曲線和方程教案_第1頁
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文檔簡介

1、課 堂 教 學(xué) 設(shè) 計課題:曲線和方程(1)一:教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)(1) 了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系;(2) 初步領(lǐng)會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念;(3) 學(xué)會根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力,同時強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。過程與方法目標(biāo)(1)通過直線方程的復(fù)習(xí)引入,加強學(xué)生對方程的解和曲線上的點的一一對應(yīng)關(guān)系的直觀認(rèn)識;(2)在形成曲線和方程概念的過程中,學(xué)生經(jīng)歷觀察,分析,討論等數(shù)學(xué)活動過程,探索出結(jié)論并能有條理的闡述自己的觀點;(3)能用所學(xué)知識理解新的概念,并能運用概念解決實際問題,從中體會轉(zhuǎn)化

2、化歸的思想方法,提高思維品質(zhì),發(fā)展應(yīng)用意識。情感與態(tài)度目標(biāo)(1)通過概念的復(fù)習(xí)引入,從特殊到一般,讓學(xué)生感受事物的發(fā)展規(guī)律;(2)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠體驗幾何問題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來研究,真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實際問題的重要工具; (3)學(xué)生通過觀察、分析、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想,體驗到數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。二:教材分析1、教學(xué)分析:因為學(xué)生已有了用方程(有時用函數(shù)式的形式出現(xiàn))表示曲線的感性認(rèn)識(特別是二元一次方程表示直線),現(xiàn)在要進(jìn)一步研究平面內(nèi)的曲線和含有兩個變數(shù)的方程之間的關(guān)系,是由直觀表象上升到抽象概念的過程。所以本節(jié)課采用了復(fù)習(xí)引入課題,從特殊到一般的方法讓學(xué)生易于接受。

3、在概念的探索過程中采用了舉反例的方法來揭示概念的內(nèi)涵。在概念的應(yīng)用即例題的設(shè)計方面,著重鞏固對概念的兩個條件的認(rèn)識。2、教學(xué)重點“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念。(本節(jié)課是由直觀表象上升到抽象概念的過程,學(xué)生容易對定義中為什么要規(guī)定兩個關(guān)系產(chǎn)生困惑,原因是不理解兩者缺一都將擴大概念的外延。由于學(xué)生已經(jīng)具備了用方程表示直線,拋物線等實際模型,積累了感性認(rèn)識的基礎(chǔ),所以可用舉反例的方法來解決困惑,通過反例,揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾,從而又促使學(xué)生對概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探索,自然地得出定義。為強化其認(rèn)識,又決定用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系,并以此為工具來分析實例,這將有助于學(xué)生

4、的理解,有助于學(xué)生通其法、知其理。) 3、教學(xué)難點怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程。(因為學(xué)生在作業(yè)中容易犯想當(dāng)然的錯誤,通常在已知曲線建立方程的時候,不驗證方程的解為坐標(biāo)的點在曲線上,就斷然得出所求的是曲線的方程。為了突破難點,本節(jié)課設(shè)計了三種有層次的例題:例3是概念的直接運用,例4是證明曲線的方程,例5是概念的逆向運用。通過這些例題讓學(xué)生再一次體會“二者”缺一不可。)三:學(xué)情分析此前,學(xué)生已知,在建立了直角坐標(biāo)系后平面內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系,已有了用方程(有時用函數(shù)式的形式出現(xiàn))表示曲線的感性認(rèn)識(特別是二元一次方程表示直線),現(xiàn)在要進(jìn)一步研究平面內(nèi)的曲

5、線和含有兩個變數(shù)的方程之間的關(guān)系,是由直觀表象上升到抽象概念的過程,對學(xué)生有相當(dāng)大的難度。學(xué)生在學(xué)習(xí)時容易產(chǎn)生的問題是,不理解“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”和“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”這兩句話在揭示“曲線和方程”關(guān)系時各自所起的作用。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)也只能是初步領(lǐng)會,要求學(xué)生能答出曲線和方程間必須滿足兩個關(guān)系時才能稱作“曲線的方程”和“方程的曲線”兩者缺一不可,并能借助實例指出兩個關(guān)系的區(qū)別。四:教學(xué)方法1、教法:教學(xué)過程是教師和學(xué)生共同參與的過程,啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué)習(xí),充分調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性;有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo),并為

6、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,我采用如下的教學(xué)方法:(1)引導(dǎo)探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過學(xué)生觀察坐標(biāo)系中的曲線和方程之間的關(guān)系,來得出曲線和方程的概念,這能充分調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性。(2)嘗試指導(dǎo)法,以學(xué)生為主體,以訓(xùn)練為主線。這樣更能突出重點、解決難點,使學(xué)生的分析問題和解決問題的能力得到進(jìn)一步的提高。2、學(xué)法:教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識更重要,本節(jié)課注重調(diào)動學(xué)生積極思考、主動探索,盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動的時間和空間,我進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo):(1)觀察分析:讓學(xué)生要學(xué)會觀察問題,分析問題和解決問題。(2)練習(xí)鞏固:讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重在運用,從而鞏固對概念的理解,找出未掌握的內(nèi)容及其差距。五:教學(xué)活動程

