2020版高考數(shù)學(xué)培優(yōu)考前練理科通用版練習(xí)：7.2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)Word版含解析

1、7.2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)命題角度 1 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程高考真題體驗 對方向221?1.(2019 北京 4)已知橢圓 2 +2=1(ab 0) 的離心率為2,則 ()?A. a2= 2b2B.3a2= 4b2C.a= 2bD.3a= 4b解析橢圓的離心率?1=4b2,故選 B.e= =,c2=a 2-b2,化簡得 3a2?2答案B22y2= 2px(p 0)的焦點是橢圓?2.(2019 全國 8)若拋物線3?+?= 1的一個焦點 ,則 p= ()A.2B.3C.4D.8答案D?222解析y2= 2px 的焦點坐標(biāo)為?的焦點坐標(biāo)為 (3?-?,0),3p-p=?,解得 p= 8,2

2、,0 ,橢圓+= 143?故選 D .23.(2017 北京 9)若雙曲線x2- ?= 1 的離心率為 3,則實數(shù) m=.?答案2解析由題意知 a= 1,b=22?,m 0,c= ?+ ? = 1 + ?,則離心率 e=?= 1 + ? = 3,解得 m=2.22?OABC 的邊 OA,OC 所在的直線 ,點 B4.(2016 北京 13)雙曲線2 -2 = 1(a 0,b 0)的漸近線為正方形?為該雙曲線的焦點.若正方形OABC 的邊長為2,則 a=.答案2解析四邊形 OABC 是正方形 , AOB= 45 ,?不妨設(shè)直線OA 的方程即雙曲線的一條漸近線的方程為y=x. = 1,即 a=b.

3、 又|OB|= 22,? c= 22.a2+b 2=c 2,即 a2+a 2= (22)2,可得 a= 2.典題演練提能 刷高分21.(2019 湖南長沙第一中學(xué)高三下學(xué)期高考模擬?的實軸長為 2,則其漸近線方)若雙曲線 2 -y2= 1(a 0)?程為()A. y= xB. y= 2xC.y= 21xD.y= 2x答案A解析由雙曲線的實軸長為2,得 a= 1,又 b= 1,所以雙曲線的漸近線方程為y= x.故選 A.2.(2019 江西新八校高三第二次聯(lián)考)已知點 P 為拋物線 y2=4x 上的動點 ,點 P 在 y 軸上的射影是 B,A點坐標(biāo)為 (3,4).則 |PA|+|PB| 的最小值

4、是 ()A.5B.4C.25D.2 5-1答案D解析根據(jù)題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=- 1,焦點 F(1,0), 由拋物線定義可得 |PA|+|PB|=|PA|+|PF|-2+ 42-1= 25-1.故選 D.1 |AF|- 1= 222?3.已知橢圓 4 +3 = 1 的左、右焦點分別為F1,F2,過 F 2 且垂直于長軸的直線交橢圓于A,B 兩點 ,則ABF 1內(nèi)切圓的半徑為 ()443A. 3B.1C.5D.4答案D?2?2解析由+43= 1 得 a= 2,c= 1,根據(jù)橢圓的定義可知ABF 1 的周長為4a= 8,ABF 1 面積為11132 |F 1F 2| |yA-yB|= 2 2

5、3= 3=2 8r,解得 r= 4,故選 D .22?4.已知點 A(-1,0), B(1,0)為雙曲線2 -2= 1(a 0,b 0)的左、右焦點,點 M 在雙曲線上 ,ABM 為等腰三?角形 ,且頂角為120,則該雙曲線的方程為()2A. x2-? =1B. x2-y2= 142222?C.x - 3 = 1D.x - 2 = 1答案B解析 由點 M 在雙曲線上 ,ABM 為等腰三角形 ,且頂角為120 ,得 |AB|=|BM| , ABM= 120,過點M 作 MN x 軸 ,垂足為 N,則 NBM= 60 ,如圖所示 .在 RtBNM 中 ,|BM|=|AB|=2a,NBM= 60 ,

