管翅式換熱器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法(較為詳細(xì)的表述)

1、管翅式換熱器性能及結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化的熱設(shè)計(jì)方法陳維漢 周飚 華中科技大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院 摘要 ：本文給出一種由翅片（或肋片）管組成的管翅式換熱器的優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法。該方法的理論依據(jù)是 給定換熱器結(jié)構(gòu)材料而使的換熱量最大的兩側(cè)換熱表面的最佳匹配準(zhǔn)則和兩側(cè)流體流動(dòng)換熱過(guò)程最佳的 結(jié)構(gòu)尺寸準(zhǔn)則，以及使可用能損失率最小的最佳運(yùn)行參數(shù)準(zhǔn)則。利用三個(gè)準(zhǔn)則間的關(guān)系，采用迭代方式 完最終成換熱器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。這樣的設(shè)計(jì)方法能使換熱器的設(shè)計(jì)達(dá)到材料省、換熱效果好與運(yùn)行費(fèi)用低 的目的，且能在設(shè)計(jì)階段實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞 ：管翅式換熱器、換熱表面間的最佳匹配準(zhǔn)則、換熱過(guò)程最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)準(zhǔn)則、換熱過(guò)程可用能損 失率分析、考慮綜合性

2、能的優(yōu)化設(shè)計(jì)法 圖書(shū)分類(lèi)號(hào) ：TK1241 引 言管翅式換熱器是廣泛應(yīng)用的熱交換設(shè)備之一。 它常常應(yīng)用在兩側(cè)流體的換熱性能相差 甚大的情況下，通常是以管外側(cè)安裝翅化表面來(lái)減小換熱性能較差流體的換熱熱阻，而換 熱性能較好的流體在管內(nèi)流動(dòng)仍然保持較小的換熱熱阻， 從而達(dá)到整體增強(qiáng)換熱器傳熱效 果的目的。對(duì)于這樣的換熱器，如何去設(shè)計(jì)和運(yùn)行是擺在工程技術(shù)人員面前的首要問(wèn)題。 對(duì)于換熱表面的設(shè)計(jì)，傳統(tǒng)的做法是力求使兩側(cè)的換熱熱阻相同以獲得最大的傳熱效果， 這是等熱阻匹配原則 1 。這種認(rèn)識(shí)如果從投資成本上來(lái)考慮，就是十分不可取的辦法。本 文作者曾針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行過(guò)專(zhuān)門(mén)的分析，導(dǎo)出了在給定投資費(fèi)用（或換熱

3、面材料）的前 提下兩側(cè)換熱表面的最佳匹配關(guān)系式， 即換熱面積之比與其換熱性能比和投資費(fèi)用比之間 的平方根關(guān)系式，這是平方根原則 2 。按這種原則設(shè)計(jì)換熱面就能達(dá)到單位傳熱量的投資 成本最低， 從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的優(yōu)化。 同時(shí)，換熱器設(shè)計(jì)的另一個(gè)問(wèn)題是流動(dòng)參數(shù)的設(shè)計(jì)。 傳統(tǒng)的做法是以不超過(guò)允許的阻力損失為最后標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選取流動(dòng)參數(shù)。 這種做法人為因素的 影響很大。 正確的辦法是以單位傳熱量可用能損失率最小為目標(biāo)來(lái)尋求流動(dòng)參數(shù)的最佳值 3。這樣就能實(shí)現(xiàn)單位傳熱量的運(yùn)行費(fèi)用最低，從而使流動(dòng)參數(shù)的設(shè)計(jì)得以?xún)?yōu)化。最后， 當(dāng)要確定換熱器尺寸時(shí)， 翅片管管長(zhǎng)和管排數(shù)目可以分別針對(duì)各自換熱過(guò)程以給定材料換 熱量最大

4、導(dǎo)出最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)確定 4 ，5 。綜合結(jié)構(gòu)參數(shù)與流動(dòng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，就可以完 成管翅式換熱器的綜合性能優(yōu)化設(shè)計(jì)的工作。綜合性能優(yōu)化設(shè)計(jì)的具體做法是，選定換熱器的結(jié)構(gòu)形式、翅片管的結(jié)構(gòu)參數(shù)、及流 動(dòng)類(lèi)型，以可用能損失率最小為目標(biāo)首先確定管內(nèi)流體的最佳流動(dòng)參數(shù)，且以此計(jì)算出最 佳的換熱性能參數(shù)， 同時(shí)可以計(jì)算出最佳的管長(zhǎng)管徑比這也就定下了管內(nèi)流體流動(dòng)方向上 的尺寸；再設(shè)定安裝翅片的管外側(cè)（即肋化側(cè)）換熱性能參數(shù)以換熱表面最佳匹配關(guān)系確 定換熱器兩側(cè)換熱表面積的比值，以此計(jì)算出安裝翅片一側(cè)的結(jié)構(gòu)尺寸，進(jìn)而可對(duì)其進(jìn)行可用能分析而得出最佳流動(dòng)參數(shù)并由此計(jì)算出換熱性能參數(shù)；以新得到的換熱性能參數(shù)取代設(shè)定

5、值重復(fù)以上的計(jì)算，直至前后兩次相差甚小而得出收斂的結(jié)果；在翅化表面一側(cè)的 結(jié)構(gòu)參數(shù)以收斂結(jié)果確定之后，以最佳的流動(dòng)參數(shù)計(jì)算出最佳的管排數(shù)，以此就能定下管 外流體流動(dòng)方向上換熱器的結(jié)構(gòu)尺寸；還有一個(gè)方向上的尺寸由傳熱量及傳熱溫差來(lái)確 定。經(jīng)過(guò)這樣的設(shè)計(jì)計(jì)算步驟就能達(dá)到管翅式換熱器的結(jié)構(gòu)參數(shù)與流動(dòng)參數(shù)的同時(shí)優(yōu)化， 從而做到設(shè)計(jì)的管翅式換熱器具有結(jié)構(gòu)（成本）省、運(yùn)行費(fèi)用低而換熱性能佳的良好性能。下面將具體對(duì)優(yōu)化方法進(jìn)行討論。2換熱器傳熱過(guò)程綜合性能分析評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為了介紹管翅式換熱器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對(duì)其涉及到的傳熱過(guò)程的優(yōu)化分析理論基礎(chǔ)有一個(gè)基本了解是必要的。這里將作者導(dǎo)出的傳熱過(guò)程兩側(cè)換熱表面積的最佳匹

