《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案__第一章

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案_第一章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第一章 1寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)： （1）擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). 出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)； （2）將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù). 兩次點(diǎn)數(shù)之和為10，第一次的點(diǎn)數(shù)，比第二次的點(diǎn)數(shù)大2； （3）一個(gè)口袋中有5只外形完全相同的球，編號分別為1,2,3,4,5；從中同時(shí)取出3只球，觀察其結(jié)果，球的最小號碼為1； （4）將兩個(gè)球，隨機(jī)地放入到甲、乙、丙三個(gè)盒子中去，觀察放球情況，甲盒中至少有一球； （5）記錄在一段時(shí)間內(nèi)，通過某橋的汽車流量，通過汽車不足5臺，通過的汽車不少于3臺。 解 （1）其中出現(xiàn)點(diǎn)， 。 （2） ；

2、； 。 （3） （4） ，其中表示空盒； 。 （5）。 2設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)事件，試用表示下列事件： （1）僅發(fā)生； （2）中至少有兩個(gè)發(fā)生； （3）中不多于兩個(gè)發(fā)生； （4）中恰有兩個(gè)發(fā)生； （5）中至多有一個(gè)發(fā)生。 解 （1） （2）或； （3）或； （4）； （5）或； 3一個(gè)工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)品，以表示第件產(chǎn)品是正品，試用表示下列事件：（1）沒有一件產(chǎn)品是次品；（2）至少有一件產(chǎn)品是次品；（3）恰有一件產(chǎn)品是次品；（4）至少有兩件產(chǎn)品不是次品。 解 （1）；（2）；（3）；（4）。 4在電話號碼中任取一個(gè)電話號碼，求后面四個(gè)數(shù)字全不相同的概率。 解 設(shè)任取一電話號碼后四個(gè)數(shù)字全不相同，則

3、 5一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有兩只壞的的概率。 解 （1）設(shè)5只全是好的，則 ； （2）設(shè)5只中有兩只壞的，則 . 6袋中有編號為1到10的10個(gè)球，今從袋中任取3個(gè)球，求 （1）3個(gè)球的最小號碼為5的概率； （2）3個(gè)球的最大號碼為5的概率. 解 （1）設(shè)最小號碼為5，則 ； （2）設(shè)最大號碼為5，則 . 7（1）教室里有個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率； （2）房間里有四個(gè)人，求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率. 解 （1）設(shè)他們的生日都不相同，則 ； （2）設(shè)至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月，則 ；或 . 8設(shè)一個(gè)人的

4、生日在星期幾是等可能的，求6個(gè)人的生日都集中在一個(gè)星期中的某兩天，但不是都在同一天的概率. 解 設(shè)生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天，則 . ？為什么 9將等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率是多少？ 解1 設(shè)恰好排成SCIENCE 將7個(gè)字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有的排法： 字母在7個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有種占法，字母在余下的5個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有種占法，字母剩下的3個(gè)位置上全排列的方法共3！種，故基本事件總數(shù)為，而中的基本事件只有一個(gè)，故； 解2 七個(gè)字母中有兩個(gè)，兩個(gè)，把七個(gè)字母排成一排，稱為不盡相異元素的全排列。一般地，設(shè)有個(gè)元素，其

5、中第一種元素有個(gè)，第二種元素有個(gè)，第種元素有個(gè)，將這個(gè)元素排成一排稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為， 對于本題有. 10從等個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：三個(gè)數(shù)字中不含0和5，三個(gè)數(shù)字中不含0或5，三個(gè)數(shù)字中含0但不含5. 解 . ，或 ， . 11將雙大小各不相同的鞋子隨機(jī)地分成堆，每堆兩只，求事件每堆各成一雙的概率. 解 雙鞋子隨機(jī)地分成堆屬分組問題，不同的分法共每堆各成一雙共有種情況，故 12設(shè)事件與互不相容，求與 解 因?yàn)椴幌嗳荩?，于?13若且，求. 解 由得 14設(shè)事件及的概率分別為，求及 解 . 15設(shè)，且僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.5，求都發(fā)生的

6、概率。 解1 由題意有 ，所以 . 解2 僅發(fā)生一個(gè)可表示為，故 所以 . 16設(shè)，求與. 解 ，所以 ，故 ； .所以 17設(shè)，試證明 證 因?yàn)椋怨?. 證畢. 18對任意三事件，試證. 證 . 證畢. 19設(shè)是三個(gè)事件，且，求至少有一個(gè)發(fā)生的概率。 解 因?yàn)?，所以，于是 20隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率. 解：半圓域如圖0yxyxax 設(shè)原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于 由幾何概率的定義 21把長為的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率. 解1 設(shè)三段可構(gòu)成三角形，又三段的長分別為，則，不等式構(gòu)成平面域.aS 發(fā)生Aa/2 不等式確定的子域，所以aa/20 解2 設(shè)三段長分別為，則且 ，不等式確定了三維空間上的有界平面域.xzyA 發(fā)生 不等式確定的子域，所以 . 22隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)和，這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過1，試求與之和不超過1，積不小于0.09的概率.1yy1y0.90.10yASy 解 ，不等式確定平面域. 則發(fā)生的 充要條件為不 等式確定了的子域，故 23（蒲豐投針問題）在平面上畫出等距離的一些平行線，向平面上隨機(jī)地投擲一根長的針，求針與任一平行線相交的概率. 解 設(shè)針與某平行