畢業(yè)論文-特殊類型定積分的計算方法與技巧

1、 特殊類型定積分的計算方法與技巧 xx學院xx專業(yè) xx屆 xx摘 要: 定積分的計算是微積分的一個重要組成部分,在定積分的計算中，一些容易求得原函數(shù)的常用牛頓萊布尼茲公式計算，而一些不易求原函數(shù)的特殊類型的定積分的計算是卻是難點，本文通過舉例分析了幾種特殊類型的定積分的計算方法與技巧,開拓解題思路,提高計算定積分的能力.關鍵詞: 定積分; 特殊類型；計算方法中圖分類號: o172.2 methods for computation of special type of definite integral abstract：the calculation of definite integra

2、l is a main part of calculus, and in the calculation of definite integral, it is easy for newtonleibniz to compute the original function. while the most difficult point is the uneasy computation of the original function in some special types of definite integrals calculation. in order to solve these

3、 types of problem, in this article, the author not only gave some examples but also analyzed the method in these special types of definite integral. meanwhile, this paper offers some methods and calculation to deal with some of these special types definite integral to exploit new tracks to solve pro

4、blems and improve ours capability.key words: the integral; special type; calculation method 目錄1 引言12 對稱性與奇偶性定積分的計算22.1 利用對稱區(qū)間上奇、偶函數(shù)的定積分性質22.2 利用對稱區(qū)間上非奇、非偶函數(shù)的定積分性質22.3 利用非對稱區(qū)間可轉化為對稱區(qū)間定積分的性質33 周期函數(shù)在一些定積分中的計算43.1 以為周期的周期函數(shù)定積分43.2 以為周期的周期函數(shù)定積分44 利用特殊公式計算定積分54.1 利用遞推公式計算定積分54.2 對稱區(qū)間上公式的推廣64.3 非對稱區(qū)間上公式的推廣

5、65 分段函數(shù)的定積分的計算76 含有絕對值符號的定積分的計算76.1 找“零點”分區(qū)間，將絕對值脫去86.2 利用被積函數(shù)的奇偶性在對稱區(qū)間上的性質計算定積分96.3 利用分段函數(shù)進行積分96.4 利用適當?shù)淖兞看鷵Q法求定積分的值107 含有變上限（變下限）的定積分的計算118 巧用二重積分求解定積分129 利用泰勒級數(shù)求定積分的值12結束語13參考文獻13致謝14特殊類型定積分的計算方法與技巧1 引言定積分的計算是微積分學的重要內容，其應用十分廣泛，它是包括數(shù)學及其它學科的基礎.常見的定積分的計算方法包括分項積分法、分段積分法、換元積分法、分部積分法.另外對于找不出原函數(shù)或者被積函數(shù)十分復

6、雜的定積分，往往是很難求出其原函數(shù)的，從而無法用牛頓-萊布尼茲公式求解.針對這樣的情形，本文有必要在此基礎上研究出新的計算方法.對此本文總結了一些特殊類型定積分的計算方法，其中包括對稱性與奇偶性的定積分的計算、周期函數(shù)的定積分的計算、用特殊公式計算定積分、分段函數(shù)的定積分的計算、含絕對值的定積分的計算，特別的，在含絕對值定積分的計算中，我們又詳細的分為了四種方法，包括找“零點”法，將絕對值脫去法，用被積函數(shù)的奇偶性在對稱區(qū)間上的性質計算定積分、利用分段函數(shù)進行積分、以及利用適當?shù)淖兞看鷵Q求定積分的.另外還有一些特殊類型定積分的計算技巧，例如巧用二重積分求解定積分和泰勒級數(shù)公式求解定積分，并列舉

7、相應的例子進行了說明.然而，這些方法的應用都是不同的，如對稱性與奇偶性的定積分的計算方法主要是利用被積函數(shù)的對稱性和奇偶性的特點來簡化計算，周期函數(shù)的定積分的計算方法主要是在被積函數(shù)具有周期性這一特點時來應用的，用遞推公式計算定積分的方法主要是應用在求三角函數(shù)定積分以及正余弦函數(shù)定積分互換中，利用分段函數(shù)進行積分的方法主要是當被積函數(shù)是給定函數(shù)與某一簡單函數(shù)復合而成時，要通過變量代換將其化為給定函數(shù)的形式來加以應用的，含絕對值的定積分的計算方法主要是應用在被積函數(shù)中含絕對值符號不易計算時來應用的，每一種方法都有其各自的特點，當然，這些方法有時也是相通的，本文將視具體情況具體討論. 2 對稱性與

8、奇偶性定積分的計算 2.1 利用對稱區(qū)間上奇、偶函數(shù)的定積分性質 設為奇函數(shù)，則.設為偶函數(shù)，則.例2-11 計算定積分分析：注意到是區(qū)間上的偶函數(shù)，是區(qū)間上的奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性不難求得所給定積分的值.解 因為是區(qū)間上的偶函數(shù)，故 因為是區(qū)間上的奇函數(shù)，故 于是 = = 2.2 利用對稱區(qū)間上非奇、非偶函數(shù)的定積分性質對任何函數(shù),有（1） （2）例2-22 求定積分 解 令 則 利用公式（1） 原積分例2-32 求定積分解 令 利用 所以有利用公式（2）則原積分 2.3 利用非對稱區(qū)間可轉化為對稱區(qū)間定積分的性質對任何區(qū)間,有（1）例2-42 求定積分 解 令 那么 ,利用公式（1）有

