概率統(tǒng)計隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征知道了隨機(jī)變量的概率分布也就知道了它的全部統(tǒng)計特性然而，在許多實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的概率分布往往不易求得，也有不少實(shí)際問題并不需要我們知道隨機(jī)變量的全部統(tǒng)計特性，而只需要知道它的某些主要統(tǒng)計特征舉例：學(xué)生成績首先要知道平均成績，其次又要注意各個學(xué)生的成績 與平均成績的偏離程度平均成績越高，偏離程度越小，學(xué)生學(xué)習(xí)成績就越好。我們把表示隨機(jī)變量某些特征的數(shù)值稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征，它們反映了隨機(jī)變量的某些本質(zhì)屬性.許多重要的分布往往由這些數(shù)字特征唯一確定.本章主要介紹數(shù)學(xué)期望、 方差、相關(guān)系數(shù)和矩.第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一數(shù)學(xué)期望的定義1. 引例設(shè)有十個數(shù)字1 ,1,2,2,2,

2、3,3,3,3, 4以X表示平均值，則有X / 1 2 2 2 3 3 3 3 2.4,10又可以寫成X=1 2 3 4 4丄 2.4。顯然，這里的，實(shí)際上是數(shù)字1, 2, 3,10 10 10 10 10 10 10 104在這十個數(shù)字中所占的份額，我們可以稱之為這四個數(shù)字的“權(quán)重”，所以上式又可稱為是 1, 2, 3,4這四個數(shù)字的加權(quán)平均數(shù)。再換一個角度，設(shè)想這是十張寫有數(shù)字的卡片，隨機(jī)從中取出一張，觀察到的數(shù)值為X，則它是一個隨機(jī)變量，它的可能取值為1 , 2, 3, 4，而它的分布律為：2341P1= PX=1,P2=PX =2,P3=PX =3,P4= P：X=4,10101010

3、因此，1 -2 -3 -4丄 XkPk.實(shí)質(zhì)上就是隨機(jī)變量X的取值的平均數(shù)。受此問題的啟發(fā)，10101010k引出如下數(shù)學(xué)期望的定義2. 數(shù)學(xué)期望(Mathematical expectation )或均值(Mean的定義1) 定義設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為 pfx =xJ-Pk, k =1,2,III如果級數(shù)Xk Pk絕對收斂，則定義 X的數(shù)學(xué)期望為E X =XkPk.；k總k壬2) 定義設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f x，如果廣義積分.二xf x dx絕對可積，則定 義X的數(shù)學(xué)期望為E X =呂xf x dx.【注1】數(shù)學(xué)期望即隨機(jī)變量的平均取值，它是X所有可能取值以概率為權(quán)

4、重的加“權(quán)”平均.考察隨機(jī)變量的平均取值.【注2】連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的實(shí)質(zhì)是相同的：相當(dāng)于a ;3x相當(dāng)于xk ； f x dx相當(dāng)于Pk.【注3】物理解釋：數(shù)學(xué)期望一一重心.設(shè)有總質(zhì)量為 m的r個質(zhì)點(diǎn)A1,A2)|，A構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，記點(diǎn)A在x軸上的坐標(biāo)為x，質(zhì)量為mi (i =1,2,l|l, r )，求該質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo).解：記質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)為xc，于是九=為0壯 +川+m= xm，這里 巴是在點(diǎn)x處的質(zhì)量mi土 mm占總質(zhì)量的比重，因此是以為權(quán)的加“權(quán)”平均.例1甲、乙兩人作射擊比賽，命中環(huán)數(shù)分別為X18910Pk0.4 0.10.5X1,X2，它們的分

5、布律分別為x2| 8910Pk0.40.20.4問：哪一個射手的本領(lǐng)較好?解 E(X1) =8 0.49 0.1 10 0.5 =9.1 (環(huán))E(X2) =8 0.4 9 0.2 10 0.4 =9.0 (環(huán)) 顯然，E(X1) E(X2)，因此甲比乙的本領(lǐng)要好些.例2設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：xf x = 1 x，-1空x空0，求e(X). -|1 x, 0 ： x 二1解:- 0 1E x 二：xf xdx / 1 xdx x xdx 二3 23二隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1. 定義設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)P(X二xJ = Pk，k =1,2,| , y二f X為連續(xù)函數(shù)，且級數(shù)f

6、Xk Pk絕對收斂，則 X的函數(shù)丫 = f X的數(shù)學(xué)期望為E Y；=E f x 二f耳Pkk 1k Ubo2. 定義設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，如果廣義積分-:g(x)f(x)dx絕對收斂，-be則X的函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為：Eg(X) = Jggf (x)dx例3.設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律如下，求：E (x2).X 012P 3/10 6/101710解：E X2 = 020.3 - 120.6 - 220.1 =1.例4.設(shè)風(fēng)速X是一個隨機(jī)變量，在0 , a上服從均勻分布，而飛機(jī)的兩機(jī)翼受到的壓力Y與風(fēng)速X的平方成正比，即，Y kX2 k 0，求：E Y .解：X的密

