x=cz化成標準型=（三）雅可比方法在判定二次型的正定性問題上的應用1）實二次型=是正定的充要條件是:矩陣a的順序主子式,，, 全大于零；2）實二次型=是負定的充要條件是：證:1）必要性顯然成立,下正充分性。由于矩陣a的順序主子式全大于零，故該二次型必可化為 由于0（i=1,2，。.，n），故該二次型的正慣性指數(shù)等于n,所以它是正定的.2）證明與1）類似，只是因故0（i=1，2，。.，n)所以該二次型的負慣性指數(shù)等于n,是負定的。

16、七、小結 化二次型為標準形的方法最基本的就是上述這些方法,當然還有其他許多比較靈活的方法來解決特殊的二次型問題，這里就不一一詳述.本科階段只需熟練掌握并靈活應用上述方法,綜合代數(shù)和幾何知識靈活解決問題。對于初學者來說，配方法是最基礎的方法，它的原理很容易被學生消化吸收，因此，這種方法需要熟練掌握,靈活應用。配方法是推導二次型重要理論的基礎，要熟悉它的推導過程。對于簡單的二次型也可以靈活使用合同變換法，有時候這種方法更具簡便性，節(jié)約計算量和計算時間。正交變換法由于具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點而備受青睞.在用正交變換法化二次型為標準型中,如何求正交矩陣是一個難點,常見的求法只有一種，求解過程大致如下：先用二次型矩陣a的特征方程求出a的n個特征值，然后通過直接求矩陣方程的基礎解系，得到對應于征值的線性無關的特征向量,再用施密特正交化過程將它們正交化、單位化,進而得到n個兩兩正交的單位特征向量，最后由這n個兩兩正交的單位特征向量構成正交矩陣,即得所要求的正交變換和對應的標準型。這種方法綜合性比較強,算比較復雜.雅