姜啟源編《數(shù)學模型》第四版

1、第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 -靜態(tài)優(yōu)化模型靜態(tài)優(yōu)化模型 3.1 存貯模型存貯模型 3.2 生豬的生豬的出售時機出售時機 3.3 森林救火森林救火 3.4 消費者的選擇消費者的選擇 3.5 生產(chǎn)者的決策生產(chǎn)者的決策 3.6 血管分支血管分支 3.7 冰山運輸冰山運輸 現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題. 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù) 建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù)建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù). 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法. 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)). 簡單

2、的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型( (靜態(tài)優(yōu)化靜態(tài)優(yōu)化) ) 3.1 存貯模型存貯模型 問問 題題 配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設 備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費. 該廠該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出. 已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費元，貯存費 每日每件每日每件1元元. 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每

3、次產(chǎn)量多少，使總費用最小一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小. 要要 求求 不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與 需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系. 問題分析與思考問題分析與思考 每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次, 每次每次100件件,無貯存費無貯存費,準備費準備費5000元元. 日需求日需求100件，準備費件，準備費5000元，貯存費每日每件元，貯存費每日每件1元元. 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次, 每次每次1000件，貯存費件，貯存費900+800+100 =4500元，準備費元，準備費5000元，總計元，總計95

4、00元元. 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次,每次每次5000件件, 貯存費貯存費4900+4800+100 =122500元，準備費元，準備費5000元，總計元，總計127500元元. 平均每天費用平均每天費用950元元 平均每天費用平均每天費用2550元元 1010天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次, ,平均每天費用最小嗎平均每天費用最小嗎? ? 每天費用每天費用5000元元 這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù)這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù). 顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù)顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù). 目標函數(shù)目標函數(shù)每天總費用的平均值每天總費用的平均值. 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量

5、小 周期長，產(chǎn)量大周期長，產(chǎn)量大 問題分析與思考問題分析與思考 貯存費少，準備費多貯存費少，準備費多 準備費少，貯存費多準備費少，貯存費多 存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小. 模模 型型 假假 設設 1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r； 2. 每次生產(chǎn)準備費為每次生產(chǎn)準備費為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費為每天每件產(chǎn)品貯存費為 c2； 3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當貯存量件，當貯存量 為零時，為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）； 建建 模

6、模 目目 的的 設設 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天總費用的平均值最小使每天總費用的平均值最小. . 4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理. 模模 型型 建建 立立 0t q 貯存量表示為時間的函數(shù)貯存量表示為時間的函數(shù) q(t) T Q r t=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以 需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0. 一周期一周期 總費用總費用 2 21 QT ccC 每天總費用平均每天總費用平均 值（目標函數(shù)）值（目標函數(shù)） 2 )( 21 rTc T c T C TC 離散問題連續(xù)化離散問題連續(xù)化

7、2 0 ( )d T cq tt 一周期貯存費為一周期貯存費為 A 2 2 21 rT cc rTQ =QT/2 2 2 QT c 模型求解模型求解min 2 )( 21 rTc T c TC求求 T 使使 d 0 d C T 2 1 2 c rc rTQ 2 1 2 rc c T 模型解釋模型解釋 QTc, 1 QTc, 2 QTr, 定性分析定性分析 敏感性分析敏感性分析參數(shù)參數(shù)c1,c2, r的微小變化對的微小變化對T,Q的影響的影響 T對對c1的的(相相 對對)敏感度敏感度 11 1 / / ),( cc TT cTS 1 1 d d cT c T 2 1 c1增加增加1%, T增加增

8、加0.5% S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或或r增加增加1%, T減少減少0.5% 經(jīng)濟批量訂貨公式經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式公式） 2 1 2 rc c T 2 1 2 c rc rTQ 用于訂貨供應情況用于訂貨供應情況: 不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 模型應用模型應用 T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原問題回答原問題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費，每次訂貨費 c1, 每天每件貯存費每天每件貯存費 c2 , T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q 件，當貯存

