二次型標準形規(guī)范形化簡與定性判別

1、第五講 二次型標準形規(guī)范形化簡與定性判別1. 二次型的矩陣形式和矩陣的合同2. 二次型標準形化簡（對稱變換法、配方法、正交變換法）3. 二次型規(guī)范形化簡（開方法）4. 實二次型定性判別（慣性指數(shù)法、特征值法、順序主子式法、定義法）1 二次型的矩陣形式和矩陣的合同二次型的概念定義 1 含有 n 個變量 x1,x2, ,xn 的二次齊次函數(shù)2 2 2 2ff(x1,x2, ,xn) a11x1 a22x2 a33x3annxn2a12 x1 x22a13x1x32a1n x1 xn2a23 x2 x32a2nx2xn2an 1,nxn 1xn稱為 n元二次型 （其中 aii xi2稱為平方項 ，a

2、ijxixj（i j）稱為混乘項 ）二次型的矩陣形式若取 aij aji ，則 2aij xi xj aijxixj ajixjxi ，于是上式可以寫成2f a11x1 a12 x1 x2 a13x1x3a1nx1xna21 x2 x1 a22x22 a23 x2 x3a2nx2 xn21 2 1 22 2 23 2 3 2n 2 nan1 xn x1 an2xn x2 an3xnx3annxn2x1(a11x1 a12x2 a13x3a1nxn )x2 (a21x1 a22x2 a23x3a2nxn)xn(an1x1 an2x2 an3x3annxn )nn( aij xixj )i 1 j

3、 1(x1,x2,xn)a11x1a12x2a13x3a1nxna21x1a22x2a23x3a2nxnan1x1an2x2an3x3ann xna11a12a1nx1(x1,x2,xn )a21a22a2nx2an1an2annxnxTAx.x1x2a11a12其中， x，Aa21a22an1an2xn由 aij aji ，故 A 為對稱矩陣，即a1na2n 稱 f f (x) xTAx 為二次型的矩陣形式annAT A 稱對稱矩陣 A 為該二次型的矩陣 二次型 f 稱為對稱矩陣 A的二次型對稱矩陣 A的秩 r(A) 稱為二次型的秩在這種情況下，二次型f 與對稱矩陣 A 之間通過 f (x)

4、 x Ax 就建立起對應關(guān)系，故往往用對稱矩陣 A 的性質(zhì)來討論二次型 f 的性質(zhì)當 aij 為復數(shù)時 , f 稱為 復二次型 ；當 aij 為實數(shù)時， f 稱為 實二次型 例 1 設 f x12 2x1x2 2x1x3 3x22 x32，求 f 的矩陣，并求 f 的秩T2 2 2解 f xT Ax x12 2x1x2 2x1x3 3x22 x32 對應的對稱矩陣是1112 05故 r(A) 3 ，所以二次型 f 的秩為 3nn對于二次型 f xTAx( aijxixj)，我們 討論的主要問題 是：尋求可逆線性變換 x Cy 即i 1 j 1x1c11y1c12y2c1n ynx2c21y1c

5、22y2c2n yn2 21 1 22 2 2n nxncn1y1cn2 y2cnnyn使二次型 f(x) xT Ax化成只含有平方項，不含有混乘項 的形式 ，即f k1y12 k2y22knyn2 這種只含有平方項的二次型，稱為 標準二次型 ，或稱為 二次型的標準形 對于實二次形，再若標準形的系數(shù) k1,k2, ,kn只在 0,1, 1中選取，則將這種二次型稱為 規(guī)范二次型 ，即121100r101130111A1121001002 2 2 2f y12yp2 yp 12yr 2 ，(其中 r( n) 為二次型的秩 )矩陣的合同下面討論一下合同矩陣對于二次型 f xT Ax 而言，經(jīng)可逆線性

6、變換 x Cy ，將其化成f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CTAC)y 若記 B CT AC 則 f yT By由于 BT (CTAC)T CTAT(CT)T CTAC B，故 B為對稱矩陣，故 f yTBy 為關(guān)于 y1, y2, , yn 的二次型關(guān)于 A與 B CTAC 的關(guān)系，我們給出以下矩陣合同的定義定義 2 設 A，B為兩個 n階方陣，如果存在可逆矩陣 C ，使得 CTAC B ，則稱矩陣 A合同于矩陣 B，或稱 A與 B 為 合同矩陣 由以上定義可以看出，二次型 f f (x1,x2, ,xn) xT Ax的矩陣 A與經(jīng)過可逆線性變換 x Cy得到的二次型的 矩陣