6、則|BN|= 2acos 60 =a ,|MN|= 2asin 60 = 3a,即2M(2a,3a),代入雙曲線方程得3?4- 2 = 1,即 b2=a 2.?點 A(- 1,0),B(1,0) 為雙曲線的左、右頂點,a=b= 1,雙曲線的方程為x2-y2= 1.5.已知拋物線C:y2= 8x 上一點 P,直線 l 1:x=- 2,l2:3x-5y+30= 0,則 P 到這兩條直線的距離之和的最小值為()A.2B.23416341834C.15D.17答案D解析 由題意得直線l1:x=- 2 是拋物線的準(zhǔn)線 ,設(shè) P 到直線 l1的距離為 PA,點 P 到直線 l 2 的距離為PB,所以 P

7、到這兩條直線的距離之和為 |PA|+|PB|=|PF|+|PB|,當(dāng) P,B,F 三點共線時 ,距離之和最小 .此時,最小值為|32-5 0+30|182+ (-5)2= 17 34 ,故選 D .3226.如圖 ,橢圓 ?2 + ?4= 1 的焦點為F1,F 2,過 F1 的直線交橢圓于M,N 兩點 ,交 y 軸于點 H.若 F 1,H 是線段MN 的三等分點 ,則 F 2MN 的周長為 ()A.20B.10C.25D.4 5答案D解析由題意知H 為線段 F1N 的中點 ,且 F1(-c,0),b= 2,由中點坐標(biāo)公式得點N 的橫坐標(biāo)為c,即 NF 2 x 軸 ,所以 N c,4,則 H0,

8、2.?又 F 1 為線段 HM 的中點 ,由中點坐標(biāo)公式可得2212 = 1,M -2c,-,代入橢圓方程得 4?2 +? a2= 1+ 4c2,1+ 4c2 =4+c 2, c2= 1,a2=b 2+c 2= 5.由橢圓的定義可知,F2MN 的周長為4a= 45.2227.(2019 北京昌平區(qū)高三年級第二次統(tǒng)一練習(xí)) 已知雙曲線-?= 1,若拋物線CC :x3:x = 2py(p 0) 的焦12點到雙曲線 C1 的漸近線的距離為1,則拋物線 C2 的方程為.答案x2 = 8y2解析雙曲線 C1:x2-? = 1 的漸近線方程為 3xy= 0,拋物線的焦點坐標(biāo)為0,?,拋物線32?22122

9、的漸近線的距離為 1,可得 1+3=1,解得 p= 4.故拋物線的方程C :x = 2py( p 0)的焦點到雙曲線CC為 :x2= 8y.命題角度 2 圓錐曲線的簡單性質(zhì)及其應(yīng)用高考真題體驗 對方向1.(2019 全國 10)已知橢圓C 的焦點為F 1( -1,0),F2(1,0), 過 F 2 的直線與C 交于 A,B 兩點 .若|AF 2|= 2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,則 C 的方程為 ()222?2= 1?+?A. 2 +yB. 322222?C. 4 +3 = 1D. 5 +4= 1= 1答案B解析如圖 ,由已知可設(shè) |F 2B|=n ,|BF 1|=m.由 |AB|=

10、|BF 1|,則 |AF 2|=m-n ,|AB|=m.又 |AF1 |+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|,故 |AF 1|= 2n.由橢圓的定義及|AF2|= 2|F 2B|,3?得 ?-?= 2?, 解得 ? = 2 ,?+ ?= 2?,?= ?.2 |AF1 |=a ,|AF 2|=a.點 A 為 (0,-b) .?=b.?21過點 B 作 x 軸的垂線 ,垂足為點P.由題意可知 OAF 2 PBF 2.又 |AF2 |= 2|F 2B|,|OF 2|= 2|F 2P|.1|F 2P|= 2.又 ? = |?| = |?| =b ,?2?|1|?22|BP|=1b.點 B(3,1

