2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2015 年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1（5 分）i 為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為（ ）ai bi c1 d12（5 分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧， 有人送來米 1534 石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得 254 粒內(nèi)夾谷 28 粒， 則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）a134 石 b169 石 c338 石 d1365 石3（5 分）已知（1+x）n的展開式中第 4 項(xiàng)與第 8 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（ ）a212 b211

2、c210d294（5 分）設(shè) xn（ ，112），yn（ ，222），這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結(jié)論中正確的是（ ）ap（y ）p（y ） bp（x ）p（x ）2 1 2 1c對(duì)任意正數(shù) t，p（xt）p（yt） d對(duì)任意正數(shù) t，p（xt）p（y t）5（5 分）設(shè) a ，a ，a r，n3若 p：a ，a ，a 成等比數(shù)列；q：1 2 n 1 2 n（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a a +a a +a1 2 2 3n1a ）2n，則（ ）a p 是 q 的充分條件，但不是 q 的必要條件b p 是 q 的必要條件，但不是 q 的充分條件c p 是 q

3、的充分必要條件d p 既不是 q 的充分條件，也不是 q 的必要條件6（5 分）已知符號(hào)函數(shù) sgnx=（x）f（ax）（a1），則（ ），f（x）是 r 上的增函數(shù)，g（x）=fasgng（x）=sgnx bsgng（x）=sgnx dsgng（x）=sgnf（x）csgng（x）=sgnf（x）7（5 分）在區(qū)間0，1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù) x，y，記 p 為事件“x+y ”的概率，1p 為事件“|xy| ”的概率，p 為事件“xy ”的概率，則（ ）2 3ap p p 1 23bp p p 2 31cp p p3 12dp p p 3 218（5 分）將離心率為 e 的雙曲線 c 的實(shí)半軸長(zhǎng) a

4、 和虛半軸長(zhǎng) b（ab）同時(shí)增1 1加 m（m0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為 e 的雙曲線 c ，則（ ）2 2a對(duì)任意的 a，b，e e12b當(dāng) ab 時(shí)，e e ；當(dāng) ab 時(shí)，e e1 2 12c對(duì)任意的 a，b，e e12d當(dāng) ab 時(shí)，e e ；當(dāng) ab 時(shí)，e e1 2 129（5 分）已知集合 a=（x，y）|x2+y21，x，yz，b=（x，y）|x|2， |y|2，x，yz，定義集合 ab=（x +x ，y +y ）|（x ，y ）a，（x ，y ）1 2 1 2 1 1 2 2b，則 ab 中元素的個(gè)數(shù)為（ ）a77 b49 c45 d3010（5 分）設(shè) xr，x表示不超過

5、 x 的最大整數(shù)若存在實(shí)數(shù) t，使得t=1，t2=2，tn=n 同時(shí)成立，則正整數(shù) n 的最大值是（ ）a3 b4c5 d6二、填空題：本大題共 4 小題，考生需作答 5 小題，每小題 5 分，共 25 分請(qǐng) 將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得 分11（5 分）已知向量 ，| |=3，則 = 12（5 分）函數(shù) f（x）=4cos2 cos（ 數(shù)為 x）2sinx|ln（x+1）|的零點(diǎn)個(gè)13（5 分）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 a 處時(shí)測(cè)得公 路北側(cè)一山頂 d 在西偏北 30的方向上，行駛 600m 后到達(dá) b 處，測(cè)得此山頂在 西偏北 7

6、5的方向上，仰角為 30，則此山的高度 cd= m14（5 分）如圖，圓 c 與 x 軸相切于點(diǎn) t（1，0），與 y 軸正半軸交于兩點(diǎn) a，b （b 在 a 的上方），且|ab|=2（1）圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；（2）過點(diǎn) a 任作一條直線與圓 o：x2+y2=1 相交于 m，n 兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論： = ； =2； + =2 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）選修 4-1：幾何證明選講15（5 分）如圖，pa 是圓的切線，a 為切點(diǎn)，pbc 是圓的割線，且 bc=3pb，則 = 選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程16在直角坐標(biāo)系 xoy 中，以 o 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建

7、立極坐標(biāo)系已知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 （sin 3cos ）=0，曲線 c 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)），l 與 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，則|ab|= 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演 算步驟17（11 分）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù) f（x）=asin（ x+ ）（ 0，| | ）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表： x+02xasin（ x+ ）0 5 5 0（1） 請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù) f（x）的解析 式；（2） 將 y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng) （ 0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到 y=g（x）的