7、 B CTAC 是合同矩陣矩陣合同的基本性質(zhì) ： 自反性 任意方陣 A 與其自身合同；因為 ET AE A 對稱性 若 A與 B 合同，則 B與 A合同；因為若 A與 B合同，則存在可逆陣 C使得 CTAC B 則 (CT) 1B(C 1) A即1 T 1(C 1)T B(C 1) A即 B與 A合同 傳遞性 若 A與 B 合同， B與 C 合同，則 A合同于 C；因為 B C1TAC1,C C2TBC2 得 C C2T(C1T AC1)C2 (C1C2)T A(C1C2) ，故 A與C 合同定理 1 若 A為對稱矩陣， C 為可逆矩陣，則 B CT AC 仍為對稱矩陣，且 r(A) r(B)

8、 (請讀者自己證明) 從而二次型 f (x) xT Ax經(jīng)可逆變換 x Cy后，其秩不變，但二次型 f 的矩陣 A變?yōu)?B CTAC ； 在本節(jié)最后給出矩陣的等價、相似、合同 三種關(guān)系 的邏輯關(guān)系： A經(jīng)過若干次行列變換得到 B，則 A與 B等價，即 A與 B等價 存在可逆陣 P,Q 使 PAQ B 成立 A與 B相似 存在可逆陣 P使 P 1AP B A與 B合同 存在可逆陣 P使 PT AP B 通過以上三個定義可以看出，相似矩陣一定是等價矩陣，合同矩陣一定是等價矩陣 特別，由上一章實對稱矩陣 的可正交相似對角化知道： 實對稱矩陣與其相似的對角矩陣既相似又合同 . 但等價矩陣不一定是相似矩

9、陣， 也不一定是 合同矩陣習題 11.寫出下列二次型的矩陣，并求其秩2221) f x1 2x2 3x3 4x1x2 6x2x3 ；f (x1,x2,x3,x4) x12 x22 3x32 4x1x2 6x4x3；364x13) f x1, x2 , x3427x2610x32)2 2 24. 二次型 f (x1, x2,x3 ) 5x1 5x2 cx3 2x1x2 6x1x3 6x2x3 的秩為 2，則 c (A4 ； B3 ； C2 ； D 1 .5.設 A,B均為 n階矩陣，且 A, B合同，則( )A A,B 相似 ；B A B ；Cr(A) r(B)； D. A,B 有相同的特征值6

10、.下列矩陣()與矩陣 A diag( 2, 1 ,5) 合同.2A diag(5, 1, 3) ；B diag(3,3,1) ；C diag( 2,0,1) ；D. diag(7,4, 1).2 二次型的標準形化簡在這一部分中我們將用三種方法證明：任意二次型 f f(x1,x2, ,xn) 都可以經(jīng)過可逆線性變換Cy 化成只含有平方項的形式：f f (x) xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC)y yTDyk1y12 k2 y22kn yn2k1即化成二次型 f 的標準形其中 D為對角矩陣 .kn化二次型為標準形三種方法分別式：對稱變換法，拉格朗日配方法，正交變換法對稱變換法

11、化二次型為標準形設有可逆線性變換 x Cy ,它把二次型 f (x) xT Ax化成標準形f(x) xTAx=(Cy)TA(Cy) yT(CTAC)y yT Dy ，其中 D CT AC為對角矩陣求可逆矩陣 C ，使對稱矩陣 A化成對角矩陣 D CTAC 的過程，稱為 A合同對角化 .P1,P2, ,Ps，使 C P1P2 Ps，于由于 C為可逆矩陣，故 C 可以寫成若干個初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣 是有D CT AC PsT P2T P1T AP1P2 PsC P1P2 Ps EP1P2 Ps由此可以看出，對由A與 E 豎排而寫的 2n n型矩陣E 2n n作相當于右乘矩陣 P1,P2,

12、 , Ps的列初等變換，再對將上面兩式合并起來寫成分塊矩陣的形式，就有PsT0P2T0P1T0ADs21P1P2 Ps0E0E0EECPs0TP20TP10TADs21P1P2 Ps0E0E0EEC對由 A與 E豎排而寫的 2n n型矩陣 AE2左乘矩陣P00E的 ) 行初等變換合起來稱為一次 對稱變換 . 即對稱變換有如下三種：其中 A所在部分作相當于左乘矩陣 P1T , P2T , , PsT的行初等變換， 則矩陣 A所在部分變?yōu)閷蔷仃?D ，而單位矩陣 E所在部分就相應的變?yōu)樗玫目赡婢仃嘋 .作一次相當于右乘初等矩陣 P 的列初等變換和一次相應的 (相當于 nn cicj 及相應的

