《變化率問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的概念》導(dǎo)學(xué)案

1、第 1 課時(shí) 變化率問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的概念a1. 通過(guò)物理中的變化率問(wèn)題和瞬時(shí)速度引入導(dǎo)數(shù)的概念.2. 掌握利用求函數(shù)在某點(diǎn)的平均變化率的極限實(shí)現(xiàn)求導(dǎo)數(shù)的基本步驟.3. 通過(guò)構(gòu)建導(dǎo)數(shù)概念 , 使學(xué)生體會(huì)極限思想 , 為將來(lái)學(xué)習(xí)極限概念積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn) .4. 通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)教程 , 使學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般的過(guò)程是發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的 重要過(guò)程 .借助多媒體播放 2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)員陳若琳奪得女子單人10 米跳臺(tái)冠軍的視頻 .上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均變化率的問(wèn)題 , 我們知道運(yùn)動(dòng)員的平均速度不一定能夠 反映她在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) , 而運(yùn)動(dòng)員在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的, 我們需要借助于

2、瞬時(shí)速度這樣的量來(lái)刻畫(huà) , 那么我們?nèi)绾尾拍芮蟪鲞\(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度呢 ?問(wèn)題 1:根據(jù)以上情境 ,設(shè)陳若琳相對(duì)于水面的高度 h ( 單位:m)與起跳后的時(shí)間 t ( 單 位:s) 存在函數(shù)關(guān)系 h(t ) =-4. 9t 2+6. 5t+ 10, 如果用她在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動(dòng) 狀態(tài) , 那么 :(1) 在 0t 0. 5 這段時(shí)間里 , 運(yùn)動(dòng)員的平均速度 =(2) 在 1t 2這段時(shí)間里 , 運(yùn)動(dòng)員的平均速度 = .問(wèn)題 2: 函數(shù) y=f (x) 從 x1到 x2的平均變化率公式是.如果用 x1與增量 x表示 ,平均變化率的公式是 .問(wèn)題 3: 函數(shù) f( x) 在 x=

3、x0處的瞬時(shí)變化率的定義 : 一般地 , 函數(shù) y=f (x) 在 x=x0處的瞬時(shí)變化率是 = ,我們稱(chēng)它為函數(shù) y=f ( x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) ,記作 f (x0)或y,即 f (x0)= .問(wèn)題 4: 在導(dǎo)數(shù)的定義中 , 對(duì) x0的理解是 : x0, xk2B.k 1=k2C.k 1k2D. 無(wú)法確定3.(1) 設(shè) 函 數(shù) y=f (x), 當(dāng)自 變 量 x由 x0 變 化 到x0+x 時(shí) , 函 數(shù) 值 的 改 變 量y為.(2) 設(shè)函數(shù)y=f ( x) =3x2,則y=f (1 +x) -f (1) =,=,=,f (1) =.4. 已知自由下落物體的運(yùn)動(dòng)方程是 s= gt (s

4、 的單位是 m,t 的單位是 s), 求 :(1) 物體在 t 0 到 t 0+ t 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 ;(2) 物體在 t 0 時(shí)的瞬時(shí)速度 ;(3) 物體在 t 0=2 s 到 t 1=2.1 s 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 ;(4) 物體在 t=2 s 時(shí)的瞬時(shí)速度 .3求函數(shù) f (x) =x3+2x+1 在 x0=1 處的導(dǎo)數(shù) f (1) .考題變式 （ 我來(lái)改編 ）:第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第 1 課時(shí) 變化率問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的概念知識(shí)體系梳理問(wèn)題 1:(1)=4. 05 m/s (2)=-8.2 m/s問(wèn)題2:2:問(wèn)題 3:問(wèn)題 4: x0基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流 221.B x=2, x=0. 1,

