2020-2021學年新教材數(shù)學人教B版選擇性必修第一冊章末綜合測評1　空間向量與立體幾何

1、好好學習，天天向上章末綜合測評(一)空間向量與立體幾何(時間：120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1若a，b,c,d為空間不同的四點,則下列各式為零向量的是(）22；2233；abc dc中，原式2，不符合題意;中,原式2（）（)0；中，原式，不符合題意;中,原式（）()0故選c2若a（2，2,0)，b(1，3，z)，a,b，則z等于（）abc dccosa，b,可得z3已知向量a(2，1,3)，b(1，2,1)，若a(ab）,則實數(shù)的值為（)a2 bc d2da(ab）,a（ab）a|2ab0,|a2

2、ab，14(223）7，解得2故選d4已知正四面體a.bcd的棱長為1，且2，2，則（）ab cdd由正四面體a。bcd的棱長為1，且2,2，得，則11cos 120,故選d5已知a（2，1,3），b(1,4,2)，c(7，5，）若a,b，c三向量共面,則實數(shù)等于（）ab cdd由題意得ctab(2t，t4，3t2)，6如圖所示，已知空間四邊形abcd，連接ac，bd,m，g分別是bc，cd的中點，則等于()a bc dcm，g分別是bc，cd的中點，7已知四面體o。abc的各棱長均為1,d是棱oa的中點，則異面直線bd與ac所成角的余弦值為（）a bc dc，于是，|1，且（),于是cos，

3、故異面直線bd與ac所成角的余弦值為8在三棱錐p。abc中，pc底面abc，bac90,abac4,pbc60，則點c到平面pab的距離是(）a bc db在三棱錐pabc中，pc底面abc，bac90,abac4，pbc60,以a為原點，ab為x軸,ac為y軸,過a作平面abc的垂線為z軸,建立空間直角坐標系，則c（0，4，0)，p（0,4,4)，a(0，0，0)，b(4,0，0），（0，4，0)，(4，0，0)，(0，4,4），設平面pab的法向量n(x，y，z)，則取z1，得n(0，1),點c到平面pab的距離d故選b二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項

4、中，有多項符合題目要求全部選對的得分5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分9已知v1，v2分別為直線l1，l2的方向向量（l1，l2不重合),n1，n2分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是(）av1v2l1l2 bv1v2l1l2cn1n2 dn1n2abcdv1，v2分別為直線l1，l2的方向向量（l1,l2不重合)，v1v2l1l2，v1v2l1l2;n1，n2分別為平面，的法向量（，不重合），n1n2，n1n2，故全部正確10已知點p是平行四邊形abcd所在的平面外一點，如果(2，1，4)，（4，2,0)，（1，2，1）對于結論：apab；apad；是平面abcd的法

5、向量;其中正確的是（）ab cdabc0，0，abap,adap，則ab正確又與不平行,是平面abcd的法向量,則c正確由于(2,3,4），(1,2，1)，與不平行，故d錯誤11.在以下命題中，不正確的命題有(）aabab|是a，b共線的充要條件b若ab,則存在唯一的實數(shù)，使abc對空間任意一點o和不共線的三點a，b，c，若22，則p，a，b，c四點共面d若a，b，c為空間的一個基底,則ab,bc，ca構成空間的另一個基底abca。a|baba與b共線，但a與b共線時|a|b|ab|不一定成立,故不正確；b.b需為非零向量，故不正確；c。因為2211，由共面向量定理知,不正確；d。由基底的定義

6、知正確12將正方形abcd沿對角線bd折成直二面角a.bd。c，有如下四個結論:acbd；acd是等邊三角形；ab與平面bcd所成的角為60；ab與cd所成的角為60其中正確的結論是 （）ab cdabd如圖所示，建立空間直角坐標系oxyz，設正方形abcd邊長為，則d(1,0,0），b(1，0，0)，c(0，0,1)，a（0,1，0）,所以（0，1，1),(2,0，0)，0,故acbd正確又，|,|，所以acd為等邊三角形正確對于,為平面bcd的一個法向量,cos,因為直線與平面所成的角0，90，所以ab與平面bcd所成角為45故錯誤又cos，因為異面直線所成的角為銳角或直角,所以ab與cd

7、所成角為60故正確三、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分把答案填在題中橫線上13已知向量(2,4,5),（3，x，y），若，則xy_45，存在實數(shù)k使得k則xy4514已知a（2,5,1)，b（2，4,2），c(1，4，1），則與的夾角為_60由題意得（0，1，1)，（1,1，0),cos，所以與的夾角為6015已知矩形abcd中，ab1,bc，將矩形abcd沿對角線ac折起，使平面abc與平面acd垂直，則b與d之間的距離為_如圖，過b，d分別向ac作垂線，垂足分別為m，n則可求得am，bm，cn，dn，mn1由于，所以|2（）2|2222(）122（000），故|16在正三棱柱ab

