信號與系統(tǒng)復習資料有限單位沖激響應(yīng)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法課件

1、 FIR 濾波器濾波器 -1- 第七章第七章 FIR濾波器的設(shè)計濾波器的設(shè)計 FIR 濾波器濾波器 -2- IIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 可以利用模擬濾波器設(shè)計可以利用模擬濾波器設(shè)計, 但相位非線性但相位非線性. FIRFIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性 因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng) 可用可用FFT計算計算 但階次比但階次比IIR濾波器要高得多濾波器要高得多 FIR 濾波器濾波器 -3- 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 n線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 n窗函數(shù)設(shè)計法窗函數(shù)設(shè)計法 FIR 濾波器濾波器 -4- 7.1 引言引言

2、一、一、 FIR濾波器的主要特點：濾波器的主要特點： r 單位沖激響應(yīng)只有有限多項單位沖激響應(yīng)只有有限多項 r 可以設(shè)計成線性相位系統(tǒng)可以設(shè)計成線性相位系統(tǒng) r 只在原點處有極點，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的只在原點處有極點，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的 r 便于便于DSPDSP實現(xiàn)實現(xiàn) FIR 濾波器濾波器 -5- 二二. FIR與與IIR相比較：相比較： u 首先首先FIR在相頻特性控制上可以做到線性相位，在相頻特性控制上可以做到線性相位， IIR而不能確保這一點，這一點在通信等領(lǐng)域中而不能確保這一點，這一點在通信等領(lǐng)域中 要求卻很重要；要求卻很重要； u 其次，其次，F(xiàn)IR不存在穩(wěn)定性問題，其非遞歸結(jié)構(gòu)不不

3、存在穩(wěn)定性問題，其非遞歸結(jié)構(gòu)不 會產(chǎn)生有限精度問題；會產(chǎn)生有限精度問題； u 最后，最后，F(xiàn)IR還可用還可用FFT來實現(xiàn)。故來實現(xiàn)。故FIR應(yīng)用越來應(yīng)用越來 越多。越多。 FIR 濾波器濾波器 -6- 三三. 線性相位設(shè)計的重要性線性相位設(shè)計的重要性 1 1. . 信號經(jīng)過系統(tǒng)后會產(chǎn)生相移信號經(jīng)過系統(tǒng)后會產(chǎn)生相移 時間時間 t 幅幅 度度 相移相移 90o 時間時間 t 幅幅 度度 原始信號原始信號 x(t) 系統(tǒng) y(t) 時間時間 t 相移相移 180o 幅幅 度度 FIR 濾波器濾波器 -7- 2 2、系統(tǒng)非線性相移造成輸出信號失真系統(tǒng)非線性相移造成輸出信號失真 d d)( )( 1 2

4、 時時 延延 1 2 時時 延延 1 2 ( ) 1 2 ( ) 系統(tǒng)相頻特性決定了信號的不同頻率分量的時延系統(tǒng)相頻特性決定了信號的不同頻率分量的時延 線性相位：時延與線性相位：時延與 頻率無關(guān)，為常數(shù)頻率無關(guān)，為常數(shù) 非線性相位：時延與非線性相位：時延與 頻率有關(guān)，非常數(shù)頻率有關(guān)，非常數(shù) FIR 濾波器濾波器 -8- 不產(chǎn)生相移失真的條件：不產(chǎn)生相移失真的條件：x1, x2 經(jīng)過系統(tǒng)后產(chǎn)生的延經(jīng)過系統(tǒng)后產(chǎn)生的延 遲應(yīng)相等。遲應(yīng)相等。 01 0 0 220 由 10 20 2 ( )d d （ ） 20 12 10 ( )si ( ) ( )( ) n(2) n ) i) ( s ( x tb