8、圖象若 y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ，0），求 的最小值18（12 分）設(shè)等差數(shù)列a 的公差為 d，前 n 項(xiàng)和為 s ，等比數(shù)列b 的公比為n n nq，已知 b =a ，b =2，q=d，s =1001 1 2 10（1）求數(shù)列a ，b 的通項(xiàng)公式n n（2）當(dāng) d1 時(shí)，記 c = ，求數(shù)列c 的前 n 項(xiàng)和 t n n n19（12 分）九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱 錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬 p abcd 中，側(cè)棱 pd底面 abcd，且 pd=cd，過棱 pc 的中點(diǎn) e，作 efpb 交 pb 于點(diǎn) f，連

9、接 de，df，bd，be（1）證明：pb平面 def試判斷四面體 dbef 是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè) 面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）若面 def 與面 abcd 所成二面角的大小為 ，求的值20（12 分）某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn) a，b 兩種奶制品生產(chǎn) 1 噸 a 產(chǎn) 品需鮮牛奶 2 噸，使用設(shè)備 1 小時(shí)，獲利 1000 元；生產(chǎn) 1 噸 b 產(chǎn)品需鮮牛奶 1.5 噸，使用設(shè)備 1.5 小時(shí)，獲利 1200 元要求每天 b 產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過 a 產(chǎn)品產(chǎn) 量的 2 倍，設(shè)備每天生產(chǎn) a，b 兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過 12 小時(shí)假定每天可獲 取的鮮牛奶數(shù)量 w（單位

10、：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為w 12 15 18p 0.3 0.5 0.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利 z（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量（1） 求 z 的分布列和均值；（2） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求 3 天中至少有 1 天的最大獲利超 過 10000 元的概率21（14 分）一種畫橢圓的工具如圖 1 所示o 是滑槽 ab 的中點(diǎn)，短桿 on 可繞 o 轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿 mn 通過 n 處鉸鏈與 on 連接，mn 上的栓子 d 可沿滑槽 ab 滑動(dòng)，且 dn=on=1，mn=3，當(dāng)栓子 d 在滑槽 ab 內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng) n 繞 o 轉(zhuǎn)動(dòng)，m

11、 處的 筆尖畫出的橢圓記為 c，以 o 為原點(diǎn)，ab 所在的直線為 x 軸建立如圖 2 所示的平 面直角坐標(biāo)系（1） 求橢圓 c 的方程；（2） 設(shè)動(dòng)直線 l 與兩定直線 l ：x2y=0 和 l ：x+2y=0 分別交于 p，q 兩點(diǎn)若1 2直線 l 總與橢圓 c 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究 opq 的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由22（14 分）已知數(shù)列a 的各項(xiàng)均為正數(shù)，b =n（1+ ）nn na （nn ），e 為自然 n +對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù) f（x）=1+xex 的單調(diào)區(qū)間，并比較（1+ ）n 與 e 的大小；（2）計(jì)算 ， ， ，由此推測(cè)計(jì)算的

12、公式，并給出證明；（3）令 c =（a a a ） n 1 2 nt es n n，數(shù)列a ，c 的前 n 項(xiàng)和分別記為 s ，t ，證明：n n n n2015 年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1（5 分）i 為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為（ ）ai bi c1 d1【分析】直接利用復(fù)數(shù)的單位的冪運(yùn)算求解即可【解答】解：i607=i604+3=i3=i，它的共軛復(fù)數(shù)為：i故選：a【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)式單位的冪運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的知識(shí)，基 本知識(shí)的

13、考查2（5 分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧， 有人送來米 1534 石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得 254 粒內(nèi)夾谷 28 粒， 則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）a134 石 b169 石 c338 石 d1365 石【分析】根據(jù) 254 粒內(nèi)夾谷 28 粒，可得比例，即可得出結(jié)論【解答】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為 1534169 石，故選：b【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)3（5 分）已知（1+x）n的展開式中第 4 項(xiàng)與第 8 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（ ）a212b211c210d29【分析】直接利用二