8、c。a1b1c1中,已知ab1,d在棱bb1上，且bd1,則ad與平面aa1c1c所成的角的正弦值為_,平面acd與abc所成二面角的余弦值為_(本題第一空2分，第二空3分)取ac中點e，連接be，則beac，如圖所示，建立空間直角坐標系bxyz，則a，d(0，0,1)，c，設平面acd的法向量為n（x，y，z)，令x2，z3，y0，n(2,0,3）,又為平面abc的法向量,(0,0,1），cosn平面acd與平面abc所成二面角的余弦值為平面abc平面aa1c1c，平面abc平面aa1c1cac,beac,be平面aa1c1c，為平面aa1c1c的一個法向量，又，cos，設ad與平面aa1c

9、1c所成的角為，則sin cos，|四、解答題：本題共6小題，共70分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分10分）如圖所示,在四棱錐m。abcd中，底面abcd是邊長為2的正方形，側棱am的長為3,且am和ab，ad的夾角都是60，n是cm的中點，設a，b，c，試以a，b，c為基向量表示出向量，并求bn的長解（）（)，abc|222(a2b2c22ab2ac2bc)，即bn的長為18(本小題滿分12分）已知向量a(1，3,2）,b(2，1,1），點a(3，1,4),b(2,2,2)(1)求2ab；（2）在直線ab上，是否存在一點e，使得b？(o為原點)解(1)2ab(2，6

10、,4）（2，1,1）（0,5,5），故2ab|5(2)t(3，1,4)t(1，1，2)（3t,1t,42t)，若b，則b0,所以2(3t）(1t）(42t）0，解得t，因此在直線ab上存在點e，使得b,此時點e的坐標為e19(本小題滿分12分)如圖,在直三棱柱abc.a1b1c1中，abc，d是棱ac的中點，且abbcbb12(1)求證:ab1平面bc1d；(2)求異面直線ab1與bc1所成的角解(1)證明:如圖，連接b1c交bc1于點o，連接od因為o為b1c的中點，d為ac的中點，所以odab1因為ab1平面bc1d，od平面bc1d，所以ab1平面bc1d（2）建立如圖所示的空間直角坐標

11、系bxyz，則b（0，0，0），a(0，2，0），c1(2,0，2)，b1(0,0，2）,因此（0,2,2)，(2,0，2)所以cos，設異面直線ab1與bc1所成的角為，則cos ,由于,故20（本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱abc。a1b1c1中，點d在棱a1b1上,e，f分別是cc1,bc的中點，aea1b1,aa1abac2(1）證明：dfae；(2)當d為a1b1的中點時，求平面def與平面abc所成銳二面角的余弦值解(1)證明：在直三棱柱abc.a1b1c1中，有aa1a1b1,又因為aea1b1，所以a1b1平面aa1c1c,因為a1c1平面aa1c1c,所以a1b1a1c1

12、所以abac,abaa1，acaa1,如圖,分別以ac，aa1，ab所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系a。xyz,則c（2，0，0）,b（0,0,2)，a(0,0，0），a1（0，2，0)，f（1,0,1)，e(2,1，0)設d（0,2，t)（0t2),則（1，2，t1),(2，1，0)，（1,2，t1)（2,1，0)0,所以dfae(2)當d為a1b1的中點時，d(0，2,1）,(1，1，1)，（1，2,0)，設平面def的法向量為n（x，y，z），則即令y1得,n（2，1，3），容易知平面abc的法向量為n0（0,1，0），所以cosn,n0，即平面def與平面abc所成銳二面角的余

13、弦值為21(本小題滿分12分）如圖，四邊形abcd為正方形，e，f分別為ad，bc的中點，以df為折痕把dfc折起，使點c到達點p的位置，且pfbf(1）證明：平面pef平面abfd；（2）求dp與平面abfd所成角的正弦值解(1）證明：由已知可得，bfpf,bfef，又pf平面pef，ef平面pef，且pfeff，所以bf平面pef又bf平面abfd,所以平面pef平面abfd(2)作phef，垂足為h由（1）得，ph平面abfd以h為坐標原點，的方向為y軸正方向，為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系h.xyz由（1）可得，depe又dp2，de1，所以pe又pf1,ef2，pf2pe2e

14、f2，故pepf可得ph，eh則h(0，0,0)，p，d，為平面abfd的法向量設dp與平面abfd所成角為,則sin 所以dp與平面abfd所成角的正弦值為22（本小題滿分12分）已知三棱柱abca1b1c1中，acb90，a1bac1，acaa14,bc2（1）求證：平面a1acc1平面abc;(2)若a1ac60，在線段ac上是否存在一點p，使二面角b。a1p。c的平面角的余弦值為？若存在，確定點p的位置；若不存在，說明理由解(1）證明：acaa1，四邊形aa1c1c為菱形，連接a1c，則a1cac1,又a1bac1,且a1ca1ba1，ac1平面a1cb，則ac1bc,又acb90，即bcac，bc平面a1acc1，而bc平面abc，平面a1acc1平面abc（2)以c為坐標原點，分別以ca,cb所在直線為x，y軸，面a1acc1內過點c且垂直于ac的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,acaa14，bc2，a1ac60,c（0，0,0)，b（0，2，0），a（4，0,0),a1（2,0,2）設在線段ac上存在一點p，滿足(01)，使得二面角b.a1p.c的余弦值為則（4，0,0)(4，2,0）(4，0，0）（44，2，0)，（