四川省綿陽(yáng)市2013屆高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)理試題

1、保密啟用前【考試時(shí)間：2012 年 11 月 1 日下午 3:005:00】 綿陽(yáng)市高中綿陽(yáng)市高中 20132013 級(jí)第一次診斷性考試級(jí)第一次診斷性考試 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) ( (理科）理科） 本試卷分第 i 卷（選擇題）和第 ii 卷（非選擇題）兩部分.第 i 卷 1 至 2 頁(yè)，第 ii 卷 3 至 4 頁(yè).滿(mǎn)分 150 分.考試時(shí)間 120 分鐘. 注意事項(xiàng)： 1. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)用 0.5 毫米的黑色簽字筆填寫(xiě)在答題卡上， 并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置. 2. 選擇題使用 2b 鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題 0 標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用 0.5 毫米的 黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡

2、的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷 上答題無(wú)效. 3.考試結(jié)束后，將答題卡收回. 第第i i卷卷（選擇題，共 50.分） 、選擇題：本大題共 10 小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只 有一項(xiàng)是符合題目荽求的. 1. 設(shè)集合，b=0, 1, 2，則等于 a. 0b. 0，1 c. 0, 1， 2d. 2. 命題，則是 a. b. c. d. 3. 設(shè)，則 a. cbab. bac c. cabd. abc 4. 函數(shù).的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 a. (-1，0)b. (0, 1) c. (1, 2)d. (2，3) 5. 如圖 ， 在 ，中 ，ad=2db

3、，de=ec,若，則 = a. b. c. d. 6. 設(shè)函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則/(力的表達(dá) 式為 a. b. c. d. 7. 若函數(shù)在區(qū)間(o, 1)上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間-2, 2 上， 則實(shí)數(shù) b 的取值范圍為 a. o, 4b. c. 2, 4d. 3, 4 8. 已知定義在 r 上的奇函數(shù)/(x)是上的增函數(shù)，旦 f(1)=2, f(-2)=-4,設(shè) .若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) t 的取 值范圍是 a. b. c. d. 9. 某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn) a,b 兩類(lèi)產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn) a 類(lèi)產(chǎn)品 5 件 和 b 類(lèi)產(chǎn)品 10 件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn) a

4、類(lèi)產(chǎn)品 6 件和 b 類(lèi)產(chǎn)品 20 件.已知設(shè)備甲 每天 的租賃費(fèi)為 200 元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為 300 元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) a 類(lèi)產(chǎn) 品 50 件， b 類(lèi)產(chǎn)品 140 件，所需租賃費(fèi)最少為 a. .2400 元b. 2300 元c. 2200 元d. .2000 元 10. 已知函數(shù)則滿(mǎn)足不等式.例 x 的取值范圍為 a. (0，3) b. c. d. (-1, 3) 第第 ii 卷卷（非選擇題，共 100 分） 二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分. 11. 已知向量 a=(2,1)，b=(x，-2)，若 a/b，則 x=_ 12. 已知偶函數(shù)在上是增函

5、數(shù)，則 n= _ 13. 已知an是遞增數(shù)列，且對(duì)任意的都有恒成 立， 則角 的取值范圍是_ 14. 已知定義在 r 上的函數(shù) f(x)滿(mǎn)足且當(dāng) ,則=_ 15. 設(shè)所有可表示為兩整數(shù)的平方差的整數(shù)組成集合 m.給出下列命題： 所有奇數(shù)都屬于 m. 若偶數(shù) 2k 及屬于 m，則. 若，則, 把所有不屬于 m 的正整數(shù)從小到大依次擇成一個(gè)數(shù)列，則它的前 n 項(xiàng)和 其中正確命 題的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào) 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、說(shuō)明過(guò)程或演算步驟. 16. (本題滿(mǎn)分 12 分）設(shè)向量，函數(shù)， . (i)求函數(shù) f(x)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程；

