基于GUI的濾波算法的研究與實(shí)現(xiàn)

1、 畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)基于GUI的濾波算法的研究與實(shí)現(xiàn)摘要自適應(yīng)濾波算法的研究是當(dāng)今自適應(yīng)信號(hào)處理中最為活躍的研究課題之一。濾波是當(dāng)今信息處理領(lǐng)域的一種極其重要的技術(shù)。MATLAB 6.0 的GUIDE 是專(zhuān)門(mén)用于圖形用戶(hù)界面(GUI)程序設(shè)計(jì)的快速開(kāi)發(fā)環(huán)境。隨著多媒體被越來(lái)越多做為GUI 的一部分使用，聲音，嗓音，動(dòng)作視頻和虛擬真實(shí)的界面對(duì)于許多應(yīng)用程序來(lái)說(shuō)似乎很可能成為其GUI 的一部有時(shí)一個(gè)系統(tǒng)的GUI 連同它的輸入設(shè)備一起被稱(chēng)為“視覺(jué)效果（look-and-feel）”。本文闡述了自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)方法，分析了運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程。通過(guò)Matlab提供的可視化圖形

2、界面環(huán)境GUIDE和Matlab內(nèi)嵌的相關(guān)函數(shù)設(shè)計(jì)完成的自適應(yīng)濾波器演示界面，展示了圖形用戶(hù)界面在分析研究信號(hào)與系統(tǒng)分析中的重要應(yīng)用。界面友好，具有開(kāi)放性，便于理解理論知識(shí)，掌握自適應(yīng)濾波器特性，可方便不同用戶(hù)使用，也可不斷改善和擴(kuò)充其功能。本文在論述自適應(yīng)濾波基本原理的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)討論了基于LMS的自適應(yīng)濾波器算法和基于RLS的自適應(yīng)濾波器算法，探討了LMS,RLS等濾波算法的GUI界面設(shè)計(jì)與仿真實(shí)現(xiàn)。通過(guò)各種信號(hào)處理函數(shù)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行信號(hào)處理模塊功能仿真；最后通過(guò)GUI編程實(shí)現(xiàn)各個(gè)模塊的調(diào)用和鏈接，從而最終實(shí)現(xiàn)濾波處理仿真。通過(guò)基于Matlab的GUI界面設(shè)計(jì)和仿真結(jié)果表明，可以有效地對(duì)信

3、號(hào)濾波進(jìn)行功能仿真，對(duì)于利用軟件無(wú)線電技術(shù)構(gòu)建無(wú)線通信具有十分重要的參考意義。在設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器時(shí)，人們很難直接從一大堆原始離散數(shù)據(jù)中感受它們的含義，數(shù)據(jù)圖形恰好彌補(bǔ)了這一缺陷，使人們能直接感受到數(shù)據(jù)的許多內(nèi)在本質(zhì)，有助于加深理解。本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)濾波器基于GUI，在自動(dòng)生成的M文件框架下完成編程。其優(yōu)點(diǎn)在于：它不僅具有良好的圖形顯示，更重要的是整個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)和濾波器類(lèi)型都可以通過(guò)圖形界面方便的改變，且在圖形界面下直接顯示對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)結(jié)果的所需數(shù)據(jù)?；贛ATLAB GUI設(shè)計(jì)的自適應(yīng)濾波器便于理解和掌握其設(shè)計(jì)方法及性能指標(biāo)，避免了枯燥的公式化計(jì)算，有助于加強(qiáng)理論與實(shí)踐的聯(lián)系。關(guān)鍵詞：自適應(yīng)算法；自

4、適應(yīng)濾波器；MATLAB；圖形用戶(hù)界面； 1 緒論1.1 課題的研究背景和意義數(shù)字信號(hào)處理的迅速發(fā)展是從20世紀(jì)60年代開(kāi)始的，其主要標(biāo)志是兩項(xiàng)重大進(jìn)展，即快速傅立葉變換(FFT)算法的提出和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法的完善。所謂濾波，就是從帶有干擾的信號(hào)中得到有用信號(hào)的準(zhǔn)確估計(jì)值。濾波理論就是在對(duì)系統(tǒng)可觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量的基礎(chǔ)上，根據(jù)一定的濾波準(zhǔn)則，采用某種統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的方法，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)的理論和方法。濾波是一種信號(hào)處理操作，其目的是為了處理某個(gè)信號(hào)，以便利用信號(hào)中包含的信息。自適應(yīng)的研究對(duì)象是具有不確定性的系統(tǒng)或信息過(guò)程。這里的“不確定性”是指所研究的信息處理過(guò)程及其環(huán)境的數(shù)學(xué)模型是不完全確定的

5、。任何一個(gè)實(shí)際的信息過(guò)程都具有不同程度的不確定性。面對(duì)這些客觀存在的各種各樣的不確定性，如何綜合處理該信息過(guò)程，并使一些指定的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)或近似最優(yōu)，這就是自適應(yīng)濾波器所要解決的問(wèn)題。自適應(yīng)濾波技術(shù)的核心問(wèn)題是自適應(yīng)算法的性能問(wèn)題，提出的自適應(yīng)算法主要有最小均方(LMS)算法、遞歸最小二乘(RLS)算法及相應(yīng)的改進(jìn)算法如:歸一化(NLMS)算法、變步長(zhǎng)(SVSLMS)算法、遞歸最小二乘方格形(RLSL)算法等。這些算法各有特點(diǎn)，適用于不同的場(chǎng)合。研究自適應(yīng)算法是自適應(yīng)濾波器的一個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容，算法的特性直接影響濾波器的效果。由于自適應(yīng)濾波器的這些特點(diǎn)，自1967年B.Widrow等人提出自適應(yīng)

6、濾波器以來(lái)，在短短的四十年中，自適應(yīng)濾波器的發(fā)展很快，已廣泛地用于系統(tǒng)模型識(shí)別，通信信道的自適應(yīng)均衡，雷達(dá)與聲納的波束形成，減少或消除心電圖中的周期干擾，噪聲中信號(hào)的檢測(cè)、跟蹤、增強(qiáng)和線性預(yù)測(cè)等。近十幾年，它在更多的應(yīng)用場(chǎng)合(如回波消除、色散信道的均衡、系統(tǒng)辨識(shí)、信號(hào)增強(qiáng)、自適應(yīng)波速形成、噪聲消除以及控制領(lǐng)域等13)也取得了成功。自適應(yīng)處理器是工作在閉環(huán)(反饋)狀態(tài)。輸入信號(hào)通過(guò)可編程濾波器濾波或加權(quán)后產(chǎn)生一個(gè)輸出，然后它與期望的參考或訓(xùn)練信號(hào)進(jìn)行比較，形成誤差信號(hào)。接著，用這一誤差信號(hào)來(lái)修正可編程濾波器的權(quán)系數(shù)(通常用迭代方法來(lái)實(shí)現(xiàn))，最終使這一誤差逐漸達(dá)到最小值(也就是使處理器的輸出更逼近

7、于訓(xùn)練信號(hào))。這種自適應(yīng)處理器可劃分成自適應(yīng)濾波器和自適應(yīng)天線兩大類(lèi)。在本文中我們只考慮自適應(yīng)濾波器。自適應(yīng)濾波器就是利用前一時(shí)刻己獲得的濾波器系數(shù)等結(jié)果，自動(dòng)地調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器系數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)和噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器通常由兩個(gè)不同的部分構(gòu)成:濾波器部分，其結(jié)構(gòu)適合于完成所需要的處理功能;自適應(yīng)算法部分。用來(lái)調(diào)整上述濾波器的系數(shù)，在本文中，我們主要是設(shè)計(jì)穩(wěn)健的自適應(yīng)算法來(lái)調(diào)整其系數(shù)。自適應(yīng)濾波技術(shù)包括自適應(yīng)時(shí)域?yàn)V波、自適應(yīng)空域?yàn)V波(即自適應(yīng)陣列)等。它是從六十年代初發(fā)展起來(lái)的，與信息論、檢測(cè)及最佳估計(jì)理論、濾波器理論密切相關(guān)信號(hào)處理學(xué)科的一個(gè)重要分支

