2020版高考復(fù)習(xí)第七章數(shù)列

1、nnnn 1nn1 nn1 n2nnnnn 1 nn1 nn1 nn第七章數(shù)列及求和7.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示1、數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它 的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 1 項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng))2、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列a 的第 n 項(xiàng)與序號(hào) n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng) 公式3、數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列a 的第 1 項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任何一項(xiàng) a 與它的前一項(xiàng) a (或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，即 a f(a )(或 a f(a ，a )等)，那么這個(gè)式子

2、叫做數(shù)列a 的遞推公式 4、s 與 a 的關(guān)系n ns1，n1，已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 s ，則 a snsn1，n2，5、數(shù)列的分類這個(gè)關(guān)系式對(duì)任意數(shù)列均成立分類標(biāo)準(zhǔn)按項(xiàng)數(shù)分類類型有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列滿足條件項(xiàng)數(shù)有限項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小 關(guān)系分類遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列a aa 0( 或 a 0 時(shí)， n 11 )，則 a a ，即數(shù)列a 是遞增數(shù)列，所以數(shù) n n a n1 n n列a 的最小項(xiàng)為 a f(1)；若有 an1a f(n1)f(n)0 時(shí)， n 11 )，則 a 0，a 1.成等差數(shù)列，則 an當(dāng) n2 時(shí)，2a 2(s s )a a2a1 n，1(a2a2 )(a a

3、)0.(a a )(a a )(a a )0， (a a )(a a 1)0，a a 0，a a 1， a 是以 1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列，a n(nn *) 4、已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 s ，a 1，s 2a ，則 s ( )a2n13 2 1 b n1 c. n1 d n1解析：選 b s 2an2s2s 3s 2s1s 3 3 ，故數(shù)列s 為等比數(shù)列，公比是 ，又 s s 2 n 2 13 31，所以 s 1 n1 n1.故選 b.(n1)a5、已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 s ，且 a 1，s ，則 a ( )n n 1 n 2 2 019a2 018 b2 019 c4

4、 036 d4 038(n1)a na a a a a a解析：選 b 由題意知 n2 時(shí)，a s s ，化為 ， 2 2 n n1 n n1 11，a n.則 a 2 019.故選 b.方法技巧(1)先利用 a s 求出 a ；已知 s 求 a 的 3 個(gè)步驟第 3 頁(yè)（共 33 頁(yè)）nn n n1nnn1n1 nnn 1n1 nnn1nnnnn1 nn n1n n n1n1 n22 1 1nn1n1n22 11n1nn11nnn1nnnn11nn1nn1n1n1annn +1(2)用 n1 替換 s 中的 n 得到一個(gè)新的關(guān)系，利用 a s s (n2)便可求出當(dāng) n2 時(shí) a 的表達(dá)式；

5、(3)對(duì) n1 時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合 n2 時(shí) a 的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式 合寫；如果不符合，則應(yīng)該分 n1 與 n2 兩段來(lái)寫突破點(diǎn)四利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)例 51、在數(shù)列a 中，a 2，a a 3n2，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式n12、在數(shù)列a 中，a 1，a a (n2)，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式n 1 n n n1 n3、在數(shù)列a 中 a 1，a 3a 2，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式4、已知數(shù)列a 中，a 1，a12a ，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式 a 2解 (1)因?yàn)?a a 3n2，所以 a a 3n1(n2)， 所以 a (a a )(a a )(a a )a n(3n1)(n

6、2) 21 3 n當(dāng) n1 時(shí)，a 2 (311)，符合上式，所以 a n2 .1 2 n 2 2n1 n2 1(2)因?yàn)?a a (n2)，所以 a a ，a a .n n1 21 2 n1 a 1 1由累乘法可得 a a (n2)又 a 1 符合上式，a .n 1 2 3 n n n 1 n n(3)因?yàn)?a3a 2，所以 ana 113(a 1)，所以 3，所以數(shù)列a 1為等比數(shù)列，公比 qa 13，又 a 12，所以 a 123n1，所以 a 23n11.2a(4)a ，a 1，a 0，a 2a1 1 1 1 1 1 1 ，即 ，又 a 1，則 1， a 2 a a 2 a 1 1 1

7、 1 1 n 1 是以 1 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列 (n1) ， n 2 an a1 2 2 2 2a (nn*)n1方法技巧典型的遞推數(shù)列及處理方法1形如“an +1= pa +qn”，利用待定系數(shù)法求解。求數(shù)列a的通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將 nan +1=qa +bn轉(zhuǎn)化為an +1+a =q ( a +a )n的 形 式 ， 其 中 a的 值 可 由 待 定 系 數(shù) 法 確 定 ， 即qa +b =a nn +1b=qa +( q -1)a a = ( q 1).q -12遞推關(guān)系形如“an +1= pa +qnn”，兩邊同除 p 或待定系數(shù)法求解第 4 頁(yè)（共 33 頁(yè)）1n1n 1 n4

