2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材蘇教版必修第一冊(cè)教學(xué)案：第3章 3.2.1　基本不等式的證明 Word版含解析

1、3.2基本不等式(a，b0)3.2.1基本不等式的證明學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解基本不等式的證明過程(重點(diǎn))2能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小3能利用基本不等式求簡單函數(shù)的最值(難點(diǎn))1通過不等式的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)2借助基本不等式形式求簡單的最值問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)如下表所示，再任意取幾組正數(shù)a，b，算出它們的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，猜測一般情況下兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小嘗試用比較法加以證明a12b1413121算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)對(duì)于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)2基本不等式如果a，b是正數(shù)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)a

2、b時(shí)，等號(hào)成立)，我們把不等式(a，b0)稱為基本不等式思考：如何證明不等式(a，b0)?提示因?yàn)閍b2()2()22()20，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，所以ab2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立3兩個(gè)重要的不等式 若a，br，則(1)ab，即a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)；(2)ab (當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)4應(yīng)用基本不等式求最值在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要把握好三個(gè)要點(diǎn)“一正、二定、三相等”一正： a，b是正數(shù)二定：和ab一定時(shí)，由變形得ab，即積ab有最大值；積ab一定時(shí)，由變形得ab2，即和ab有最小值2三相等：取等號(hào)的條件都是當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立1不等式a212a

3、中等號(hào)成立的條件是()aa1 ba1ca1 da0b當(dāng)a212a，即(a1)20，即a1時(shí)，“”成立2已知a，b(0,1)，且ab，下列各式中最大的是()aa2b2 b2c2ab dabd因?yàn)閍，b(0,1)，所以a2a，b2b，所以a2b2ab，又a2b22ab(因?yàn)閍b)，所以2aba2b2ab又因?yàn)閍b2(因?yàn)閍b)，所以ab最大3已知ab1，a0，b0，則ab的最小值為()a1 b2 c4 d8b因?yàn)閍0，b0，所以ab22，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)取等號(hào)，故ab的最小值為24當(dāng)a，br時(shí)，下列不等關(guān)系成立的是；ab2；a2b22ab；a2b22ab根據(jù)ab，成立的條件判斷，知錯(cuò)，只有正確對(duì)基

4、本不等式的理解【例1】給出下面三個(gè)推導(dǎo)過程：因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以22；因?yàn)閍r，a0，所以a24；因?yàn)閤，yr，xy0，所以22其中正確的推導(dǎo)為()a b c db因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以，為正實(shí)數(shù)，符合基本不等式的條件，故的推導(dǎo)正確因?yàn)閍r，a0，不符合基本不等式的條件，所以a24是錯(cuò)誤的由xy0，得，均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將整體提出負(fù)號(hào)后，、均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故正確1基本不等式 (a0，b0)反映了兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和與積之間的關(guān)系2對(duì)基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下兩個(gè)方面：(1)定理成立的條件是a，b都是非負(fù)數(shù)(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)ab時(shí)，的等號(hào)成立，即ab；僅當(dāng)a

5、b時(shí)，的等號(hào)成立，即ab1下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是若x0，則x22；若x0，則x24；若a，br，則22中忽視了利用基本不等式時(shí)每一項(xiàng)必須為正數(shù)這一條件利用基本不等式比較大小【例2】(1)已知a，b(0，)，則下列各式中不一定成立的是()aab2 b2c2 d(2)已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，則pa2b2c2與qabbcca的大小關(guān)系是(1)d(2)pq(1)由得ab2，所以a成立；因?yàn)?2，所以b成立；因?yàn)?，所以c成立；因?yàn)椋詃不一定成立(2)因?yàn)閍，b，c互不相等，所以a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac因此2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbc

6、ac1在理解基本不等式時(shí)，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件2運(yùn)用基本不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意成立的條件，即ab2成立的條件是a0，b0，等號(hào)成立的條件是ab；a2b22ab成立的條件是a，br，等號(hào)成立的條件是ab2如果0ab1，p，q，m，那么p，q，m的大小順序是()apqm bmpqcqmp dmqpb顯然，又因?yàn)椋?由ab，也就是由1可得)，所以故mpq利用基本不等式證明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且abc1，求證：9思路點(diǎn)撥看到9，想到將“1”換成“abc”，裂項(xiàng)構(gòu)造基本不等式的形式，用基本不等式證明證明因?yàn)閍，b，cr，且abc1，所以33322232229當(dāng)且

7、僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)閍，b，c互不相等，所以9本例條件不變，求證：8證明因?yàn)閍，b，cr，且abc1，所以10，10，10，所以8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閍，b，c互不相等，所以81條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實(shí)現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系2先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為符合待證的不等式，既是運(yùn)用基本不等式時(shí)的一種重要技能，也是證明不等式時(shí)的一種常用方法3已知a，b，cr，求證：a4b4c4a2b2b2c2c2a2

8、證明由基本不等式可得a4b4(a2)2(b2)22a2b2，同理，b4c42b2c2，c4a42a2c2，所以(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2，從而a4b4c4a2b2b2c2c2a24 已知2ab1，a0，b0，求證：32證明332，當(dāng)且僅當(dāng)，且2ab1，即a，b1時(shí)取等號(hào)利用基本不等式求最值【例4】(1)已知x，求y4x2的最大值；(2)已知0x，求yx(12x)的最大值思路點(diǎn)撥(1)看到求y4x2的最值，想到如何才能出現(xiàn)乘積定值；(2)要求yx(12x)的最值，需要出現(xiàn)和為定值解(1)因?yàn)閤0，所以y4x23231，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，上式等號(hào)成立

9、，故當(dāng)x1時(shí)，ymax1(2)因?yàn)?x0，所以y2x(12x)所以當(dāng)且僅當(dāng)2x12x，即x時(shí)，ymax利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件具體可歸納為三句話：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號(hào)方向；二不定應(yīng)湊出定和或定積；三不等，一般用單調(diào)性.5(1)已知x0，求函數(shù)y的最小值；(2)已知0x0)的最小值為9(2)法一：因?yàn)?x0所以yx(13x)3x(13x)當(dāng)且僅當(dāng)3x13x，即x時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最大值法二：因?yàn)?x0所以yx(13x)3x3，當(dāng)且僅當(dāng)xx，即x時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)

10、x時(shí)，函數(shù)取得最大值1應(yīng)用基本不等式時(shí)要時(shí)刻注意其成立的條件，只有當(dāng)a0，b0時(shí)，才會(huì)有對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，號(hào)成立”這句話要從兩個(gè)方面理解：一方面，當(dāng)ab時(shí)，；另一方面：當(dāng)時(shí)，也有ab2應(yīng)用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵在于進(jìn)行“拼”“湊”“拆”“合”“放縮”等變形，構(gòu)造出符合基本不等式的條件結(jié)構(gòu)3利用基本不等式求最值的要點(diǎn)：一正、二定、三相等1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)對(duì)任意a，br，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a2，則a22()(3)若a0，b0，則ab()提示(1)任意a，br，有a2b22ab成立，當(dāng)a，b0時(shí)，不等式ab2成立(2)根據(jù)基本不等式，才有不等式a22成立，當(dāng)且僅當(dāng)只有當(dāng)a1時(shí)取等號(hào)(3)因?yàn)椋詀b答案(1)(2)(3)2函數(shù)yx(其中x2)取得最小值的條件是()ax3 bx3cx5 dx5c