14、項(xiàng)式定理求出 n，然后利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果 即可【解答】解：已知（1+x）n的展開式中第 4 項(xiàng)與第 8 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得 ，可得 n=3+7=10（1+x）10的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：=29故選：d【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的形狀的應(yīng)用，考查基本知識(shí)的靈 活運(yùn)用以及計(jì)算能力4（5 分）設(shè) xn（ ，112），yn（ ，222），這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結(jié)論中正確的是（ ）ap（y ）p（y ） bp（x ）p（x ）2 1 2 1c對(duì)任意正數(shù) t，p（xt）p（yt） d對(duì)任意正數(shù) t，p（xt）p（y t）【分析】直接利用正態(tài)分布曲線的

15、特征，集合概率，直接判斷即可【解答】解：正態(tài)分布密度曲線圖象關(guān)于 x= 對(duì)稱，所以 ，從圖中容1 2易得到 p（xt）p（yt）故選：c【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正態(tài)分布的圖象與性質(zhì)，學(xué)習(xí)正態(tài)分布，一定要緊緊抓住平 均數(shù) 和標(biāo)準(zhǔn)差 這兩個(gè)關(guān)鍵量，結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)5（5 分）設(shè) a ，a ，a r，n3若 p：a ，a ，a 成等比數(shù)列；q：1 2 n 1 2 n（a 2+a 2+a 1 2n12）（a 2+a 2+a 2）=（a a +a a +a2 3 n 1 2 2 3n1a ）2n，則（ ）a p 是 q 的充分條件，但不是 q 的必要條件b p 是 q 的必要條件，但

16、不是 q 的充分條件c p 是 q 的充分必要條件d p 既不是 q 的充分條件，也不是 q 的必要條件【 分 析 】 運(yùn) 用 柯 西 不 等 式 ， 可 得 ：（ a12 +a 2+a 2 ）（ a 2+a 2 +a 2 2 n 1 2 3 n） （a a +a a +a 1 2 2 3n1a ）2n，討論等號(hào)成立的條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義和充分必要條件的定義，即可得到【解答】解：由 a ，a ，a r，n31 2 n運(yùn)用柯西不等式，可得：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）（a a +a a +a 1 2 2 3n1a ）2n，若 a ，a ，a 成等比數(shù)列，即有 = =

17、 ， 1 2 n則（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a a +a a +a1 2 2 3n1a ）2n，即由 p 推得 q，但由 q 推不到 p，比如 a =a =a =a =0，則 a ，a ，a 不成等比數(shù)列1 2 3 n 1 2 n故 p 是 q 的充分不必要條件故選：a【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的判斷，同時(shí)考查等比數(shù)列的定義，注意運(yùn)用定 義法和柯西不等式解題是關(guān)鍵6（5 分）已知符號(hào)函數(shù) sgnx=（x）f（ax）（a1），則（ ），f（x）是 r 上的增函數(shù)，g（x）=fasgng（x）=sgnx bsgng（x）=sgnx dsgng（x）=sgnf（x）

18、csgng（x）=sgnf（x）【分析】直接利用特殊法，設(shè)出函數(shù) f（x），以及 a 的值，判斷選項(xiàng)即可【解答】解：由于本題是選擇題，可以采用特殊法，符號(hào)函數(shù) sgnx=f（x）是 r 上的增函數(shù)，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令 f（x）=x，a=2，則 g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx所以 a 不正確，b 正確，sgnf（x）=sgnx，c 不正確；d 正確；對(duì)于 d，令 f（x）=x+1，a=2，則 g（x）=f（x）f（ax）=x，sgnf（x）=sgn（x+1）= ；，sgng（x）=sgn（x）= ，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以 d

19、 不正確；故選：b【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)表達(dá)式的比較，選取特殊值法是解決本題的關(guān)鍵，注意解 題方法的積累，屬于中檔題7（5 分）在區(qū)間0，1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù) x，y，記 p 為事件“x+y ”的概率，1p 為事件“|xy| ”的概率，p 為事件“xy ”的概率，則（ ）2 3ap p p 1 23bp p p 2 31cp p p3 12dp p p 3 21【分析】作出每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的面積，利用幾何概型的概率 公式進(jìn)行計(jì)算比較即可【解答】解：分別作出事件對(duì)應(yīng)的圖象如圖（陰影部分）：p ：d（0， ），f（ ，0），a（0，1），b（1，1），c（1，0）， 1則陰影部分的面積