6、配關(guān)系式、 換熱過(guò)程的可用能損失率關(guān)系式和結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的關(guān)系式作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。2.1傳熱過(guò)程的換熱表面最佳匹配準(zhǔn)則對(duì)于如圖1所示的充分簡(jiǎn)化的換熱器的傳熱過(guò)程而言，投資費(fèi)用與換熱面的結(jié)構(gòu)特征1 a 1 J a 2ip 山1 p 2U21U1JLitJ圖1換熱器傳熱過(guò)程示意圖相關(guān)，而結(jié)構(gòu)特征又與傳熱性能密不可分。因此，我們就能夠 從換熱器傳熱過(guò)程的傳熱方程和投資費(fèi)用方程出發(fā)導(dǎo)出換熱 器換熱表面與換熱性能之間的最佳匹配關(guān)系式。對(duì)于如圖所示的換熱器傳熱過(guò)程，其傳熱方程可用熱阻形式表達(dá)如下：R =1. （：iAi） 1. （: 2A2），（1）而換熱表面的投資費(fèi)用方程，則可表示為：Pt = 1 2 A

7、2。（2）在以上兩式中：R為傳熱過(guò)程的總熱阻； Pt為傳熱表面的投資費(fèi)用；二和：-2，-1和一：2, A和A2分別為換熱器兩側(cè)的換熱系數(shù)、單位表面的費(fèi)用和換熱(3)表面積。將（2）式代入（1 ）式可得:R =1 /( AJ ：2 / 2 (Pt A1)。對(duì)（3）式求A的導(dǎo)數(shù)并令其為零，有R :A - -1 d（2八2）（片 - Aj = 0,再用（2）式消取上式中的 P，經(jīng)整理得出：A1/A2 二（二/2）（ 1/ -2） m。（ 4）管翅式換熱器性能及結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化的熱設(shè)計(jì)方法上式即為換熱器兩側(cè)換熱性能和投資單價(jià)不隨換熱表面而改變情況下的換熱表面隨 換熱性能和投資單價(jià)變化的關(guān)系式，可稱(chēng)之為傳熱

8、過(guò)程的換熱表面最佳匹配準(zhǔn)則或最佳結(jié)構(gòu)匹配準(zhǔn)則。這里令，-.J/ -2和；二A / a2，它們分別表示換熱器兩側(cè)的換熱系數(shù)比，投資單價(jià)比及換熱表面積比。于是換熱器傳熱表面的最佳匹配關(guān)系式可以改寫(xiě) 為如下簡(jiǎn)潔的形式：；-（二）2。（ 5）分析一下上面的匹配關(guān)系式不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)換熱器兩側(cè)換熱性能不同時(shí)，兩側(cè)的換熱表 面也要發(fā)生相應(yīng)改變以獲得最佳的換熱效果。但是由于考慮了投資成本，這種改變不再是 按照線(xiàn)性比例關(guān)系，而是要按上式進(jìn)行計(jì)算。如果考慮擴(kuò)展表面的效率，肋面效率必須乘以換熱表面而構(gòu)成有效換熱表面積。這里 假定為肋化表面為 A,肋面效率為n 1,于是最佳匹配關(guān)系改寫(xiě)為；： =（ 1二）亠2。 （6）

9、由肋面效率的定義， 在這里可以寫(xiě)為勺=f ；（1 一 f）式中n f為肋片效率，于是得到如下迭代關(guān)系式；=f ；（1 - f ）二（7）2.2流動(dòng)換熱過(guò)程的可用能損失率方程3對(duì)于一般的流動(dòng)換熱過(guò)程（如圖2所示），總可以視之為一個(gè)穩(wěn)定的流動(dòng)換熱系統(tǒng)，其包含流體沿固體壁面的流動(dòng)過(guò)程和流體與壁面間的換 熱過(guò)程。相應(yīng)的參數(shù)有：流體的比焓h、比熵s、質(zhì)量流率m、流體溫度Tf、壁面溫度Tw,、流體進(jìn)出系統(tǒng)的壓力 分別為p1和p2、流體與壁面間的換熱熱流密度q、以及流體的通流面積和換熱面積分別是Af與At。今在流場(chǎng)中取一包含微元面積 dAt的微元控制體，將其視為一個(gè)穩(wěn)定 流動(dòng)系統(tǒng)，分析其熱平衡和熵平衡情況。

10、由熱力學(xué)第一定律有mT wPidsdh issh+-idAf圖2 一般流動(dòng)換熱過(guò)程示意mdh = -dQ 和 d = (Tw -Tf)dA式中，Q為通過(guò)換熱面的熱流量；a為流體流過(guò)壁面的換熱系數(shù)；m為流體質(zhì)量流率。 由熱力學(xué)第二定律有dS = mds -dQ . Tw，式中：S為系統(tǒng)的熵產(chǎn)率，單位為 W/C。利用以上關(guān)系式，同時(shí)認(rèn)為熱力學(xué)關(guān)系式dh二Tds dp / t （式中p為流體的密度） 成立，就可整理得出：AT2mdpdS : dAtTmPTf式中定義：溫度差 LT = Tw Tf和平均溫度Tm = TwTf。 在整個(gè)換熱面上積分上式，且假定換熱系數(shù)為常數(shù)，可以得到:2ATm 也pS

11、: At+T；汛式中，厶pp.-p?為系統(tǒng)進(jìn)出口壓力之差。 此式為流動(dòng)換熱過(guò)程的熵產(chǎn)率的表達(dá)式，從 中不難看出，過(guò)程的熵產(chǎn)率由兩個(gè)部分構(gòu)成，即由換熱溫差引起的熵產(chǎn)率和由流動(dòng)壓差引 起的熵產(chǎn)率，它們反映出流動(dòng)換熱過(guò)程的不可逆性。按照可用能（火用損失率的定義 E= ToS （To為環(huán)境參考溫度），代入上式則得出流動(dòng) 換熱過(guò)程的可用能（火用損失率方程t2E = To S廠 To: At+To，Tm?Tf上面方程右邊的第一項(xiàng)為溫度差引起的可用能損失率而第二項(xiàng)為壓力差引起的可用 能損失率。為了流動(dòng)換熱過(guò)程可用能損失率分析的方便，通常將這個(gè)方程無(wú)量綱化。在無(wú)量綱化的過(guò)程中引入無(wú)量綱可用能（火用損失率數(shù)Ne