9、量降到零時，件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨件立即到貨. 思考思考: 為什么與前面計算的為什么與前面計算的C=950元有差別元有差別? 允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型 A B O q Q r T1t 當貯存量降到零時仍有需求當貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺貨，造成損失. 原模型假設：貯存量降到零時原模型假設：貯存量降到零時 Q件立即生產(chǎn)出來件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨或立即到貨). 現(xiàn)假設：允許缺貨現(xiàn)假設：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費每天每件缺貨損失費 c3 , 缺貨需補足缺貨需補足. T 1 rTQ Ac2 Bc3 周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零

10、 2 )( 2 2 1 3 1 21 TTr c QT ccC 一周期總費用一周期總費用 一周期一周期 貯存費貯存費 1 2 0 ( )d T cq tt 一周期一周期 缺貨費缺貨費 1 3 ( )d T T cq tt T C QTC),( 0,0 Q C T C 每天總費用每天總費用 平均值平均值 （目標函數(shù)）（目標函數(shù)） 2 13121 )( 2 1 2 1 TTrcQTccC 一周期總費用一周期總費用 ( ,)minC T Q 求求 T ,Q 使使 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q 為與不允許缺貨的存貯模型為與不允許缺貨的存貯模

11、型 相比，相比，T T記作記作T T , , Q Q記作記作Q Q . . 允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型 rT QrTc rT Qc T c 2 )( 2 2 3 2 21 2 1 2 rc c T 2 1 2 c rc rTQ 不允許不允許 缺貨缺貨 模型模型 Q QTT, 3 32 c cc 記記 1QQTT, 1 3 cQQTT , 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q 允許允許 缺貨缺貨 模型模型 不不 允允 許許 缺缺 貨貨 3 c 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q

12、 允許允許 缺貨缺貨 模型模型 O q Q r T1tT 注意：缺貨需補足注意：缺貨需補足 Q 每周期初的存貯量每周期初的存貯量 R 每周期的生產(chǎn)量每周期的生產(chǎn)量 R （或訂貨量）（或訂貨量） 3 32 2 1 2 c cc c rc TrR Q不允許缺貨時的產(chǎn)量不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR 存存 貯貯 模模 型型 存貯模型存貯模型(EOQ公式公式)是研究批量生產(chǎn)計劃的是研究批量生產(chǎn)計劃的 重要理論基礎(chǔ)重要理論基礎(chǔ), 也有實際應用也有實際應用. 建模中未考慮生產(chǎn)費用建模中未考慮生產(chǎn)費用, 為什么為什么?在什么條件下在什么條件下 可以不考慮可以不考慮(習題習題1)? 建模中假設

13、生產(chǎn)能力為無限大建模中假設生產(chǎn)能力為無限大(生產(chǎn)時間不計生產(chǎn)時間不計), 如果生產(chǎn)能力有限如果生產(chǎn)能力有限(大于需求量的常數(shù)大于需求量的常數(shù)), 應作怎應作怎 樣的改動樣的改動(習題習題2)? 3.2 生豬的出售時機生豬的出售時機 飼養(yǎng)場每天投入飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設元資金，用于飼料、人力、設 備，估計可使備，估計可使80kg重的生豬體重增加重的生豬體重增加2kg. 問問 題題 市場價格目前為市場價格目前為8元元/kg，但是預測每天會降低，但是預測每天會降低 0.1元，問生豬應何時出售元，問生豬應何時出售? 如果估計和預測有誤差，對結(jié)果有何影響如果估計和預測有誤差，對結(jié)果有

14、何影響? 分分 析析 投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨 時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大. trtgttQ4)80)(8()( 求求 t 使使Q(t)最大最大 rg gr t 2404 10天后出售，可多得利潤天后出售，可多得利潤20元元. 建模及求解建模及求解 生豬體重生豬體重 w=80+rt 出售價格出售價格 p=8gt 銷售收入銷售收入 R=pw 資金投入資金投入 C=4t 利潤利潤 Q= RC 估計估計r=2， 若當前出售，利潤為若當前出售，利潤為808=640（元）（元） t 天天 出售出