8、nn112 019nnnnnnmn m n 69nnn 2nn1 nminnn3nn 1 nnnn1n nnnnn2 3 4 n11 2 3n 13遞推已知數(shù)列an中，關(guān)系形如“an +2= p an +1+q an”，利用待定系數(shù)法求解4遞推關(guān)系形如a -pann -1=qa a （p,q 0),兩邊同除以 n n -1a an n -15累加法：an +1=a + f ( n ) na =( a -a n nn -1) +( an -1-an -2) +( an -2-an -3) +l +( a -a ) +a2 1 16累乘法：an +1=a f ( n ) na =na a a a

9、a n n -1 n -2 l3 2 aa a a a an -1 n -2 n -3 2 11、在數(shù)列a 中，a 1，a 2a 1(nn*)，則 a 的值為( c )a31b30 c15d632、已知數(shù)列a 滿足 a 1 1，若 a ，則 a ( a ) 1a 2a11b2c1 d23、數(shù)列1,4，9,16，25，的一個(gè)通項(xiàng)公式為( b )aa n2ba (1)n n2ca (1)n1 n2da (1)n(n1)21 1 1 14、若數(shù)列的前 4 項(xiàng)分別是 ， ， ， ，則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為( a )2 3 4 5(1)n a.n11(1)n bn1(1)n (1)n c. dn n15

10、、在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列a 中，對(duì)任意 m，nn *，都有 a a a .若 a 64，則 a 等于( c )a256 b510 c512 d1 0246、設(shè)數(shù)列a 的通項(xiàng)公式為 a n2bn，若數(shù)列a 是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù) b 的取值范圍為( c )9a(，1 b(，2 c(，3) d ，解析：選 c 因?yàn)閿?shù)列a 是單調(diào)遞增數(shù)列，所以 a a 2n1b0(nn*)，所以 b2n1(nn *)，所以 b(2n1) 3，即 ba 1”是“數(shù)列a 為遞增數(shù)列”的( b )a充分不必要條件 c充要條件b必要不充分條件d既不充分也不必要條件9、設(shè)數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 s ，且 a 1，s na 為

11、常數(shù)列，則 a 等于( b )1a.3n12 6b c.n(n1) (n1)(n2)52nd3解析：選 b 由題意知，s na 2，當(dāng) n2 時(shí)，(n1)a (n1)ana a a a 1 2 n1 ，從而 ，a a a a 3 4 n1第 5 頁(yè)（共 33 頁(yè)）nnnn1nn n1 n1501n n1 n1 n n1 n12 1 1 3 2 2n n1 n11 3 2n n1 1 2n1n 1 1 21n501nn1n1nnn123nn1nn121n11n1n2 13 2n n1n 12nnn11n2nn1n1 nnn1n12341234nn1nnnnnnnn2 2有 a ，當(dāng) n1 時(shí)上式

12、成立，所以 a .n(n1) n(n1)1 50010、已知數(shù)列a ，b ，若 b 0，a ，當(dāng) n2 時(shí)，有 b b a ，則 b _ _.n(n1) 501解析：由 b b a 得 b b a ，所以 b b a ，b b a ，b b a ，所以 b 21 1 1b b b b b a a a ，即 b b a a a12 23 (n1)nn11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n1 n1 1 ，又 b 0，所以 b ，所以 12 23 (n1)n 1 2 2 3 n1 n n n nb 500.50111、已知在數(shù)列a 中，a n 8a (nn*)，且 a 4，則數(shù)列a 的通項(xiàng)公式

13、 a _ _. n2 n(n1)解析：由 ann a n a 1 a 2 a n1 a a ，得 ，故 ， ， (n2)，以上式子累乘得， n2 a n2 a 3 a 4 a n1 a1 2 n3 n2 n1 2 8 8 .因?yàn)?a 4，所以 a (n2)因?yàn)?a 4 滿足上式，所以 a .3 4 n1 n n1 n(n1) n(n1) n(n1)n2n212、已知數(shù)列a 滿足 a 2，a a n(n2，nn*)，則 a _ _.n 1 n n1 n 2解析：由題意可知，a a 2，a a 3，a a n(n2)，以上式子累加得，a a 23n.(n1)(2n)n2n2因?yàn)?a 2，所以 a

14、2(23n)2 (n2)1 n 2 2n2n2因?yàn)?a 2 滿足上式，所以 a .1 n 2a a13、若數(shù)列a 是正項(xiàng)數(shù)列，且 a a a a n2n，則 a _2n22n_.n 1 2 3 n 1 2 n解析：由題意得當(dāng) n2 時(shí)， a n2n(n1)2(n1)2n，a 4n2.又 n1， a 2，a 4，a a a 1 4n，a n(44n)2n2 n 1 2 n 214、已知數(shù)列a 滿足 a 3，a 4a 3.2n.(1)寫出該數(shù)列的前 4 項(xiàng)，并歸納出數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；a 1(2)證明： 4.a 1解：(1)a 3，a 15，a 63，a 255.因?yàn)?a 411，a 421，a