8、，隨著超大規(guī)模集成電路(VLSI)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和自適應(yīng)濾波理論本身的不斷完善，使得其應(yīng)用愈來(lái)愈廣泛，已遍及通信、語(yǔ)音信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別、系統(tǒng)辨識(shí)及自動(dòng)控制等領(lǐng)域，是目前最活躍的研究領(lǐng)域之一。自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用范圍很廣，主要有四個(gè)方面:自適應(yīng)系統(tǒng)模擬和辨識(shí);自適應(yīng)逆濾波;自適應(yīng)干擾;自適應(yīng)預(yù)測(cè)。隨著超大規(guī)模集成電路(VLSI)技術(shù)的迅速進(jìn)步以及自適應(yīng)濾波技術(shù)理論的研究和發(fā)展，自適應(yīng)濾波在噪化信號(hào)的檢測(cè)增強(qiáng)、噪音干擾的抵消、波形編碼的線性預(yù)測(cè)，雷達(dá)聲納系統(tǒng)的陣列處理和波束形成、通信系統(tǒng)的自適應(yīng)均衡、圖象自適應(yīng)壓縮編碼、圖象的自適應(yīng)增強(qiáng)復(fù)原、圖象識(shí)別的自適應(yīng)分割以及未知系統(tǒng)的

9、自適應(yīng)參數(shù)辨識(shí)等方面獲得了廣泛的應(yīng)用4。鑒于自適應(yīng)濾波器具有自學(xué)習(xí)、自跟蹤、對(duì)參數(shù)經(jīng)常變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有較好控制效果的特性，我們有必要對(duì)其進(jìn)行深入的研究，特別是對(duì)自適應(yīng)濾波器新算法的研究。MATLAB為用戶(hù)開(kāi)發(fā)圖形界面提供了一個(gè)方便高效的集成環(huán)境：MATLAB圖形用戶(hù)界面開(kāi)發(fā)環(huán)境GUIDE(MATLABs Graphical User Interface Development Enviroment)。GUIDE是一個(gè)界面設(shè)計(jì)工具集，MATLAB將所有GUI支持的用戶(hù)空間都集中在該環(huán)境中并提供界面外觀、屬性和行為相應(yīng)方式的設(shè)置方法。通過(guò)開(kāi)發(fā)圖形界面，使得用戶(hù)不需要知道具體的應(yīng)用程序是怎樣執(zhí)行各種

10、命令的，只需了解可見(jiàn)界面組建的使用方法，通過(guò)與界面交互就可以執(zhí)行指定的行為。1.2 國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀最早的對(duì)于自適應(yīng)濾波器的研究可以追述到20世紀(jì)50年代木。它是在維納濾波，Kalman濾波等線性濾波基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種最佳濾波方法。作為其中一項(xiàng)重大突破的數(shù)字濾波器，在20世紀(jì)60年代中期形成了它的完整而正規(guī)的理論。人們根據(jù)傳統(tǒng)數(shù)字濾波器的概念，即根據(jù)給定的頻率特性指標(biāo)(低通、高通、帶通或帶阻，或別的形狀的特性其參數(shù))來(lái)設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器外，還深入研究了維納濾波器和卡爾曼濾波器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。維納濾波器是根據(jù)有用信號(hào)和干擾噪聲的統(tǒng)計(jì)特性(自相關(guān)函數(shù)或功率譜)，以線性最小均方誤差估計(jì)準(zhǔn)則所設(shè)計(jì)

11、的最佳濾波器，它能最大程度的濾除干擾噪聲，提取有用信號(hào)。但是，當(dāng)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性偏離設(shè)計(jì)條件時(shí)，它就不再是最佳的了，這使其濾波器在實(shí)際應(yīng)用中受得了限制。由于空間技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了卡爾曼濾波理論，即利用狀態(tài)變量模型對(duì)非平穩(wěn)，多輸入多輸出隨機(jī)序列作最優(yōu)估計(jì)?，F(xiàn)在，卡爾曼濾波器以成功的應(yīng)用到許多領(lǐng)域，它既可對(duì)平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)作線性最優(yōu)濾波，也可作非線性濾波。但卡爾曼濾波器也有其局限性，在設(shè)計(jì)時(shí)，必須知道產(chǎn)生輸入過(guò)程的系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即要求對(duì)信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性有先驗(yàn)知識(shí)，但在實(shí)際中，我們往往難以預(yù)知這些統(tǒng)計(jì)特性，因此，實(shí)現(xiàn)不了真正的最佳濾波。早在1795年，為了測(cè)定行星運(yùn)動(dòng)軌道，高斯(K.Ga

12、uss)就提出了最小二乘估計(jì)法。二十世紀(jì)40年代，Weiner和Kolmogorov相繼獨(dú)立地提出了維納濾波理論。但維納濾波方法是一種頻域方法，而且濾波器是非遞推的，不便于實(shí)時(shí)應(yīng)用。V.kucera于1979年提出了現(xiàn)代維納濾波方法。用該方法通過(guò)求解Diophantine方程可以直接得到可實(shí)現(xiàn)的和顯式的維納濾波器，并可處理多維信號(hào)和非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。卡爾曼(R.E.Kalman)于1960年提出的卡爾曼濾波(Kalman Filtering)理論，標(biāo)志著現(xiàn)代濾波理論的建立。卡爾曼濾波方法是一種時(shí)域方法，對(duì)于具有高斯分布噪聲的線性系統(tǒng)，可以得到系統(tǒng)狀態(tài)的遞推最小均方差估計(jì)(Reeursive Mi

13、nimum Mean-Square Estimation，即RMS)。卡爾曼濾波首次將現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間思想引入最優(yōu)濾波理論，用狀態(tài)方程描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，用觀測(cè)方程描述系統(tǒng)觀測(cè)模型，并可處理時(shí)變系統(tǒng)、非平穩(wěn)信號(hào)。由于卡爾曼濾波采用遞推計(jì)算，因此非常適宜于用計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)。但同時(shí)卡爾曼濾波需要知道系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，并假設(shè)系統(tǒng)為線性的，噪聲信號(hào)也必須為噪聲統(tǒng)計(jì)特性已知的高斯噪聲，并且由于要計(jì)算Riccati方程，對(duì)高維系統(tǒng)計(jì)算量較大。Windrow等于1967年提出的自適應(yīng)濾波系統(tǒng)的參數(shù)能自動(dòng)的調(diào)整而達(dá)到最優(yōu)狀況，而且在設(shè)計(jì)時(shí)，只需要很少的或根本不需要任何關(guān)于信號(hào)與噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)5。這種

14、濾波器的實(shí)現(xiàn)差不多像維納濾波器那樣簡(jiǎn)單，而濾波器性能幾乎如卡爾曼濾波器一樣好。自適應(yīng)濾波器與普通濾波器不同，它的沖激響應(yīng)或?yàn)V波參數(shù)是隨外部環(huán)境的變化而變化的，經(jīng)過(guò)一段自動(dòng)調(diào)節(jié)的收斂時(shí)間達(dá)到最佳濾波的要求。自適應(yīng)濾波器本身有一個(gè)重要的自適應(yīng)算法，這個(gè)算法可以根據(jù)輸入、輸出及原參量信號(hào)按照一定準(zhǔn)則修改濾波參量，以使它本身能有效的跟蹤外部環(huán)境的變化。因此，自適應(yīng)數(shù)字系統(tǒng)具有很強(qiáng)的自學(xué)習(xí)、自跟蹤能力和算法的簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)性。自適應(yīng)數(shù)字濾波器和維納濾波器一樣，都是符合某種準(zhǔn)則的最佳濾波器。維納濾波器的參數(shù)是固定的，適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的最佳濾波，但要設(shè)計(jì)這種濾波器，必須要求輸入信號(hào)是平穩(wěn)的，且具有信號(hào)和噪聲統(tǒng)

