初中生如何做好幾何證明題(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、初中生如何做好幾何證明題（含 答案） 作者: 日期: 14、如何做幾何證明題 【知識精讀】 1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種 基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如 證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法： （1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)， 直到問題的解決； （2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件 看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步

2、往上逆求，直到已知事實為止； （3 ）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此， 在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖 形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題 的目的。 【分類解析】 1、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可 化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用

3、全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂 線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。 例 1.已知：如圖 1 所示，LabC中，I c 90 , AC BC, AD DB, AE CF。 求證：DE = DF A E D C F 圖1 B 分析：由丨ABC是等腰直角三角形可知，I A B 45，由D是AB中點，可考慮連結(jié) CD，易 得|CD AD|, | DCF 45|。從而不難發(fā)現(xiàn) | DCF DAE 證明：連結(jié)CD AC BC A B ACB 90，AD DB CD BD AD， DCB B A AE CF, A DCB, AD CD Ade CDF DE DF 說明：在直角三

4、角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊 上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因為CD既是斜邊上的中 線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ED到G,使DG = DE,連結(jié)BG ,證| EFG |是等腰直角三角形。 有興趣的同學(xué)不妨一試。 例 2.已知：如圖 2 所示，AB = CD , AD = BC , AE = CF。 求證：/ E=Z F -15 - AD BC / F 圖2 證明：連結(jié)AC 在I ABC和CDAI中， AB CD, BC AD, AC CA ABC CDA (SSS B D AB CD, AE CF BE

5、 DF 在I BCE |和| DAF 中, BE DF B D BC DA BCE DAF (SAS) E F 說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應(yīng)注意: (1 )制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量； (2 )添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。 2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同 旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個 角等于90,或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。 例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是I A

6、BC的內(nèi)角平分線,AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。 求證：KH / BC A Q 厶 、 P / K H _L BM NC 圖3 分析：由已知，BH平分/ ABC，又BH丄AH，延長 AH交BC于N，貝U BA = BN , AH = HN。同理, 延長AK交BC于M，貝U CA = CM , AK = KM。從而由三角形的中位線定理，知KH / BC。 證明：延長AH交BC于N,延長 AK交BC于M / BH 平分/ ABC / ABH / NBH 又BH丄AH / AHB / NHB 90 BH = BH ABH NBH (ASA) BA BN, AH HN 同理，CA = CM ,

7、 AK = KM KH |是| AMN |的中位線 KH / /MN 即 KH/BC 說明：當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以 理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折(軸對稱)而成一個等腰三角形。 例 4.已知：如圖 4 所示，AB = AC , Z A 90 , AE BF, BD DC 求證：FD丄ED A Zi x f/1 E /2；3/ / 1 BD C 圖4 AB AC, BD DC / 1 / 290 ,/ DAE / BAC 90 , BD DC BD AD / B / DAB / DAE 在| ADE |和 | BDF 中， /D

8、AB AE / B / DAE , AD BD ADE BDF 90 FD ED 證明一：連結(jié)AD 說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。 證明二：如圖5所示，延長 ED到M，使DM = ED，連結(jié)FE, FM , BM E BD DC BDM CDE, DM DE BDM CDE CE BM, C CBM BM /AC A 90 ABM 90 A AB AC, BF AE AF CE BM AEFBFM FE FM DM DE FD ED 說明：證明兩直線垂直的方法如下： （1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題

9、證 （2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。 （3 ）證明二直線的夾角等于 90。 3、證明一線段和的問題 （一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法） 例5.已知：如圖6所示在丨ABC中，丨B 60 |，/ BAC、/ BCA的角平分線AD、 求證：AC = AE + CD _L F CE相交于0。 B 60 ,知 分析：在 AC 上截取 AF = AE 。易知丨AEO AFOl,12 。由 5660 ,160 ,23120 |。123460 |, 得 FOC DOC,FC DC 證明：在AC上截取AF = AE BAD CAD, AO

10、 AO AEO AFO SAS 42 又 B 60 5 6 60 1 60 2 3 120 1 2 3460 FOC DOC (AAS) FC DC 即 AC AE CD （二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較 長線段。（補(bǔ)短法） 例6.已知：如圖7所示，正方形 ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC 上, EAF 45 證明：延長CB至G,使BG = DF 在正方形 ABCD 中， ABG D 90 , AB AD ABG ADF (SAS) AG AF,1X3 又 EAF 45 2 3 45 2 1 45 即/ GAE =Z FAE GE E

11、F EF BE DF 4、中考題: 如圖8所示，已知 ABC|為等邊三角形，延長 BC到D，延長BA到E,并且使AE = BD，連結(jié)CE、 DE。 求證：EC = ED E A f/八 / J / A / / v BC 圖8 D 證明：作DF/AC交BE于F ABC是正三角形 BFD 又 AE = BD AE FD BF BA AF EF 即 EF = AC AC/FD EAC EFD EAC DFE (SAS) EC ED 題型展示： 證明幾何不等式： 例題：已知：如圖 9所示，2, ABAC 求證： BD DC A 1 2 / r B D Ac 圖9 E 證明一：延長AC至U E，使 AE

12、 = AB，連結(jié)DE 在I ADEI和 I ADB 中, AE AB, 2 1, AD AD ADE ADB BD DE, E B DCE B DCE E DE DC, BD DC 證明二：如圖10所示，在AB上截取AF = AC,連結(jié)DF BDC 圖10 則易證丨ADF ADC 34, DF DC BFD 3,4 B BFD B BD DF BD DC 說明：在有角平分線條件時，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線。 【實戰(zhàn)模擬】 1已知：如圖11所示，丨ABC中，丨C 90 I，D是AB上一點，DE丄CD于D，交BC于E,且有 1小 AC AD CE 。求證： DE -CD

13、2 C E A D 圖11 B 2.已知：如圖12所示，在| ABC|中，| A 2 B , CD是/ C的平分線。 求證：BC = AC + AD A D B C 圖12 3.已知：如圖13所示，過 ABC的頂點A,在/ A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線 BP和CQ。 設(shè)M為BC的中點。 求證：MP = MQ P 圖13 1 AD AB AC BC 4 4. ABC 中， BAC 90 , AD BC 于 D，求證: 【試題答案】 1.證明：取CD的中點F,連結(jié)AF ADB AC AD AF CD AFC CDE 90 又 1490 ,1390 4 3 AC CE ACF CED (ASA) CF ED DE 1 CD 2 2.分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條 線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補(bǔ)短”的手法?！敖亻L”即將長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別 和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。 -20 - E A ! A D 證明：延長CA至E,使CE= CB，連結(jié)ED 在| CBD |和 | CED 中, CB CE BC