15、431，a 441，所以歸納得 a 4n1.(2)證明：因?yàn)?an1a 1 4a 31 4(a1)4a 3，所以 4.a 1 a 1 a 115、已知數(shù)列a 的通項(xiàng)公式是 a n2kn4.第 6 頁(yè)（共 33 頁(yè)）2 4nnna 1(1)若 k5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n 為何值時(shí)，a 有最小值？并求出最小值；n(2)對(duì)于 nn *，都有 a a ，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍n1 n解：(1)由 n25n40 ，解得 1na ，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式 a n2kn4，可以看作是關(guān)于 n 的二次函 n1 n nk 3數(shù)，考慮到 nn *，所以 3.所以實(shí)數(shù) k 的取值范圍為(3，)

16、2 216、已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和 s n2n n21，數(shù)列b 中，b ，且其前 n 項(xiàng)和為 t ，設(shè) c tn 2nnt .1 n(1)求數(shù)列b 的通項(xiàng)公式； (2)判斷數(shù)列c 的增減性n n解：(1)a s 2，a s s 1 1 n n n2n1(n2)，b 1 n231nn1 ，n2 .(2)由題意得 c bn nb1 nb2 2n11 1 1 ， n1 n2 2n1c c n1 n1 1 1 1 1 1 0 ， 2n2 2n3 n1 2n3 2n2 2n3 2n2c 0 時(shí)， s 有最小值，當(dāng) d 0，等差數(shù)列a 的前 3 項(xiàng)的和為3，前 3 項(xiàng)的積為 8，3a13d3， a12

17、， 或a1(a1d)(a12d)8， d3 d0，a 4，d3，a 3n7.a 4，d3.第 11 頁(yè)（共 33 頁(yè)）n1n7 94127 9 88n4 8 1212 8 4n3 4 51 273 4 5441 27 1 72 63 5 4 4n1 2 0192 1 010 2 018n3 57 10 13n3 74 6n3 7 4 63 73 7371n155n93nnnnn5 7 8 49 3939 36nn6 66 65 7 8 41 11116611661 11nn117 911n(2)a 3n7，a 374， n(43n7) n(3n11)s . n 2 2突破點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)

18、用例 3（性質(zhì)應(yīng)用）1、已知等差數(shù)列a 中，a a 16，a 1，則 a 等于( a )a15 b30 c31 d64解析：a a 2a 16，故 a 8.在等差數(shù)列a 中，a ，a ，a 成等差數(shù)列，所以 a 2a a 16115.2、如果等差數(shù)列a 中，a a a 12，那么 a a a ( c )a14 b21 c28 d35解：a a a 12，3a 12，a 4.a a a (a a )(a a )(a a )a 7a 28. 3、在等差數(shù)列a 中，若 a ，a 為方程 x210x160 的兩根，則 a a a ( b )a10 b15 c20 d404、 在等差數(shù)列a 中，3(a

19、a )2(a a a )24，則該數(shù)列前 13 項(xiàng)的和是_26_5、 已知等差數(shù)列a 的公差是正數(shù)，且 a a 12，a a 4，求a 的通項(xiàng)公式解析 a a a a 4，又 a a 12a 、a 是方程 x24x120 的兩根a12d6而 d0，a 6，a 2.a16d2，故 a 10，d2，a 2n12.s6、設(shè) s 為公差不為零的等差數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和，若 s 3a ，則 等于( a )n n 9 8 3aa15 b17 c19 d21s 2n3 a a7、設(shè)等差數(shù)列a ，b 的前 n 項(xiàng)和分別為 s ，t ，若對(duì)任意自然數(shù) n 都有 ，則 的t 4n3 b b b b值為_a a

20、a a a a a【解析】 a ，b 為等差數(shù)列， .b b b b 2b 2b 2b bs a a 2a 2113 19 a 19 ， .t b b 2b 4113 41 b 41例 4（等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最值問題）1、等差數(shù)列a 中，s 為前 n 項(xiàng)和，且 a 25，s s ，請(qǐng)問：數(shù)列 前多少項(xiàng)和最大？1716 98解：法一：a 25，s s ，17a d9a d，解得 d2.1 17 9 1 2 1 2n13 ，an252(n1)0， 2a 250，由 得an1252n0， n121 .2當(dāng) n13 時(shí)，s 有最大值1716 98法二：a 25，s s ，17a d9a d，解得 d

21、2. 1 17 9 1 2 1 2第 12 頁(yè)（共 33 頁(yè)）nn13nnnn11nn1 nn1 nnn23nnn n2n32nn n3n2n n 2n 3n n2n3n1nnnn 1nnnnnnn n 1n1nnn1n1121n 1n(n1)從而 s 25n (2)n226n(n13)2 n 2169.故前 13 項(xiàng)之和最大2、(2018 全國(guó)卷)記 s 為等差數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和，已知 a 7，s 15.(1)求a 的通項(xiàng)公式；(2)求 s ，并求 s 的最小值解 (1)設(shè)a 的公差為 d，由題意得 3a 3d15. 又 a 7，所以 d2.所以a 的通項(xiàng)公式為 a 2n9.n(aa )(2