15、計(jì)分布規(guī)律的先驗(yàn)知識(shí)。在實(shí)際中，常常無(wú)法知道這些先驗(yàn)知識(shí)，且統(tǒng)計(jì)特性還會(huì)變化，因此實(shí)現(xiàn)最佳濾波是困難的。1.3 本文的主要內(nèi)容及結(jié)構(gòu)安排本文在研究自適應(yīng)濾波理論的基礎(chǔ)上，對(duì)幾種重要的自適應(yīng)算法進(jìn)行了理論分析，研究了它們?cè)谧赃m應(yīng)濾波技術(shù)中的應(yīng)用，并進(jìn)行了模擬仿真試驗(yàn)，對(duì)算法的性能進(jìn)行了分析。本文的研究工作主要包括以下幾個(gè)方面:第一章介紹自適應(yīng)濾波研究的意義、國(guó)內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀、論文所做的工作等。第二章中，介紹自適應(yīng)濾波理論和有關(guān)自適應(yīng)算法的基礎(chǔ)知識(shí)。第三章，介紹實(shí)現(xiàn)濾波的各種自適應(yīng)濾波算法，對(duì)廣泛使用的LMS和RLS算法的性能進(jìn)行了分析和比較，最后給出了簡(jiǎn)單的總結(jié)分析。第四章介紹了GUI圖形界面的相

16、關(guān)內(nèi)容，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波算法在GUI上的實(shí)現(xiàn)和軟件編程。第五章全文總結(jié)。2 自適應(yīng)濾波基礎(chǔ)2.1 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的線性系統(tǒng)2.1.1 隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字特征一個(gè)離散隨機(jī)信號(hào)X(n)，如果其均值與時(shí)間n無(wú)關(guān)，其自相關(guān)函數(shù)和的選取無(wú)關(guān)，而僅和之差有關(guān)，那么，我們稱(chēng)X (n)為寬平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)，或廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。即:均值(數(shù)學(xué)期望)自相關(guān)函數(shù) m=n2-n1方差 均方值自協(xié)方差函數(shù)兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)，Y(n)的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)分別定義為:互相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù) 寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是一類(lèi)重要的隨機(jī)信號(hào)。在實(shí)際工作中，我們往往把所要研究的隨機(jī)信號(hào)視為寬平穩(wěn)的，這樣將使問(wèn)題得以大大簡(jiǎn)化。實(shí)際上，自然

17、界中的絕大部分隨機(jī)信號(hào)都認(rèn)為是寬平穩(wěn)的。今后我們所提到的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)如不特別說(shuō)明，均認(rèn)為是寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。嚴(yán)(或狹義)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是指概率特性不隨時(shí)間的平移而變化(或說(shuō)與時(shí)間基準(zhǔn)點(diǎn)無(wú)關(guān))的隨機(jī)信號(hào)。只有當(dāng)X(n)是高斯隨機(jī)過(guò)程時(shí)，寬平穩(wěn)才是嚴(yán)平穩(wěn)。2.1.2 線性系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)信號(hào)的響應(yīng)設(shè)x(n)為一平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，它通過(guò)一線性移不變系統(tǒng)H(z)(它的單位樣本響應(yīng)為h(n)后，輸出為y(n)，并有可以證明，y(n)也是隨機(jī)的，且也是平穩(wěn)的。若x(n)是確定性信號(hào)，則。由于隨機(jī)信號(hào)不存在傅立葉變換，因此，我們需要從相關(guān)函數(shù)和功率譜的角度來(lái)研究隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的行為。為了討論方便起見(jiàn)，現(xiàn)假設(shè)x(n)

18、是實(shí)信號(hào)，這樣，y(n)也是實(shí)的。y(n)的均值，按定義為這里是確定的系統(tǒng)特性。又因x(n)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。有所以有 即當(dāng)mx是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)時(shí)，my也是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。我們暫時(shí)假設(shè)輸出y (n)是非平穩(wěn)的，則y(n)自相關(guān)函數(shù)護(hù)，為 因?yàn)閤(n)是平穩(wěn)的，所以所以由于求和結(jié)果與n無(wú)關(guān)，從而，輸出自相關(guān)序列也只與時(shí)間差m有關(guān)。因此可以得出結(jié)論:對(duì)于一個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)，如果用一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)，則輸出信號(hào)也將是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。令l=r-k，式(2.14)可表示為這里 v(l)可稱(chēng)之為的自相關(guān)序列，它是一個(gè)時(shí)間卷積的結(jié)果。h(n)是一個(gè)確定的(而不是隨機(jī)的)序列，它并無(wú)統(tǒng)計(jì)平均的含義可言，

19、它是h(n)與h(-n)的卷積，具有相關(guān)函數(shù)的形式，說(shuō)明著系統(tǒng)特性的前后波及性。將式(2.16)代入式(2.15)得這個(gè)公式與求確知信號(hào)的響應(yīng)的卷積公式十分相似:確知信號(hào)的輸出等于輸入與輸出的沖激響應(yīng)的卷積;而這里的輸出、輸入是輸出和輸入隨機(jī)序列相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，系統(tǒng)的“沖激響應(yīng)”h(n)則換成了h(n)的自相關(guān)序列v(m)。式(2.17)是隨機(jī)過(guò)程線性系統(tǒng)理論中極為有用和重要的一個(gè)基本關(guān)系式，可用文字表述如下:x(n)與h(n)的卷積的自相關(guān)，等于x(n)的自相關(guān)和h(n)的自相關(guān)的卷積。這可推廣為:卷積的相關(guān)，等于相關(guān)的卷積，可以用公式形式表示如下:如果 ，則這個(gè)關(guān)系為相關(guān)一卷積定理，它在

20、許多信號(hào)處理問(wèn)題的求解中十分有用。將式(2.17)進(jìn)行z變換有將代入，并用功率譜密度表示，上式為式(2.20)是一個(gè)有用的公式，稱(chēng)為維納辛欽定理。它表明:一個(gè)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)H(z)，從頻域看其輸出功率譜密度等于輸入功率譜密度與的模平方的乘積。這里是的非負(fù)、實(shí)、偶函數(shù)。2.2 自適應(yīng)濾波器2.2.1 自適應(yīng)濾波原理從輸入信號(hào)中濾出噪聲和干擾以提取有用信息的過(guò)程稱(chēng)為濾波，相應(yīng)的裝置稱(chēng)為濾波器。如果濾波器的輸入和輸出均為離散信號(hào)，稱(chēng)該濾波器為數(shù)字濾波器。當(dāng)濾波器的輸出信號(hào)為輸入端的線性函數(shù)時(shí)，該濾波器稱(chēng)為線性濾波器，否則就稱(chēng)為非線性濾波器。一個(gè)典型的數(shù)字濾波器的框圖如圖2.1所示。H(n)X(n)

21、Y(n)圖2.1 數(shù)字濾波器設(shè)輸入信號(hào)為x(n)，輸出信號(hào)為y(n)。該數(shù)字濾波器可用以下差分方程來(lái)表示：式中ai,bi稱(chēng)為濾波器系數(shù)。當(dāng)bi=0時(shí)，式(2.21)變?yōu)椋哼@種濾波器稱(chēng)為全零點(diǎn)濾波器。如果ai=0,bi0時(shí)，則稱(chēng)為全極點(diǎn)濾波器或遞歸濾波器。由式(2.22),可知數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為：其單位沖擊響應(yīng)函數(shù)為：濾波器是電子設(shè)備的一個(gè)常用的基本部件，人們對(duì)其已進(jìn)行了廣泛的研究。濾波器研究的一個(gè)基本問(wèn)題就是:如何設(shè)計(jì)和建立最佳或最優(yōu)的濾波器。所謂最佳濾波器是指能夠根據(jù)某一最佳準(zhǔn)則進(jìn)行設(shè)計(jì)的濾波器。20世紀(jì)40年代，維納奠定了關(guān)于最佳濾波器研究的基礎(chǔ)。假定線性濾波器的輸入為有用信號(hào)和噪聲信