6、 ( i i ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù) f(x)的值域. 17. (本題滿(mǎn)分 12 分）已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，公差，且 s3+s5=58，a1,a3,a7成等比數(shù)列. (i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； ( i i ) 若bn為等比數(shù)列，且記 求 t10值. 18. (本題滿(mǎn)分 12 分）己知二次函數(shù) y=f(x) 的圖像過(guò)點(diǎn)(1,-4),且不等式 f(x)0). (i )求證：數(shù)列an為等比數(shù)列； (ii )若數(shù)列an的公比 q= f(t,數(shù)列bn滿(mǎn)足,求數(shù)列bn的通項(xiàng) 公式； (iii) 設(shè)對(duì)（ii )中的數(shù)列bn，在數(shù)列an的任意相鄰兩項(xiàng) ak與 ak+1之間插 入 k 個(gè)后，得到一

7、個(gè)新的數(shù)列： 記此數(shù)列為cn.求數(shù)列cn的前 2012 項(xiàng)之和. 21. (本題滿(mǎn)分 14 分）己知函數(shù)在;c=2 處的切線(xiàn)斜率為. (i)求實(shí)數(shù) a 的值及函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (ii) 設(shè)，對(duì)使得成 立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍； (iii) 證明： 綿陽(yáng)市高 2013 級(jí)第一次診斷性考試 數(shù)學(xué)(理)參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 bcbcc aaddb ab 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分 13-4 142 15 45 02 33 ， 16 三、解答題：本大題共 6 小題，共 74 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證

8、明過(guò)程或演算步驟 17解：（）f (x)=ab =(cos2x，1)(1，3sin2x) =3sin2x+ cos2x =2 sin(2x+ 6 )， 6 分 最小正周期 2 2 t ， 令 2x+ 6 = 2 k ，kz，解得 x= 26 k ，kz， 即 f (x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為 x= 26 k ，kz8 分 （）當(dāng) x0， 2 時(shí)，即 0 x 2 ，可得 6 2x+ 6 7 6 ， 當(dāng) 2x+ 6 = 2 ，即 x= 6 時(shí)，f (x)取得最大值 f ( 6 )=2； 當(dāng) 2x+ 6 = 7 6 ，即 x= 2 時(shí)，f (x)取得最小值 f ( 2 )=-1 即 f (x) 的值域?yàn)?1

9、，212 分 18解：（）由 s3+s5=58，得 3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d =58， a1，a3，a7成等比數(shù)列，a32=a1a7， 即(a1+2d)2=a1(a1+6d)，整理得 a1=2d， 代入得 d=2， a1=4， an=2n+2 6 分 （）由（）知 a8=18，b5b6+b4b7=2b5b6=18，解得 b5b6 =9 t10= log3b1 +log3b2+ log3b3+ log3b10 =log3(b1b10) + log3(b2b9) + log3(b5b6) =5log3(b5b6) =5log39 =10 12 分 19解：（）由已知 y= f

10、(x)是二次函數(shù)，且 f (x)0 的解集是(0，5)， 可得 f (x)=0 的兩根為 0，5， 于是設(shè)二次函數(shù) f (x)=ax(x-5)， 代入點(diǎn)(1，-4)，得-4=a1(1-5)，解得 a=1， f (x)=x(x-5) 4 分 （）h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x3-(4k-10)x+5=x3+2x2-4kx+5， 于是 2 ( )344h xxxk， h(x)在-4，-2上單調(diào)遞增，在-2，0上單調(diào)遞減， x=-2 是 h(x)的極大值點(diǎn)， 2 ( 2)3 ( 2)4( 2)40hk ，解得 k=1 6 分 h(x)=x3+2x2-4x+5，進(jìn)而得 2 ( )

11、344h xxx 令 2 2 ( )3443(2)()0 3 h xxxxx，得 12 2 2 3 xx ， 由下表： x (-3，-2) -2 (-2， 2 3 ) 2 3 ( 2 3 ，1) ( )h x +0-0+ h(x) 極大 極小 可知：h(-2)=(-2)3+2(-2)2-4(-2)+5=13，h(1)=13+212 -41+5=4， h(-3)=(-3)3+2(-3)2-4(-3)+5=8，h( 2 3 )=( 2 3 )3+2( 2 3 )2-4 2 3 +5= 95 27 ， h(x)的最大值為 13，最小值為 95 27 12 分 20解：（）asina=(a-b)sin