7、序1、承上啟下,提出課題師:在本節(jié)課之前,我們研究過直線的各種方程,建立了二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系:在平面直角坐標(biāo)系中,任何一條直線都可以用一個二元一次方程來表示,同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線。下面看一個具體的例子:例1:畫出方程表示的直線y(1) (2)借助多媒體讓學(xué)生再一次從直觀上深刻體會:必須同時滿足(1)直線上的點的坐標(biāo)都是方程的解和(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是直線上的點,即方程的解的集合與直線上所有點的集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系,那么直線(圖形) 方程(數(shù)量)。類比方程與如圖所示的拋物線。這條拋物線是否與這個二元方程 也能建立這種對應(yīng)關(guān)系呢? (按照例1的分析方

8、式的得出答案是肯定的.)推廣:那么對任意的曲線和二元方程是否都能建立這種等價關(guān)系呢?這就是今天這節(jié)課的內(nèi)容:曲線和方程。(板書課題) 現(xiàn)在請同學(xué)們思考這樣的問題:?方程的解與曲線C上的點的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系,就能用方程表示曲線C,同時曲線C也表示著方程,為什么要具備這些條件?(將問題重述一遍,使每個學(xué)生聽清楚。學(xué)生思考,討論,口答)(說明:運用學(xué)生熟知的舊知識,由特殊到一般,既提出了課題,又為形成曲線和方程的概念提供了實際模型。但是如果就此而由教師直接給出結(jié)論,那就不僅會失去開發(fā)學(xué)生思維的機會,影響學(xué)生的理解,而且會使教學(xué)變得枯燥乏味,抑制學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。要啟動學(xué)生的思維,就要有一個

9、明確的可供思考的問題,使學(xué)生的思維有明確的指向。這里提出的思考題是以相信學(xué)生對用方程表示曲線的事實已有了初步的認(rèn)識為前提,它可以說是本節(jié)課的中心議題,應(yīng)引導(dǎo)全班學(xué)生積極思維,讓多一點學(xué)生發(fā)表意見,形成“高潮”。在思考題的后面加上了“為什么”的問題。是為了給那些還記著“直線的方程”的定義的學(xué)生提供思考余地,增大思考題的跨度。)2、 運用反例,揭示內(nèi)涵師:剛才的討論中,有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系:“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”;有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”;還有的同學(xué)雖用了不同的提法,但意思不外乎這兩個?,F(xiàn)在的問題是:上述的兩種提法一樣嗎?它們反映的是不是同一

10、個事實?有何區(qū)別?究竟用怎樣的關(guān)系才能把例1中曲線和方程的這種對應(yīng)關(guān)系完整的表達(dá)出來?為了弄清這些問題,我們來研究下列例題。(說明:在討論中,學(xué)生會有各種不同的意見,教師應(yīng)予鼓勵,并隨時補正糾錯,但不要急著把兩個關(guān)系并列起來拋出定義,中斷學(xué)生的探索性思維,而是再提出問題,深入探索。)例2:用下列方程表示如圖所示的曲線C,對嗎?為什么?(1) (2)(3) (學(xué)生思考,回答)師:方程(1),(2),(3)都不是表示曲線C的方程。第(1)題中曲線C上的點不全是方程的解。例如點,等,即不符合“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論;第(2)題中,盡管“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”,但是以方程的解為

11、坐標(biāo)的點卻不全在曲線C上。例如、等,即不符合“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”這一結(jié)論;第(3)題中,則既有以方程的解坐標(biāo)的點,如、等不在曲線C上,又有曲線C上的點,如、等的坐標(biāo)不是方程的解。事實上,(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲線應(yīng)該是如圖所示的三種情況。 (1) (2) (3)師:上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線,用曲線表示方程的例1;又觀察、分析了例2中所出現(xiàn)的方程與曲線間所建立的不完整的對立關(guān)系。假如我們把例1這種能完整地表示曲線的方程稱為“曲線的方程”的話,我們完全有條件自己給“曲線的方程”下個定義了。(說明:在概念教學(xué)中,通過反例的反襯,常常起著幫助學(xué)生理解