12、 = ToS ,它表示單位換熱熱流量的系Q統(tǒng)可用能損失率，引用了 Q= a A T和m =UfAf （其中A為流體通流面積，Uf為流體的平均流速）這兩個(gè)關(guān)系式，且定義流動(dòng)阻力系數(shù)Cd2,結(jié)果變?yōu)槿缦聝煞N形PUf /2式：對(duì)于給定熱流密度和換熱特征尺寸有Ne 4u 二 TmqLRe 3 F f F2(8)對(duì)于給定熱流密度和流體流速有Neq 4St Fm：CpUfTm3:?Uf Cd-FfFq 2(9)式中，q二:，T為換熱熱流密度，Nu =:丄/，為努謝爾特?cái)?shù)，Re =UfL /、.為雷諾數(shù),St = : /（CpU f）為斯坦登數(shù)，L為流場(chǎng)特征尺寸，入為流體導(dǎo)熱系數(shù)，v為流體運(yùn)動(dòng)黏度,Cp為流

13、體定壓比熱，F(xiàn)m =T/Tm和Ff =T/Tf分別為溫度因子，而Fs=Af/A則為面積因子。我們把這兩個(gè)公式稱(chēng)為流動(dòng)換熱過(guò)程的可用能損失率方程。從中不難看出，無(wú)量綱 的可用能損失率 Ne的大小與流動(dòng)換熱特征參數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）Nu, St, Re及cd是密切相關(guān)的。對(duì)于一個(gè)流動(dòng)換熱過(guò)程而言，無(wú)量綱的可用能損失率越小過(guò)程的流動(dòng)換熱性能就越好。因 此，通過(guò)這兩個(gè)關(guān)系式就可以找出各種流動(dòng)換熱過(guò)程的可用能損失率隨著過(guò)程特征參數(shù)的 變化關(guān)系，并從中導(dǎo)出使過(guò)程可用能損失率最小的最佳過(guò)程參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)。說(shuō)得具體一 點(diǎn)，利用（8）式，在給定換熱熱流密度（q）和過(guò)程的結(jié)構(gòu)特征（L）的條件下可以導(dǎo)出 使可用能損失率最小

14、的最佳運(yùn)行參數(shù)（Re或Uf）;而從（9）式中，在給定換熱熱流（q）和過(guò)程的運(yùn)行參數(shù)（Re或uf）的條件下可以導(dǎo)出使 火損失率最小的最佳結(jié)構(gòu)特征（L ）。這里將對(duì)具體流動(dòng)換熱過(guò)程進(jìn)行可用能損失率分析而尋求最佳的過(guò)程運(yùn)行參數(shù)。從對(duì)流換熱過(guò)程的分析中我們可以設(shè)定流動(dòng)換熱過(guò)程準(zhǔn)則關(guān)系式的一般形式：換熱關(guān)系式Nu =aRe“Prk（10）,和流動(dòng)阻力關(guān)系式cD = bRe（11）。將它們代入方程（8 ）得出在給定換熱熱流密度和換熱結(jié)構(gòu)尺寸下無(wú)量綱火用失率Ne隨流動(dòng)準(zhǔn)則Re的變化關(guān)系式為NeqLT m_L.na Re PrFmb3 丄Re F f Fs qL 2(12)將上式對(duì)Re求導(dǎo)數(shù)且令其為零，即有：

15、Ne.lRe=0，我們就可以得出無(wú)量綱火損失率最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最佳雷諾數(shù)（Reopt ）值，也就是最佳的過(guò)程運(yùn)行參數(shù)，即Reopt242nq L F”幾 FV3abF fFs(3 m)Pr(13)火用失將（13）式代入無(wú)量綱 火用失率Ne的表達(dá)式（12）中就可以得出最小無(wú)量綱率Nemin的計(jì)算式，而將其代入（10）式則可得到最佳的努謝爾特?cái)?shù)Nuopt，進(jìn)而計(jì)算出過(guò)程最佳的對(duì)流換熱系數(shù)a opt。對(duì)于一個(gè)流動(dòng)換熱過(guò)程當(dāng)給定換熱熱流和換熱特征尺寸之后,就可以利用上述方法而獲得最佳的運(yùn)行狀態(tài)及相應(yīng)的換熱性能。顯然，對(duì)于管翅式換熱器成為其綜合性能評(píng)價(jià)的兩側(cè)的流動(dòng)換熱過(guò)程也可以利用這一方法而得到相關(guān)的優(yōu)化數(shù)

16、據(jù),一個(gè)重要環(huán)節(jié)。Nu =0.023 R0.8PrO.4，而管內(nèi)流動(dòng)阻力計(jì)算的準(zhǔn)則關(guān)系式為：f = 0.184 Re a2，有 cD = 0.046 Re %。如管內(nèi)紊流流動(dòng)換熱時(shí)換熱準(zhǔn)則公式為:將上面兩式代到公式（13）之中，得出最佳雷諾數(shù)的計(jì)算式為:Re opt= 5.741441/3.6這就是流體在管內(nèi)紊流流動(dòng)換熱時(shí)基于火用失率最小而導(dǎo)出的最佳運(yùn)行參數(shù)（Reopt數(shù)）的表達(dá)式。對(duì)于外側(cè)流體流過(guò)翅片管束的流動(dòng)與換熱過(guò)程，其換熱準(zhǔn)則關(guān)系式不同的文獻(xiàn)給出的關(guān)系式是各不同的，且在不同的Re范圍其表達(dá)式也不同。這里以雷諾數(shù)在103冬Re冬105的范圍為例進(jìn)行分析。在此范圍內(nèi)正三角叉排翅片管束的換熱