11、?).22222把點 B 坐標(biāo)代入橢圓方程?2 +2 =1 中,得 a2= 3.?又 c=1,故 b2= 2.22所以橢圓方程為?3 + ?2 = 1.22?-?2.(2018 全國 5)雙曲線 22 =1(a 0,b 0)的離心率為 3,則其漸近線方程為 ()?A. y= 2xB. y= 3xC.y= 22xD.y= 23x答案A?222?2解析 e=?+?= 3, 2 =2= ( ) + 1= 3.?x 軸上 ,漸近線方程為?= 2. 雙曲線焦點在y= x,漸近線方程為 y= 2x.?2?3.(2018 全國 11)已知雙曲線C: 3 -y2= 1,O 為坐標(biāo)原點 ,F 為 C 的右焦點

12、,過 F 的直線與C 的兩條漸近線的交點分別為M,N.若 OMN 為直角三角形,則 |MN|= ()3A .2B.3C.23D.4答案B解析由條件知 F(2,0),漸近線方程為y= 3 x,所以 NOF= MOF= 30 , MON= 60 90 .3不妨設(shè) OMN= 90,則 |MN|= 3|OM|.又 |OF|= 2,在 RtOMF 中 ,|OM|= 2cos 30 = 3,所以 |MN|= 3.22522?-?y=x,且與橢圓?+?= 14.(2017 全國 5)已知雙曲線 C: 22= 1(a 0,b 0)的一條漸近線方程為2123?有公共焦點 ,則 C 的方程為 ()222?A. 8

13、 -10 = 1B. 4 -222?C. 5 -4 = 1D. 4 -2?52?3= 1= 1答案B解析由題意得 ?5?=2 ,c= 3.又 a2+b 2=c 2,所以 a2= 4,b2 = 5,2 2故 C 的方程為 ?4 - ?5 = 1.25.(2019 江蘇 7)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中 ,若雙曲線x2-?= 1(b 0)經(jīng)過點 (3,4), 則該雙曲線的漸近線方2?程是.答案y= 2x2解析雙曲線 x2 -?= 1(b 0)過點 (3,4),2?232-4 2 = 1,?解得 b2= 2,即 b= 2或 b=- 2(舍去 ). a= 1,且雙曲線的焦點在 x 軸上 ,雙曲線的漸近線

14、方程為y= 2x.1 22+2126.(2019 全國為橢圓C:?= 1的兩個焦點 ,M 為 C 上一點且在第一象限F15)設(shè) F ,F3620.若 MF為等腰三角形 ,則 M 的坐標(biāo)為.答案(3,15)解析a2= 36,b2= 20, c2=a 2-b2= 16, c= 4.由題意得 ,|MF 1|=|F 1F2|= 2c= 8.|MF 1|+|MF 2 |= 2a= 12, |MF 2|= 4.設(shè)點 M 的坐標(biāo)為 (x0,y0)(x0 0,y0 0),則 ?1 |F1 F2 | y0=4y0 . ? =122又 ?=122= 4 15, ?1248-224y0= 415 ,解得 y0= 1

15、5.22?(15 )又點 M 在橢圓 C 上 ,360+20= 1,解得 x0= 3 或 x0=- 3(舍去 ).點 M 的坐標(biāo)為 (3,15 ).7.(2018 全國 16)已知點 M(- 1,1)和拋物線 C:y2 =4x,過 C 的焦點且斜率為k 的直線與 C 交于 A,B 兩點,若 AMB= 90,則 k=.答案2解析設(shè)直線 AB:x=my+ 1,?= ?+ 1,聯(lián)立 2? y2-4my-4= 0,? = 4?y1+y 2= 4m,y1y2=- 4.而 ?1111= (x +1,y -1)= (my + 2,y -1),?=(x2+ 1,y2-1)= (my2+ 2,y2 -1). A

16、MB= 90 , ?=(my1+ 2)(my2+ 2)+ (y1-1)(y2-1)= (m2+ 1)y1y2+ (2m-1)(y1+y 2)+ 5 =- 4(m2+ 1)+(2m-1)4m+ 5= 4m2- 4m+ 1= 0.m=1.k=1 = 2.2?典題演練提能 刷高分?2?21.若F(c,0)是橢圓2 + ?2 = 1 ?的右焦點,F 與橢圓上點的距離的最大值為M,最小值為m,則橢圓上與F點的距離等于 ?+?的點的坐標(biāo)是()222?B. -c,?A. c,?C.(0,b)D.不存在答案C解析 由橢圓的性質(zhì)得M=a+c ,m=a-c ,所以?+?2 =a ,橢圓上與 F 點的距離等于a 的