5、t x tx tx x tat t 2202 1011 12 sin(2) si ( )( ) n ( ) () xyA a y ty ty t xyA at t 系統(tǒng)系統(tǒng) FIR 濾波器濾波器 -9- 3 3、要求線性相位的例子、要求線性相位的例子 n通信系統(tǒng)：通信系統(tǒng)：調(diào)制解調(diào)器、綜合業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)網(wǎng)調(diào)制解調(diào)器、綜合業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)網(wǎng) （ISDN）等。等。 n希爾伯特變換器：希爾伯特變換器：要求輸入輸出信號正交。要求輸入輸出信號正交。 n高保真音響系統(tǒng)：高保真音響系統(tǒng)：音樂的相位失真必須減到音樂的相位失真必須減到 最小，盡可能逼真地重現(xiàn)原來的聲音。最小，盡可能逼真地重現(xiàn)原來的聲音。 n理想微分器：理想微

6、分器： FIR 濾波器濾波器 -10- n線性相位要求：線性相位要求： 4 4、線性相位的、線性相位的FIRFIR濾波器設(shè)計基礎(chǔ)濾波器設(shè)計基礎(chǔ) constant )( d d g ( ) g - 系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲 FIR 濾波器濾波器 -11- 7.2 線性相位線性相位FIR濾波器特點濾波器特點 FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)：濾波器的單位沖激響應(yīng)： ( )01h nnN 1 0 ( )( ) N n n H zh n z 系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)： 在在 z 平面有平面有N 1 個零點個零點 在在 z = 0 處是處是N 1 階極點階極點 FIR 濾波器濾波器 -12- 一線性相位特點一線性相

7、位特點 命題：設(shè)命題：設(shè)FIRFIR單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h( (n) )為實序列，為實序列， 且滿足偶對稱（或奇對稱）條件：且滿足偶對稱（或奇對稱）條件： ( )()orh nh Nn 1 ( )()h nh Nn 1 () ( )()( ) jj h nH eHe ( )() N 1 2 () ( ) N or 1 22 則：則： (N-1)/2 FIR 濾波器濾波器 -13- 線性相位分析線性相位分析 )1()(nNhnh 11 00 11 1(1)(1) 00 ( )( )(1) ( )( ) NN nn nn NN m NnNmNm mm H zh n zh Nn z h m zz

8、h m z )()( 1) 1( zHzzH N 證明：證明：1 1. .偶對稱時：偶對稱時： 即：即： H(z-1) FIR 濾波器濾波器 -14- () ( )( )() N H zH zzH z 11 1 2 () ( ) N nNn n h nzzz 1 1 0 1 2 所以有所以有： NNN N nn n zh nzz (1)(1)(1) 1 ()() 222 0 11 ( ) 22 () ( )() N H zzH z 11 FIR 濾波器濾波器 -15- () () ()( )cos() N N j j n N H eeh nn 1 1 2 0 1 2 ()()() ()() (

9、 )( ) NNN N nn n H zzh nzz 111 1 222 0 11 22 () () () () ()( )cos() j N N j j n e H N H eeh nn 1 1 2 0 1 2 cos x 為耦函數(shù)為耦函數(shù) z=ej () ( ) N 1 2 顯然顯然 cos 2 jxjx ee x FIR 濾波器濾波器 -16- 則則 為線性相位為線性相位, , 2 ) 1( )( N 其物理意義：其物理意義： 該該FIR有有(N-1)/2個個 采樣周期的群時延。采樣周期的群時延。 () ( )( )cos() N n N Hh nn 1 0 1 2 (1) FIR 濾波

10、器濾波器 -17- 線性相位分析線性相位分析 2 2奇對稱時奇對稱時 )1()(nNhnh 11 00 11 1(1)(1) 00 ( )( )(1) ( )( ) NN nn nn NN m NnNmNm mm H zh n zh Nn z h m zzh m z )()( 1) 1( zHzzH N 即即 FIR 濾波器濾波器 -18- 所以有：所以有： N H zH zzH z (1)1 1 ( )( )() 2 1 0 ) 1( )( 2 1N n nNn zzznh )()( 1) 1( zHzzH N NNN N nn n zh nzz (1)(1)(1) 1 ()() 222 0