17、準(zhǔn)則關(guān)系式的變形，即Nu0.7187180.33-d b) Re Pr0.296= 0.1378 S2 /(d o _db) S1 /( S1式中考慮了原準(zhǔn)則關(guān)系式中采用Umax而在本文中采用u 一一的偏差修正項(xiàng)S1 /（ Sd ） n，且設(shè)2 2 1/2疋 2( S1 / 2)- S2 - d - S1。而在此范圍內(nèi)的流動(dòng)阻力準(zhǔn)則關(guān)系式8為,=37 .86 (St / d b)-0.927Re-0 .316max式中 Re max = 5 max d b 2又因?yàn)?f GlP以及 Cd =二4 fPUmaxN,式中ft 。m a x將以上關(guān)系式與前述的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則形式，即（10）和（11）兩式，

18、進(jìn)行比較可以得出:0.2960.718a 二 0.1378 S2 /（d -db） S1 /（S1 -db）, n 二 0.718 , k 二 0.33 ；_0 927 r1.368b =37.86(S1/db) .S1 /(SdbP, m =0.316。把上述關(guān)系式代入最佳運(yùn)行參數(shù)表達(dá)式（13）中得出:Re opt=0.3222 丿2 42.086 0.927-Q.33q d (1 -db/SJ(5/db) Pr0 .296、1 /3.4023，Tm 人S2/(d-db)(15)這就是流體流過(guò)正三角形叉排翅片管束時(shí)基于火用失率最小而導(dǎo)出的最佳運(yùn)行參數(shù)（Reopt數(shù)）的表達(dá)式。在上述兩個(gè)最佳運(yùn)

19、行參數(shù)下就可以使管翅式換熱器兩側(cè)流體流動(dòng)換 熱過(guò)程分別達(dá)到流動(dòng)特性與換熱性能之間的最佳配合。2.3管內(nèi)流動(dòng)換熱過(guò)程的最佳管長(zhǎng)管徑比圖3給出一個(gè)管內(nèi)流動(dòng)換熱的示意圖。設(shè)管壁溫度均勻一致為T(mén)w,流體進(jìn)口溫度為T(mén) f，經(jīng)過(guò)管長(zhǎng)L后出口溫度為T(mén)，管內(nèi)、外徑分別為 di和do,壁厚為S，流體截面上的平均流速為Um。引入過(guò)余溫度1 - T f-T w及v- T/-Tw，門(mén)-T / -Tw，在管子長(zhǎng)度為x處取一個(gè)微元長(zhǎng)度 dx,利用dx元體內(nèi)的能量平衡可以得出管內(nèi)流動(dòng)換熱方程為：d j4 : dxCpUmdi當(dāng)換熱系數(shù)：與管長(zhǎng)L無(wú)關(guān)時(shí), 為：方程的解Qx+dxTfUmL圖3管內(nèi)流動(dòng)換熱示意圖TfQx| 。e

20、,對(duì)于整個(gè)管長(zhǎng)可以得到：CpUmdi二 e,er于是整個(gè)管長(zhǎng)內(nèi)的對(duì)流換熱量為:4 A(16)_CpUmdi_ e應(yīng)該是在給定管材的體積下實(shí)現(xiàn)管內(nèi)流動(dòng)換熱過(guò)程的換“），將其代為了獲得經(jīng)濟(jì)的管長(zhǎng)管徑比，熱量最大。在管壁較薄的情況下，管材體積為V，于是有L二40V1入（16）式得到:2二 d iQ 二Umd4當(dāng)換熱系數(shù)與管徑大小無(wú)關(guān)時(shí)上式可寫(xiě)為:,2Q 二。川：（1 e 2 ）,式中，C1 =4 仆3；6 =4啜PCpUm仍）。對(duì)管子換熱量 Q求管內(nèi)徑di的導(dǎo)數(shù)，并令其為零，即 一乞二0 ,就可以得到給定d（di）管材體積情況下的換熱量最大的管子結(jié)構(gòu)尺寸，即z =c2d值或L d值。完成以上工作(1

21、7)得到:1N二 e 。1 - Z從（17）式可見(jiàn)，只有Z=0才能得到最經(jīng)濟(jì)的管子結(jié)構(gòu)，也就是換熱最大或投資成本 最低的情況。但是 Z=0，意味著di fa或者0,但這也是不現(xiàn)實(shí)或不可取的。實(shí)際上，在管內(nèi)流動(dòng)換熱過(guò)程中，換熱系數(shù):和管徑di及管長(zhǎng)L相關(guān)的，通常我們換熱計(jì)算中選取的換熱系數(shù)是相應(yīng)管長(zhǎng)的平均值，可以將 :-視為與L無(wú)關(guān)，但仍然是管徑 di 的函數(shù)（對(duì)于充分發(fā)展的管內(nèi)流動(dòng)）對(duì)于充分發(fā)展的層流管內(nèi)流動(dòng)，換熱計(jì)算關(guān)系式為：Nu=3.66即-3.66 d將其代入（16）式得到:2_c/di Q = c (1 e 一 )式中，5 = pU m r , C2 =14.64 V /（ TCpUm

22、二）。在上式中對(duì)熱流量求管徑的導(dǎo)數(shù)4dQ 并令其為零，可以得出最經(jīng)濟(jì)的Z值關(guān)系式：1e-，式中d(di)11 .5Z4aZ =c2di-。經(jīng)迭代可以求出 Z=0.7628，于是有:PCpUmdi(18)1(L /di) ecom = 0.1907 St 一。對(duì)于充分發(fā)展的紊流管內(nèi)流動(dòng)，換熱計(jì)算關(guān)系式為：Na = 0.023 R0.8P 0.3，即:=cLdi2，式中cL -0.023 P0.3um8V，將其代入換熱方程（16）得到:Q =C1di2(1 _e2di22)m于是有:z，式中 Z = c2d i2,2為獲得最經(jīng)濟(jì)管子結(jié)構(gòu)參數(shù)令J,廠0，得到Z值關(guān)4兒。迭代求解上式得出 Z=0.18