20、s =111s =112 =1 = ， 2=1 = ，s =1 +3s s s ， 2 3 1即 p p p ， 2 3 1故選：bdx= + lnx| = ln = + ln2，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵本 題也可以直接通過圖象比較面積的大小即可比較大小8（5 分）將離心率為 e 的雙曲線 c 的實(shí)半軸長(zhǎng) a 和虛半軸長(zhǎng) b（ab）同時(shí)增1 1加 m（m0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為 e 的雙曲線 c ，則（ ）2 2a對(duì)任意的 a，b，e e12b當(dāng) ab 時(shí)，e e ；當(dāng) ab 時(shí)，e e1 2 12c對(duì)任意的 a，b，e e12d當(dāng) ab 時(shí)，e

21、 e ；當(dāng) ab 時(shí)，e e1 2 12【分析】分別求出雙曲線的離心率，再平方作差，即可得出結(jié)論 【解答】解：由題意，雙曲線 c ：c2=a2+b2，e = ；1 1雙曲線 c ：c2 2=（a+m）2+（b+m）2，e =2， = = ，當(dāng) ab 時(shí)，e e ；當(dāng) ab 時(shí)，e e ，1 2 1 2故選：b【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)9（5 分）已知集合 a=（x，y）|x2+y21，x，yz，b=（x，y）|x|2，|y|2，x，yz，定義集合 ab=（x +x ，y +y ）|（x ，y ）a，（x ，y ）1 2 1 2 1 1 2 2b，則 ab 中元素

22、的個(gè)數(shù)為（ ）a77 b49 c45 d30【分析】由題意可得，a=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），b=（0， 0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1）， （1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1， 1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0）， （2，1），（2，2），根據(jù)定義可求【解答】解：解法一：a=（x，y）|x2+y21，x，yz=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），b=（x，y）|x|2，|y|2，

23、x，yz=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0， 2），（1，0），（1，1），（1，2）（1， 1），（1，2）（2，0 ），（2，1）， （2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1）， （1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2） ab=（x +x ，y +y ）|（x ，y ）a，（x ，y ）b，1 2 1 2 1 1 2 2ab=（0，0），（0，1），（0，2），（0， 1），（0， 2），（1，0），（1，1）， （1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，1），（2，2）

24、， （1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（ 2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，3），（0，3），（2，3），（1，3），（1，3），（1，3）， （2，3），（0，3），（3，1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，2）（3，2）（ 3，1），（1，3），（3，1），（3，0），（3，2）共 45 個(gè)元素；解法二：因?yàn)榧?a=（x，y）|x2+y21，x，yz，所以集合 a 中有 5 個(gè)元素，即圖中圓中的整點(diǎn)，b=（x，y）|x|2，|y|2，x，yz，中有 55=25 個(gè)元素， 即圖中正方形 abcd 中的整點(diǎn)，ab=

25、（x +x ，y +y ）|（x ，y ）a，（x ，y ）1 2 1 2 1 1 2 2b的元素可看作正方形 a b c d 中的整點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即 774=45 個(gè)1 1 1 1故選：c【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了集合的基本定義及運(yùn)算，解題中需要 取得重復(fù)的元素10（5 分）設(shè) xr，x表示不超過 x 的最大整數(shù)若存在實(shí)數(shù) t，使得t=1，t2=2，tn=n 同時(shí)成立，則正整數(shù) n 的最大值是（ ）a3 b4 c5 d6【分析】由新定義可得 t 的范圍，驗(yàn)證可得最大的正整數(shù) n 為 4 【解答】解：若t=1，則 t1，2），若t2=2，則 t，）（因?yàn)轭}目需要同時(shí)成立，則負(fù)

26、區(qū)間舍去），若t3=3，則 t，），若t4=4，則 t，），若t5=5，則 t，），其中 1.732，1.587，1.495， 1.4311.495，通過上述可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) t=4 時(shí)，可以找到實(shí)數(shù) t 使其在區(qū)間1，2） ， ） ， ）上， ）但當(dāng) t=5 時(shí)，無法找到實(shí)數(shù) t 使其在區(qū)間1，2）， ） ，） ， ） ， ）上，正整數(shù) n 的最大值 4故選：b【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的演繹推理，涉及新定義，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共 4 小題，考生需作答 5 小題，每小題 5 分，共 25 分請(qǐng) 將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得 分11（5 分）已知向量 ，|