15、售 =10 Q(10)=660 640 g=0.1 =pw 4t 敏感性分析敏感性分析 研究研究 r, g微小變化時對模型結(jié)果的影響微小變化時對模型結(jié)果的影響. 估計估計r=2， g=0.1 rg gr t 2404 設設g=0.1不變不變 5 . 1, 6040 r r r t t 對對r 的（相對）敏感度的（相對）敏感度 rr tt rtS / / ),( d d t r r t 3 6040 60 ),( r rtS 生豬每天增加的體重生豬每天增加的體重 r 變大變大1%，出售時間推遲，出售時間推遲3%. 1.522.53 0 5 10 15 20 r t 敏感性分析敏感性分析 估計估計

16、r=2， g=0.1 rg gr t 2404 研究研究 r, g微小變化時對模型結(jié)果的影響微小變化時對模型結(jié)果的影響. 設設r=2不變不變 15. 00, 203 g g g t t 對對g的（相對）敏感度的（相對）敏感度 /d ( , ) /d t tt g S t g g gg t 3 203 3 ),( g gtS 生豬價格每天的降低生豬價格每天的降低g增加增加1%，出售時間提前，出售時間提前3%. 0.060.080.10.120.140.16 0 10 20 30 g t 強健性分析強健性分析 保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費用時出售保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費用時

17、出售. 由由 S(t,r)=3 建議過一周后建議過一周后(t=7)重新估計重新估計 , 再作計算再作計算.wwpp , 研究研究 r, g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響. w=80+rt w = w(t) p=8gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t 0)( t Q 每天收入的增值每天收入的增值 每天投入的資金每天投入的資金 4)()()()(twtptwtp ttwtptQ4)()()(利潤利潤 3.3 森林救火森林救火 森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量. 隊員多，森林損失小

18、，救援費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大； 隊員少，森林損失大，救援費用小隊員少，森林損失大，救援費用小. 綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量. 問題問題 分析分析 問題問題 記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定. 存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x

19、), f2(x)之和最小之和最小. 關(guān)鍵是對關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設作出合理的簡化假設. 問題問題 分析分析 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形. t1t2Ot B B(t2) 分析分析B(t)比較困難比較困難, 轉(zhuǎn)而討論單位時間轉(zhuǎn)而討論單位時間 燒毀面積燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度森林燒毀的速度). 模型假設模型假設 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）燒毀單位面積損失費） 1）0 t t1, dB/dt 與與

20、t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度火勢蔓延速度). 2）t1 t t2, 降為降為 x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度速度). 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費用隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3 . 假設假設1）的解釋）的解釋 r B 火勢以失火點為中心，均勻向四火勢以失火點為中心，均勻向四 周呈圓形蔓延，半徑周呈圓形蔓延，半徑 r與與 t 成正比成正比. 面積面積 B與與 t2 成正比成正比 dB/dt與與 t 成正比成正比 x b tt 12 2 2 0 d ( )d d t B B tt t 模型建立模型建立 d d B t b O t1t t2

21、 x 假設假設1） , 1 tb xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( 目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用)()()( 21 xfxfxC 假設假設3）4） x t tt 1 12 假設假設2） )(222 2 1 22 12 x ttbt d 0 d C x xc x xtc x tctc xC 3 12 2 1 2 1 2 11 )(22 )( 模型建立模型建立目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用 模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù) 其

22、中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù) d d B t b O t1t2 x t 模型模型 應用應用 c1,c2,c3已知已知, t1可估計可估計, c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果 解釋解釋 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x c1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個每個隊員單位時間滅火費隊員單位時間滅火費, c3每個每個隊員一次性費用隊員一次性費用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度. 為什么為什么? ? , 可可設置一系列數(shù)值設置一系列數(shù)值 由模型決定隊

