基本積分方法

1、2 基本積分方法一、換元積分法第一類換元積分法換元積分法第二類換元積分法 1第一類換元積分法：設(shè) f(u)， (x) 為連續(xù)函數(shù)， (x) 可導(dǎo)，且 f (u)du F(u) C ，則 f (x) (x)dx u (x) f (u)du F(u) C F (x) C 常見的湊微分形式：1 f (ax b)dx f(ax b)d(ax b)a1 f (axn b)dxf(axn b)d(axn b)na1 f (lnx) dx f (ln x)d(ln x)x1 f (lnx) dx f (ln x)d(ln x)x f (sin x) cos xdx f (sin x)d (sin x) f

2、(cos x) sin xdxf (cos x)d (cosx) f (tan x)sec2 xdx f (tan x)d (tan x) f (arcsin x)dxf (arcsin x)d(arcsin x)1 x2arctan x例 2.1 計算 dxt22x2(1 x2) 解:令arctanx t，dx sec2 tdt ，則a2 rctan x2 dxt2sec t2 dtt (csc2 t 1)dt td cottx2(1 x2)tan 2 t sec2 t22t2t 2tcott cot t dt= t cott ln|sint | C22= arctxanx ln 1|x|x

3、2 21(arctanx)2 C 。例 2.2 計算下列積分：(1) exln(1 ex)； (2) 11 ccoossxx dx 解：(1) ex ln(1 ex)ln(1 ex)d(ex 1)xln(1 ex) (ex 1)(ex 1) e xdx (ex 1) ln(1 ex ) ex C1 ex(1 cos x)22) 1 cosx1 cos x22 sin2 x 2cosxdxdx dx(1 cos x)(1 cos x)2 d sin x22csc2 xdx dx 2 2 2cot x x C sin 2 xsin xsin 2 x 2第二類換元積分法：(t)單調(diào)、可導(dǎo)且 (t)

4、0，又 f (t) (t)有原函數(shù) G(t)。則f (x)dxf (t) (t)dt G(t) C G 1(x) Cx。第二類換元法中常用的變量代換： 三角代換：變根式積分 三角有理式積分1 倒數(shù)代換 x ： 可消去分母中的變量t 指數(shù)代換： 適用被積函數(shù)由 a x 或 e x 構(gòu)成的代數(shù)式。例 2.3 計算積分dxxxx1 e2 e3 e 6x解：令 e6 t x 6lnt, dx 6 dtt1 66 33t 1原式 3 2 dt ( 2 )dt1 t3 t2 t tt 1 t 1 t 2326ln t 3ln |1 t | ln(1 t2 ) 3arctant C x 2 x x 3x 3

5、ln | 1 e6 | ln(1 e3 ) 3arctane6 Cdx例 2.4 計算積分 dx 。解：dxx 1 x2x sint cost dt =sint cost 21 sint cost cost sintdtsint cost1t21 arcsin x22x1例 2.5 計算積分 x 1 dxx2 x2 11ln |sint cost| C21 ln |x 1 x2 | C1解： 令 x 1 ，則tx1x2 x2 1dx11t ( 12 dt) 1 t dt 1 dt1t 21 t 2 1 t2 2 1 tt2 11 t2arcsin t 1 t 2 Cx 1 arcsin 1 C

6、 xx二、分部積分法分部積分公式：udv uv vdu分部積分法條件：選取 u， v 的原則：u， v 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。v 要易于求出vdu 比 udv容易求出 可用分部積分法求積分的類型：ln xd(1 t2 )sinaxPn (x) cosax dx,Pn(x) arctan x dx, eaxeaxdv例 2.6 計算積u分(x) xln xdx 。22 xx 解： 原式 = ln xd xx ln22 例 2.7 計算積分 arctane dxe2xarccosxarccosxsinaxdxcosaxdv u(x)u， v 可任選1xdx222x ln2xC4解： arcta2xne d

7、x 1 arctane x d( e 2x ) 1 ee2x2x arctanexdexe2x(1 e2x )1 2x x x x(e arctane e arctane ) C 。2例 2.7 設(shè) f (ln x) ln(1 x) ，計算 f (x)dx 。x解：，設(shè) t ln x ，則 x et， f(t)ln(1 et )et。f (x)dx= ln(1 xe ) dxln(1 ex)d(e x)e xln(1 ex)x 1 e1 x dxe x ln(1 ex )(1exx x)dx x (1 e x)ln(1 ex) C 。 1 ex三、幾種特殊類型的積分：1有理函數(shù)的積分部分分式之