27、|=3，則 = 9 【分析】由已知結(jié)合平面向量是數(shù)量積運(yùn)算求得答案【解答】解：由 ，得 =0，即 （ ）=0，|=3，故答案為：9【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量模的求法，是基礎(chǔ)的計(jì) 算題12（5 分）函數(shù) f（x）=4cos2 cos（x）2sinx|ln（x+1）|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2 【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，畫出函數(shù)的圖 象，求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可【解答】解：函數(shù) f（x）的定義域?yàn)椋簒|x1f（x）=4cos2 cos（x）2sinx|ln（x+1）|=2sinx|ln（x+1）|=sin2x|ln（x+1）|，分別畫出函數(shù) y=sin2x，y

28、=|ln（x+1）|的圖象， 由函數(shù)的圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2所以函數(shù)的零點(diǎn)有 2 個(gè)故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn) 化思想的應(yīng)用13（5 分）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 a 處時(shí)測(cè)得公 路北側(cè)一山頂 d 在西偏北 30的方向上，行駛 600m 后到達(dá) b 處，測(cè)得此山頂在 西偏北 75的方向上，仰角為 30，則此山的高度 cd= 100 m【分析】設(shè)此山高 h（m），在bcd 中，利用仰角的正切表示出 bc，進(jìn)而在abc 中利用正弦定理求得 h【解答】解：設(shè)此山高 h（m），則 bc= h，在abc 中，bac=30，c

29、ba=105，bca=45，ab=600根據(jù)正弦定理得解得 h=100 （m）= ，故答案為：100【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，將各個(gè)已知 條件向這個(gè)主三角形集中，再通過正弦、余弦定理或其他基本性質(zhì)建立條件之間 的聯(lián)系，列方程或列式求解14（5 分）如圖，圓 c 與 x 軸相切于點(diǎn) t（1，0），與 y 軸正半軸交于兩點(diǎn) a，b （b 在 a 的上方），且|ab|=2（1）圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x1）2+（y ）2=2 ；（2）過點(diǎn) a 任作一條直線與圓 o：x2+y2=1 相交于 m，n 兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論： = ； =2； + =2 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （

30、寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【分析】（1）取 ab 的中點(diǎn) e，通過圓 c 與 x 軸相切于點(diǎn) t，利用弦心距、半徑與 半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系，計(jì)算即可；（2）設(shè) m（cos ，sin ），n（cos ，sin ），計(jì)算出 值即可【解答】解：（1）圓 c 與 x 軸相切于點(diǎn) t（1，0）， 圓心的橫坐標(biāo) x=1，取 ab 的中點(diǎn) e，|ab|=2，|be|=1，則|bc|= ，即圓的半徑 r=|bc|=，圓心 c（1，），、 、的則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x1）2+（y）2=2，故答案為：（x1）2+（y）2=2（2）圓心 c（1，），e（0，），又|ab|=2，且 e 為 ab 中點(diǎn)， a（0， 1），b（0

31、， +1），m、n 在圓 o：x2+y2=1 上，可設(shè) m（cos ，sin ），n（cos ，sin ）， |na|=|nb|=， = = ，同理可得= ，=，成立，（）=2，正確+=+（）= ，正確故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用三角函數(shù)值表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是解決 本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題選修 4-1：幾何證明選講15（5 分）如圖，pa 是圓的切線，a 為切點(diǎn)，pbc 是圓的割線，且 bc=3pb，則 =【分析】利用切割線定理推出 pa=2pb，利用相似三角形求出比值即可 【解答】解：由切割線定理可知：pa2=pbpc，又 bc=3pb，可得 pa=2pb，

32、在pab 與pac 中，p=p，pab=pca（同弧上的圓周角與弦切角相等）， 可得pabpac， = = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查切割線定理以及相似三角形的判定與應(yīng)用，考查邏輯推理能力選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程16在直角坐標(biāo)系 xoy 中，以 o 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 （sin 3cos ）=0，曲線 c 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)），l 與 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，則|ab|= 【分析】化極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化普通方程，聯(lián)立直線方程和 雙曲線方程后求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式得答案【解答】解：由 （sin 3cos