23、員數(shù)量由模型決定隊員數(shù)量 x 3.4 消費者消費者的選擇的選擇 背景背景 消費者在市場里如何分配手里一定數(shù)量的錢，消費者在市場里如何分配手里一定數(shù)量的錢， 選擇購買若干種需要的商品選擇購買若干種需要的商品. 根據(jù)經(jīng)濟學的一條最優(yōu)化原理根據(jù)經(jīng)濟學的一條最優(yōu)化原理“消費者消費者 追求最大效用追求最大效用” ，用數(shù)學建模的方法幫助消，用數(shù)學建模的方法幫助消 費者決定他的選擇費者決定他的選擇. 假定只有甲乙兩種商品供消費者購買，假定只有甲乙兩種商品供消費者購買， 建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況. 當消費者購得數(shù)量分別為當消費者購得數(shù)量分別為x1, x2的甲

24、乙兩種商品時，的甲乙兩種商品時， 得到的效用可用函數(shù)得到的效用可用函數(shù)u (x1, x2)度量，稱為效用函數(shù)度量，稱為效用函數(shù). 效用函數(shù)效用函數(shù) 利用等高線概念在利用等高線概念在x1, x2平面上畫出函數(shù)平面上畫出函數(shù)u 的等值線的等值線, u (x1, x2)=c 稱為等效用線稱為等效用線 等效用線就是等效用線就是 “ 實物交換模型實物交換模型” 中的無差別曲線，中的無差別曲線， 效用就是那里的滿效用就是那里的滿 意度意度. . O x2 u(x1,x2) = c x1 1 l 2 l 3 l c增加增加 一族單調(diào)減、下凸、一族單調(diào)減、下凸、 互不相交的曲線互不相交的曲線. 效用最大化模型

25、效用最大化模型 p1, p2甲乙兩種商品的單價甲乙兩種商品的單價, y消費者準備付出的錢消費者準備付出的錢 x1, x2 購得甲乙兩種商品數(shù)量購得甲乙兩種商品數(shù)量 Q A B y/p2 y/p1 x1 x2 幾何分析幾何分析 x2 u(x1,x2) = c x1 O 1 l 2 l 3 l c增加增加 u(x1, x2) = c 單調(diào)減、單調(diào)減、 下凸、互不相交下凸、互不相交. 在條件在條件 p1 x1+p2 x2 =y 下使效用函數(shù)下使效用函數(shù)u(x1, x2)最大最大. AB必與一條等效用線必與一條等效用線 相切于相切于Q點點 (消費點消費點). Q (x1, x2) 唯一唯一. 消費線消

26、費線AB 模型求解模型求解 yxpxp xxu 2211 21 s.t. ),(max 引入拉格朗日引入拉格朗日 乘子乘子構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) )(),(),( 22112121 xpxpyxxuxxL 0, 0 21 x L x L 與幾何分析得到的與幾何分析得到的 Q 一致一致 2 112 d / d xuu xxx 等效用線等效用線u (x1, x2)=c的斜率的斜率 消費線消費線AB的斜率的斜率 21 / pp 2 1 , 2 , 1 21 21 p p x u x u xx xx 2 1 2 1 p p x u x u 結(jié)果結(jié)果 解釋解釋 效用函數(shù)效用函數(shù)的構(gòu)造的構(gòu)造 等效用線等效用線u

27、 (x1, x2)=c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) x2(x1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸. 解釋條件中正負號的實際意義解釋條件中正負號的實際意義 222 22 121212 0,0,0,0,0 uuuuu xxxxxx 充分條件充分條件 當商品邊際效用之比等于它們價格之比時效用函數(shù)最大當商品邊際效用之比等于它們價格之比時效用函數(shù)最大. 21 , x u x u 邊際效用邊際效用商品商品 數(shù)量數(shù)量 增加一個單位時效用的增量增加一個單位時效用的增量 0,)(. 1 1 21 xx u 效用函數(shù)效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式幾種常用的形式 , 2 1 22 11 p p xp xp 購買兩種商