23、77，Cp U m d i(19)(L /di)ecom =0.04693 St 從關(guān)系式（18）和（19）式可以看出， L di的值在通常情況下均沒(méi)有進(jìn)入管內(nèi)充分發(fā)展區(qū)，而處于進(jìn)口區(qū)，此時(shí)管內(nèi)流動(dòng)換熱計(jì)算式就不能采用上面的公式。對(duì)于管內(nèi)紊流流動(dòng)，通常進(jìn)行相應(yīng)的管長(zhǎng)修正，即將按長(zhǎng)管計(jì)算的換熱系數(shù):-換成:2/3:l =二1 （di / L），于是有：0 .8 0.3_0.2 _0.2/3：-L = 0.023 um Pr dj 、1 (d i / L)。采用文獻(xiàn)4的做法得出：(20)4 丄2/3 r1（L/di）eocm = 0.04693 St 1 - （21 .3083 St）上式即為考慮

24、管長(zhǎng)修正的管內(nèi)紊流流動(dòng)換熱的最經(jīng)濟(jì)的管長(zhǎng)管徑比。s2_一 dAtN間距S2內(nèi)有二dbb2 2 do -db2dbbs1 nh圖4順排排列管束的流動(dòng)換熱示意圖管翅式換熱器性能及結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化的熱設(shè)計(jì)方法2.4流體流過(guò)翅片管束的流動(dòng)換熱的過(guò)程的最佳管排數(shù)對(duì)于流體繞流翅片管束的流動(dòng)換熱過(guò)程，總可以在給定換熱面積或體積的條件下力求使其換熱性能最佳，從而產(chǎn)生最佳的換熱結(jié)構(gòu)尺寸。一個(gè)簡(jiǎn)單的順排翅片管束的流動(dòng)結(jié)構(gòu) 如圖4所示。圖中p ua為進(jìn)口處的質(zhì)量流 速，T；和T；分別為進(jìn)、出翅片管 束的流體溫度，Si和S2分別為橫向 與縱向的管間距，db為管子的外直 徑，do為環(huán)形翅片的外直徑， Tw為 管壁溫度，M和

25、N分別為橫向與縱 向的管排數(shù)。今在流場(chǎng)方向上一個(gè) Si間距內(nèi)取一個(gè)換熱微元面積dAt,如圖中虛線(xiàn)所示。由于在一個(gè)縱向的換熱面積（認(rèn)為管高 H方向上換熱均勻，且有 nh個(gè)間距為bs厚為S的環(huán)形翅片），因而2 2有 dAt - :dbbs+ 1 hhdx/S?，計(jì)算中忽略了翅片厚度的影響。于是一個(gè)寬Si流d o _ dbI 2dbbs道內(nèi)的翅片管微元面積上的熱平衡可以表示為:Pu/pStnhbSd 日=一曲兀 db n f2 2d。-db2dbbs+ 1 dx/S2 , J式中日=Tf -T ,=dTf , Cp為流體定壓比熱，：為流體與管壁間的換熱系數(shù)。整理上式得到對(duì)上式進(jìn)行全流程住 pU 31

26、 S2 、L積分得出:二 exp KdbL2 2do - db2dbbs1dx。2do2dbbs從此式可以求得整個(gè)翅片管束的換熱量為Q - :?c p u : MS 1 H 1 - exp-Pc pcS:二dbN2db&S丿(21)式中已將L =S2N代入。對(duì)于叉排也有類(lèi)似的情況，因?yàn)樵谝粋€(gè)Si和S2構(gòu)成的框架內(nèi)不論順排與叉排均有相同的管周長(zhǎng)，也就是有相同的換熱面積。雖然如此，對(duì)于給定相同的換熱面積采用不同的 Si和S2可以構(gòu)成不同的管排數(shù)結(jié)構(gòu)，如SiS2管排結(jié)構(gòu)是寬度大而縱向排數(shù)少，SiS2則是寬度小而縱向排數(shù)多。這樣的差異會(huì)影響到整體的換熱效果和流動(dòng)特征。因此，可以在 MSi和N&為定值，

27、即單位深度的體積為定值的條件下，得出使換熱量達(dá)到最大值的Si和S2的數(shù)值，即最佳的結(jié)構(gòu)尺寸。這也意味著在相同的投資成本下獲得最好的換熱效果，因(d 2 _ d2 、而最佳的結(jié)構(gòu)尺寸就是最經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)尺寸。由于一個(gè)&對(duì)應(yīng)著一個(gè)jidb . d 一 db +iI2dbbs丿的換熱面積，那么MSNndb L do _db +i H為常數(shù)與MSiNS2H為常數(shù)是等效的。因2dbbs丿廣 22-j-j此，令Vd uMStNudb Hf +i H為相當(dāng)體積，從而使公式(2i)變?yōu)椋?dbbs丿從上式可見(jiàn)，在給定體積的前提下如果管長(zhǎng)H給定，橫向管排數(shù) M與橫向節(jié)距Si間存在依變關(guān)系，當(dāng)設(shè)定排數(shù) M后節(jié)距Si成

28、為尋優(yōu)的目標(biāo)。為此可進(jìn)一步將上式改寫(xiě)為2Q - C i Si i - exp( -C 2Si )，式中， 6 = CpU ：MH 二，C2 = : Vd /( CpU ：MH )。因此，要在給定換熱管束的體積(即MSdS2H )下使傳熱量最大，可以求Q對(duì)Si的導(dǎo)數(shù)并令其為零得 出 Ci i -exp( -C2S)(i * 2C2S)L 0e x -pC(Si)= (1 - 2C2Si) 。求解此超越方程得到CzS： =1.255，將C2及Vd的表達(dá)式代入得出:f 22n d。db fI2dbbs+ i =i.255，可改寫(xiě)成db N:?Cp u ： Si，db opt廣22、= 0.7968