12、b+csinc， 由正弦定理 sinsinsin abc abc ，得 22 ()aab bc， 即 222 abcab 由余弦定理得 222 1 cos 22 abc c ab ， 結(jié)合0c，得 3 c 6 分 （）由 c=-(a+b)，得 sinc=sin(b+a)=sinbcosa+cosbsina， sinc+sin(b-a)=3sin2a， sinbcosa+cosbsina+sinbcosa-cosbsina=6sinacosa， 整理得 sinbcosa=3sinacosa 8 分 若 cosa=0，即 a= 2 時(shí)，abc 是直角三角形，且 b= 6 ， 于是 b=ctanb=

13、2tan 6 = 2 3 3 ， sabc= 1 2 bc= 2 3 3 10 分 若 cosa0，則 sinb=3sina，由正弦定理得 b=3a 聯(lián)立，結(jié)合 c=2，解得 a= 2 7 7 ，b= 6 7 7 ， sabc= 1 2 absinc= 1 2 2 7 7 6 7 7 3 2 = 3 3 7 綜上，abc 的面積為 2 3 3 或 3 3 7 12 分 21解：（）當(dāng) t=1 時(shí)，2an-2=0，得 an=1， 于是數(shù)列an為首項(xiàng)和公比均為 1 的等比數(shù)列 1 分 當(dāng) t1 時(shí)，由題設(shè)知(t-1)s1=2ta1-t-1，解得 a1=1， 由(t-1)sn=2tan-t-1，得(

14、t-1)sn+1=2tan+1-t-1， 兩式相減得(t-1)an+1=2tan+1-2tan， , 1 2 1 n n at at （常數(shù)） 數(shù)列an是以 1 為首項(xiàng)， 2 1 t t 為公比的等比數(shù)列4 分 （） q= f (t)= 2 1 t t ，b1=a1=1，bn+1= 2 1 f (bn)= 1 n n b b ， 1 111 1 n nnn b bbb ， 數(shù)列 1 n b 是以 1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列，于是 1 n n b ， 1 n b n 8 分 （iii）當(dāng) t= 1 3 時(shí)，由（i）知 an= 1 1 ( ) 2 n ， 于是數(shù)列cn為：1，-1， 1 2

15、，2，2， 2 1 ( ) 2 ，-3，-3，-3， 3 1 ( ) 2 ， 設(shè)數(shù)列an的第 k 項(xiàng)是數(shù)列cn的第 mk項(xiàng)，即 ak= k m c， 當(dāng) k2 時(shí)，mk=k+1+2+3+(k-1)= (1) 2 k k ， m62= 6263 1953 2 ，m63= 63 64 2016 2 設(shè) sn表示數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和， 則 s2016=1+ 1 2 + 2 1 ( ) 2 + 62 1 ( ) 2 +-1+(-1)222+(-1)333+(-1)626262 顯然 1+ 1 2 + 2 1 ( ) 2 + 62 1 ( ) 2 = 63 62 1 1( ) 1 2 2 1 2 1

16、2 ， (2n)2-(2n-1)2=4n-1， -1+(-1)222+(-1)333+(-1)626262 =-1+22-32+42-52+62-612+622 =(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(62+61)(62-61) =3+7+11+123 = 31 (3 123) 2 =1953 s2016= 62 1 2 2 +1953=1955- 62 1 2 s2012=s2016-(c2016+c2015+c2014+c2013) =1955- 62 1 2 -( 62 1 2 +62+62+62) =1769- 61 1 2 即數(shù)列cn的前 2012 項(xiàng)之

17、和為 1769- 61 1 2 12 分 22解：（）由已知： 1 ( )fxa x ， 由題知 11 (2) 22 fa ，解得 a=1 于是 11 ( )1 x fx xx ， 當(dāng) x(0，1)時(shí)，( )0fx，f (x)為增函數(shù)， 當(dāng) x(1，+)時(shí)，( )0fx，f (x)為減函數(shù)， 即 f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+) 5 分 （）由（）x1(0，+)，f (x1) f (1)=0，即 f (x1)的最大值為 0， 由題知：對(duì)x1(0，+)，x2(-，0)使得 f (x1)g(x2)成立， 只須 f (x)maxg(x)max 2 2 ( ) xkxk g x x 2 k xk x 2 k xk x 22kk， 只須kk220，解得 k110 分 （）要證明 2 222 ln2ln3ln21 234(1) nnn nn (nn*，n2) 只須證 2 222 2ln22ln32ln21 232(1) nnn nn ， 只須證 2222 222 ln2