22、號(hào)之和，兩者均為廣義平穩(wěn)過(guò)程且已知它們的二階統(tǒng)計(jì)特性，根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則，維納求得了最佳線性濾波器的參數(shù)。這種濾波器被稱(chēng)為維納濾波器。維納濾波器獲得了極其廣泛的應(yīng)用。在維納研究的基礎(chǔ)上，人們還研究了根據(jù)最大輸出信噪比準(zhǔn)則、統(tǒng)計(jì)檢測(cè)準(zhǔn)則以及其他最佳準(zhǔn)則求得的最佳線性濾波器。但人們發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，這些最佳濾波器與維納濾波器是等價(jià)的。因而，討論最優(yōu)線性濾波器時(shí)，一般均以維納濾波器作為參考。要實(shí)現(xiàn)維納濾波，就要求:輸入信號(hào)是廣義平穩(wěn)的;輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特征是已知的。根據(jù)其他最佳準(zhǔn)則的濾波器亦有同樣要求然而，由于輸入過(guò)程取決于外界的信號(hào)、干擾環(huán)境，這種統(tǒng)計(jì)特性常常是未知的、變化的，因而不能滿(mǎn)足上述兩

23、個(gè)要求。由于無(wú)法預(yù)先知道信號(hào)和噪聲的特性或者它們是隨時(shí)間變化的，僅僅用FIR和IIR兩種具有固定濾波系數(shù)的濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。在這種情況下，必須設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器，以跟蹤信號(hào)和噪聲的變化。濾波器研究的一個(gè)基本問(wèn)題是:如何建立最佳或最優(yōu)的濾波器。根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則，20世紀(jì)40年代維納求得了最佳線性濾波器的參數(shù)，這種濾波器稱(chēng)為維納濾波器。然而，只有對(duì)信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性先驗(yàn)已知的情況下，維納濾波器才能獲得最優(yōu)濾波。遺憾的是在實(shí)際應(yīng)用中，常常無(wú)法得到這些統(tǒng)計(jì)特性的先驗(yàn)知識(shí);或者，統(tǒng)計(jì)特性是隨時(shí)間變化的。因此用維納濾波器實(shí)現(xiàn)不了最優(yōu)濾波。在這種情況下，自適應(yīng)濾波能夠提供卓越的濾波性能。所謂自適應(yīng)

24、濾波器，就是利用前一時(shí)刻己獲得的濾波器參數(shù)的結(jié)果，自動(dòng)地調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)和噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。所謂的自適應(yīng)濾波，就是利用前一時(shí)刻以獲得的濾波器參數(shù)的結(jié)果，自動(dòng)的調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)和噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器實(shí)質(zhì)上就是一種能調(diào)節(jié)其自身傳輸特性以達(dá)到最優(yōu)的維納濾波器。自適應(yīng)濾波器不需要關(guān)于輸入信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，計(jì)算量小，特別適用于實(shí)時(shí)處理。自適應(yīng)濾波器具有“自我調(diào)節(jié)”和“跟蹤”能力。自適應(yīng)濾波器可以分為線性自適應(yīng)濾波器和非線性自適應(yīng)濾波器。非線性自適應(yīng)濾波器包括Vofterra濾波器和基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

25、的自適應(yīng)濾波器。非線性自適應(yīng)濾波器具有更強(qiáng)的信號(hào)處理能力。但是，由于非線性自適應(yīng)濾波器的計(jì)算較復(fù)雜，實(shí)際用得最多的仍然是線性自適應(yīng)濾波器。2.2.2 自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)未知系統(tǒng)自適應(yīng)濾波x(n)y(n)e(n)+v(n)圖2.2 自適應(yīng)濾波器的一般結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波器的特性變化是由自適應(yīng)算法通過(guò)調(diào)整濾波器系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。一般而言，自適應(yīng)濾波器由兩部分組成，一是濾波器結(jié)構(gòu)，二是調(diào)整濾波器系數(shù)的自適應(yīng)算法。自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)采用FIR或IIR結(jié)構(gòu)均可，由于IIR濾波器存在穩(wěn)定性問(wèn)題，因此一般采用FIR濾波器作為自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)。如圖2.2示出了自適應(yīng)濾波器的一般結(jié)構(gòu)。W (n)表示自適應(yīng)濾波器在時(shí)刻n

26、的權(quán)矢量，用表示n時(shí)刻輸入信號(hào)矢量，表示n時(shí)刻N(yùn)階自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)，d(n)是期望信號(hào)，e(n)是誤差信號(hào)，v(n)是主端輸入干擾信號(hào)。根據(jù)自適應(yīng)濾波算法優(yōu)化準(zhǔn)則的不同，自適應(yīng)濾波算法可以分為兩類(lèi)最基本的算法:最小均方誤差(LMS)算法和遞推最小二乘(RLS)算法?；谧钚【秸`差準(zhǔn)則，LMS算法使濾波器的輸出信號(hào)與期望輸出信號(hào)之間的均方誤差最小?；谧钚《藴?zhǔn)則，RLS算法決定自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)向量W (n)使估計(jì)誤差的加權(quán)平方和最小。其中為遺忘因子，且。由此兩準(zhǔn)則衍生出許多不同的自適應(yīng)濾波算法。自適應(yīng)濾波算法廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)、回波消除、自適應(yīng)譜線增強(qiáng)、自適應(yīng)信道均衡、語(yǔ)音線性預(yù)測(cè)、

27、自適應(yīng)天線陣等諸多領(lǐng)域中。自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)是:濾波器的參數(shù)可以自動(dòng)的按照某種準(zhǔn)則調(diào)整到最佳濾波;實(shí)現(xiàn)時(shí)，不需要任何關(guān)于信號(hào)和噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，尤其當(dāng)輸入統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，自適應(yīng)濾波器都能調(diào)整自身的參數(shù)來(lái)滿(mǎn)足最佳濾波的需要。常常將這種輸入統(tǒng)計(jì)特性未知，調(diào)整自身的參數(shù)到最佳的過(guò)程稱(chēng)為“學(xué)習(xí)過(guò)程”將輸入信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，調(diào)整自身的參數(shù)到最佳的過(guò)程稱(chēng)為“跟蹤過(guò)程”，因此自適應(yīng)濾波器具有學(xué)習(xí)和跟蹤的性能。實(shí)際上自適應(yīng)濾波器可以用許多不同結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)。結(jié)構(gòu)的選取會(huì)影響到處理的計(jì)算復(fù)雜度(即每次迭代的算術(shù)操作數(shù)目)，還會(huì)對(duì)達(dá)到期望性能標(biāo)準(zhǔn)所需的迭代次數(shù)產(chǎn)生影響。從根本上講，主要有兩類(lèi)自適應(yīng)數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，

28、即有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR，finite- duration impulse response)濾波器和無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR，infinite-duration impulse response)濾波器。FIR濾波器通常利用非遞歸結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，而IIR濾波器則利用遞歸結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)。l)自適應(yīng)FIR濾波器結(jié)構(gòu):應(yīng)用最廣泛的自適應(yīng)FIR濾波器結(jié)構(gòu)是橫向?yàn)V波器，也稱(chēng)為抽頭延燼線，它利用正規(guī)直接形式實(shí)現(xiàn)全零點(diǎn)傳輸函數(shù)，而不采用反饋環(huán)節(jié)。對(duì)于這種結(jié)構(gòu)，輸出信號(hào)是濾波器系數(shù)的線性組合，它產(chǎn)生具有唯一最優(yōu)解的二次均方誤差函數(shù)。2)自適應(yīng)IIR濾波器結(jié)構(gòu):自適應(yīng)IIR濾波器采用的最多的結(jié)構(gòu)是標(biāo)準(zhǔn)直接形式結(jié)構(gòu)，因?yàn)?/p>

29、它的實(shí)現(xiàn)和分析都很簡(jiǎn)單。然而，采用遞歸自適應(yīng)濾波器會(huì)存在一些內(nèi)在的問(wèn)題，而且收斂速度很慢。為了克服這些問(wèn)題，一些研究已提出了不同的結(jié)構(gòu)形式。2.2.3 自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用在本節(jié)中，將簡(jiǎn)單介紹要用到自適應(yīng)濾波算法的典型應(yīng)用。包括對(duì)它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)場(chǎng)合中的討論。(1)系統(tǒng)辨識(shí)在系統(tǒng)辨識(shí)應(yīng)用中，期望信號(hào)是未知系統(tǒng)受某個(gè)寬帶信號(hào)激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的輸出，在大多數(shù)情況下，輸入是白噪聲信號(hào)。為了允許自適應(yīng)濾波器收到未知系統(tǒng)的較好模型，輸入信號(hào)通常是寬帶信號(hào)，如圖2.3所示。當(dāng)輸出均方誤差值達(dá)到最小時(shí)，自適應(yīng)濾波器就代表了未知系統(tǒng)的模型。未知系統(tǒng)自適應(yīng)濾波器x(k)d(k) e(k)y(k) -圖2.3 系統(tǒng)辨識(shí)在實(shí)際應(yīng)