5、y=f ( x+ x) -f (x)=f(2.1)-f (2) =(2 . 12+1) -(2 2+1) =0. 41.2.C =a+b x, f (x0) = ( a+b x) =a.2 2 23.8 s(2+t)-s(2) =2(2 +t ) 2- 222=2( t )2+8t,=(2 t+ 8) =8.2 2 24.解: y=2(3 + x) 2+4(3 + x) -(232+43)=2(x) 2+16 x,=2x+16,= (2 x+16) =16,即 y| x=3=16.重點(diǎn)難點(diǎn)探究 探究一:【解析】2 2 2(1) y=f( - 1+ x) -f (-1)=-( -1+x) 2+(

6、-1+x)-( -1)2+( -1) =-(x) 2+3 x, =- x+3(2) 因?yàn)?y=( x0+x) 2- , 所以 =2x0+x, 所以 y=x2在 x=x0附近的平均變化率為 2x0+ x.【小結(jié)】 1.本題需利用平均變化率的定義來(lái)解決,但要注意 x可正、可負(fù)、不可為零 , y 可正、可負(fù)、可為零 .2.求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解,解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增量 x 與函數(shù)值的增量 y, 求平均變化率的主要步驟是 :(1) 先計(jì)算函數(shù)值的改變量 y=f ( x1) -f ( x0).(2) 再計(jì)算自變量的改變量 x=x1-x 0.(3) 得平均變化率探究二 : 【解析】當(dāng)

7、 t= 1時(shí), s=3t 2+2,22s=s(t+t )-s(t ) =3(1 +t ) 2+2- (3 +2) =6 t+ 3( t )2,v= = (6 +3 t )=6.2當(dāng) t=4 時(shí), s=29+3( t- 3) 2,2 2 2 s=s( t+ t ) -s ( t ) =29+3(4 + t- 3)2-29-3(4-3)2=3(t)2+6t,v= = (3 t+ 6) =6.物體在 t= 1 和 t=4 時(shí)的瞬時(shí)速度分別是 6 和 6.小結(jié)】1.(6 +3 t ) =6”中, “ t 0”指 t 趨近于零 ,即自變量的變化幾乎為零.2. 求物體瞬時(shí)速度的步驟 :(1) 設(shè)非勻速直線(xiàn)

8、運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 s=s(t ) .(2) 求時(shí)間改變 t 時(shí)的位置改變量 s=s(t 0+t) -s( t0).(3) 求平均速率 = .(4) 計(jì)算瞬時(shí)速率 : 當(dāng) t0時(shí), v( 常數(shù)) .探究三 : 【解析】由已知得 :=2,當(dāng) h0,2 h0, -4h 0,=2. 問(wèn)題 上面的解答遵循導(dǎo)數(shù)的定義嗎 ?結(jié)論 沒(méi)有 , 在導(dǎo)數(shù)的定義形式中 , 增量 x的形式多種多樣 , 但是無(wú)論增量 x 選擇哪種形式, y 必須保持相應(yīng)的形式 .即:f ( x0)= =(其中 a為非零常數(shù) ).于是 ,正確解答為=-4=-4=-4f( x0) =-8.【小結(jié)】對(duì)極限的理解和計(jì)算 , 也是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的準(zhǔn)確理解

9、. 通過(guò)此題可以看出學(xué)生是否 掌握了導(dǎo)數(shù)的概念 .思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一 :20 +5x 因?yàn)?y=5(2+x)2+6-522-6=20x+5(x)2,所以平均變化率 =20+5 x.應(yīng)用二 : s=s(2 + t ) -s (2) =a(2 + t ) 2+1- a22- 1=4a t+a ( t ) 2, =4a+a t ,=4a,即 4a=8, a=2.應(yīng)用三 :44 -2f (x)=22(3x2+3x x+x2- 8)=3x2-8, f (2) =4.=f (2) =4.=f(2) =4.=-=-基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.A 由平均變化率的定義可知應(yīng)選 A., 應(yīng)選 D.2.D 因?yàn)?x 可正、可負(fù)不可為 0, 所以 k1與 k2大小關(guān)系不確定3.(1) f (x0+x)-f (x0) (2) 6 x+3(x)2 6+3 x 6 6 4. 解 :(1) 平均速度為=gt0+ gt.(2) 瞬時(shí)速度為= (gt0+gt)=gt0.(3) 由(1) 得物體在 t