圓與方程(A級).學(xué)生版

1、高考要求知識框架內(nèi)容要求層次重難點圓的方程圓的標(biāo)準方程與一般方程C1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準方程 與一般方程2.能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问?，利?待定系數(shù)法求出圓方程， 結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解 決與圓有關(guān)的問題直線與圓的位置關(guān)系C兩圓的位置關(guān)系B圓的標(biāo)準方程與一般方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系知識內(nèi)容1. 圓的標(biāo)準方程(1) 以點 C(a,b) 為圓心， r 為半徑的圓的方程： (x a)2 (y b)2 r 22)圓心在原點的圓的標(biāo)準方程：x2 y2 r 2初中圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點是圓心， 定長是圓的半徑 現(xiàn)求以 C(a,b)為圓心

2、，以 r 為半徑的圓的方程可根據(jù)兩點間的距離公式，設(shè)點M(x,y)是圓 C上任意一點， 由兩點間的距離公式，則 (x a)2 (y b)2 r ，則化簡后得圓的標(biāo)準方程高中數(shù)學(xué) .圓方程( A 級) .學(xué)生版Page 1 of 82. 圓的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 ，( D2 E2 4F 0 )說明：(1) x2和 y 2項的系數(shù)相等且都不為零；(2) 沒有 xy 這樣的二次項(3) 表示以 ( D , E) 為圓心，2221 D2 E2 4F 為半徑的圓2 2 D教師備案 (1)當(dāng) D 2 E2 4F 0時，方程 只有實根 x ， y2方程表示一個點 ( D , E)22(2)

3、當(dāng) D2 E2 4F 0 時，方程 沒有實根，因而它不表示任何圖形 3直線與圓的位置關(guān)系 將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，利用消元法消去一個元后，得到關(guān)于另一個元的一元二次方程，求 出其 的值，然后比較判別式與 0 的大小關(guān)系，若0 ，則直線與圓相離若0 ，則直線與圓相切若0 ，則直線與圓相交教師備案 過圓 x2 y2 r2上一點 (x0, y0 )的切線方程為 x0x y0y r2M(x0,y0) 的切線方程解：當(dāng)點 M 不在坐標(biāo)軸上時，設(shè)切線的斜率為 k，半徑 OM 的斜率為 k1 ，圓的切線垂直于過切點的半徑， k1，又k1 y0，kx0 ，k1x0y0經(jīng)過點 M 的切線方程是 y y

4、0x0 (x x0) ，y0整理得： x0 x y0y x02 y02 ，又點 M (x0, y0 )在圓上， x02 y02 r2，所求的切線方程是 x0x y0y r2 當(dāng)點 M 在坐標(biāo)軸上時，可以驗證上面的方程同樣適用高中數(shù)學(xué) .圓方程( A 級) .學(xué)生版Page 2 of 8例題精講圓的方程【例 1】 已知圓的方程為 x2 y2 6x 4y 9 0 ，則圓心坐標(biāo)為 ，圓的半徑為 【例2】 求圓心在直線 y 2x 3上，且過點 A（1，2） ， B（ 2,3）的圓的方程 22【例 3】 已知圓 C :x y 2x ay 3 0（a R） 上任意一點關(guān)于直線 l :x y 2 0 的對稱

5、點都在圓 C 上， a 例 4】 已知一圓的圓心為點 （2 ， 3） ，一條直徑的兩個端點分別在 x 軸和 y 軸上，求此圓的方程例 5】 圓 x2 y2 2x 2y 0 的周長是（ ）A 2 2B 2C 2D 4 例 6】 如果圓的方程為 x2 y2 kx 2y k2 0 ，那么當(dāng)圓面積最大時，圓心坐標(biāo)為（）A（ 1，1）B（1， 1）C（ 1，0）D（0，1）例 7】 點（ 2a,a 1）在圓 x2 y2 2y 4 0的內(nèi)部，則 a 的取值范圍是例 8】 以點 A（ 5, 4） 為圓心，且與 x 軸相切的圓的標(biāo)準方程為（ ）A （x5）2（y4）216B （x5）2（y4）2162 2 2

6、 2C（x5）2（y4）225D （x5）2（y4）225高中數(shù)學(xué) .圓方程（ A 級） .學(xué)生版Page 3 of 8例 9】 若 a R ，則動圓 x2 y2 2ax 4ay 5a2 1 0 的圓心滿足的方程為（）22A x y 1C y 2x 022B x y 2D x 2y 0例 10】 設(shè) k 0 ，則動圓 (x k)22(y 2k)2 9的圓心的軌跡恒過點(A(1, 2)B ( 1, 2) C (2, 1)D ( 2, 1)直線與圓的位置關(guān)系例 11】 直線 x y 1 0 與圓 xy2 1 的位置關(guān)系是(A相切B直線過圓心C直線不過圓心但與圓相交D相離例 12】 圓 x2 2x

7、y24y 3 0 上到直線 x y 10的距離為 2 的點共有(B2 個C3 個D4個例 13】 判斷直線 2x y 1 0 和圓 x2A相交但直線不過圓心B相交且直線過圓心y2 2mx 4my m2 1 0 的位置關(guān)系，結(jié)論為(C相交或相切D相交、相切或相離例 14】自 點 P 6， 4 向 圓 x2 y220引割線，所得弦長為6 2，則這條割線所在直線的方程例 15】 若 圓 x24x 4y 100 上至少有三個不同點到直線l ： y kx 的距離為 2 2 ，則 k 的取值范圍是 高中數(shù)學(xué) .圓方程( A 級) .學(xué)生版Page 4 of 8圓的切線例 16】過點 A（4，1）的圓 C與