8、和的積分對于任意有理函數(shù)，存在一個固定的代數(shù)算法，可以把它分解為四種基本形式的有 理分式的和， 而這四種基本形式的有理分式存在相應(yīng)的積分公式。 列出如下：(1)(2)A dx Aln | x a| C xaAk(3)k dx A d(x ak) (x a)k (x a)kPx QP2 dx ln(xx2 px q2Ak 1 C(x a)k 1 Cpx q) 2q pP arctan 2x p C4q p24q p2(4) (x2PxpxQq)kdx Pt (Q(x px q)Pt kdt (Q P2p) (t2 1a2)kdt其中 t x p ； dt=dx；2 可以很容易地求出(2 2t 2

9、 k dt(t(t 2 arctan C 。 t 2 a2 aa a2)k而對于第二個積分式，Pp)2 dt P(t2 a2)k dt 2 (t2 a2) aq p2 。aq 4 。4)中的第一個積分為1(k 1)(t2 a2)k 1 t In 1 2na2 (t2 a2)n 我們可以得到遞推公式2n 1 12n a2 I n，其中： I 1dt1t【注意】 從理論上講，任意有理函數(shù)的積分都可以被積出來，但要分析被積函數(shù)的 特點，靈活選擇解法，常用的方法中有湊微分法和變量替換法。x5例 2.8 計算積分 2dx 。x2 6x 13dx 1 (22x 6) 16dx 1 22 x2 6x 13

10、2 x2 6x 13解： x2 x6x5 132x 621dx 8 2 2 dx (x 3) 2 221 2 x 3ln(x2 6x 13) 4 arctan C2例 2.9 計算下列積分 2x3 1(1)100dx ；(x 1)1001解：( 1)令 x 1 ， u 2x3 1dx(2)1d0 x 2x(x10 1) 2則 dx12u2 原式= (x2x 1)1100dxu1002(uu1)3(x 1) u= 1 u99331dx，于是11( 12 )du95 3 u (3u6u2 6u 2)du33(x 1) 99( 2)令 x101原式 = 110 u(u 1)3 u98 6 u97 1

11、49 9739849(x 1)98 則 du 10x9 dx ，于 u1uu964861C97(x 1) 97 48(x 1) 96是12 du 210 u(u 1)2 10 u(u 1) (1 u) 21 1 12 du (ln |u| ln |u 1| ) Cu 1 (1 u)210 u 1u，du 12du1 1 1 = 10 u2三角函數(shù)有理式的積分 有理函數(shù)的積分由 sin x， cosx 及常數(shù)，經(jīng)過有限次四則運算所得到的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式，記作： R(sin x, cos x) ，積分 R(sin x, cos x) dx稱為三角函數(shù)有理式積分。【解題方法】sin kx 或

12、盡量使分母簡單，為此可以分子、分母同乘以某個因子，把分母化成 coskx 的單項式，或?qū)⒎帜刚麄€看作一項。 盡量使 R(cos x，sin x) 的冪降低， 常用倍角公式或積化和差公式。 常用積化和差公式：1sin xcos x sin( )x sin( )x21sin xsin x cos( )x cos( )x21cos xcos x cos( )x cos( )x2倍角公式：1 2 1 2 1sin xcosx sin2x ， sin x (1 cos 2x) ， cos x (1 cos2x)2 2 2 在積分的過程中注意“21 sin 2 x cos2 x ”的妙用。例 2.10 計

13、算下列積分(1) sin3 xdcxos5sin xcos1解： sin3 x1cos5 xsin xcos xx sinxdx ；( 3) sin1 cosx cos2 x13 5 5 sin xcos x sin xcos x2222sin x cos x sin x cos x33sin xcos xsin x5cos x；(2)x2sin x5 sin xcos x13sin xcos x23sin xcos x2(sin 2 x cos2 x)sin xcos3 x2sin x5cos x2 xcos4 xdx 。13sin2xcos3 x13sin xcos x22sin x co