11、 11 ( ) 22 FIR 濾波器濾波器 -19- 線性相位分析線性相位分析 () () ( )sin() N N j n N jeh nn 1 1 2 0 1 2 () () () () ()( )sin() j N N jj j n e H N H eeh nn 1 1 0 22 1 2 ()()() ()() ( )( ) NNN N nn n H zzh nzz 111 1 222 0 11 22 () () ()( )sin() N N j j n N H ejeh nn 1 1 2 0 1 2 sin x 為奇函數(shù)為奇函數(shù) z=ej sin xx ee x j 2 FIR 濾波器

12、濾波器 -20- q物理意義：物理意義： l有有( (N-1)/2N-1)/2個采樣周期的群個采樣周期的群 時延，時延， l信號通過此類信號通過此類FIR時，所有頻時，所有頻 率成份都有率成份都有90900 0相移，稱為正相移，稱為正 交變換。交變換。 則則 為線性相位為線性相位 () ( ) N 1 22 N n N Hh nn 1 0 (1) ( )( )sin() 2 (2) /2/2 FIR 濾波器濾波器 -21- 為線性相位為線性相位 N (1) ( ) 2 () ( )( )cos() N n N Hh nn 1 0 1 2 (1) u h(n)=h(N-1-n) 偶對稱偶對稱 u

13、 h(n)= - h(N-1-n) 奇對稱奇對稱 為線性相位為線性相位 () ( ) N 1 22 () ( )( )sin() N n N Hh nn 1 0 1 2 (2) FIR 濾波器濾波器 -22- 二幅度特點二幅度特點 1. h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù) 對（對（1）式）式 1 0 1 ( )( )cos() 2 N n N Hh nn 由于由于)()1(nhnNh )( )()( jj eHeH ()/ ( )()( )cos() 32 0 11 2 22 N n NN Hhh nn 得得: : 關(guān)于（N-1)/2偶對稱 ()/ ()()cos 1 2 1 21 11

14、2 22 N m N m n NN hhmm 關(guān)于（N-1)/2偶對稱 FIR 濾波器濾波器 -23- 線性相位濾波器的幅度特點線性相位濾波器的幅度特點 (1)/2 0 ( )( )cos() N n Ha nn 111 (0)(),( )2 (),(1, 2,) 222 NNN aha nhnn 其中其中: : (1)/2 1 11 ( )()2 ()cos 22 N m NN Hhhmm FIR 濾波器濾波器 -24- ncos2 , 0 )(H2 , 0 由于由于 對對 是偶對稱的。是偶對稱的。 因此，因此， 對對 為偶對稱。為偶對稱。 有采樣有采樣 對低通、高通、帶通及帶阻均適用。對低

15、通、高通、帶通及帶阻均適用。 FIR 濾波器濾波器 -25- 線性相位濾波器的幅度特點線性相位濾波器的幅度特點 ()/ ( )()( )cos() N n NN Hhh nn 32 0 11 2 22 / ( )( )cos() 2 1 0 1 2 2 N n N Hh nn /2 1 1 ( )( )cos() 2 N n Hb nn ( )(),(, ,) NN b nhnn21 2 22 2. h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù) () N h 1 2 由于由于N為偶數(shù)為偶數(shù) 不存在，因此 / / ()cos() 2 1 2 1 2 22 n Nm N m N hmm 若若N為奇數(shù)，則

16、為奇數(shù)，則 前前N/2N/2項之項之 和的和的2 2倍倍 FIR 濾波器濾波器 -26- 不適合高通（帶阻）不適合高通（帶阻） 適合低通、帶通適合低通、帶通 由于由于 時，時， 且對且對 呈奇對稱。因此，呈奇對稱。因此， 對對 呈奇對稱。呈奇對稱。 并有并有: : 1 cos()0 2 n () |)H 0 )(H FIR 濾波器濾波器 -27- 線性相位濾波器的幅度特點線性相位濾波器的幅度特點 ()/ ( )sin() N n N h nn 32 0 1 2 2 (1)/2mNn )1()(nNhnh ) 2 1 (| )1() 2 1 ( 2 1 N hnNh N h N n 1 0 1

