—倒立擺狀態(tài)反饋系統(tǒng)的建模及matlab仿真復(fù)習(xí)過程

1、精品文檔倒立擺狀態(tài)反饋系統(tǒng)的建模及matlab仿真課題名稱：倒立擺狀態(tài)反饋系統(tǒng)的建模及 matlab 仿真學(xué)生姓名：僅凱學(xué)號(hào)：2011330380229班 級(jí)：電氣工程及其自動(dòng)化2班指導(dǎo)老師：高金鳳2 0 13年12月20日倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行 控制理論教學(xué)及開展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的 研究能有效的反映控制中的許多典型問題： 如非線性問題、魯棒性問 題、鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等。通過對(duì)倒立擺的控制，用 來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能 力。同時(shí)，其控制方法在軍工、航天、機(jī)器人和一般工業(yè)過程領(lǐng)域中都有著廣泛

2、的用途，如機(jī)器人行走過程中的平衡控制、 火箭發(fā)射中 的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。故其研究意義廣泛。倒立擺系統(tǒng)的建模1. 系統(tǒng)的物理模型如圖1所示，在慣性參考系下，設(shè)小車的質(zhì)量為 M擺桿的質(zhì)量 為m擺桿長(zhǎng)度為I,在某一瞬間時(shí)刻擺角（即擺桿與豎直線的夾角） 為，作用在小車上的水平控制力為f。這樣，整個(gè)倒立擺系統(tǒng)就受到重力，水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用2.精品文檔在系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中，本文首先假設(shè)：(1) 擺桿為剛體;(2) 忽略擺桿與支點(diǎn)之間的摩擦；(3) 忽略小車與導(dǎo)軌之間的摩擦。然后根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，求得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為dt2dt2(1)2d (x +丨 sin 0 )ml

3、cos2mgl sin vdt2方程(1)，(2)是非線性方程，由于控制的目的是保持倒立擺直立，在施加合適的外力條件下，假定很小，接近于零是合理的。則sin八，cos八1.在以上假設(shè)條件下，對(duì)方程線性化處理后，得到倒 立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：M m X ml# 二 f( 3)ml2# mlX = mglr(4)3.系統(tǒng)的狀態(tài)方程以擺角0 ,角速度0 ,小車的位移x ,速度x為狀態(tài)變量，輸出為y即令:則一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:X1 = X2 ；M m1X?gx1 -M1M10 10 0 =-0 1M +mc cxj1g 000M1X2+M10 0 0 1X30m g000X4 一1.M y-

4、一 M 一Xi即：200XiX2X3.0 0控制器設(shè)計(jì)及matlab仿真1.極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋的基本原理單級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)， 當(dāng)?shù)沽[出現(xiàn)偏角后, 若不給小車施加控制力，倒立擺會(huì)向左或向右傾倒。所以本文采用極 點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控制器的目的都是通過調(diào)節(jié)水平力的大小來控制小車 的運(yùn)動(dòng)，使倒立擺處于平衡位置。極點(diǎn)配置的方法就是通過一個(gè)適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣的狀態(tài)反饋方法,將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意期望的位置。考慮控制系統(tǒng)：X 二 Ax Bu（ 5）其中x是狀態(tài)向量（n維向量），u是控制信號(hào)（純量），選取控制信號(hào)為：u = -Kx（6）這樣控制信號(hào)是由瞬時(shí)狀態(tài)確定，此方法稱為極點(diǎn)配置狀態(tài)反

5、饋法。圖2為具有u二-Kx的閉環(huán)控制系統(tǒng)。圖2狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)將式(6)代入式(5)得：X t二A-BK x t，該方程的解為：x(t ) = e(ABK)x(0)式中x 0是外部干擾引起的初始狀態(tài)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響 應(yīng)特性由矩陣A-BK的特征決定。如果矩陣K選取適當(dāng)，則可使矩陣 A-BK構(gòu)成1個(gè)漸近穩(wěn)定矩陣，并且對(duì)所有的x 0 - 0 ,當(dāng)t趨于無窮 時(shí),都可使x t趨于0。稱矩陣A-BK的特征值為調(diào)節(jié)器極點(diǎn)。如果這 些調(diào)節(jié)器極點(diǎn)均位于S的左半平面內(nèi)，則當(dāng)t趨于無窮時(shí)，x t趨于0 將閉環(huán)極點(diǎn)配置到所期望的位置，稱為極點(diǎn)配置問題。因而極點(diǎn)配置 狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)最主要就是 K值的

6、計(jì)算。2. 極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。 控制器的目的是使倒立擺 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，即保持倒立擺在垂直的位置，使小車在外力作用下其 位移以較小的誤差跟隨輸入的變化。由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要是由他 的極點(diǎn)位置決定的，同時(shí)容易證明一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)能控而且能觀的系統(tǒng)。因此本文通過極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器來使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。狀態(tài)反饋控制方程為：f=-KxK K2 K3 K4 lx，閉環(huán)系統(tǒng)的 方程為：x = Ax Bf = A BK x。選取所期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置：卩1,a 2,卩 3,卩 4。根據(jù)如下matlab程序可求得狀態(tài)反饋增益 K (假設(shè)小車的質(zhì)量為3 kg ,擺桿