33、 ）=0，得 y3x=0，由 c 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），兩式平方作差得：x2y2=4聯(lián)立a（|ab|=故答案為：，得），b（，即 ），【點(diǎn)評(píng)】本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化普通方程，考查了直 線和圓錐曲線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)的計(jì)算題三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演 算步驟17（11 分）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù) f（x）=asin（ x+ ）（ 0，| | ）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表： x+02xasin（ x+ ）0 5 5 0（1） 請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù) f（x）的解

34、析 式；（2） 將 y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng) （ 0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到 y=g（x）的圖象若 y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ，0），求 的最小值【分析】（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 a=5， =2， =從而可補(bǔ)全數(shù)據(jù)，解得函數(shù)表達(dá)式為 f（x）=5sin（2x ）（2）由（）及函數(shù) y=asin（ x+ ）的圖象變換規(guī)律得 g（x）=5sin（2x+2 ）令 2x+2 =k ，解得 x= ，kz令 = ， 解得 = ，kz由 0 可得解【解答】解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 a=5， =2， = 下表：數(shù)據(jù)補(bǔ)全如 x+02xasin（ x+ ） 0 5 0 50且函數(shù)表達(dá)式

35、為 f（x）=5sin（2x）（2）由（）知 f（x）=5sin（2x ），得 g（x）=5sin（2x+2 ） 因?yàn)?y=sinx 的對(duì)稱中心為（k ，0），kz令 2x+2 =k ，解得 x= ，kz由于函數(shù) y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）成中心對(duì)稱，令 =，解得 =，kz由 0 可知，當(dāng) k=1 時(shí)， 取得最小值【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由 y=asin（ x+ ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù) y=asin（ x+ ）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查18（12 分）設(shè)等差數(shù)列a 的公差為 d，前 n 項(xiàng)和為 s ，等比數(shù)列b 的公比為n n nq，已知 b =a ，b =2，q=d

36、，s =1001 1 2 10（1）求數(shù)列a ，b 的通項(xiàng)公式n n（2）當(dāng) d1 時(shí)，記 c = ，求數(shù)列c 的前 n 項(xiàng)和 t n n n【分析】（1）利用前 10 項(xiàng)和與首項(xiàng)、公差的關(guān)系，聯(lián)立方程組計(jì)算即可；（2）當(dāng) d1 時(shí)，由（1）知 c = ，寫出 t 、 t 的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法n n n及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可【解答】解：（1）設(shè) a =a，由題意可得 ，1解得 ，或 ，當(dāng)當(dāng)時(shí)，a =2n1，b =2n1；n n時(shí)，a = （2n+79），b =9 ； n n（2）當(dāng) d1 時(shí)，由（1）知 a =2n1，b =2n nn1，c = = ， nt =1+3 +5 n t

37、 =1 +3 n t =2+ +n+7+5+ +9+7+（2n1）+（2n3）（2n1），+（2n1）=3 ，t =6 n【點(diǎn)評(píng)】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注 意解題方法的積累，屬于中檔題19（12 分）九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱 錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬 p abcd 中，側(cè)棱 pd底面 abcd，且 pd=cd，過棱 pc 的中點(diǎn) e，作 efpb 交 pb 于點(diǎn) f，連接 de，df，bd，be（1）證明：pb平面 def試判斷四面體 dbef 是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè) 面的直角（

38、只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）若面 def 與面 abcd 所成二面角的大小為 ，求的值【分析】解法 1）（1）直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出 pbef， defe=e，所以 pb平面 def，即可判斷 de平面 pbc，pb平面 def，可知四 面體 bdef 的四個(gè)面都是直角三角形，確定直角（2）根據(jù)公理 2 得出 dg 是平面 def 與平面 acbd 的交線利用直線平面的垂直 判斷出 dgdf，dgdb，根據(jù)平面角的定義得出bdf 是面 def 與面 abcd 所成 二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可解法 2）（1）以 d 為原點(diǎn)，射線 da，dc，dp 分

39、別為 x，y，z 軸的正半軸，建立空間直角 坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷即可2）由 pd底面 abcd，所以=（0，0，1）是平面 acdb 的一個(gè)法向量；由（）知，pb平面 def，所以=（，1，1）是平面 def 的一個(gè)法向量根據(jù)數(shù)量積得出夾角的余弦即可得出所求解的答案【解答】解法 1）（1）因?yàn)?pd底面 abcd，所以 pdbc，由底面 abcd 為長(zhǎng)方形，有 bccd，而 pdcd=d，所以 bc平面 pcd而 de 平面 pdc，所以 bcde又因?yàn)?pd=cd，點(diǎn) e 是 pc 的中點(diǎn)，所以 depc而 pccb=c，所以 de平面 pbc而 pb 平面 pbc，所以 pbde又