28、品費用之比與二者價格之比的平方根購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根 成正比成正比, 比例系數(shù)是參數(shù)比例系數(shù)是參數(shù)與與之比的平方根之比的平方根. u(x1,x2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別度量甲乙兩種商品對消費分別度量甲乙兩種商品對消費 者的效用，或者消費者對甲乙兩種商品的偏愛者的效用，或者消費者對甲乙兩種商品的偏愛 . 2 1 2 1 p p x u x u 1,0,. 2 21 xxu 0,)(. 3 2 21 baxbxau 22 11 xp xp 購買兩種商品費用之比購買兩種商品費用之比只取決于只取決于, 與價格無關(guān)與價格無關(guān). u(x1,x2)中中 , 分別分別度量兩種商品的效用或

29、者偏愛度量兩種商品的效用或者偏愛. 實際應用時實際應用時根據(jù)對最優(yōu)解的分析，決定采用根據(jù)對最優(yōu)解的分析，決定采用 哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定其參數(shù)哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定其參數(shù). 2 1 2 1 p p x u x u 效用函數(shù)效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式幾種常用的形式 效用最大化模型應用舉例效用最大化模型應用舉例 例例1 1 征銷售稅還是征收入稅征銷售稅還是征收入稅 政府從消費者身上征稅的兩種辦法政府從消費者身上征稅的兩種辦法: 銷售稅銷售稅 根據(jù)消費者購買若干種商品時花的錢征稅根據(jù)消費者購買若干種商品時花的錢征稅 收入稅收入稅 根據(jù)消費者的收入征收所得稅根據(jù)消費者的收入

30、征收所得稅 利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論 征稅前設甲乙兩種商品的單價為征稅前設甲乙兩種商品的單價為p1, p2，消費者準備花，消費者準備花 的錢為的錢為y, 等效用線為等效用線為u (x1, x2)=c，消費點為，消費點為Q(x1, x2) . l1 Q1 B1 x1* l2 Q2 B2 A2 x1 B A Q u(x1, x2) =c O x2 x1 l 例例1 1 征銷售稅還是征收入稅征銷售稅還是征收入稅 對甲商品征銷售稅對甲商品征銷售稅, 稅率為稅率為p0 征稅前的消費點征稅前的消費點Q yxpxpp 22101 )( 消費線消費線AB

31、1, B1在在B的左邊的左邊 AB1與與l1相切于相切于Q1(x1*, x2*) 若改為征若改為征 收入稅收入稅 政府得到的銷售稅額政府得到的銷售稅額 p0 x1* 征收的稅額與銷售稅額征收的稅額與銷售稅額 p0 x1*相同相同 * 102211 xpyxpxp 消費線消費線A2B2與與l2相切于相切于Q2, 可證可證B2在在B1的右邊的右邊. l2在在l1上上？ l2在在l1下？下？ 如果如果l2在在l1上方，上方，Q2的效用函數(shù)值將大于的效用函數(shù)值將大于Q1, 對消費者來說征收入稅比征銷售稅好對消費者來說征收入稅比征銷售稅好. 例例2 價格補貼給生產(chǎn)者還是消費者價格補貼給生產(chǎn)者還是消費者

32、政府為鼓勵商品的生產(chǎn)或者減少消費者的負擔所采取政府為鼓勵商品的生產(chǎn)或者減少消費者的負擔所采取 的兩種價格補貼辦法：的兩種價格補貼辦法： 把補貼款直接給生產(chǎn)者把補貼款直接給生產(chǎn)者 把補貼款發(fā)給消費者而讓商品漲價把補貼款發(fā)給消費者而讓商品漲價 鼓勵商品生產(chǎn)鼓勵商品生產(chǎn),對消費者無影響對消費者無影響 讓甲商品價格漲到讓甲商品價格漲到p1+p0, 補貼消費者多花的錢補貼消費者多花的錢 p0 x1*, 使仍達到消費點使仍達到消費點Q * 022101 1 )(xpyxpxpp l Q A B u (x1, x2) =c O x1 x2 * 2 x * 1 x l Q A Bx1 x2 補貼前的消費點補貼

