桿元素(Bar)勁度矩陣

1、桿元素 (Bar) 勁度矩陣 u(x) u1 u(x)L x xu1u2維線型線性元素 (linear)： 一個(gè)元素內(nèi)有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，長(zhǎng)度 L、截面積 A 、楊氏係數(shù) Eu1u2 F1F2節(jié)點(diǎn) 1 節(jié)點(diǎn) 2 u(x) N1(x)u1 N2(x)u2其中 N1、N2為形狀函數(shù) (Shape Function)L x xN1設(shè)元素的位移函數(shù) displacement function, u(x), 以區(qū)域座標(biāo) x 來(lái)定義(0 x L )，已知節(jié)點(diǎn) 1及 2之位移分別為 u1及u2，則u(x)(一個(gè)元素有 2個(gè)節(jié)點(diǎn)、 每個(gè)節(jié)點(diǎn)有 1個(gè)自由度，需 2 個(gè)變數(shù))可表示為u(x) a0 a1x代入邊界條件，得

2、到u(x) u1 x 0 u1 a0u2 u1 u(x)u2 x L u2a0a1L u2u1a1La1將 a1及 a2代入位移函數(shù) u(x) ，得到u2 u1x LL 、 N2(x) L元素之應(yīng)變能為S2 dx2EA而應(yīng)力 -應(yīng)變關(guān)係為E S E du S EA duA dx dx代入應(yīng)變能公式S2 dx2EA2(EA)2 du 2 EA L du 2 ( )2 dx( )2 dx因此 du dN1(x)u1 dN2(x)u2 N1u1 N2u2dx dxdx11其中N1(x) L 、N2 (x) L應(yīng)變能U E2A (ddux)2dx E2A 0L(N1u1 N2u2)2dx(1)卡氏第一

3、定律因?yàn)?PiU F1U EA 2(N1u1 N2 u2)N1dx EA (N1)2dxui EA (N1N2 )dxu2 F2u12EAEALu1LUEAF1u2F22(N1u1 N2 u2 )N 2 dx EA (N1N2 )dxu1 EA (N2 )2dxu2 u22EA EAu2u1以矩陣表示F1F12L111 uu12F1F12k11 k12u1k21 k 22 u22EA dx 2 0 dx其中勁度矩陣元素為 kij 0L EA( Ni ( x) N j (x)dx EA 0L(Ni(x)Nj(x)dx(2)最小位能法因?yàn)?= U - Wext = U - Pii，其中 i=1,2

4、,3 N。 UiiUu1 F 2 0 u2u2移項(xiàng)得到EAF1u11 L 1F1 0 u11UEAL u2Pi 0EA 2(N1u1 N2u2)N1dx F1 0EA 2(N1u1 N2 u2)N2 dx F2 0F2EAu12 L 1EA u2L2與卡氏定律結(jié)果相同F(xiàn)1k11k12u1F2k21k22u2其中勁度矩陣元素為 kij 0L EA( Ni ( x) N j (x)dx EA 0L(Ni(x)Nj ( x)dx維線型二次元素 (quadratic)：一個(gè)元素內(nèi)有 3 個(gè)節(jié)點(diǎn) (端點(diǎn)及中點(diǎn) )，長(zhǎng)度 L、截面積A 、楊氏係數(shù) E u1u2 u3 F1F2 F3節(jié)點(diǎn) 1節(jié)點(diǎn) 2 節(jié)點(diǎn)

5、3du dN1(x)dN2 (x) dN3(x) 因此u1u2u3 N1u1 N 2u2 N3u3dx dx dx dxx 2x 1(1 x ) (1 2x )( 1)L L L Ldx 其中 N1 (x)2 x1 2x x 2 N2 (x) ( 1L )( 2Lx 1) Lx (2L)4xN3 (x) 4 (1 x) 4x( 1)3 L L L L應(yīng)變能 UEA2(du)2dx EA (N1u1 N2 u2 N3u3)2dx dx 2(1)卡氏第一定律因?yàn)?PiF1Ui U u12EA2(N1u1 N2 u2 N3 u3)N1dxF1EA (N1)2dxu1 EA (N1N2 )dxu2 E

6、A ( N1 N 3 )dxu3F1EA 7EA 8EA 1( ) u1( ) u2( )u 3L 3L 3L 3U EA 同理 F22(N1u1 N2 u2 N3u3)N2 dxu 22F2 EA (N1N2)dxu1 EA (N2 )2dxu2 EA (N2 N3 )dxu3 F2ELA (83)u1 ELA (136)u2 ELA (38)u3L 3 L 3 L 3U EA同理 F32(N1u1 N2 u2 N3 u3) N3 dxu 32F3 EA (N1 N3 )dxu1 EA (N2 N3)dxu2 EA (N3)2dxu3F1F2F3)u1L(3)u281333816833318