7、度函數(shù)為x = a，0，而yi衛(wèi)，xa0 _x _aa 2 11 2，所以 E Y 二.g(x)f xdx 二 0 kx -dxka .a3三數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1. E(C) =C (其中c為常數(shù));2. E CX二CE X (其中c為常數(shù))；3. E(X +Y)=E(X)+E(Y)；4. 如果X與Y相互獨(dú)立，則E(XY)二E(X)E(Y).例4.若X的數(shù)學(xué)期望E (X)存在，求：E |3X -3E X解：E |3X -3E X3X -E |3E X ：| 3E X -3E X j=0第二節(jié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差一方差(Variance )與標(biāo)準(zhǔn)差(Standard deviation )的概念1. 方差與

8、標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義設(shè)X是隨機(jī)變量，若EX -E(X)2存在，則稱EX _E(X)2為X的方差，記為D(X)或Var(X)，即D(X)二Var (X)二E X 一 E( X)2.隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差 D(X)的算術(shù)平方根.D(X)，記為二(X).從定義中可清楚地看出：方差實(shí)際上是隨機(jī)變量 X的函數(shù)g X ；.-|X_E X 2的數(shù)學(xué):二 2期望，于是當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量，其方差為D X =7兀_E X Pk ；KJ 一-當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其方差為D X二；xE X 2 f xdx.【注1】方差描述的是隨機(jī)變量取值的波動程度，或隨機(jī)變量偏離均值的程度.2. 計算方差的簡便公式：利用數(shù)學(xué)期

9、望的性質(zhì)，可以得到：D(X )=e, E(X=Ex2 2XE(X )+E(X= E(X2 )_2E(X )E(X )+E(X=E(X2尸E(X )f .因此，方差的計算常常用簡便公式：D(X)=E(X2)-E(X)例1設(shè)X f (x)1 1 111+X-XO,其014_2 11E(X2 )=Lx2(1+xdx+x2(1-x)dx=6 ；所以：D(X )=E(X2)-E(X )丁 二-。尊.二方差的性質(zhì)1. D(c) =0(c 是常數(shù))；22. D CX 二 C D X (c 是常數(shù));3. D X C =D X (c 是常數(shù));4. 如果X與Y獨(dú)立，則D(X YWDg P(Y)這個結(jié)論可以推廣

10、到有限個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況：設(shè) Xi,X2川 l,Xn 相互獨(dú)立，則有 D(X1 X|l XnD Xi DX2 fDXn .例2.設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X與Y，它們的方差分別為 4和2,求D 3X 2Y解: D 3X 2Y ；=D 3X D 2Y ；=9D X 4D Y 4 4 2 =44 .例3.隨機(jī)變量X有E X =D X，且已知EX -1 X -2 =1,求E X ,D X解：由 E &X -1 X 2 )=EX2 3X +2=E(X2 )3E(X )+2 =D(X )+_E(X 并3E( X )+2=e(X )1 2E(X )+2=1, E(X )12 =0，故:E(X )=

11、1 =D(X ).a _x _bx a, x b常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布名稱數(shù)學(xué)期望方差0-1分布pP(1 T)二項(xiàng)分布B (n, p)npn p (1 T)泊松分布n (入)k均勻分布U Rba +b2(ba)212指數(shù)分布ExpUJ11&n 2 扎正態(tài)分布N比尋)P2CT例4.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間a,b 上服從均勻分布，求E X ,D XE X jxf x dx = j x &dx；2- - 2b 211222b -a12= x f x dx x dx a ab b ； D X 二E X2 H_E X 彳冷 a2 ab b2 一 竽 例5.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，求E

12、X ,D X解：由二項(xiàng)分布的定義可知：隨機(jī)變量X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，且在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p .現(xiàn)在引進(jìn)隨機(jī)變量 Xi=F(i =1,2,l|),n ),仗=訃表示在第i次試驗(yàn)中A發(fā)生；Xi=o I。，表示在第i次試驗(yàn)中A不發(fā)生，則 X hX! Xl Xn .因?yàn)楦鞔卧囼?yàn)的獨(dú)立性，且pfXi =1、P，pfXi =0丄1 -p ,可得：E Xi i=01_P 1 p=p, E Xi2 i=021_p 12 p = p,D Xi二 EX2X?=pp2=pip ,i =1,2,|, n所以：E Xi=EXiX2III Xn i=E Xi E X2IH E Xn 二 np；