33、前的消費點Q BA消費線消費線 過過Q, 與與l相切于相切于Q 的效用函數(shù)值大于的效用函數(shù)值大于Q),( 21 xxQ x1 x2* 對消費者更有利對消費者更有利 對甲商品生產(chǎn)不利對甲商品生產(chǎn)不利 3.5 生產(chǎn)者的決策生產(chǎn)者的決策 背景背景 根據(jù)經(jīng)濟學的又一條最優(yōu)化原理根據(jù)經(jīng)濟學的又一條最優(yōu)化原理“生產(chǎn)者生產(chǎn)者 追求最大利潤追求最大利潤” ，用數(shù)學建模的方法，用數(shù)學建模的方法幫助生幫助生 產(chǎn)者或供銷商做出決策產(chǎn)者或供銷商做出決策. 生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入， 按照商品的銷售情況制訂價格按照商品的銷售情況制訂價格. 在市場經(jīng)濟中在市場

34、經(jīng)濟中“消費者追求最大效用消費者追求最大效用”， 生產(chǎn)者呢？生產(chǎn)者呢？ 最大利潤模型最大利潤模型 x產(chǎn)品產(chǎn)量產(chǎn)品產(chǎn)量 f (x) 邊際產(chǎn)值邊際產(chǎn)值 x變化一個單位時產(chǎn)值的改變量變化一個單位時產(chǎn)值的改變量 c(x) 邊際成本邊際成本 x變化一個單位時成本的改變量變化一個單位時成本的改變量 最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時達到最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時達到. . 假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入 f(x) 產(chǎn)值產(chǎn)值(收入收入), c(x) 成本成本 )()()(xcxfxr利潤利潤 達到最大利潤的達到最大利潤的產(chǎn)產(chǎn)量量 x*)()( * xcxf0)( * x

35、 r 在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價格，在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價格， 使利潤最大使利潤最大. 產(chǎn)量產(chǎn)量x等于銷量，數(shù)量無限制等于銷量，數(shù)量無限制. 收入與收入與x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價格即價格. 成本成本與與 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) c 即即邊際成本邊際成本. 銷量銷量x 依于價格依于價格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù). 簡化假設簡化假設0,)(babpapx 求求p使使 r(p) 最大最大 最優(yōu)定價模型最優(yōu)定價模型 利潤利潤)()(bpacpcxpxpr c / 2 成本的一半成本的一半 b 彈性系數(shù)彈性系數(shù)價格上升價格上升1單位時銷量的下降幅

36、度單位時銷量的下降幅度 （需求對價格的敏感度）（需求對價格的敏感度） a 絕對需求絕對需求( p很小時的需求很小時的需求) b p* a p* a, b可由可由p和和x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作擬合得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作擬合得到 利潤達到最大的定價利潤達到最大的定價 利潤利潤 )()(bpacppr 最優(yōu)定價模型最優(yōu)定價模型 d 0 d r p bpapx)( b ac p 22 * d d x b p 投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型 x1, x2 甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量 c1, c2 甲乙產(chǎn)品的單位成本甲乙產(chǎn)品的單位成本s總投資費用總投資費用 f (x1, x2) 產(chǎn)值函數(shù)產(chǎn)值函

37、數(shù) sxcxc 2211 在條件在條件 下求下求x1, x2使產(chǎn)值使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大最大. Q A B s/c2 s/c1 x1 x2 x2 f(x1,x2) = v x1 O 1 l 2 l 3 l v增加增加 等產(chǎn)值線等產(chǎn)值線f (x1, x2)=v單調(diào)單調(diào) 減、下凸、互不相交減、下凸、互不相交. 幾何分析幾何分析 投資線投資線AB必與一條等必與一條等 產(chǎn)值線相切于產(chǎn)值線相切于Q點點. 與效用最大化模型類似與效用最大化模型類似 下凸下凸稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高 投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型 2 1 , 2 , 1 21 21 c c