17、點為短軸的兩個端點 ,故選 C.2?2.(2019 黑龍江大慶實驗中學(xué)高三下學(xué)期二模) 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中 ,點 P 為橢圓C:+?22?2 = 1(ab 0)的下頂點 ,M,N 在橢圓上 ,若四邊形OPMN 為平行四邊形,為直線 ON 的傾斜角 ,若 ? 6 , 4,則橢圓C 的離心率的取值范圍為()63A. 0, 3B. 0, 2636 2 2C. 3, 2D. 3 , 3答案A解析OP 在 y 軸上 ,且平行四邊形中,MNOP,M、 N 兩點的橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即 M,N 兩點關(guān)于x 軸對稱 ,而 MN=OP=a ,?可設(shè) Mx,-32 ,Nx,2 ,代入橢圓方程得|

18、x|= 2?=2=,3?3?2因為 ,36 , 43 tan 1,3?b,得 N2 b,2 .因為 為直線 ON 的傾斜角 ,tan3? 1.1?3?3 3 .3 1.3?12?266?3 2 1.而 e= 1 - 2. 0 0,b 0)的兩條漸近?線分別交于點 A 和點 B,且 |AB|= 4|OF| (O 為原點 ),則雙曲線的離心率為()A. 2B.3C.2D.5答案D解析由拋物線方程可得l 的方程為 x=- 1.由 ?=?,得 y1=- .?=-1,?由 ?=?- ?,得 y2= .?=-1,?AB=2?.由 |AB|= 4|OF| 得 2? 2222? +?5?=2=2 .?e=5,

19、故選 D.222.(2017 全國 9)若雙曲線?-?(x-2)2+y 2= 4 所截得的弦長為 2,C: 22= 1(a 0,b 0)的一條漸近線被圓?則 C 的離心率為 ()23A .2B.3C.2D. 3答案A解析 可知雙曲線 C 的漸近線方程為bxay= 0,取其中的一條漸近線方程為bx+ay= 0,則圓心 (2,0)到2?= 2-12= 3,即2?所以 e=2,故選 A .這條漸近線的距離為 22? = 3,所以 c= 2a,?+?22?-?3.(2019 全國 11)設(shè) F 為雙曲線 C: 22 = 1(a 0,b 0) 的右焦點 ,O 為坐標(biāo)原點 ,以 OF 為直徑的圓與?圓 x

20、2 +y 2=a 2 交于 P,Q 兩點 .若 |PQ|=|OF|,則 C 的離心率為 ()A. 2B.3C.2D.5解析如圖 ,設(shè) PQ 與 x 軸交于點A,由對稱性可知PQx 軸. |PQ|=|OF|=c ,?|PA|= 2.PA 為以 OF 為直徑的圓的半徑,A 為圓心 ,|OA|=? ?. P2, .2222又點 P 在圓 x2+y 2=a 2 上 ,?2,4 + 4 =a22?即2=a 2,e2=2= 2,e=2,故選 A .?答案A224.(2019 全國 16)已知雙曲線?F1,F 2,過 F1 的直線與 C 的C: 2- 2 = 1(a 0,b 0)的左、右焦點分別為?兩條漸近

21、線分別交于A,B 兩點 .若 ?= ?,?.112= 0,則 C 的離心率為答案2解析如圖 ,由 ?11?= ?,得 |F A|=|AB|.又 |OF 1|=|OF 2|,得 BF 2 OA,且 |BF 2|= 2|OA|.由 ? ?1 ?2 ?= 0,得 F1 B F 2B.則 OA F1A,|OB|=|OF 1|=|OF 2|.故 BOF2 = AOF 1= 2 OF1B,得 BOF 2= 60.?則 = tan 60 = 3.?所以 e=? 2= 1 + ( ) = 1 + 3= 2.?典題演練提能 刷高分221.(2019 甘肅蘭州高考一診1 2?+?) 已知點 F ,F是橢圓 22

