拋物線焦點(diǎn)弦的有關(guān)結(jié)論附答案

1、(1)若43的斜率不存在時(shí),若43的斜率存在時(shí),設(shè)為人則AB:y =與y2 = 2/zv聯(lián)立，得=0k1“)=2px= kx2 -(A:2 + 2)/?x + L：一X2).十盲宀二虧 yC = p4 di =/A很全拋物線焦點(diǎn)弦的有關(guān)結(jié)論知識點(diǎn)1：若AB是過拋物線y2 =2px(p0)的焦點(diǎn)F的弦。設(shè)A(xl9yl B(x2,y2),則:(2)=-/?：證明：如圖,但v0,)小=_/(2)另證：設(shè) AB: x = my + 與 y2 = 2px 聯(lián)立，得 y2 一 2pmy - F = 0,. yxy2 = -F 2知識點(diǎn)2：若AB是過拋物線y2 = 2px(p 0)的焦點(diǎn)F的弦。設(shè)心,沁

2、鳳乃宀)，則(1)AB = Xl+x2 + p; (2)設(shè)直線AB的傾斜角為a,則=-證明：(1)山拋物線的定義知AF = xi+BF = x2+AE = |AF| + BF = Xj +x2 + p(2)若 a = 90，則xx =x2 = y,由(1)知 |AB| = 2p =若a H 90,設(shè) AB : y = k x-，與)2=2“尤聯(lián)立，得k 2 2丿=2pxkx -(k + 2)px + =0X. +總=心2),.嗣| P +總+廠込也X kr:.AB =2/?(l + tan2 a)tan2 a2psin2 a知識點(diǎn)3：若AB是過拋物線b=2Y(0)的焦點(diǎn)F的弦，則以A3為直徑的

3、圓與拋 物線的準(zhǔn)線相切。證明：過點(diǎn)4、B分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為VJAP目,過AB中點(diǎn)M向準(zhǔn)線引垂線，垂足為N,設(shè)以43為直徑的圓的半徑為，()卜 2r = AB = AF + BF = A + BB = 2MN:.MN = r.二以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。知識點(diǎn)4：若43是過拋物線y2 = 2p.x(p 0)的焦點(diǎn)F的弦。過點(diǎn)4、B分別向拋物線1的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為人、幾則ZAFB =90。證明借助于平行線和等腰三角形容易證明71(/B證明：過點(diǎn)4、B分別作準(zhǔn)線的垂線, AAJIKFIIBB、知識點(diǎn)5：若力3是過拋物線y2 = 2px(p 0)的焦點(diǎn)F的弦，拋物線的

4、準(zhǔn)線與x軸相交 于點(diǎn)K,則ZAKF = ZBKF簽嗨而 AF = AABFfB AAA.K s aBQK AAXKA = ZB、KB:.ZAKF = ZB KF知識點(diǎn)6：若AB是過拋物線y2=2/7A（p0）的焦點(diǎn)F的弦，。為拋物線的頂點(diǎn)，連接A0并延長交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C,則BCIIOF.AB : y = x,. C/P-922“丿.v - y-yP* I”)cc2罰2.2112p證明：設(shè)人（“,”）,則由知識點(diǎn)1知兒兒=-/異=y, .BCHOF /)?243的斜率為則l:y = k與y2 =2px 聯(lián)立,=2pxd kH（疋+2加+甲=0逆定理：若A3是過拋物線y2 = 2/7A 0）

5、的焦點(diǎn)F的弦，過點(diǎn)B作BC/OF交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)C,則A、C、O三點(diǎn)共線。證明略 知識點(diǎn)7：若AB是過拋物線y2 = 2px（p 0）的焦點(diǎn)F的弦，設(shè)AF = m,BF=n,則證法：（1）若AB丄x軸，則A3為通徑，而AB = 2p.112m = n = p .+ = innp（2）若AB與x軸不垂直,設(shè)A（X J丄3（乃,y2），血2+2)k2由拋物線的定義知也= AF = x+n = BF = x2+2 211 m + nI=m n nuix +x2+ p州心+彳（州+廠）+-知識點(diǎn)8：已知拋物線y2 = 2px（p 0）中，A3為其過焦點(diǎn)F的弦,AF = mBF = ny則證明：設(shè)AAF

6、x=O.則=SmOF21廣mn冷冷.“(_&)+*今sine=-j(/h + /?)sin 0而 m =. n =,/. nui = ,二 sin & =1-cosOl + cos&sirr &逆定理：已知拋物線于=2/銳0）中，43為其弦且與x軸相交于點(diǎn)M ,若，則弦人3過焦點(diǎn)。AM = m, BM = n,且 S 火川而 sin遼 sin四sinnnm證明：設(shè)禮勺,”)，3(丫2*2)，M(/,0),貝！|Smob =S“OM + S 1 s ill ( - = i (m + n)ts in 0= *(? + , 二 =+ 終凹/J-y2mn 2 Jmn/Jn =p22I :x = ay

7、+q乂可設(shè) 2= -2pay-2pt = 0* = 2px J小=一2以由得V:.AB恒過焦點(diǎn)(彳,0例1、過拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)做直線交拋物線于A(xl,ylB(x2,y2)兩點(diǎn)，如果x, + x, = 6 ,那么|AB|=. 8變式：過拋物線r =4%的焦點(diǎn)做直線交拋物線于兩點(diǎn)，如果AB = S, 0為坐標(biāo)原點(diǎn),則OAB的重心的橫坐標(biāo)是. 2例2、直線/經(jīng)過拋物線/= 2(/7 0)的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于兩點(diǎn)，由A,3分別向準(zhǔn)線引垂線AA.BB 垂足分別為AB如果AB =a ,。為A3的中點(diǎn)，則QF = (用表示)-2變式：直線/經(jīng)過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于兩點(diǎn)，由A,3分別 向準(zhǔn)線引垂線AA：BB ,垂足分別為A：B ,如果AR = aBF = b, 0為人3的中點(diǎn)， 則QF =.(用心表示)如嚴(yán)例3、設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,過焦點(diǎn)的直線/交拋物線r =4x于兩點(diǎn)，OAOB = _ -3例4過拋物線y2 = cixa 0)的焦點(diǎn)F作