30、用中，測(cè)量噪聲是不可避免的，而且如果它與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，則自適應(yīng)濾波器系數(shù)的期望值將與未知系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)值一致。顯然，輸出誤差將為測(cè)量噪聲?？梢园l(fā)現(xiàn)，測(cè)量噪聲在估計(jì)未知系統(tǒng)參數(shù)時(shí)引入了方差。系統(tǒng)辨識(shí)的一些實(shí)際應(yīng)用包括多經(jīng)通信信道的建模6、控制系統(tǒng)7、地震探測(cè)8以及在某些通信系統(tǒng)中消除由雜波引起的回音9等，這里僅給出一些例子。(2)信號(hào)增強(qiáng)在信號(hào)增強(qiáng)應(yīng)用中，參考信號(hào)是受到加性噪聲noisel污染的期望信號(hào)x(k)組成的。自適應(yīng)濾波器的輸入信號(hào)是一個(gè)噪聲信號(hào)noise2，它與干擾信號(hào)noise1相關(guān)，但與x(k)無(wú)關(guān)。如果將noise2作為自適應(yīng)濾波器的輸入，而將受到噪聲污染的信號(hào)作為期望信號(hào)，則當(dāng)

31、濾波器收斂以后，其輸出誤差就是信號(hào)的增強(qiáng)形式。由圖2.4說(shuō)明了一種信號(hào)增強(qiáng)的典型配置。在實(shí)際中，這種配置可以在禮堂中的語(yǔ)音回?fù)芟?0、聽(tīng)力輔助、水診器中的噪聲消除11、心電圖中電源線干擾的消除7和其他應(yīng)用中找到。在某些通信系統(tǒng)中，也可以講消除由雜波引起的回音的問(wèn)題考慮為信號(hào)增強(qiáng)問(wèn)題7。自適應(yīng)濾波器x(k)+noise1noise2y(k)-e(k)圖2.4 信號(hào)增強(qiáng)信號(hào)增強(qiáng)測(cè)量的有效性取決于noise1和noise2之間的高相關(guān)性。(3)信道均衡在信道均衡應(yīng)用中，將發(fā)送的受信道失真影響的原始信號(hào)作為自適應(yīng)濾波器的輸入信號(hào)，而期望信號(hào)是原始信號(hào)的時(shí)延形式，如圖2.5所示。通常情況下，輸入信號(hào)的

32、時(shí)延形式在接收端是可以得到的，采用形式是標(biāo)準(zhǔn)的訓(xùn)練信號(hào)。當(dāng)均方誤差值達(dá)到最小時(shí)，就表明自適應(yīng)濾波器代表了信道的逆模型(均衡器)。信道Z-Lx(k)n(k)-y(k)自適應(yīng)濾波器d(k)e(k)圖2.5 信道均衡信道均衡或者逆濾波就是估計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)，以補(bǔ)償信道引起的線性失真。從另一個(gè)觀點(diǎn)來(lái)看，其目標(biāo)是根據(jù)輸入信號(hào)，迫使信道（未知系統(tǒng)）和自適應(yīng)濾波器的級(jí)聯(lián)滿(mǎn)足預(yù)先規(guī)定的動(dòng)態(tài)特性。第一個(gè)解釋更適合于通信系統(tǒng)，此時(shí)信息是通過(guò)色散信道傳輸?shù)?。第二個(gè)解釋則更適合于控制應(yīng)用，其中逆濾波的作用是產(chǎn)生未知系統(tǒng)所需的控制信號(hào)。自適應(yīng)均衡的應(yīng)用極大地改善了數(shù)字式電話通信的速度和可靠性。(4)信號(hào)預(yù)測(cè)最后，在信號(hào)預(yù)

33、測(cè)中，期望信號(hào)是自適應(yīng)濾波器輸入信號(hào)的前向形式，自適應(yīng)濾波器的輸入是由期望信號(hào)的時(shí)延形式組成的，如圖2.6所示。當(dāng)濾波器收斂以后，自適應(yīng)濾波器就代表了輸入信號(hào)的模型，而且可以用來(lái)作為輸入信號(hào)的預(yù)測(cè)器模型。Z-Lx(k)-y(k)自適應(yīng)濾波器e(k)圖2.6 信號(hào)預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)器的典型應(yīng)用是對(duì)語(yǔ)音信號(hào)的線性預(yù)測(cè)編碼12,其中預(yù)測(cè)器的任務(wù)是估計(jì)語(yǔ)音參數(shù)。這些參數(shù)和語(yǔ)音特征內(nèi)在的其他信息如音調(diào)長(zhǎng)度等，都是發(fā)送或者存儲(chǔ)的編碼信息的一部分。自適應(yīng)信號(hào)預(yù)測(cè)器也可以用于自適應(yīng)線譜增強(qiáng)(ALE, adaptive line enhancement),其中輸入信號(hào)是加上帶寬信號(hào)的窄帶信號(hào)（可預(yù)測(cè)的）。當(dāng)收斂以后，預(yù)測(cè)

34、器的輸出將是窄帶信號(hào)的增強(qiáng)形式。信號(hào)預(yù)測(cè)器的另一個(gè)應(yīng)用是抑制帶寬信號(hào)中的窄帶信號(hào)。在這種情況下，輸入信號(hào)和ALE具有相同的一般特征。對(duì)于這種應(yīng)用，人們感興趣的輸出信號(hào)為誤差信號(hào)。2.3 本章小結(jié)在本章中，我們描述了自適應(yīng)濾波理論的一些基本概念和基本原理。自適應(yīng)濾波算法是信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)，近年來(lái)發(fā)展速度很快，在各個(gè)領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際問(wèn)題中，迫切需要研究有效、實(shí)用的自適應(yīng)算法。自適應(yīng)濾波算法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在許多相關(guān)領(lǐng)域，即時(shí)頻率跟蹤，干擾檢測(cè)，在線系統(tǒng)的鑒定，地球物理信號(hào)處理，生物信號(hào)處理，消除雷達(dá)混亂，聲納處理，和自適應(yīng)控制。3 自適應(yīng)濾波算法根據(jù)自適應(yīng)濾波算法優(yōu)化準(zhǔn)則的不同，自適應(yīng)

35、濾波算法可以分為兩類(lèi)最基本的算法:最小均方誤差(LMS)算法和遞推最小二乘(RLS)算法?；谧钚【秸`差準(zhǔn)則，LMS算法使濾波器的輸出信號(hào)與期望輸出信號(hào)之間的均方誤差最小?；谧钚《藴?zhǔn)則，RLS算法決定自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)向量W(n)使估計(jì)誤差的加權(quán)平方和最小。其中為遺忘因子，且。由此兩準(zhǔn)則衍生出許多不同的自適應(yīng)濾波算法。3.1 LMS算法由Widrow和Hoff提出的最小均方誤差(LMS)算法，因?yàn)槠渚哂杏?jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而在實(shí)踐中被廣泛采用。典型的應(yīng)用領(lǐng)域有系統(tǒng)識(shí)別、信號(hào)處理和自適應(yīng)控制。LMS算法的基本原理是基于最速下降法，即沿著權(quán)值的梯度估值的負(fù)方向進(jìn)行搜索，達(dá)到權(quán)值最優(yōu)，實(shí)