7、7333u1u2 u3EALEA 1 F3(3 L 3以矩陣表示EA(7)u3L33F1k11 k12 k13u1F2k21 k22 k23u2F3k31 k32 k33u3LL其中勁度矩陣元素為 kij 0 EA( Ni ( x) N j (x)dx EA 0(Ni(x)Nj(x)dx(2)最小位能法UPi 0iiUEA F1 02( N1 u1 N2 u2 N3 u3 )N1 dx F1 0u1u12因?yàn)? U - Wext = U - Pii，其中 i=1,2,3 N。移項(xiàng)得到F1 EA (N1)2dxu1 EA (N1N2 )dxu2 EA ( N1 N 3 )dxu3同理EA 7EA

8、 8EA 1F1( )u1( )u2( )u3L 3L 3L 3UEA F 2 02(N1u1 N2u2 N3u3)N2dx F2 0u2u22移項(xiàng)得到F2 EA (N1N2)dxu1 EA (N2 )2dxu2 EA (N2 N3 )dxu3同理EA 8EA 16EA 8F2( )u1( )u2 ( )u3L 3L 3L 3UEA F3 02(N1u1 N2 u2 N3u3)N3dx F3 0u3u32移項(xiàng)得到F3 EA (N1 N3 )dxu1 EA (N2 N3)dxu2 EA (N3)2dxu3F1F2F3)u1( )u2L37813338168333187333u1u2 u3EALE

9、A 1 F3(L3以矩陣表示EA(7)u3L3F1k11 k12 k 13u1F2k21 k 22 k 23u2F3k 31 k 32 k 33u3LL其中勁度矩陣元素為 kij 0 EA( Ni ( x) N j (x)dx EA 0 (Ni(x)Nj(x)dx座標(biāo)轉(zhuǎn)換從水平 x 軸方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，xy AE DE yc o s() xsi n () xcosy sinsincos y q T q其中sinsincos一桿件從水平軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，原始座標(biāo)為卡氏座標(biāo)、旋轉(zhuǎn)後僅受軸向力Y2v22X2 u2如以旋轉(zhuǎn)後座標(biāo)表示，得F K q其中 q T q F T F代入得到 T F K T q

10、 F T 1 K T q 以卡式座標(biāo)表示，得到 K T 1 K TX1Y1X2Y2EALc cs c cscsscssccs c cscs s cs su1v1u2v2其中c cos( ) 、 或以下列矩陣表示s sin( )K EA k0k0L k0 k0k0c2 cscs s2其中 軸向力 (axial force) 為EA 2X2 c (u2 u1) cs(v2 v1)EA 2Y2cs(u2 u1) s (v2 v1)軸向應(yīng)力 (axial tension)為EA 2 2S X2c Y2s(c2 s2)c(u2 u1) s(v2 v1)EA S ( L ) c(u2 u1) s(v2 v

11、1) S ( spring const) (total axial elongation)以矩陣方式表示u2 u1S EA (c s)Lv2 v1如果 S 為正值，代表為拉力 (tension)；如果 S 為負(fù)值，代表為壓力 (compression)。EX.試求三各完全一樣的桿元素 (E、A、L) 以正三角形方式結(jié)合，試求各節(jié)點(diǎn)位 移、各元素內(nèi)部應(yīng)力。Prx2500 N邊界條件 (Reduction of stiffness matrix by imposing BCs)Overall stiffness matrixPK 根據(jù)邊界條件來(lái)分割勁度矩陣1. 已知力 P1, 未知力 P2, 未知

12、位移 1,已知位移 2(=0)PP12K12 1K22 2 1 K11 1 P1 P2 K 21 1 K 21 K11 1 P12. 已知力 P1, 且 P2=0, 未知位移 1, 2P1K11P2 K21K12 1K22 2 P1 K11 1 K12 2 P2 0 K21 1 K22 2 2 K22 1 K21 1令 K K11 K12 K22 1 K21 1 K 1 P13. 已知力 P1, 已知位移 2, 未知力 P2(相對(duì)應(yīng) 2), 未知位移 1P1K11 K12 1P2K21 K22 2 P1 K11 1 K12 1 K11 1( P1 K12 ) P2 K21 1 K22K21 K11 1( P1 K12K22三維空間的桿件，其力 -位移方程式X1l2mlnlY1ml2 mmnZ1EAnlnm2 nX2Ll2mlnlY2ml2 mmnZ2nlnm2 n或以下列矩陣表示FKqK EA k0k0L k0k0l2 mlnlk0ml m2mnnl nm2 n其中，l、m、n分別為桿件與x、l2mlnlu1ml2 mmnv1nlnm2 nw11l2mlnlu2ml2 mmnv2nlnm2 nw2、z 各軸夾角的 cosine 分量。桿件內(nèi)部軸向應(yīng)力(axial tens