2020-2021學年數(shù)學新教材人教B版選擇性必修第三冊教案：第6章 章末綜合提升 Word版含解析

1、鞏固層知識整合提升層題型探究導數(shù)的幾何意義及其應用【例1】(1)曲線yxex1在點(1,1)處切線的斜率等于()a2e be c2 d1(2)已知函數(shù)yf(x)的圖像是下列四個圖像之一，且其導函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的圖像是()(1)c(2)b(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲線在點(1,1)處的切線斜率為k2.(2)從導函數(shù)的圖像可以看出，導函數(shù)值先增大后減小，x0時最大，所以函數(shù)f(x)的圖像的變化率也先增大后減小，在x0時變化率最大a項，在x0時變化率最小，故錯誤；c項，變化率是越來越大的，故錯誤；d項，變化率是越來越小的，故錯誤；b項正確利用導數(shù)的幾何意義求切線方

2、程時關鍵是搞清所給的點是不是切點，常見的類型有兩種，一是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，先求導，再求斜率代入直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設切點為q(x1，y1)，則切線方程為yy1f(x1)(xx1)，再由切線過點p(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了過點p(x0，y0)的切線方程1已知曲線yx3.(1)求曲線在點p(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點p(2,4)的切線方程；(3)求斜率為4的曲線的切線方程解(1)p(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點p(2,4)

3、處的切線的斜率k4.曲線在點p(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設曲線yx3與過點p(2,4)的切線相切于點a，則切線的斜率kx.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點p(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為4xy40或xy20.(3)設切點為(x0，y0)，則切線的斜率kx4，x02.切點為(2,4)或.斜率為4的曲線的切線方程為y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性【例2】設函數(shù)f(x)xeax

4、bx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調區(qū)間思路探究(1)利用導數(shù)的幾何意義和求導運算建立方程組求未知數(shù)(2)利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系判斷函數(shù)的單調性解(1)因為f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依題設，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以，當x(，1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)綜上可知，f(x

5、)0，x(，)，故f(x)的單調遞增區(qū)間為(，)利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，進而確定函數(shù)的單調區(qū)間，這是導數(shù)的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結合思想.這部分內容要注意的是f(x)為增函數(shù)f(x)0且f(x)0的根有有限個，f(x)為減函數(shù)f(x)0且f(x)0的根有有限個.2(1)討論函數(shù)f(x)ex的單調性，并證明當x0時，(x2)exx20；(2)證明：當a0,1)時，函數(shù)g(x)(x0)有最小值設g(x)的最小值為h(a)，求函數(shù)h(a)的值域解(1)f(x)的定義域為(，2)(2，)f(x)0，當且僅當x0時，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上

6、單調遞增因此當x(0，)時，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a單調遞增對任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.當0xxa時，f(x)a0，g(x)xa時，f(x)a0，g(x)0，g(x)單調遞增因此g(x)在xxa處取得最小值，最小值為g(xa).于是h(a).由0，得y在x(0，)上單調遞增，所以，由xa(0,2，得h(a).因為y在x(0，)上單調遞增，對任意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a

7、)的值域是.綜上，當a0,1)時，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值【例3】已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖像上一點p(1,0)，且在點p處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結論下，關于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍思路探究(1)由求出a，b即可(2)對t分0t2與2t3兩種情況求最值(3)構造函數(shù)g(x)f(x)c轉化為g(x)在1,3上有實根求解解(1)因為f(x)3x22ax，曲線在p(1,0)處的切線斜率為：f(

8、1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.令f(x)0，得x0或x2.當0t2時，在區(qū)間(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(0)2，f(x)的最小值為f(t)t33t22.當2t3時，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2極小值2t33t22f(x)的最小值為f(2)2，f(x)的最大值為f(0)與f(t)中較大的一個f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)的最大值

9、為f(0)2.綜上可知，當t(0,2時，f(x)的最大值為2，最小值為t33t22；當t(2,3)時，f(x)的最大值為2，最小值為2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個相異的實根，則解得2c0.用求導的方法確定方程根的個數(shù)，是一種很有效的方法它通過函數(shù)的變化情況，運用數(shù)形結合思想來確定函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)，從而判斷方程根的個數(shù)3已知函數(shù)f(x)x36x29x3，若函數(shù)yf(x)的圖像與yf(x)5xm的圖像有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x21

10、2x9，yf(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個不相等的實根，即g(x)x37x28xm的圖像與x軸有三個不同的交點g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.當x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m則函數(shù)g(x)的極大值為gm，極小值為g(4)16m.yf(x)的圖像與yf(x)5xm的圖像有三個不同的交點，得解得16m.即m的取值范圍為.利用導數(shù)解決實際問題【例4】已知a，b兩地相距200千米，一只船從a地逆水到b地，水速為8千米/時，船在靜水中的速度為v千米/時

11、(80)，則y1kv2，當v12時，y1720，720k122，解得k5.y15v2.設全程燃料費為y元，由題意，得yy1，y.令y0，解得v0(舍去)或v16.當v016時，v16(千米/時)時全程燃料費最??；當v016，v(8，v0時，y0，即y在(8，v0上為減函數(shù)當vv0時，ymin.綜上可知，若v016，則當v16(千米/時)時，全程燃料費最省，為32 000元；若v0f(x)，且f(x)2 020為奇函數(shù)，則不等式f(x)2 020ex0的解集為()a(，0)b(0，)c d.b由題意可知，令g(x)，則g(x)，因為f(x)f(x)，故f(x)f(x)0，即g(x)0，g(x)在r上為減函數(shù)又因為f(x)2 020為奇函數(shù)，所以f(0)2 0200，即f(0)2 020，則g(0)2 020.所以不等式f(x)2 020ex0等價于g(x)0，即不等式f(x)2 020ex0的解集為x(0，)故選b.這類問題主要考查函數(shù)單調性、奇偶性的應用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及其應用.其中如何構造新函數(shù)是求解此類問題的重中之重，善于從題目中提取信息，挖掘隱含條件及把所學知識移到此類問題中是解題的關鍵.定義在區(qū)間(0，)上函數(shù)f(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，f(