13、D X二DXi X2 IIIXn二 DXiDX2川 DXn二 np 1 p .【注2】當(dāng)直接求某個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或方差有困難或計算麻煩時，一個較為有效的處 理技巧是把它分解成若干容易求數(shù)學(xué)期望或方差的隨機(jī)變量的和，從而可以方便地求出該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或方差。四切比雪夫(Chebyshev)不等式切比雪夫定理對于隨機(jī)變量 X , E(X)二i , D(X)二二，則對于任意；0,_ 2P| X匕或P| X -??； _1切比雪夫(Chebyshev)不等式(證略)【注2】從定理中看出，D(X)越小，隨機(jī)變量X取值于(EX 一 ；，EX ；)中的概率就越大,這就說明方差是一個反映隨機(jī)變量的概率分

14、布對其分布中心(EX)的集中程度的數(shù)量指標(biāo).【注3】利用切比雪夫不等式，可以在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下估算事件 X - ”： ；的概率(只不過精度太差)切比雪夫不等式在理論上的意義更大一些例6.設(shè)隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望E X = J方差D X -；2 =0，若Y二X ，求e Y及解： E Y = E ! = - E X-，= - | E X 一=0D（Y網(wǎng)2 ）_E（Y =E （弓片存（X呵罟諄=1例7.設(shè)隨機(jī)變量X,X2川l,Xn相互獨(dú)立，1 nX二、Xi的數(shù)學(xué)期望和方差.n i:_fi ni ni解：E(X) =E 、XiE Xi =i 丿 n i土n1 n服從相同的分布，且 E X

15、=,D X =；2，求- .1 n 1D X D 、XiQ D Xi =-25 i# 丿 n i 住* n22 CT n :二n這說明：X 一卩Y -具有數(shù)學(xué)期望為0，方差為1.稱Y為X經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量CT例8.某批產(chǎn)品的次品率為 0.04 ,試用切比雪夫不等式估計15000件產(chǎn)品中，次品數(shù)在500700件之間的概率.解：設(shè)次品數(shù)為 X,則X服從二項(xiàng)發(fā)布，所以E X= np =15000 0.04 =600 ;D X 二npq =15000 0.04 0.96 =576 ,即 P：5D :X 70 f P X 68D 1；：；,其中；=100.由切比雪夫不等式 PX-E X人1-丄二可得:

16、S-P500 ：X ：700l=PX -600 ：100?_1 5 =10.0567 = 0.9433. 1002*第三節(jié)矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)一. 協(xié)方差(Covarianee)設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量(X,Y)的協(xié)方差定義為cov(X,Y)=E(X E(X)(YE(Y). 計算協(xié)方差常用下列公式：cov(X,Y)=E(XY)_E(X)E(Y).當(dāng) X 二Y 時，cov(X,Y) =cov(X,X)二 D(X).協(xié)方差具有下列性質(zhì)：(1) cov(X,c) =0 (c是常數(shù))； cov(X,Y) =cov(Y,X)； cov(kX,IY)二 kl cov(X,Y)(k,l 是常數(shù))

17、； cov(X, X2,Ycov(X,Y) cov(X2,Y)注 1 Cov(X,X) =D(X).注 2 Cov(X,Y) =E(XY) -E(X)E(Y).注 3 D(X _Y) =D(X) D(Y) _2Cov(X,Y).相關(guān)系數(shù)(Correlation coefficient隨機(jī)變量(X,Y)的相關(guān)系數(shù)定義為=_cov(X,Y)_D(X)D(Y)相關(guān)系數(shù)：XY反映了隨機(jī)變量X與Y之間線性關(guān)系的緊密程度，當(dāng) 丨:?xy |越大，X與Y之：xy 時，稱X與Y不相關(guān).間的線性相關(guān)程度越密切，當(dāng) 相關(guān)系數(shù)具有下列性質(zhì)：| xyQ.| *的充要條件是P(丫二aX b) =1，其中a,b為常數(shù)；若

18、隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，則 X與Y不相關(guān)，即：XY = 0，但由：X 0不能(1)(3)推斷X與Y獨(dú)立.(4) 下列5個命題是等價的：.XY = 0 -cov(X,Y) =0 ；E(XY)二 E(X)E(Y)；D(X Y) = D(X) D(Y)；D(X -丫)二 D(X) D(Y).(i)(ii)(iii)(iv)(v)利用協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)可以計算D(X 一丫) =D(X) D(Y) 2cov(X,Y) =D(X) D(Y) 一2 匚丫 D(X) 、D(Y).注4： XY的大小反映了 X與丫之間的線性關(guān)系.若X丫 0，則說X與丫間正相關(guān)(X丫二1，完全正相關(guān))；若匚丫 ：0，則說X與丫間負(fù)相關(guān)(匚丫 =T，完全負(fù)相關(guān)).【注5 X與丫不相關(guān)表示X與丫之間不存在線性關(guān)系.【注6】X與丫不相關(guān)二 凡二 Cov(X,Y)=0 二 EXY=EX EY= D(X _Y) = D(X) D(Y).【注7】若X與丫相互獨(dú)立，則X與丫不相關(guān)反之不然，反例見教材.三k階原點(diǎn)矩與k階中心矩隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩定義為 E(X k)；k隨機(jī)變量X的k階中心矩定義為