29、兀N H +i StI2dbbs丿1.2551、5 d0 -db d4I2dbbs丿N optist -,式中，St =.,/(cpu：) =Nu/(RPr)，稱(chēng)為斯坦登數(shù)，其中的 Nu hd / 、Re二u：d/、.、Pr =；：/a分別是努謝爾特?cái)?shù)、雷諾數(shù)和普朗特?cái)?shù)，式子中的為流體導(dǎo)熱系數(shù)、為流體運(yùn)動(dòng)黏度而a為流體的熱擴(kuò)散系數(shù)。這就是在給定結(jié)構(gòu)體積條件下使換熱量最大的最佳結(jié)構(gòu)尺寸與換熱性能之間的關(guān)系(d2 _d 2 式。注意到(22)式與文獻(xiàn)的結(jié)果只相差一個(gè)翅片的修正項(xiàng).d 一db十1 ，可稱(chēng)為 2dbbs 翅片管束的有效翅化比。由于反映換熱性能的斯坦登數(shù)St又是與換熱過(guò)程的流動(dòng)特征密切相

30、關(guān)，那么此式亦能反映出結(jié)構(gòu)特征與流動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系。換熱性能與流動(dòng)特征間的關(guān)系反映在換熱準(zhǔn)則關(guān)系式中，因而可以將準(zhǔn)則關(guān)系式代入上述最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)式中，從而導(dǎo)出最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)隨流動(dòng)參數(shù)變化的關(guān)系式，也就是換熱參數(shù)與運(yùn)行參數(shù)間的關(guān)系式。如對(duì)于流體流過(guò)正三角形叉排翅片管束時(shí)：0.2960.7180.2820.67St 二 0.1378 S2 /(d0 -db)S1 /(S1 -db) Re 一 Pr 一 ，式中也考慮了原準(zhǔn)則關(guān)系式中米用umax因而在本文中采用u-一的偏差修正項(xiàng)S/(S1d)n，且設(shè)定2( S, / 2)2 2 1/2-S2 -S,。將上式代入經(jīng)濟(jì)管排數(shù)關(guān)系式(22)中，可以得出:Nop

31、t =9.107 二2f屯2dbbs2db0.2820.67(S1 / db) Re Pr0 2960 718S2/(d db)S“(S1 db)(23)3管翅式換熱器的結(jié)構(gòu)特征及性能優(yōu)化3.1結(jié)構(gòu)特征及導(dǎo)致的流動(dòng)特征管翅式換熱器的一般的結(jié)構(gòu)特征如圖3所示。在由翅片管平行排列組成的換熱結(jié)構(gòu)中一側(cè)流體在管內(nèi)流動(dòng)，而另一側(cè)流體在垂直于翅片管的管間流動(dòng)。因此，任意一根翅片管就構(gòu)成一個(gè)管翅式換熱器的基本單元。這也是本文分析討論的對(duì)象。這里設(shè)定d2為翅片管的內(nèi)直徑，d1為翅片管的外直徑(即管基直徑db)， d 0為環(huán)翅片的外直徑，那么翅片高度就為do - d1，翅片厚度設(shè)為3,翅片間距設(shè)為 bs。為了研

32、究問(wèn)題的便利這里僅僅分 析討論換熱器的一個(gè)最小單元，即一個(gè)翅片間距bs所對(duì)應(yīng)的兩側(cè)幾何結(jié)構(gòu)與流動(dòng)傳熱性能。分析該單元不難看出，兩側(cè)單位深度的換熱面積分別為Adb 二（d； _d；）/2和A2= nds，管內(nèi)流體的換熱面積 A2傳遞的熱流量會(huì)再通過(guò)管外翅片側(cè)換熱面積Ai傳給翅片側(cè)流體，在這里熱量的傳遞是經(jīng)過(guò)翅片面積二（d： _d；）/2和肋基面積r：d1bs與流體換熱而實(shí)現(xiàn)的（計(jì)算中忽略翅片厚度3的影響）。由于管翅式換熱器單元的結(jié)構(gòu)，有換熱面積比 ；-AJ A2/d2 - （d（2 -d12）/（2d2bs）, 從 中 也 可 以 得 出2 2bs =（d di ）/2d2（Ai / A2 -d

33、i/d2）。翅片管束采用正三角形排列，如圖5c所示，結(jié)構(gòu)尺寸如前面所述。WLp iuP 2Uma換熱器整體結(jié)構(gòu)示意圖Hb單根翅片管結(jié)構(gòu)示意圖c翅片管束排列示意圖圖5管翅式換熱器結(jié)構(gòu)示意圖3.2綜合性能優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法與步驟優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算從無(wú)翅片側(cè)的管內(nèi)流動(dòng)換熱計(jì)算開(kāi)始，設(shè)定翅片管內(nèi)直徑 d2的數(shù)值，利用公式（14）計(jì)算管內(nèi)流動(dòng)換熱過(guò)程可用能損失率最小時(shí)的最佳運(yùn)行參數(shù)值，即Re pt =5.741442q2 d42320.4P21/3.6。式中下標(biāo)“ 2”表示管內(nèi)側(cè)的幾何量和流體物理量，進(jìn)而應(yīng)用換熱準(zhǔn)則關(guān)系式計(jì)算出流體管翅式換熱器性能及結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化的熱設(shè)計(jì)方法與管壁間最佳的換熱系數(shù)值a 2opt。同

34、時(shí)利用關(guān)系式(20)在此處的表達(dá)式(H / d2)eocm =0.04693 St2 1 - (21 .3083 St?)2廠而得出經(jīng)濟(jì)管長(zhǎng)數(shù)值。當(dāng)設(shè)定翅片側(cè)流體與翅片管間的換熱系數(shù)a 1值之后就可以利用換熱器結(jié)構(gòu)參數(shù)與換熱性能間的最佳匹配關(guān)系式(6)得出兩側(cè)換熱面積比；=入/ A2 =(冷t / : 2)亠2 (此處 沒(méi)有考慮成本費(fèi)用的差異)，式中t = f 上_ ；f為翅片管翅化效率，通過(guò)迭代得到;并以此來(lái)確定翅片側(cè)的結(jié)構(gòu)尺寸。由設(shè)定的換熱系數(shù)a 1值可以計(jì)算翅片的無(wú)因次特征尺寸mhi=2 a 1/ (入s 3) 2hi,式中入s為翅片材料的導(dǎo)熱系數(shù)。按照環(huán)形翅片結(jié)構(gòu)的特 征mhi的最佳數(shù)