36、現(xiàn)均方誤差最小意義下的自適應(yīng)濾波。初始收斂速度、時(shí)變系統(tǒng)跟蹤能力及穩(wěn)態(tài)失調(diào)是衡量自適應(yīng)濾波算法優(yōu)劣的三個(gè)重要的技術(shù)指標(biāo)。由于主輸入端不可避免地存在干擾噪聲，自適應(yīng)濾波算法將產(chǎn)生參數(shù)失調(diào)噪聲。干擾噪聲越大，則引起的失調(diào)噪聲就越大。減小步長(zhǎng)因子召可降低自適應(yīng)濾波算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)，提高算法的收斂精度。3.1.1 LMS算法的基本原理最小均方(LMS)自適應(yīng)算法就是一種以期望響應(yīng)和濾波輸出信號(hào)之間誤差的均方值最小為準(zhǔn)的，依據(jù)輸入信號(hào)在迭代過(guò)程中估計(jì)梯度矢量，并更新權(quán)系數(shù)以達(dá)到最優(yōu)的自適應(yīng)迭代算法。LMS算法是一種梯度最速下降方法，其顯著的特點(diǎn)是它的簡(jiǎn)單性。這算法不需要計(jì)算相應(yīng)的相關(guān)函數(shù)，也不需要進(jìn)行矩陣

37、運(yùn)算。由圖3.1給出LMS算法濾波器的基本結(jié)構(gòu)。Z-1Z-1W1W2WNN向量控制器x(k).Z-1.+-d(k)e(k)圖3.1 LMS算法濾波器自適應(yīng)濾波器最普通的應(yīng)用就是橫向結(jié)構(gòu)。濾波器的輸出信號(hào)y(n)是T表示轉(zhuǎn)置矩陣，n是時(shí)間指針，N是濾波器次數(shù)。這個(gè)例子就是有限脈沖響應(yīng)濾波器的形式，為x(n)和w(n)兩個(gè)矩陣卷積。這種自適應(yīng)算法使用誤差信號(hào)為了方便起見(jiàn)，將上述式子表示為向量形式，則式(3.1)表示為:誤差序列可寫(xiě)為其中d(n)是期望信號(hào)，y(n)是濾波器的輸出。使用輸入向量x(n)和e(n)來(lái)更新自適應(yīng)濾波器的最小化標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)系數(shù)。顯然，自適應(yīng)濾波器控制機(jī)理是用誤差序列e(n)按

38、照某種準(zhǔn)則和算法對(duì)其系數(shù)wi(n)，i=1，2，N進(jìn)行調(diào)節(jié)的，最終使自適應(yīng)濾波的目標(biāo)(代價(jià))函數(shù)最小化，達(dá)到最佳濾波狀態(tài)。本節(jié)所用的標(biāo)準(zhǔn)是最小均方誤差(MSE)。E表示算子期望。假如公式中的y(n)被式(3.3)取代，式(3.5)就可以表示為是N*N自相關(guān)矩陣，是輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣。是N*1胡相關(guān)向量，也指出了期望信號(hào)d(n)和輸入信號(hào)向量x(n)的互相關(guān)矢量。由式(3.6)可見(jiàn)，自適應(yīng)濾波器的代價(jià)函數(shù)是延遲線抽頭系數(shù)的二次函數(shù)。當(dāng)矩陣R和矢量P己知時(shí)，可以由權(quán)系數(shù)矢量w直接求其解。最優(yōu)解最小化MSE，源自解這個(gè)公式將式(3.6)對(duì)w求其偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，假設(shè)矩陣R滿(mǎn)秩(非奇異)，可得代

39、價(jià)函數(shù)最小的最佳濾波系數(shù)這個(gè)解稱(chēng)為維納解，即最佳濾波系數(shù)值。因?yàn)榫秸`差(MSE)函數(shù)是濾波系數(shù)w的二次方程，由此形成一個(gè)多維的超拋物面，這好像一個(gè)碗狀曲面又具有唯一的碗底最小點(diǎn)，通常稱(chēng)之為自適應(yīng)濾波器的誤差性能曲面。當(dāng)濾波器工作在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的環(huán)境下，這個(gè)誤差性能曲面就具有固定邊緣的恒定形狀。自適應(yīng)濾波系數(shù)的起始值wi(0)，i=1，2，N是任意值，位于誤差性能曲面上某一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程，使對(duì)應(yīng)于濾波系數(shù)變化的點(diǎn)移動(dòng)，朝碗底最小點(diǎn)方向移動(dòng)，最終到達(dá)碗底最小點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了最佳維納濾波。自適應(yīng)過(guò)程是在梯度矢量的負(fù)方向接連的校正濾波系數(shù)的，即在誤差性能曲面的最陡下降法方向移動(dòng)和逐步校正濾波系數(shù)，

40、最終到達(dá)均方誤差為最小的碗底最小點(diǎn)，獲得最佳濾波或準(zhǔn)最優(yōu)工作狀態(tài)。廣泛使用的LMS算法是一種選擇性算法適應(yīng)采樣和采樣基礎(chǔ)。這個(gè)方法可以避免復(fù)雜的計(jì)算。LMS算法是最陡下降法，在這個(gè)算法中，向量w(n+1)通過(guò)改變對(duì)最小均方誤差性能的負(fù)梯度比例來(lái)增強(qiáng)。對(duì)于LMS算法梯度通過(guò)假設(shè)平方誤差e2 (n)作為式(3.8)的MSE來(lái)預(yù)測(cè)。因此，梯度預(yù)測(cè)可以單一化表示為:在實(shí)際應(yīng)用中，2u經(jīng)常用來(lái)代替u。瞬間梯度預(yù)測(cè)產(chǎn)生的Widrow-Hoff LMS算法，w(n)為自適應(yīng)濾波器在n時(shí)刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量。按照最陡下降法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)，則在n+1時(shí)刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量w(n+l)可以用下列簡(jiǎn)單遞歸關(guān)系來(lái)計(jì)算:

41、u是自適應(yīng)步長(zhǎng)來(lái)控制穩(wěn)定性和收斂率。這種瞬時(shí)估計(jì)是無(wú)偏的，因?yàn)樗钠谕礒等于最陡下降法的梯度矢量。以任意初始向量w(0)來(lái)開(kāi)始，向量w(n)集中在最佳解決方法w0,假如選擇u為矩陣R的最大特征值，受限制于Tr為指示矩陣的軌跡，是平均輸入功率。對(duì)于自適應(yīng)信號(hào)處理應(yīng)用，最重要的實(shí)際考慮是收斂速度，決定濾波器跟蹤不穩(wěn)定型號(hào)的能力?？傮w來(lái)說(shuō)，權(quán)向量要獲得收斂只有當(dāng)最緩慢的權(quán)集中一點(diǎn)。這個(gè)最慢的時(shí)間這個(gè)指出時(shí)間連續(xù)相反的以u(píng)的比例收斂，并且依靠輸入矩陣的自相關(guān)特征值。具有全異的特征值，規(guī)定時(shí)間是受最慢模式的限制。以梯度預(yù)測(cè)為基礎(chǔ)的自適應(yīng)導(dǎo)致噪聲矩陣的權(quán)向量，因此會(huì)有性能的損失。這個(gè)自適應(yīng)處理的噪聲導(dǎo)致

42、穩(wěn)態(tài)權(quán)向量隨意的改變?yōu)樽钸m宜的權(quán)向量。穩(wěn)態(tài)權(quán)向量的精度通過(guò)超額的最小均方誤差來(lái)測(cè)量。這個(gè)LMS算法超過(guò)EMS的是是MSE在穩(wěn)態(tài)的最小值。式(3.13)和(3.14)產(chǎn)生LMS算法基本協(xié)定:為了在穩(wěn)態(tài)獲得高精度(低超額MSE)，需要u的最小值，但是也會(huì)降低收斂率。后面會(huì)有進(jìn)一步關(guān)于LMS算法特征的討論。對(duì)于N維更新是常數(shù)，誤差信號(hào)e(n)乘以u(píng)得到。這個(gè)常數(shù)首先計(jì)算，然后乘以x(n)來(lái)更新w(n)。自適應(yīng)LMS算法如同最陡下降法，利用時(shí)間n= 0的濾波系數(shù)矢量為任意的起始值w(0)，然后開(kāi)始LMS算法的計(jì)算，其步驟如下:l)由現(xiàn)在時(shí)刻n的濾波器濾波系數(shù)矢量估值w(n)，輸入信號(hào)矢量x(n)及期望