7、的質(zhì)量為0. 1 kg ,擺桿的長(zhǎng)度為0. 5 m),程序如下:M = 3 ; m = 0.1; l = 0.5; g =9.81 ;A21 = (M + m) / M/ l*g;A41 = - m/ M g ;B21 = - 1/ M/ l ;B41 = 1/ M ;A = 0 1 0 0;A21 0 0 0;0 0 0 1;A4100 0 ;B = 0; B21;0 ; B41 ;C = 1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1 ；D = 0 ;M = B A *B AA2*B AA3*B ;J = u 1 0 0 0； 0 u 2 0 0； 0 0 u 3 0 ；

8、0 0 0 u 4；jj = poly (J );Phi = polyvalm (poly (J ) ,A);K = 0 0 0 1 *(i nv (M) )* Phi ;求得：A = 0 1 0 0; 20.4048 0 0 0; 0 0 0 1; - 0.3924 0 0 0 B= 0 ； - 0.6667 ；0 ；0.3333C = 1 0 0 0；0 1 0 0 ；0 0 1 0 ；0 0 0 1 D = 03. MATLAB真MATLAB軟件是目前國(guó)際上最流行、應(yīng)用最廣泛的科學(xué)與工程計(jì) 算軟件，具有高級(jí)的數(shù)學(xué)分析和運(yùn)算能力，可以如上編寫MATLABS序 計(jì)算倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益

9、K ; 同時(shí)還具有強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分 析和仿真能力。以下是用MATLAB件中Simulink工具箱來設(shè)計(jì)仿真 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)。應(yīng)用MATLAB的Simulink設(shè)計(jì)用極點(diǎn)配置控制的一級(jí)倒立擺系 統(tǒng)的仿真模型如圖3所示。圖中State - Space模塊填入了上面程序 計(jì)算所得的A , B , C , D值。然后用1個(gè)Bus Selecto r輸出轉(zhuǎn)角、 角速度、位移和速度4個(gè)量,之后用4個(gè)Gain(分別輸出參數(shù)K ( 1) K (2) K ( 3) K ( 4) 和1個(gè)Sum構(gòu)成狀態(tài)反饋，同時(shí)用示波器輸出 轉(zhuǎn)角、角速度、位移和速度 4 個(gè)量。輸出結(jié)果如圖 4所示。圖3用極點(diǎn)配置控制的一級(jí)倒立擺

10、系統(tǒng)的仿真模型上述狀態(tài)反饋可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所有的狀態(tài)變量都可以穩(wěn)定在零狀態(tài)。 這就意味著即使在初始狀態(tài) 或因存在外界干擾時(shí)，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置導(dǎo)軌中心 ， 依靠該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立，并使小車保持在基準(zhǔn)位 置。相對(duì)平衡狀態(tài)的偏移，得到迅速修正的程度要依賴于指定的特征 根的位置。一般來說，將指定的特征根配置在原點(diǎn)的左側(cè) ，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，控 制動(dòng)作就越迅速，但相應(yīng)地需要更大的控制力和快速的靈敏度。SLm2圖4a和圖4b分別是配置極點(diǎn)為：u1 = - 2 - j2 一，u2 = - 2+ j2 , u3 = -10, u4 = -10和 u1 =

11、- 1- j, u2 = - 1+ j , u3 = - 10 , v4 = - 10 （其中u1 ,u2 是主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)）一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真結(jié)果圖：r=j回emT箔陽日a卞TITime offset t)圖4a圖4b從圖4a和圖4b比較可知,配置極點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，雖然需要相對(duì)大的控制力，但是系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短，即控制動(dòng)作就越迅速，靈敏比較兩圖可知，配置極點(diǎn)為：u1 = - 2 - j2 - ,u2 = - 2 + j2一，u3 = - 10 , u4 = - 10的仿真圖，倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能較好。系統(tǒng)大約在2 s內(nèi)即可達(dá)到穩(wěn)定，過渡過程時(shí)間較短，超調(diào)量也不 大，各控制量的大小都比較合

12、理。四、總結(jié)和心得本文以倒立擺為研究對(duì)象 , 討論了將極點(diǎn)配置在期望的區(qū)域內(nèi)的 狀態(tài)反饋控制方法。從仿真結(jié)果可以看出 , 該方法可以保證系統(tǒng)具有 一定的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能 , 不僅滿足閉環(huán)系統(tǒng)的內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性要求 , 也 兼顧了抑制外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。由此可知 , 極點(diǎn)配置控制方法可 以實(shí)現(xiàn)擺桿的倒立平衡控制。另外，熟悉了對(duì)MATLA軟件的操作 參考文獻(xiàn) 1 曾志新，鄒海明，李偉光等倒立擺的建模及MATLA仿真J . 新技術(shù)新工藝 , 2005, 10: 16218.2 陶文華. 單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制方法研究 C . Proceedings of the 25 st Chinese Control Conference, 2006, 8: 6162619.3 劉衛(wèi)國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用M .北京：高等教育出版社， 2002.4 王樅. 控制系統(tǒng)理論及應(yīng)用 . 北京：北京郵電大學(xué)出版社， 20055 謝克明 . 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) . 北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社， 20006 固高科技（深圳）有限公司，中國(guó)科技大學(xué) . 固高擺系統(tǒng)與自動(dòng) 控制實(shí)驗(yàn)， 2002.7 夏德黔. 自動(dòng)控制理論（