9、3 周期函數(shù)在一些定積分中的計算 3.1 以為周期的周期函數(shù)定積分設函數(shù)是定義在上的可積的周期函數(shù)，是它的一個周期，對，有，即周期函數(shù)在一個周期上的定積分等于常數(shù).例3-13 計算.解 =. 3.2 以為周期的周期函數(shù)定積分設是以為周期的連續(xù)函數(shù)，則對，有.例3-23 計算解 是以為周期的函數(shù).于是 = = =4 利用特殊公式計算定積分 4.1 利用遞推公式計算定積分三角函數(shù)遞推公式：例4-14 計算解 = = 4.2 對稱區(qū)間上公式的推廣設在上連續(xù)，則例4-24 求定積分 的值.解 原式 4.3 非對稱區(qū)間上公式的推廣設在上連續(xù)，則例4-34 求定積分 的值.解 原式 5 分段函數(shù)的定積分的

10、計算對于此類題要認清楚積分上下限是被積函數(shù)定義域的哪個區(qū)間段的端點，然后按段積分求和；當被積函數(shù)是給定函數(shù)與某一簡單函數(shù)復合而成的函數(shù)時，要通過變量代換將其化為給定函數(shù)的形式，與此同時積分限也要相應改變.例5-15 設 求 分析：先把被積函數(shù)化為,積分上下限要相應改變解 令 = =6 含有絕對值符號的定積分的計算當被積函數(shù)中含有絕對值符號時，首先要根據積分變量在積分區(qū)間的范圍設法去掉絕對值符號，再進行計算.有些積分要根據被積函數(shù)和積分區(qū)間的不同情況，采用不同方法進行計算.以下將介紹幾種特殊的方法來簡化運算. 6.1 找“零點”分區(qū)間，將絕對值脫去先令絕對值內式子等于零，求出被積函數(shù)在積分區(qū)間上

11、的根，將積分區(qū)間分為若干子區(qū)間，在每一段上去掉絕對值符號，再分段積分.例6-15 計算.解 例6-26 求 的值.解 6.2 利用被積函數(shù)的奇偶性在對稱區(qū)間上的性質計算定積分例6-37 求 的值.解 因為是偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分由偶函數(shù)在對稱區(qū)間上積分的性質得 又是奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積分的性質知 故 6.3 利用分段函數(shù)進行積分例6-48 求 其中e為閉區(qū)間中使被積函數(shù)有意義的一切值所組成的集合解 因為在所給的中的區(qū)間中有意義，而在區(qū)間中化成分段函數(shù)即可去掉絕對值，亦即可求積分值了故 例6-59 計算 解法1 化成分段函數(shù)后積分, 解法2 注意到是奇函數(shù)在對稱區(qū)間上

12、的積分，由奇函數(shù)在對稱區(qū)間的性質知 而 故 6.4 利用適當?shù)淖兞看鷵Q法求定積分的值例6-610 計算 解 利用變量代換, 令 則 7 含有變上限（變下限）的定積分的計算對于此類題可用分部積分法做，將變上限（變下限）積分取作，其余的部分取作;也可將原積分化為二重積分,再更換累次積分次序. 例7-111 設計算分析：把取作取作解 =另解 =8 巧用二重積分求解定積分例8-112 計算積分.解 因為，所以=.故.9 利用泰勒級數(shù)求定積分的值例9-112 求定積分.解 而冪級數(shù) 于是有結束語本文給出了幾種特殊類型的定積分的計算方法，主要包括含絕對值的定積分的計算、對稱性與奇偶性的定積分的計算、周期函

13、數(shù)的定積分的計算、分段函數(shù)的定積分的計算、巧用二重積分求解定積分以及巧用泰勒級數(shù)公式計算定積分，并列舉相應的例子進行說明. 參考文獻1 同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學(上)m.北京:高等教育出版社，2001.2 劉書田、馮翠蓮.微積分m.北京:高等教育出版社,2003.3 龔冬保.高等數(shù)學典型題m.西安:西安交通大學出版社,2000.4 數(shù)學分析:上冊m.第三版.北京：高等教育出版社，2001.87.-5 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法m.北京：高等教育出版社，2001.128-167.6 繆彩花.淺談定積分的計算技巧j.高校理科研究,2007.545-547.7 羅威.定積分計算中的若干技巧j.沈陽師范大學學報,2010,28（02）:165-1688 李大華等. 高等數(shù)學典型問題100類. 華中工學院出版社.9 張自蘭等. 高等數(shù)學證題方法. 陜西科學技術出版社.10 費定暉,周學勝.數(shù)學分析習題集題解（三）m.濟南：山東科學技術出版社，1999.11 林學文.被積函數(shù)含絕對值的定積分的計算j.二炮工程學報,1994(04).12 李若平.某些定積分的特別積分法j.工科數(shù)學,1991,01（07）:179-181致謝本文是在xxx老師的悉心指導和嚴格要求下完成的，從選題到定稿，無不凝聚著老師的