14、s x3sin xcosxsin13xcosxsinx cosx3sin x2sin x3cos x2sin x3cos x3sin x cos x5cos xsin x5cos xsin x5cos xcosx3sin xsin xcosxsin x cos x故 原積分 = ( 2sin3 xcos3 x14cos4 x(2) x sin xdx1 cosx 1 cosxsin xcosx122 cos2 x 2sin2 xsinxcosxsin x53 cos x sin x 12cosx )dxcosx3sin x3ln | csc 2x cot 2x | Cdxsin x dx1 c

15、osxxxdx ln(1 cosx) xdtan ln(1 cosx)2 x 22cos2= xtanxtan dx ln(1 cosx)= xtanx2ln |cos | ln(1 cosx) C1 cos2x 1 1 cos4x 2x (1 cos 2x) 283)sin 2 xcos4 x 1sin41=(1 cos2x cos4x cos2x cos 4x)16111=(1 cos2x cos4x cos2x cos6x)1622原積分 =116(11cos2x cos4x cos2x2cos6x)dx21111x sin 2x sin4x sin6x C1664641923無理函數(shù)的

16、積分有理函數(shù)的積分無理函數(shù)的積分， 一般是通過選擇變量替換， 化為有理函數(shù)的積分來進行。 【解題方法】 利用第二類換元法中的三角代換； 若被積函數(shù)含有 n ax b ，n ax b ，可令 n ax b t ，n ax b t ；n 的最cx d cx d 若被積函數(shù)含有 n x ， m x ，可令 x t ，其中 m， n 為正整數(shù)， p 為 m， 小公倍數(shù)。【注意】 無理函數(shù)分子或分母可有理化時，應(yīng)先有理化。例 2.11 計算積分 1 x 2dxxx22(t 2 1) x2 t2 1x2tx2原積分 = 4t解：令= lndx 2 8t 2 dt(t 2 1) 2dt2 lndt2(1 t

17、 2)(1 t2)dt 2 1 t1t1t2 arctan t C1 (x 2)1 (x 2 (x 2)(x 2)2arctanx2x21 t 2C。四、分段函數(shù)的積分連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，且原函數(shù)連續(xù)。因此有 如果函數(shù)在分界點連續(xù)，則在包含該點的區(qū)間內(nèi)原函數(shù)存在。 如果分界點是函數(shù)的間斷點，那么在包含該點的區(qū)間內(nèi)，不存在原函數(shù)。【解題方法】方法一 先分別求出函數(shù)的各分段在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)； 由原函數(shù)的連續(xù)性確定出各積分常數(shù)之間的關(guān)系。方法二 利用變上限積分函數(shù)， 先求出 f(x) 的一個原函數(shù)xf (t)dt ，則有 axf(x)dx= f (t)dt+C注意： 方法二省去了確定常數(shù)的麻煩)

18、2例 2.12 設(shè) f(x)x , x 0，求 f (x)dx 。sinx, x 0解法一： 由于 f (x)在在 x=0 連續(xù)，故 f (x)的原函數(shù)存在，因此先分別求出f (x)在 (， 0)，(0，+ )內(nèi)的原函數(shù)。x01 x3 C , F(x) 3 解法二： 設(shè)f (x)的一個原函數(shù)為 F(x) f(t)dt ，而 0 C1, cos x C 2, x 0C1 1 C2C2 1 C1f (x)dx 3x C,cosx 1 C,x 0 , C1 C x0由原函數(shù) F( x)的連續(xù)性，考慮 F(x)在x= 0處的左、右極限，得xF(x) 0f(t)dt =0 x2dx,x0sin xdx,x01 x3 , x 03x 0 cosx 1, x 0f (x)dx= F(x) C=13x3 C, x 0 3。 cosx 1 C, x 0例 2.13 求 min 1, x2dx 。1, x 1解： min 1, x2x2 , 1 x 11, x 1由于 min1, x2在 x=1，x=1連續(xù)，故 min1, x2 的原函數(shù)存在，因此先分別求出 min1, x2 在 ( ， 1)， ( 1，1)， (1， + )內(nèi)的原函數(shù)。x C1 , x 1F(x) 1x3 C2 , 1 x 1 3x C3, x 1由原函數(shù)F (x)的連