遞推式與應(yīng)用

1、遞推式與應(yīng)用摘 要：通過幾例典型例題說明數(shù)列遞推式在應(yīng)用問 題方面的表現(xiàn)特點(diǎn)和解決方法，指出這類問題對(duì)鍛煉學(xué)生思 維能力所起的作用。關(guān)鍵詞：遞推式；應(yīng)用問題；思維能力 遞推式是一類廣泛而復(fù)雜的問題，特點(diǎn)是：邏輯嚴(yán)謹(jǐn)， 推理性強(qiáng)，解法靈活開放，有利于思維的發(fā)散性與個(gè)性品質(zhì) 的培養(yǎng)，主要是轉(zhuǎn)化為：等差數(shù)列與等比數(shù)列求解。應(yīng)用問題是數(shù)學(xué)知識(shí)作用于實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，是高考和 競(jìng)賽中的熱點(diǎn)，其特點(diǎn)是：內(nèi)容廣泛，對(duì)信息收集、語言轉(zhuǎn) 換和數(shù)據(jù)處理能力要求高，是應(yīng)用意識(shí)與能力培養(yǎng)的素質(zhì)教 育的一個(gè)主要方面。應(yīng)用問題與遞推式結(jié)合既可把數(shù)學(xué)運(yùn)用于實(shí)踐，又可以 在實(shí)踐中發(fā)展能力，因此在教學(xué)中有意識(shí)地從這兩個(gè)方面去 培

2、養(yǎng)學(xué)生的能力是有益的。下面從幾個(gè)方面舉例說明。1. 排序問題【例 1】將 1 元和 2 元的兩種硬幣共 n 元排成一排，總 共有多少種不同的排法？解：設(shè)排法總數(shù)為xn，則x1=1 , x2=2，把xn種排法分成兩類：頭一張是 1 元的排法數(shù)就是 xn-1 ；頭一張是 2 元的排法應(yīng)是 xn-2 。于是 xn=xn-1+xn-2 (n=3, 4, 5,)下面用待定系數(shù)求求通項(xiàng) xn 。引入?yún)?shù) m 設(shè)： xn+mxn-1= ( m+1 ) xn-1+xn-2即 xn+mxn-1= (m+1) (xn-1+ xn-2)令m=，貝y m=，于是xn- xn-1= ( xn-1- xn-2 xn- x

3、n-1= ( xn-1- xn-2 由式知數(shù)列 xn- xn-1是首項(xiàng)為x2- x1 = ，公比為 q1 = 的等比數(shù)列，所以有 xn- xn-1 = ()n-2= () n由式知數(shù)列 xn- xn-1是首項(xiàng)為x2- x1 = ，公比為 q1 = 的等比數(shù)列，所以有 xn- xn-仁() n-2= ()n由消去 xn-1 ,即得xn= () n- () n 注：這是斐波拉契數(shù)列的遞推式,可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求 通項(xiàng)。2. 化學(xué)問題【例2】容器中有濃度為 m%的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，這樣進(jìn)行了10次后溶液的濃度是多少？解：容易計(jì)算每次操作后濃度減少了，第一次操作后

4、濃度為 a1=( 1-)?m%，設(shè)第n次操 作后濃度為 an，則有an+仁an?(1-)，于是an是首項(xiàng)為a1=(1-) ?m%， 公比為q=1-的等比數(shù)列，即 an=( 1-)n?m% , a10= (1-)10?m%注：這是數(shù)學(xué)在化學(xué)中的應(yīng)用。3. 涂色問題【例3】把一塊圓形木板分成 n ( n2)個(gè)扇形：S1, S2,，Sn,在每一塊木板上涂色，可用紅、黃、綠三種顏 色之一涂，要求相鄰扇形顏色不同，問一共有多少種涂法？解：設(shè)n (n 2)個(gè)扇形的涂法數(shù)為 an ( n 2),當(dāng)n=2時(shí)，S1有3種涂法，S2有兩種涂法， a2=3X 2=6。當(dāng) n2 時(shí)，S1 有 3 種涂法，S2, S3