35、值約為0.75左右，其對(duì)應(yīng)翅片效率n f=0-70 ,于是得出翅片高度 hi= (do-di) /2=0.75入1 3 / (2 a i) 1/2。在環(huán)形翅片的厚度 3給定的條件下，環(huán)形翅片的外直徑d 0就可以在給定管外直徑di的情況下而得到。于是可以設(shè)定翅片管束的排列方式而定下其結(jié)構(gòu)尺寸。這里設(shè)定橫向間距 Si=d,在管束按正三角形排列下就可計(jì)算出橫向間距比Si/di和縱向間距比S2 / d 3 / 2) S1 / d1及縱向尺寸S2。同時(shí)翅片間距也可有關(guān)系式15)式計(jì)算，即1 / 3 .402bs =(d； -di2)/2d2(A / Adi/d2)而求得。于是在翅片管側(cè)的結(jié)構(gòu)特征確定之后

36、，其最佳運(yùn)行參數(shù)值就可由(2 , 42.0860.9270.33Rei opt = 0.3222 qi di (-di / Si) (Si / di) Pr30.296式中下標(biāo)“ 1 ”表示翅片管側(cè)iTim ：P- i S2/(d0 - dj的幾何量和物理量。以Reiopt就可從換熱準(zhǔn)則關(guān)系0.7180.7180.33 rRe Pr中計(jì)算出：-iopt。0.296Nu 二 0.1378 S2/(d。一db)Si /(Si -db)用新計(jì)算出的oti：pt代替設(shè)定值i重新計(jì)算出換熱面積比 = (A/A2) =( a i n i/ a2) -i/2，重復(fù)上述計(jì)算直至重新得出：opt。上述重復(fù)計(jì)算工

37、作直到前后兩次計(jì)算結(jié)果僅相差一個(gè)設(shè)定的小量時(shí)就結(jié)束。在以上計(jì)算中應(yīng)注意，熱流密度設(shè)定以管內(nèi)側(cè)為準(zhǔn)，以及兩側(cè)之間的換算，即qi二q2(；i)。此時(shí)再利用關(guān)系式(23 )求得經(jīng)濟(jì)管排數(shù)值，即Niopt =9.107 二2 2d0 dif2dibs0.2820.67(Si / di)Reiopt Pr0.296-1S2 心 0 di) Si /(Si di)0.718最后整化上面計(jì)算所得的數(shù)據(jù)，最后完成管翅式換熱器綜合性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。3.3管翅式換熱器優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)典型算例為了更加說(shuō)明管翅式換熱器綜合性能優(yōu)化的全過(guò)程，這里以水和空氣間的流動(dòng)傳熱過(guò)程為例設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)化的管翅式換熱器。按照上面所述的計(jì)

38、算步驟，設(shè)定水在管內(nèi)流動(dòng)而空氣在有翅片管外橫向流動(dòng)，水的物性參數(shù)為 p 2=995.7 kg/m3, Cp2=4174 J/(kg C )，入 2=0.618W/(m C ), v 2=0.805 x 10-6 mi/s , P2=5.42 ;空氣的物性參數(shù)為 p 1=1.165 kg/m 3, Cpi=1005 J/(kg C ) ,=0.0267 W/(m C ), v 1=16.00 x 10-6 nVs , P1=0.701。為了計(jì)算上的便利忽略溫度因子的影響，且設(shè)定平均溫 度 Tm=303 K。設(shè)水側(cè)管內(nèi)直徑為 d2=22mm對(duì)于紊流管槽內(nèi)的流動(dòng)換熱過(guò)程，其準(zhǔn)則關(guān)系式分別為：換熱關(guān)系

39、式Nu =0.023 Re 0.8 Pr 0.4和流動(dòng)阻力關(guān)系式= 0.046 Re皿，因而得出(13) 式在設(shè)定q2 =104W / m4下可a2=0.023、n2=0.8、k2=0.4、b2=0.046、m=0.2。利用以計(jì)算出管內(nèi)水流動(dòng)的最佳雷諾數(shù)值= 5.741444= 4.7203210 。進(jìn)而從得到St2opt = 9.694710,同時(shí)可以算出經(jīng)濟(jì)管長(zhǎng)管和換熱系數(shù)：-2opt =0.023 丄 Re；：t Pr 0.4 =6967 .39W /(m2 C)。d 2徑 比(H /d2)econ =0.04693 St2Xi - (21 .3083 St2)2/3 F =47.725

40、 , 也 就是經(jīng) 濟(jì)管長(zhǎng)H econ =1.0506 m?；谏鲜鲇?jì)算，設(shè)翅片管束與空氣間的換熱系數(shù)a 1=50W/ (m C),可在n 1=n f=0.7假 設(shè)下得 面積比 =A/A2=( a 1 n 1/ a 2opt)-1/2 =14.11,以此可 以計(jì)算t = f ；丄-；f = 0.7 2 1,3經(jīng)過(guò)迭代；-13 .8965和 0.7216。此時(shí)可以選擇空氣側(cè)的翅片參數(shù)了。對(duì)于環(huán)形翅片，在給定n f=0.7時(shí)有結(jié)構(gòu)特征參數(shù)值mh1=0.75,由mh1=1/22 a 1/(入sS ) (d0-d1)/2，如果假設(shè)翅片材料為合金鋁，其導(dǎo)熱系數(shù)入s=174W/(m C )，取厚度S =0.