38、x f x f xx xx 最優(yōu)解最優(yōu)解(x1, x2)滿足滿足 sxcxc 2211 在條件在條件 下求下求x1, x2使產(chǎn)值使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大最大. 用拉格朗日乘子法求條件極值用拉格朗日乘子法求條件極值 21 , x f x f 邊際產(chǎn)值邊際產(chǎn)值 當兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的當兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的 價格之比時，產(chǎn)值達到最大價格之比時，產(chǎn)值達到最大. . 產(chǎn)值最大與費用最小的對偶關(guān)系產(chǎn)值最大與費用最小的對偶關(guān)系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) )(max),(scxxfcsg投資費用一定的產(chǎn)值最大模型投資費用一定的產(chǎn)值最大模型 g(s,c)

39、給定的單位成本給定的單位成本c下費用不超過下費用不超過s的最大產(chǎn)值的最大產(chǎn)值. 產(chǎn)值一定的投資費用最小模型產(chǎn)值一定的投資費用最小模型 )(min),(vxfcxcvs s(v,c)給定的單位成本給定的單位成本c下產(chǎn)值不低于下產(chǎn)值不低于v的最小費用的最小費用. 對偶極值問題對偶極值問題 只要解決其中之一只要解決其中之一, 另一個就迎刃而解另一個就迎刃而解 成本函數(shù)是簡單的線性函數(shù)成本函數(shù)是簡單的線性函數(shù) c(x). 產(chǎn)值函數(shù)產(chǎn)值函數(shù)f(x) 在實際生產(chǎn)過程中常常難以確定在實際生產(chǎn)過程中常常難以確定. 從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法 產(chǎn)值最大與費用最小對偶關(guān)系的應用產(chǎn)

40、值最大與費用最小對偶關(guān)系的應用 Q f (x) v l A B O x1 x2 給定給定v和和c求得最小費用求得最小費用s(v,c)=s )(min),(vxfcxcvs 畫出直線畫出直線AB: cx=s x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) f (x)v的點在的點在AB上方上方, 且且AB 上有一點上有一點Q位于位于l: f (x)=v上上 改變改變c重復上述過程重復上述過程, 得到得到 一系列不同斜率的直線一系列不同斜率的直線 區(qū)域區(qū)域f (x)v在直線上方在直線上方, 其邊界是等產(chǎn)值線其邊界是等產(chǎn)值線l: f (x)=v 包包 絡絡 線線 改變改變v重復上述過程重復上述過程,

41、 得到一系列等產(chǎn)值線得到一系列等產(chǎn)值線 3.6 血血 管管 分分 支支 背背 景景 機體提供能量維持血液在血管中的流動機體提供能量維持血液在血管中的流動. 給血管壁以營養(yǎng)給血管壁以營養(yǎng).克服血液流動的阻力克服血液流動的阻力. 消耗能量與取決于血管的幾何形狀消耗能量與取決于血管的幾何形狀. 在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng) 達到能量最小原則達到能量最小原則. 研究在能量最小原則下，血管分支處研究在能量最小原則下，血管分支處 粗細血管半徑比例和分岔角度粗細血管半徑比例和分岔角度. 問問 題題 模型假設模型假設 一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面一條

42、粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面. 血液流動近似于黏性流體在剛性管道中的運動血液流動近似于黏性流體在剛性管道中的運動. 血液給血管壁的能量隨管血液給血管壁的能量隨管 壁的內(nèi)表面積和體積的增壁的內(nèi)表面積和體積的增 加而增加，管壁厚度加而增加，管壁厚度d近近 似與血管半徑似與血管半徑r成正比成正比. qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 q=2q1r/r1, ? 考察血管考察血管AC與與CB, CB 黏性流體在剛黏性流體在剛 性管道中運動性管道中運動 4 8 rp q l pA,C壓力差，壓力差， 黏性系數(shù)黏性系數(shù) 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量E1 2 1 4