43、信號(hào)d(n)，計(jì)算誤差信號(hào)e(n):2)利用遞歸法計(jì)算濾波系數(shù)矢量的更新估值。3)將時(shí)間指數(shù)n增加1，回到第一步驟，重復(fù)上述計(jì)算步驟，一直到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)為止。由此可見(jiàn)，自適應(yīng)LMS算法簡(jiǎn)單，它既不需要計(jì)算輸入信號(hào)的相關(guān)函數(shù)，又不要求矩陣之逆。因而得到了廣泛的應(yīng)用。但是，由于LMS算法采用梯度矢量的瞬時(shí)估計(jì)，它有大的方差，以致不能獲得最優(yōu)濾波性能。3.1.2 LMS算法的收斂性質(zhì)自適應(yīng)濾波系數(shù)矢量的初始值w(0)是任意的常數(shù)，應(yīng)用LMS算法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)具有隨機(jī)性而使系數(shù)矢量w(n)帶來(lái)非平穩(wěn)過(guò)程。通過(guò)計(jì)算可以得到，要使LMS算法收斂于均值，必須使自適應(yīng)收斂系數(shù)參數(shù)滿(mǎn)足下列條件:這里是相關(guān)矩陣R的最

44、大特征值。在此條件下，當(dāng)?shù)螖?shù)n接近于8時(shí)，自適應(yīng)濾波系數(shù)矢量w(n)近似等于最佳維納解w0。自適應(yīng)波波器可以而且實(shí)際上廣泛應(yīng)用于非平穩(wěn)信號(hào)處理，而上面的分析都是基于平穩(wěn)情形作出的。這樣做有兩個(gè)理由。第一個(gè)也是最重要的理由是，平穩(wěn)情況下的分析較為簡(jiǎn)單而又富實(shí)效。從一個(gè)自適應(yīng)濾波器在平穩(wěn)情形下的收斂性質(zhì)和失調(diào)可以推知其在非平穩(wěn)條件下工作時(shí)的行為。對(duì)于在平穩(wěn)輸入下工作的自適應(yīng)濾波器，維納權(quán)可以看作為參數(shù)空間中的一個(gè)固定的目標(biāo)點(diǎn);自適應(yīng)算法控制濾波器的權(quán)系數(shù)，使權(quán)向量沿一定的軌道趨近于此目標(biāo)點(diǎn)。在非平穩(wěn)條件下工作時(shí)，最佳權(quán)向量是隨著輸入信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的變化而變化的，因此可以將它看作為參數(shù)空間中的一個(gè)

45、移動(dòng)的目標(biāo)點(diǎn)。那時(shí)自適應(yīng)算法控制濾波器的權(quán)系數(shù)，使權(quán)向量跟蹤目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以便使它們間的距離每時(shí)每刻都盡可能地小。顯然，在平穩(wěn)情形下能愈平穩(wěn)、愈迅速和愈精確地逼近固定目標(biāo)點(diǎn)的自適應(yīng)算法，在非平穩(wěn)條件下也就能愈平穩(wěn)、愈迅速和愈精確地跟蹤移動(dòng)的目標(biāo)點(diǎn)。第二個(gè)理由是，非平穩(wěn)情形下自適應(yīng)過(guò)程的分析一般說(shuō)來(lái)相當(dāng)困難，而且也有賴(lài)于非平穩(wěn)輸入信號(hào)特性變化的類(lèi)型和性質(zhì)。3.2 RLS算法最小二乘(LS)法是一種典型的有效的數(shù)據(jù)處理方法。由著名學(xué)者高斯在1795年提出，他認(rèn)為，根據(jù)所獲得的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)推斷未知參數(shù)時(shí)，未知參數(shù)最可能的值是這樣一個(gè)數(shù)據(jù)，即它使各項(xiàng)實(shí)際觀測(cè)值和計(jì)算值之間的差的平方乘以度量其精度的數(shù)值以

46、后的和為最小。這就是著名的最小二乘法。前面所研究的自適應(yīng)濾波算法根據(jù)的最佳準(zhǔn)則為最小均方誤差準(zhǔn)則。自適應(yīng)算法的目標(biāo)在于，使濾波器輸出與需要信號(hào)的誤差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值最小。這個(gè)準(zhǔn)則根據(jù)輸入數(shù)據(jù)的長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)特性尋求最佳濾波。然而，我們通常己知的僅是一組數(shù)據(jù)，因而只能對(duì)長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行估計(jì)或近似。LMS算法、格形梯度算法都是這樣。而最小二乘算法就是能直接根據(jù)一組數(shù)據(jù)尋求最佳解。換句話說(shuō)，根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則得到的是對(duì)一類(lèi)數(shù)據(jù)的最佳濾波器，而根據(jù)最小二乘法得到的是對(duì)一組已知數(shù)據(jù)的最佳濾波器。對(duì)同一類(lèi)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，最小均方誤差準(zhǔn)則對(duì)不同的數(shù)據(jù)組導(dǎo)出同樣的“最佳”濾波器;而最小二乘法對(duì)不同的數(shù)據(jù)組導(dǎo)出不同的“

47、最佳”濾波器。因而常說(shuō)最小二乘法導(dǎo)出的最佳濾波器是“精確”的。遞推最小二乘法(RLS)是最小二乘法的一類(lèi)快速算法。RLS自適應(yīng)濾波器有橫向式和格式兩種形式。格式濾波器提供較多的信息,它給出直到某一最大階次為止的所有各階濾波器，并且由于隱含著施密特正交化而具有良好的數(shù)值性能，但是需要較大的計(jì)算量。橫向?yàn)V波器則以快速見(jiàn)長(zhǎng)。這兩種形式各有其適用的場(chǎng)合。3.2.1 RLS算法的基本原理遞推最小二乘(RLS)算法是一種在自適應(yīng)迭代的每一步都要求最優(yōu)的迭代算法，濾波器輸出信號(hào)y(n)等于輸入信號(hào)x(n)與沖激響應(yīng)序列wi(n)的卷積和，即 n=1,2,N誤差信號(hào)。由此可以得到自適應(yīng)橫向?yàn)V波器按最小均方準(zhǔn)則

48、設(shè)計(jì)的代價(jià)函數(shù)式中，d(i)與y(i)分別為自適應(yīng)濾波器的期望相應(yīng)于輸出信號(hào)。e(i)為誤差信號(hào)。其目的在于確保濾波器能夠忘記“過(guò)去的”的數(shù)據(jù)以確保算法適用于非平穩(wěn)的環(huán)境，n為可變的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。將式(6.1)帶入式(6.2)并展開(kāi)，得到式中M=N為了簡(jiǎn)短地表示濾波器地代價(jià)函數(shù)，將上示中有關(guān)項(xiàng)定義為以下參數(shù):(l)確定性相關(guān)函數(shù)表示輸入信號(hào)在抽頭k與抽頭m之間兩信號(hào)的相關(guān)性，即 k,m=0,1,M-1(2)確定性相互關(guān)系函數(shù)表示期望響應(yīng)與在抽頭k輸入信號(hào)之間的互相關(guān)性，即 k=0,1,M-1(3)期望響應(yīng)序列的能量為將上述定義的三個(gè)參數(shù)代入式(3.25)中，得到為了估算濾波器的最佳濾波器系數(shù)，把式

49、(3.29)對(duì)濾波器系數(shù)(權(quán)系數(shù))wk(n)微分一次，并令其導(dǎo)數(shù)等于零: k=0,1,M-1得到這是最小二乘法自適應(yīng)濾波的正則方程。與前面討論的濾波正則方程不同的是，所用輸入信號(hào)確定性自相關(guān)函數(shù)，期望響應(yīng)序列與輸入信號(hào)之間的確定性互相關(guān)函數(shù)都是在有限觀察范圍內(nèi)的時(shí)間平均值，而不是總體平均(數(shù)學(xué)期望)值。式中為M*l維最小均方估計(jì)的濾波器系數(shù)，為延遲線抽頭輸入信號(hào)的確定性相關(guān)函數(shù)M*M維矩陣，為沖激響應(yīng)序列與輸入信號(hào)之間確定性互相關(guān)函數(shù)M*l維矢量。假定矩陣是非奇異的，其逆矩陣存在，則由(3.32)求得最小平方自適應(yīng)濾波的權(quán)矢量為示中，是確定性相關(guān)矩陣之逆。確定性相關(guān)函數(shù)表達(dá)式可以重新寫(xiě)成 k,