5、, S4,，Sn-1,Sn各有兩種涂法，共有3X 2n-1種涂法，其中Sn與S1同色 時(shí)有 an-1 種涂法，二 an=3x 2n-1-an-1 , (n2),上式即 = - ?即-1=-( -1),得數(shù)列 -1是以首項(xiàng)為-仁,公比為q=- 的等比數(shù)列，所以 -1=,即 an=2n1 + =22n-1+ （-1） n,即當(dāng) n2 時(shí)，一共有 22n-1+（-1） n 種涂色方法。注：染色問題通常會(huì)涉及排列與組合知識(shí)，是數(shù)學(xué)競(jìng)賽 中的常見問題。4. 概率問題【例 4】A、B 兩人各拿兩顆骰子玩拋擲游戲，規(guī)則是： 若拋出的點(diǎn)數(shù)之和為 3 的倍數(shù)， 則繼續(xù)拋； 若不是 3的倍數(shù)， 則由對(duì)方拋。先由

6、A 開始拋，第 n 次由 A 拋的概率為 Pn， 求 Pn？解：拋兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和為 3 的倍數(shù)的情況有： （ 1 ， 2），（2， 1），（3， 3），（3， 6），（ 6， 3），（6， 6），（2， 4），（ 4， 2），（ 4， 5），（ 5， 4），（ 1 ， 5），（ 5， 1 ）共 12?N 可能， 第 n+1 次由 A 拋這一事件，包含兩類： 第n次由A拋，第n+1次繼續(xù)由A拋，概率為：Pn 第n次由B拋，第n+1次由A拋，概率為：（1-）（ 1-Pn）從而有 Pn+仁 Pn+ （1-） （1-Pn）即 Pn+1=- Pn+，（其中 P1=1）即 Pn+1- =-（ Pn-

7、）于是 Pn-=(P1-)? (-) n-1,即 Pn=. + ( -) n-1。注：概率問題是博弈論中的中心問題，也是大數(shù)據(jù)中經(jīng) 常用到的方法。5. 幾何問題【例 5】觀察下面的圖形有規(guī)律：圖(1 )是一個(gè)正三角形(邊長(zhǎng)為1);圖(2)是在圖(1)的各邊中央處向外長(zhǎng) 出一個(gè)正三角形，形成了六角形星形；圖(3)是在圖( 2)的每一小邊的中央處又向外長(zhǎng)出一更小的正三角形；如此 繼續(xù)下去 求第 10 個(gè)幾何圖形的周長(zhǎng) L10； 求第 10 個(gè)圖形的面積 S10。解：設(shè)第n圖形的邊數(shù)為cn,邊長(zhǎng)為dn,則由后面一個(gè) 圖形的邊長(zhǎng)是前面的圖形的邊長(zhǎng)的，每條邊增加到四條邊 可知；cn=4cn-1，又 c1

8、=3，二 cn=3 x 4n-1dn= dn-1，又 d1=1 ,. dn= () n-1，于是第 n 個(gè)圖形的周長(zhǎng)為 Ln=Ln-1+Cn-1 x dn即 Ln=Ln-1+3 x 4n-2 x()n-1Ln=Ln-1+ x(.)n-1用累加法可得Ln= +3 x()n-2 L10= +3 x()10-2= +3 x()8第n個(gè)圖形的面積 Sn=Sn-1+cn-1dn) 2即 Sn=Sn-1+3 x 4n-2 xx()2n-2即 Sn=Sn-1 + x()n用累加法可得 Sn=+x 1-() n-1S10=+x 1-() 10-1=+x 1-() 9注：本題由一道全國(guó)競(jìng)賽題改編而成。遞推式與應(yīng)用問題包含的內(nèi)容相當(dāng)廣泛。 如：分期付款、 旅游開發(fā)、環(huán)境保護(hù)、城鎮(zhèn)規(guī)劃、機(jī)構(gòu)改革等等，甚至在其 他學(xué)科(物理、化學(xué)、生物、體育等