40、 pbef，defe=e，所以 pb平面 def由 de平面 pbc，pb平面 def，可知四面體 bdef 的四個(gè)面都是直角三角形， 即四面體 bdef 是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為deb，def，efb，dfb （2）如圖 1，在面 bpc 內(nèi)，延長(zhǎng) bc 與 fe 交于點(diǎn) g，則 dg 是平面 def 與平面 acbd 的交線 由（）知，pb平面 def，所以 pbdg又因?yàn)?pd底面 abcd，所以 pddg而 pdpb=p，所以 dg平面 pbd 所以 dgdf，dgdb故bdf 是面 def 與面 abcd 所成二面角的平面角，設(shè) pd=dc=1，bc=，有 bd= ，在 rt

41、pdb 中，由 dfpb，得dpb=fdb=，則 tan所以 =tandpf= = ，解得故當(dāng)面 def 與面 abcd 所成二面角的大小為 （解法 2）時(shí)， = （1）以 d 為原點(diǎn)，射線 da，dc，dp 分別為 x，y，z 軸的正半軸，建立空間直角 坐標(biāo)系設(shè) pd=dc=1，bc= ，則 d（0，0，0），p（0，0，1），b（ ，1，0），c（0，1，0），=（ 1，1），點(diǎn) e 是 pc 的中點(diǎn)，所以 e（0， ， ），=（0， ， ），于是 =0，即 pbde又已知 efpb，而 edef=e，所以 pb平面 def因 =（0，1，1）， =0，則 depc，所以 de平面 pbc

42、由 de平面 pbc，pb平面 def，可知四面體 bdef 的四個(gè)面都是直角三角形， 即四面體 bdef 是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為deb，def，efb，dfb（2）由 pd底面 abcd，所以 =（0，0，1）是平面 acdb 的一個(gè)法向量；由（）知，pb平面 def，所以 量=（ ，1，1）是平面 def 的一個(gè)法向若面 def 與面 abcd 所成二面角的大小為則運(yùn)用向量的數(shù)量積求解得出 cos=解得 所以所以 = =，= ，故當(dāng)面 def 與面 abcd 所成二面角的大小為時(shí)， = 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了空間直線平面的垂直問題，直線與直線，直線與平面的 垂直的轉(zhuǎn)化，空間角的求

43、解，屬于難題20（12 分）某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn) a，b 兩種奶制品生產(chǎn) 1 噸 a 產(chǎn) 品需鮮牛奶 2 噸，使用設(shè)備 1 小時(shí)，獲利 1000 元；生產(chǎn) 1 噸 b 產(chǎn)品需鮮牛奶 1.5 噸，使用設(shè)備 1.5 小時(shí)，獲利 1200 元要求每天 b 產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過 a 產(chǎn)品產(chǎn) 量的 2 倍，設(shè)備每天生產(chǎn) a，b 兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過 12 小時(shí)假定每天可獲 取的鮮牛奶數(shù)量 w（單位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為w 12 15 18p 0.3 0.5 0.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利z（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量（1） 求 z 的分布列和均

44、值；（2） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求 3 天中至少有 1 天的最大獲利超 過 10000 元的概率【分析】（1）設(shè)每天 a，b 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為 x，y，相應(yīng)的獲利為 z， 列出可行域，目標(biāo)函數(shù)，通過當(dāng) w=12 時(shí)，當(dāng) w=15 時(shí)，當(dāng) w=18 時(shí)，分別求出目 標(biāo)函數(shù)的最大獲利，然后得到 z 的分布列求出期望即可（2）判斷概率類型是二項(xiàng)分布，然后求解所求概率即可【解答】（12 分）解：（1）設(shè)每天 a，b 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為 x，y，相應(yīng)的獲利為 z，則有，如圖 1，目標(biāo)函數(shù)為：z=1000x+1200y當(dāng) w=12 時(shí)，表示的平面區(qū)域如圖 1，三個(gè)頂點(diǎn)分別為 a（0，0），b（2.4，4.8）， c（6，0）將 z=1000x+1200y 變形為，當(dāng) x=2.4，y=4.8 時(shí)，直線 l