43、8 q l Eq p r 提供營養(yǎng)消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量E2 21, 2 lbrE 管壁內(nèi)表面積管壁內(nèi)表面積 2 rl 管壁體積管壁體積 (d2+2rd)l, 管壁厚度管壁厚度d與與r成正比成正比 模型假設模型假設 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 模型建立模型建立 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 4 2 1 8 r lq pqE 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量 21, 2 lbrE 提供營養(yǎng)消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量 11 4 1 2 1 42 21 2)/()/(lbrrkqlbrrkqEEE 1 tan ,sinlLH/ lH/ 24

44、1 24 111 ( ,)(/)(tan) 2sin E r rkqrbrLH/ (kq /rbr) H/ 機體為血流提供能量機體為血流提供能量 模型求解模型求解 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 0,0 1 r E r E 4 1 1 4 r r 0 E 4 4 2cos 21 4937,32. 1/26. 1 1 rr 24 1 24 111 ( , , )(/)(/tan ) (/)2/sin E r rkqrbrLH kqrbrH 0/4 0/4 5 1 2 1 1 521 1 rkqrb rkqrb 4 1 2cos r r 模型模型 解釋解釋 生物學家：結(jié)果

45、與觀察大致吻合生物學家：結(jié)果與觀察大致吻合 大動脈半徑大動脈半徑rmax, 毛細血管半徑毛細血管半徑rmin 大動脈到毛細血管有大動脈到毛細血管有n次分岔次分岔 4 1 1 4 r r 4 min max 4 n r r 5 minmax 41000/rr 21 4937 32. 1/26. 1 1 rr 觀察：狗的血管觀察：狗的血管 )4(5n 3025n 血管總條數(shù)血管總條數(shù) 973025 10103222 n 推論推論n=？ 3.7 冰山運輸冰山運輸 背景背景 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水 的成本為每立方米的成本為每立方米0.1英鎊英鎊. 專家建議從專家建

46、議從9600km遠的南極用拖船遠的南極用拖船 運送冰山，取代淡化海水運送冰山，取代淡化海水. 從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行詮慕?jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行? 建模準備建模準備1. 日租金和最大運量日租金和最大運量 船船 型型 小小 中中 大大 日租金（英鎊）日租金（英鎊） 最大運量（最大運量（m3） 4.06.28.0 5 105106107 2. 燃料消耗（英鎊燃料消耗（英鎊/km） 3. 融化速率（融化速率（m/天）天） 與南極距離與南極距離 (km) 船速船速(km/h) 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 冰山體積冰山體積

47、(m3) 船速船速(km/h) 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 建模準備建模準備 建模建模 目的目的 選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方 米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較. 模型模型 假設假設 航行過程中船速不變，總距離航行過程中船速不變，總距離9600km. 冰山呈球形，球面各點融化速率相同冰山呈球形，球面各點融化速率相同. 到達目的地后到達目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85m3水水. 建模建模

48、分析分析 目的地目的地 水體積水體積 運輸過程運輸過程 融化規(guī)律融化規(guī)律 總費用總費用 目的地目的地 冰體積冰體積 初始冰初始冰 山體積山體積 燃料消耗燃料消耗 租金租金 船型船型, 船速船速 船型船型 船型船型, 船速船速 船型船型 u tu u ttuu r t 6 1000 ),4 . 01 (2 . 0 6 1000 0,)4 . 01 (1056. 1 3 第第t天融天融 化速率化速率 4000),1 ( 40000),1 ( 2 1 dbua dbuda r 4 . 0, 2 . 0,105 . 6 2 5 1 baa 模模 型型 建建 立立 1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u (km/h) 與南極距離與南極距離d(km) 融化速率融化速率r(m/天）天） r是是 u 的線性函數(shù)的線性函數(shù) d4000時時u與與d無關(guān)無關(guān) 航行航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 u r d 1. 冰山融化規(guī)