41、2mm，就可以計(jì)算出環(huán)形翅片外直徑與翅片管外直徑的差值d0-d1=1.5/2 a 1/(入s1/2S ) =0.02798，如設(shè)定翅片管的外直徑d1=0.025m，那么環(huán)形翅片外直徑d=0.05298m。此時(shí)可以布置翅片管排列， 如上述設(shè)定橫向間距S1=d 0= 0.05298m ,在管束按正三角形排列下就可計(jì)算出橫向間距比S1/d1 =2.1193和縱向間距比S2/d：( ,3/2)S1/d1 =1.8354及縱向尺寸S2=0.04588m。44_12由 q2 =10 W /m 可以算出 q1 2( ； 1) =997 .236 W /m管翅式換熱器性能及結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化的熱設(shè)計(jì)方法于是在翅片管

42、側(cè)的結(jié)構(gòu)特征及換熱熱流密度確定之后，其最佳運(yùn)行參數(shù)值就可由 (15)式計(jì)算，即Reipt =0.3222 “242.0860.927 0.33q1 d1 ( d 1 / S1)(S1 / d1) Pr -1 /3.40230 .2961T1m 宀S2 /( do - di )二 1785 .387。以Re1opt就可從換熱準(zhǔn)則關(guān)系式中計(jì)算出新的換熱系數(shù)值0.2960.7187180.332：-1opt =0.1378 (，1 / dj S2/(d。_db)SMSdb) Re Pr 51 .73522 W/(m - C)。用新計(jì)算出的換熱系數(shù)值代替假設(shè)值可重新求出 = 13.657, d0-d1

43、=0.0275m，和d0=0.0525m。同樣布置下有S1=d=0.0525m，橫向間距比s,/d, =2.1003和縱向間距比S2 / d1 =( . 3 / 2)S1 / d1 =1.8189 及縱向尺寸 S2=0.04547m。由 q2=14W/m4 可以算出q1 =q2 )10 14.3 W / m，進(jìn)而算出 Re1opt =1783 .23 和冷opt =51.705 W /( m - C)。計(jì)算結(jié)果基本上收斂。為了檢驗(yàn)計(jì)算過(guò)程的收斂情況，這里重新假定空氣與翅片管間的換熱系數(shù)值?! =70 W /(m2 C)，有 = 11. 127, d0-d1=0.02365m，和 d0=0.04

44、865m。同樣布置下有S1=d0=0.04865m，橫向間距比 sjd, =1.946 和縱向間距比 S2/dr,3 /2) S1 / d1 =1.6853 及1 2縱向尺寸 S2=0.04213m。由此可以算出 q1二q2( ； J =1176.72 W/m，進(jìn)而計(jì)算得出Re =1788 .42 和：蝕t =56.339 W/(m2 C)。以新?lián)Q舊重復(fù)計(jì)算得出： = 13.6526, n 1 =0.7219, d0-d1=0.0275m , d=0.0525m , S1=d = 0.0525m , S! / d! =2.0999, s2 / d1 =1. 8186,12S2=0.0455m

45、, q1 =q2( ； J =1014.529 W/m , Re1opt =1763 .233 , :- 1opt =51.702 W/(m2 C)從上面的結(jié)果可以看出，不論是從大換熱系數(shù)還是從小換熱系數(shù)假設(shè)都能得出收斂的 優(yōu)化結(jié)果。利用上面的設(shè)計(jì)計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行整化工作，并最后計(jì)算最佳翅片間距值22_3b = (d 0 - di ) / 2 d 2 (Ai / A2 - d 1 / d 2) =3.87 10 m和最佳縱向管排數(shù)值NW =9.1072 2 d “1fi 2dtbs0.2820.67(S1 / d1) Re1opt Pr丿_ S2/(d。一dj 0.296 S1/(S1 dj0.7

46、182 457最后將整理的數(shù)據(jù)列在表 1中。至此就完成了整個(gè)管翅式換熱器綜合結(jié)構(gòu)、流動(dòng)與傳 熱參數(shù)優(yōu)化的熱設(shè)計(jì)工作。這種設(shè)計(jì)方法在進(jìn)行的過(guò)程中僅僅采用了兩種人為設(shè)定參數(shù)， 即熱流密度和翅片管的幾何尺寸，且這類(lèi)數(shù)據(jù)極易于改變而得出更多種的選擇；而獲得的 重要設(shè)計(jì)參數(shù)卻是有其理論根據(jù)。因此，這種方法要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于常規(guī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。管翅式換熱器性能及結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化的熱設(shè)計(jì)方法表1管翅式換熱器綜合性能優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)列表翅片管內(nèi)直徑d2水側(cè)熱流密度q2水側(cè)雷諾數(shù)Re水側(cè)換熱系數(shù)a 2翅片管長(zhǎng)度H0.022m210000W/m2472032x1046967.4W/(m2C)1.05m翅片管基直徑d1翅片厚度8翅

47、片效率n f翅化效率n1換熱面積比 =A/A20.025m-42 x 10 m0.700.72213.66翅片高度d0-d1環(huán)形翅片外直徑d0翅片管翅片間距bs管束橫向間距比S/d1管束縱向間距比S/d10.0275m0.0525m3.87X 10-3m2.101.82氣側(cè)熱流密度q2氣側(cè)雷諾數(shù)Re氣側(cè)換熱系數(shù)a 1翅片管束縱向管排數(shù)N換熱器寬度21014W/m21762.4051.70 W/(m2C )2.46(取 3)(由熱負(fù)荷定)參考文獻(xiàn)(1) 羅森諾 W H傳熱學(xué)應(yīng)用手冊(cè)(上) 北京：科學(xué)出版社 1992(2) 陳維漢：換熱器兩側(cè)表面最佳匹配的一般化推導(dǎo)，華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)；1999年，

48、27( supl)(3) 陳維漢、孫毅：傳熱過(guò)程 火損失率方程及參數(shù)優(yōu)化，華中理大學(xué)學(xué)報(bào)；1996年.24( Sup1)(4) 陳維漢：管內(nèi)流動(dòng)換熱過(guò)程的性能綜合分析，華中理大學(xué)學(xué)報(bào)；2001年.29( Sup1)(5) 陳維漢、周飚：流過(guò)管束的流動(dòng)換熱與結(jié)構(gòu)的綜合性能評(píng)價(jià)，華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)；2004年，32( 2)(6) 陳維漢、周飚：一種流體流過(guò)管束傳熱的綜合性能評(píng)價(jià)方法，化工裝備技術(shù)；2003年，24( 2)(7) D. E. Briggs, and E. H. yong: “Convective heat transfer and pressure drop of air flowing acrosstriangular pitch banks of finned tubes ” Chem. Eng. Symp. Series, V)l. 59, No. 41, 1963(8) K. K. Robinson, D. E. Briggs: “ Pressure drop of air flowing across triangular pitch banks of finned tubes” Chem. Eng. Symp. Series, Vol. 62, No. 64, 1966An Optimal desig n Method in con si