17、()( )sin() 2 N n N Hh nn 0) 2 1 ( N h 3、h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù) 所以有：所以有： 關(guān)于（關(guān)于（N-1)/2奇對稱奇對稱 乘積偶對稱乘積偶對稱 FIR 濾波器濾波器 -28- (1)/2 1 ( )( )sin N n Hc nn 1 2 1 1 2 2 ()/ ()sin N m N hmm 其中其中, , 1 21 212 2 ( )()(, ,()/ ) N c nhnnN FIR 濾波器濾波器 -29- 線性相位濾波器的幅度特點線性相位濾波器的幅度特點 適合帶通適合帶通 不適合低通、高通不適合低通、高通 1 nsin 2 , 0由于

18、由于 在在 均為均為0 0并對這些點呈奇對稱。并對這些點呈奇對稱。 FIR 濾波器濾波器 -30- 線性相位濾波器的幅度特點線性相位濾波器的幅度特點 )1()(nNhnh ( )( )sin() 1 0 1 2 N n N Hh nn /2 1 0 1 2 ( )sin() 2 N n N h nn /nNm2 / ()sin() 2 1 1 2 22 N m N hmm ( )()(, ,/ ) N d nhnnN21 22 2 其中：其中： 對（對（2 2）式）式 4. h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù) /2 1 1 ( )( )sin() 2 N n Hd nn FIR 濾波器濾波

19、器 -31- 線性相位濾波器的幅度特點線性相位濾波器的幅度特點 由于由于 在在 處為處為0 0。 因此，因此， 對對 也為也為0 0且呈奇且呈奇 對稱。對稱。 2 , 0 0, 2 ) 2 1 (sinn )(H 帶通、高通帶通、高通 不適合低通不適合低通 無采樣 FIR 濾波器濾波器 -32- 四種線性相位FIR濾波器(p330 表7-1） 相位特性輔助序列適用幅度特性及特點 1 )( 0 )(nh )1(nNh 1 2 ( ) N N為奇數(shù) 1 (),0 2 ( ) 11 2 (),1 22 N hn a n NN hnn nnaH N n 2 1 0 cos)()( 呈偶對稱，對20 2

20、 N為偶數(shù) ( )2 () 2 N b nhn 2 1 N n ) 2 1 (cos)()( 2 1 nnbH N n 處必有零點在 呈奇對稱對 1)( zzH )(nh)1(nNh 1 22 ( ) N )( 0 2 3 N為奇數(shù) 1 ( )2 () 2 N c nhn 2 1 1 N n nncH N n 2 1 1 sin)()( 呈奇對稱，對20 處必有零點在1)(zzH 4 N為偶數(shù) ( )2 () 2 N d nhn 2 1 N n ) 2 1 (sin)()( 2 1 nndH N n 呈奇對稱，對20 處必有零點在1)(zzH 低通 帶通 帶通 高通 帶通 低通 高通 帶通 帶

21、阻 偶偶 對對 稱稱 奇奇 對對 稱稱 FIR 濾波器濾波器 -33- 證：證： 為實序列，為實序列， 若存在若存在 使得使得 。 則必存在則必存在 使得使得 （由由( (A)A)式可知式可知）。）。 由于由于 是實序列，對是實序列，對 也必定是也必定是 的零的零 點，即點，即 ，類似地，類似地由由(A)式式 。 )(zH )(zH )(nh )(nh i z 0)( i zH 1 i z 0)( 1 i zH i z ( /) i Hz10 0)( i zH 三、零點特性三、零點特性 線性相位線性相位FIRFIR傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 滿足滿足 若若h(n)h(n)是實序列，則是實序列，則 的零點是互為倒數(shù)的共的零點是互為倒數(shù)的共 軛對軛對( (關(guān)于單位圓鏡像對稱）關(guān)于單位圓鏡像對稱） )(zH )(zH )()()( 1)1( AzHzzH