12、概念的作用。反例一般應(yīng)用在學(xué)生對概念有了初步的正面了解之后,這里卻用在給出概念的定義之前,那是出于這樣的考慮:(1)相信學(xué)生已經(jīng)有了用方程表示曲線的經(jīng)驗,已能從直覺上識別哪個方程能表示哪條曲線(當(dāng)然是簡單的例子),哪個方程不能表示哪條曲線,缺少的只是用邏輯形式確切地加以陳述,給概念以定義;(2)將反例中出現(xiàn)的不完整性與直觀引起矛盾,避免曲線和方程之間關(guān)系的不完整性,尋求作出必要的規(guī)定,這就是產(chǎn)生“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義的過程。)3、 討論歸納,得出定義師:在下定義時,針對例2(1)中“曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點”,以及(2)中“以方程的解為坐標(biāo)的點不在曲線上”的情況,對“曲線

13、的方程”應(yīng)作何規(guī)定?(學(xué)生口答)師:為了不使曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點,必須規(guī)定“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”(板書);為了防止以方程的解為坐標(biāo)的點不在曲線上,必須規(guī)定“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”(板書)這樣我們可以對“曲線的方程”、“方程的曲線”下這樣的定義:在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關(guān)系:(1) 曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解;(2) 以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線。(說明:在辨析反例之后,有了關(guān)于對象所共有的本質(zhì)屬性的正確認(rèn)識,給對象以明確的定義已是水到渠成,這里單獨

14、列出作為一個教學(xué)步驟,是想突出這個中心環(huán)節(jié),并有意識地訓(xùn)練學(xué)生依據(jù)知覺的分散的已知知識給概念下定義的創(chuàng)造能力。)4、變換表達(dá),強化理解師:大家熟知,曲線可以看作是由點組成的集合,記作C;一個二元方程的解可以作為點的坐標(biāo),因此二元方程的解集也描述了一個點集,記作F。請大家思考:如何用集合C和F間的關(guān)系來表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關(guān)系?進(jìn)而重新認(rèn)識“曲線的方程”和“方程的曲線”定義。(說明:這是本節(jié)課第二個思維的“熱點”,將促使學(xué)生對曲線和方程關(guān)系的理解得到強化,是認(rèn)識上的再一次抽象,其結(jié)果將使學(xué)生對曲線和方程的關(guān)系的理解與記憶都趨于簡化。)(學(xué)生思考、口答)師:關(guān)系(1)指點

15、集C是點集F的子集;關(guān)系(2)指點集F是點集C的子集。這樣,根據(jù)集合的性質(zhì),我們可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”和“方程的曲線”,即(板書) =。5:初步應(yīng)用,反復(fù)辨析。(說明:數(shù)學(xué)概念是要在運用中的以鞏固,通過運用與練習(xí),可以糾正錯誤的認(rèn)識,促使對概念的正確理解,通過反復(fù)重現(xiàn),可以不斷領(lǐng)悟,加強識記。這里安排的“初步應(yīng)用”,目的也在于幫助學(xué)生正確理解概念,通過解題辨析“兩個關(guān)系”,實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),為此,題目中的“曲線”與“方程”都力求簡單。)例3:下列各題中,圖所示的曲線C的方程為所列方程,對嗎?如果不對,是不符合關(guān)系(1)還是關(guān)系(2)?曲線C為的中線 曲線C是到坐標(biāo)軸距離相

16、等的點組成的直線方程 方程曲線C是過點(4,1)的反比例函數(shù)圖象 方程學(xué)生回答:(1)錯。不符合定義中的(2),即; (2)錯。不符合定義中的(1),即; (3)錯。不符合定義中的(1)和(2),即;例4:解答下列問題,并說出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的哪一個關(guān)系?(1) 點是否在方程為的圓上?(2) 已知方程為的圓過點,求的值。(學(xué)生練習(xí)、回答,老師糾錯、小結(jié)。)師;依據(jù)關(guān)系(2),可知點在圓上;依據(jù)關(guān)系(1),可知點不在圓上;依據(jù)關(guān)系(2),求得; 例5:證明以坐標(biāo)原點為圓心,半徑等于5的圓的方程是。(說明:課本上原有例題:證明圓心為坐標(biāo)原點,半徑等于5的圓的方程是,并判斷點。處理時將有些要求分散到了例3與例4中,例5的要求集中在“證明”上。這樣安排的意圖是先集中注意力于概念的領(lǐng)會上,對證明過程中在表述上遇到的一些困難,留在這里解決,層層深入。)師:(學(xué)生練習(xí)過程中,適時插話。)與剛才判定時一樣,證明也要緊扣定義分兩步進(jìn)行;關(guān)系(1)、(2)中,“點”與“解”指的都是有關(guān)集合中的全體元素,我們只要用表示“任意一個”,以此代表“全體”即可,這種方法為數(shù)學(xué)證明中常用。證明:(略)三:小結(jié)師:本節(jié)課我們通過對實例的研究,掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義,在領(lǐng)會定義時,要牢記關(guān)系(1)、(2)兩者缺一不可,它們都

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