50、m=0,1,M-1這是一個(gè)更新確定性相關(guān)函數(shù)的遞推方程。相關(guān)函數(shù)更新公式可以寫(xiě)成矩陣形式:為了計(jì)算方便。令和則這里M*l矢量K(n)稱(chēng)之為增益矢量。如果將上式兩邊右乘以延遲線抽頭輸入信號(hào)矢量x(n)，得到簡(jiǎn)化為可得到時(shí)間遞歸形式:表示確定性互相關(guān)函數(shù)遞歸計(jì)算方程式中的更新校正項(xiàng)。由式(3.41)可以得到確定性互相關(guān)矢量遞歸計(jì)算公式:將代入上式(3.42)得到:得到濾波系數(shù)矢量的遞歸計(jì)算公式為式中，是真正的估計(jì)誤差，RLS算法的主要優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，且對(duì)自相關(guān)矩陣特征值的分散性不敏感，其缺點(diǎn)是計(jì)算量比較大。3.2.2 RLS算法的收斂性質(zhì)LMS算法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)，其缺點(diǎn)是收斂速度很慢

51、。基于最小二乘準(zhǔn)則，RLS算法決定自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)向量w(n)使估計(jì)誤差的加權(quán)平方和最小。RLS算法對(duì)輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣逆進(jìn)行遞推估計(jì)更新，收斂速度快，其收斂性能與輸入信號(hào)的頻譜特性無(wú)關(guān)。遞推式最小均方(RLS)算法的基本思想是力圖使在每個(gè)時(shí)刻對(duì)所有己輸入信號(hào)而言平方誤差的加權(quán)和最小，這使得RLS算法對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的適應(yīng)性要好。與LMS算法相比，RLS算法采用時(shí)間平均，因此，所得出的最優(yōu)濾波器依賴(lài)于用于計(jì)算平均值的樣本數(shù)。在性能方面，RLS的收斂與的特征值無(wú)關(guān)，同時(shí)RLS的收斂速率比LMS(NLMS)要快得多，因此，RLS在收斂速率方面有很大優(yōu)勢(shì)。然而，魯棒性或有限精度問(wèn)題卻給RLS算法的

52、有效性帶來(lái)很大的問(wèn)題:一方面，橫向RLS算法往往不穩(wěn)定，魯棒性很差，另一方面，格狀RLS算法計(jì)算量很大，基本是LMS算法的計(jì)算量的平方。以上缺點(diǎn)，使RLS算法并不適合語(yǔ)音通信中的回波抵消。RLS算法中的步長(zhǎng)參數(shù)被輸入向量的相關(guān)矩陣的逆代替，它對(duì)抽頭輸入有白化作用。這一改進(jìn)對(duì)平穩(wěn)環(huán)境下RLS算法的收斂性能有如下深刻影響:(1)RLS算法的收斂速率比LMS算法快一個(gè)數(shù)量級(jí)。(2)RLS速率不隨輸入向量x(n)的集平均相關(guān)矩陣R特征值的擴(kuò)散度(即條件度)而改變。(3)隨著迭代次數(shù)n趨于無(wú)限，RLS比算法的額外均方誤差收斂于零。影響LMS的收斂因素主要為與相關(guān)矩陣R。RLS為最小均方的延伸，主要根據(jù)逆

53、矩陣來(lái)完成演算法。RLS有較好的效能，收斂速度很快。且利用通道相關(guān)矩陣會(huì)隨時(shí)間而改變，所以更適應(yīng)時(shí)變通道，這種改變會(huì)將維參數(shù)估計(jì)的更準(zhǔn)確，相對(duì)的R璐需要大量使用矩陣運(yùn)算，它的復(fù)雜度很高。LMS和RLS是自適應(yīng)濾波兩種不同的工作準(zhǔn)則，它們對(duì)于相同的濾波器結(jié)構(gòu)(橫向式或格式)導(dǎo)出不同的濾波算法。一般說(shuō)來(lái)，RLS算法具有較好的收斂性能和跟蹤能力，但是要求較多的計(jì)算量(例如，目前最快的RLS算法也要比LMS-SG算法多2-3倍的計(jì)算量)。因此，RLS自適應(yīng)濾波一般用于要求較高的場(chǎng)合。3.3 變步長(zhǎng)LMS算法眾所周知, 超量均方誤差直接與步長(zhǎng)成比例, 然而步長(zhǎng)減小, 收斂時(shí)間增大。變步長(zhǎng)LMS算法的提出

54、為解決超量均方誤差和收斂速度之間的矛盾開(kāi)辟了一條有效的途徑。這種方法是基于當(dāng)權(quán)系數(shù)遠(yuǎn)離于最佳權(quán)系數(shù)w,使用較大的步長(zhǎng),加快收斂速度; 當(dāng)權(quán)系數(shù)接近于最佳權(quán)系數(shù)w, 使用較小的步長(zhǎng), 則獲取較小的超量均方誤差, 從而提高整個(gè)算法的性能。傳統(tǒng)的LMS 算法確實(shí)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小且穩(wěn)定性好, 因此被廣泛地應(yīng)用于自適應(yīng)控制、雷達(dá)、系統(tǒng)辨識(shí)及信號(hào)處理等領(lǐng)域。但是這種固定步長(zhǎng)的LMS 自適應(yīng)算法在收斂速率、跟蹤速率及權(quán)失調(diào)噪聲之間的要求是相互矛盾的, 為了克服這一缺點(diǎn), 人們研究出了各種各樣的變步長(zhǎng)LMS 的改進(jìn)算法。盡管各種改進(jìn)算法的原理不同, 但變步長(zhǎng)LMS 自適應(yīng)算法基本上遵循如下調(diào)整原則:即在初始

55、收斂階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí), 步長(zhǎng)應(yīng)比較大, 以便有較快的收斂速度或?qū)r(shí)變系統(tǒng)的跟蹤速度; 而在算法收斂后, 不管主輸入端干擾信號(hào)有多大, 都應(yīng)保持很小的調(diào)整步長(zhǎng)以達(dá)到很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。3.4 變換域自適應(yīng)濾波算法對(duì)于強(qiáng)相關(guān)的信號(hào)，LMS算法的收斂性能降低，這是由于LMS算法的收斂性能依賴(lài)于輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的特征值發(fā)散程度。輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的特征值發(fā)散程度越小，LMS算法的收斂性能越好。經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)輸入信號(hào)作某些正交變換后，輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的特征值發(fā)散程度會(huì)變小。于是，Dentino等1979年首先提出了變換域自適應(yīng)濾波的概念。其基本思想是把時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)樽儞Q域信號(hào)，在變換域

56、中采用自適應(yīng)算法。Narayan等對(duì)變換域自適應(yīng)濾波算法作了全面的總結(jié)。變換域自適應(yīng)濾波算法的一般步驟是：1)選擇正交變換，把時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)樽儞Q域信號(hào)。2)變換后的信號(hào)用其能量的平方根歸一化。3)采用某一自適應(yīng)算法進(jìn)行濾波。3.5 仿射投影算法仿射投影算法最早由K.Ozeki和T.Umeda16提出，它是歸一化最小均方誤差 (NLMS)算法的推廣。仿射投影算法的性能介于LMS算法和RLS算法之間，其計(jì)算復(fù)雜度比RLS算法低。歸一化最小均方誤差(NLMS)算法是LMS算法的一種改進(jìn)算法，它可以看作是一種變步長(zhǎng)因子的LMS算法，其收斂性能對(duì)輸入信號(hào)的能量變化不敏感。而仿射投影算法的計(jì)算復(fù)雜度比NLMS算法高很多。Gay等17、18提出的快速仿射投影算法大大降低了仿射投影算法的計(jì)算復(fù)雜度。在快速仿射投影算法中，采用滑動(dòng)窗快速橫向?yàn)V波器算法計(jì)算預(yù)濾波向量，避免了矩陣求逆運(yùn)算?？焖俜律渫队八惴ǖ挠?jì)算復(fù)雜度雖然降低了，但其內(nèi)嵌的滑動(dòng)窗快速橫向?yàn)V波器算法的實(shí)現(xiàn)相對(duì)復(fù)雜，并且存在數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題。為解決快速仿射投影算法的數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題，Dou