8、直線 x y 1 0相切于點 B（2 ，1） 則圓 C 的方程為例 17】圓心在 x 軸上，且與直線x 切于 1,1 點的圓的方程為例 18】若 直線 yx b 與圓 x22 相切，則 b 的值為BC2D22例 19】若 直線 axby 30 與圓4x 1 0 切于點P(1，2)，則 ab 的積為例 20】過 點 4, 4引圓 x4 的切線，則切線長是（A2B10D 14例 21】已 知直線 ax by c0(abc 0) 與圓 x21相切，則三條邊長分別為 |a|，|b|， | c |的三角形B是直角三角形D不存在A 是銳角三角形C是鈍角三角形例 22】若圓 C的半徑為 1，圓心在第一象限，

9、與直線 4x3y 0和 x 軸相切，則該圓的標(biāo)準方程是 （）2A (x 3)2 (y7273)2 1B2(x 2)2(y1)212C (x 1)2 (y23)2 1D(x 32)2(y1)21圓與圓的位置關(guān)系高中數(shù)學(xué) .圓方程（ A 級） .學(xué)生版Page 5 of 8例 24】 兩 圓相交于點A（1，3） 、 B（m，1） ，兩圓的圓心均在直線x y c 0 上，則 m c 的值為（）A 1B2C 3D 0例 23】 已 知 P 是 直 線 y x 1 上 一 點 ， MN 分 別 是 圓 C1 xC2 x 4 22y 4 2 1 上的點則 PMPN 的最大值為A4B3C2）D1直線與圓的綜

10、合問題例 25】 如 圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個與 x 軸的正半軸、y 軸的正半軸分別相切于點 C 、 D 的定圓所圍成的區(qū)域（含邊界） ， A、 B、C、 D是該圓的四等分點若點 P（ x，y） 、點 P（x ，y ）滿足 x x 且 y y ，則稱 P 優(yōu)于 P 如果中的點 Q 滿足：不存在中的其它點優(yōu)于 Q ，那么所有這樣的點 Q 組成的集合是劣?。?）B ?BCC C?DD D?AyADBOCA ?AB課堂總結(jié)1圓的方程2 2 2（ 1） 圓的標(biāo)準方程： x a y br 2 （ 2） 圓 的 一 般 方 程 ： x2 y2 Dx Ey2 2 2 2D2E24F 0 時， 方程 x

11、2 y2 Dx22F 0（D 2E24F 0） ， 特 別 提 醒 ： 只 有 當(dāng)Ey F 0 才 表 示圓 心 為 （ D , E） ， 半徑 為221 D2 E2 4F 的圓；2高中數(shù)學(xué) .圓方程（ A 級） .學(xué)生版Page 6 of 8（ 3）圓的參數(shù)方程： x a r cos （ 為參數(shù)），其中圓心為 （a,b） ，半徑為 r 圓的參數(shù)方程的 y b r sin主要應(yīng) 用 是 三角換元： x2 y2r2x rcos ,y rsinx2y2t x r cos ,yr sin（0rt） （ 4） A x1, y1,Bx2,y2為直徑端點的圓方程 xx1xx2yy1yy20 3. 點與圓的

12、位置關(guān)系已知點 M x0,y0 及圓 C：x2 ay2b22 rr0（1）點 M在圓 C外CMrx02 ay02b22r；（2）點 M在圓 C內(nèi)CMrx02 ay0b22r2；（3）點 M在圓 C上CMrx02 ay0b22r2；4直線與圓的位置關(guān)系：直線 l :Ax By C0和圓C：x2 ay2b2r 2 r0 有相交、相離、相切可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：（ 1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）： 0 相交； 0 相離；0 相切；（ 2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。?：設(shè)圓心到直線的距離為 d ，則d r 相交； d r 相離； d r 相切注意：判

13、斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷 5圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為 O1， O 2 ，半徑分別為 r1,r2，則（ 1）當(dāng)|O1O2 r1 r2時，兩圓外離； （2）當(dāng) |O1O2 r1 r2時，兩圓外切； （3）當(dāng) r1 r2 |O1O2 r1 r2時，兩圓相交；（4）當(dāng)|O1O2 r1 r2 |時，兩 圓內(nèi)切；（ 5）當(dāng) 0 |O1O2 r1 r2 |時，兩圓內(nèi)含6圓的切線與弦長：（1）切線：過圓 x2 y2 R2上一點P（x0,y0）圓的切線方程是： xx0 yy0 R2，過圓2 2 2 2（x a）2 （y b）2 R2上一點 P（

14、x0,y0）圓的切線方程是： （x a）（x0 a） （y a）（y0 a） R2 ； 從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓 住圓心到直線的距離等于半徑）來求； 過兩切點的直線（即 “切點弦 ”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程； 切線 長：過圓 x2 y2 DxEyF 0 （xa）2（yb）2R2 ）外一點P（x0,y0）所引圓的切線的長為 x0 y0 Dx0Ey0F （ （x0a）2（y0b）2R2 ）；高中數(shù)學(xué) .圓方程（ A 級） .學(xué)生版Page 7 of 81( 2)弦長問

15、題： 圓的弦長的計算：常用弦心距 d ，弦長一半 a及圓的半徑 r 所構(gòu)成的直角三角形22 2 1 2 來解：r2 d2 ( a)2；過兩圓C1:f(x,y) 0，C2:g(x,y) 0交點 的圓(公共弦)系為f (x,y) g(x, y) 0，當(dāng)1時，方程 f(x, y) g(x,y) 0為兩圓公共弦所在直線方程 7解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直 角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等) 習(xí)題 1】課后檢測A、 B 為兩切點，那么uuur uuurPA PB 的最小值為()A 4 2B 3 2C 4 2 2已知圓 O 的半徑為1，PA、 PB 為該圓的兩條切線，D 3 2 2習(xí)題 2】 圓C :x2 y2 2x 4