22、= 1(ab 0)的左、右焦點 ,P 為橢圓上的動點 ,?動點 Q 在射線 F1P 的延長線上 ,且 |?|=| ?|,若 |?|的最小值為1,最大值為9,則橢圓的離心率為2()A. 3B.1C.4D.15359答案C解析?2|,|?|的最小值為 1,最大值為 9,|PF|的最大值為 a+c= 9,最小值為 a-c= 1,|=|因為 |?2?4a= 5,c= 4.橢圓的離心率為 e= ?=5 .故選 C.2.如圖所示 ,圓柱形玻璃杯中的水液面呈橢圓形狀,則該橢圓的離心率為()1323A. 2B. 3C. 2D. 2答案D解析橢圓的短軸長為圓柱的直徑,橢圓的長軸、圓柱底面的直徑和母線三者組成一個

23、直角三角形,?且長軸與直徑的夾角為30 .b=r ,a= sin30 = 2r,2 2?3c= 4?3r,e= =-? =2.故選 D .?223.(2019 廣東揭陽高考二模) 設(shè) F ,F?是橢圓 E: 2+ 2 =1( ab 0)的左、右焦點 ,P 為直線 x= 2a 上一12?點,F2PF1 是底邊為 PF 1 的等腰三角形 ,且直線 PF 1 的斜率為1,則橢圓 E 的離心率為 ()310532A. 13B.8C.5D.3答案A解析由題意 ,因為 F2PF 1 是底邊為 PF1 的等腰三角形 ,|PF 2|=|F 2F1 |.因為 P 為直線 x= 2a 上一點 ,直線 PF1的斜率

24、為 1 ,PDF2 是直角三角形 ,所以2?+? 2+ (2a-c)2= 4c2,可得 13e2+ 16e-20= 0,解得33?10或 e=- 2(舍去 ).故選 A .e= ?=1322?4.(2019 貴州凱里第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試)已知橢圓 C: 2 +2 = 1,ab 0,F1,F 分別為橢圓的?2左、右焦點 ,若橢圓 C 上存在點P(x0,y0)(x0 0)使得 PF 1F 2= 60 ,則橢圓的離心率的取值范圍為()22A. 2 ,1B. 0, 211C. 2,1D. 0,2答案D解析依據(jù)題意作出如下圖象 :由已知可得 ,當(dāng)點 P 在橢圓的上 (下 )頂點處時 , PF1F2

25、 最大 ,要滿足橢圓C 上存在點P(x0,y0)(x00) 使得 PF1F 2= 60 ,則 90 ( PF1 F2)max 60 .所以 tan(PF 1F2)max tan 60 = 3.即?2 3c2222 4c2213c.又 a22?=1 3,整理得 b=b +c+c= 4c ,即 a,所以 e=2.所以橢圓離?42?心率的取值范圍為0,1.故選 D .2225.(2019 福建龍巖高三5 月月考 )已知點 F 為橢圓?= 1(ab 0)的左焦點 ,直線 y=kx (k 0)與 CC: 2+ 2?相交于22M,N 兩點 (其中 M 在第一象限 ),若 |MN|= 2?-? ,|FM|

26、3|FN| ,則 C 的離心率的最大值是.答案3- 1解析設(shè)右焦點為 F ,連接 MF ,NF ,由橢圓對稱性知四邊形FMFN 為平行四邊形 .又22|MN|= 2? 3|FN|= 3|FM| ,|FM|+|FM|= 2a,即 2a-?= 2c=FF ,故 FMFN 為矩形 .|FM|2?|FM| 3|FM| ,|FM| 3+1 .又 (2a-|FM| )2+|FM| 2= 4c2,故 0b 0)的右焦點為?若 AB 的中點坐標(biāo)為 (1,-1),則 E 的方程為 ()2222?+?+?A .4536 = 1B.3627 = 12222?+?+?C.2718 = 1D.189 = 1答案D解析設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),A,B 在橢圓上 ,22?+?21 = 1,21? 22?+?222 = 1,2? -,得(?1+?2 )(?1- ?)2+(?+? )( ?-?)= 0,12 1 222?2?(? +? )(? -?)即=-1212 ,?2(?1+?2 )(?1- ?2)AB 的中