13、rirj ； kci 及相應的 kri ； ci lc j 及相應的 ri lr j .對稱矩陣 A 合同對角化方法E 2n n進行對稱變換：先作倍列加化 A 所在部分的第一個對角元素為非零，再作一次相應的行初等變換(這使這個非零對角元素變?yōu)?2 倍，而第一行其余元素只要改成與第一列對稱就可以了） ；再利用這個非零對角元素的倍數(shù) 作倍列加化 A 所在部分的第一行對角元素后面的所有元素都為零，每次列初等變換都要作一次相應的行初等變換（這 只要把 A所在部分的對角線下方元素改成與對角線上方元素對稱就可以了）；這樣 A 所在部分的第一個對角元素就變好了；再對 A所在部分的第二個對角元素，進行上述過程

14、，一直到A 所在部分的每一個對角元素都變好了，就把A所在部分化成了對角矩陣 D，則 E所在部分就相應的變?yōu)樗玫目赡婢仃嘋 了.因此上述對稱變換過程中的化對角元素為非零的兩次初等變換可以同時進行，寫成一步 . 每次化 A所在部分的對 角元素后面的所有元素都為零所作的倍列加，和把 A 所在部分的對角線下方元素改成與對角線上方元素對稱所作的相 應的行初等變換也可以同時進行，寫成一步 .11C ，使 CT AC D 為對角矩陣2 2 ，利用對稱變換法求可逆矩陣21解由111100100122c2 c1011010A121c3 c1010c3 c2001E100r2 r1111r3 r2110010r

15、3 r1010011001001001因此，所用可逆矩陣110100C011 ，對角矩陣 D CT AC11例 3 求一個可逆線性變換，將二次型2x1x2 2x1x3 4x2x3 化成標準形解 由于二次型f 所對應的矩陣為011211200200102102c2 12c1012320120120c1 c2120c3 12c103212c3 3c2004100r1 r2100r2 12r111212r3 3r21122010110r3 12r11121211210010010010011A進行合同對角化，即EA利用對稱變換法對1所以 C 10121202C0 ，且 D124,CTACD.令 x

16、Cy ，即x1x2x23y1 1 2y2 2y3 y1 1 2 y2y3 ，y3將該可逆線性變換代入原二次型可得其標準形f xT Ax (Cy)T A(Cy)T T T 2 1 2 2 yT(CTAC)y yTDy 2y12 1 y22 4y32f 所對應的對稱矩陣 A 合2通過以上討論可以看出，對稱變換法化二次型為標準形就相當于利用對稱變換把二次型 同對角化配方法化二次型為標準形拉格朗日配方法的規(guī)則 ： 按平方項的順序配方，即若二次型含有xi 的平方項，則先將所有含有 xi 項集中在一起 , 按下列公式axi2bxia(xib )2 b，其中 a 為系數(shù)，b 中不含有xiii i2a 4ai

17、配成完全平方，再對其余的變量重復上述過程直到所有變量配成平方項為止，經(jīng)過可逆線性變換，就得到標準形 若二次型中不含有平方項，只含有混乘項若aij 0(i j) ，則可以先作一個可逆變換xi yi y jxj yi yj (k 0,1, , n且k i, j)xk yk化二次型 f 為含有平方項的二次型，然后再按中方法配方注意 ：配方法是一種可逆線性變換，其標準形中平方項的系數(shù)只與配方的方法有關(guān)，與A的特征值無關(guān)由于二次型 f 與對稱矩陣 A一一對應， 而任一二次型 f 經(jīng)配方法一定可以標準化， 即存在可逆線性變換 x Cy使得 f f(x) xTAx (Cy)T A(Cy) yT (C T A

18、C ) y為標準形即 k1CT AC Dk2kn為對角矩陣至此，我們已經(jīng)分別用對稱變換法和配方法證明了以下定理：定理 2 對于任一對稱矩陣 A ，存在可逆矩陣 C ，使CTAC D 為對角矩陣， 即任一對稱矩陣都與一個對角矩陣合同 從而二次型 f 可以經(jīng)過可逆線性變換 x Cy變成標準形，即 D CT AC 為對角矩陣亦即 f xTAx (Cy)T A(Cy) yT(CTAC)y yTDyk1y12 k2 y22kn yn2 ；k1注：在該定理中， A的合同對角矩陣 Dk2的對角線元素 k1,k2, ,kn 只與對稱變換法或配方法的過kn程有關(guān)，不一定是 A的 n個特征值例4 設f x12 2

19、x1x2 2x1x3 2x22 4x2x3 x32，試將二次型 f 化成標準形，并寫出所用的可逆線性變換解由2 2 2f x1 2x1x2 2x1x3 2x2 4x2 x3 x32 2 2( x12 (2x2 2x3)x1) 2x22 4x2 x3 x322 2 2 2( x1 x2 x3) (x2 x3) ) 2x2 4x2x3 x322( x1 x2 x3) ( x2 2x2x3)2 2 2 ( x1 x2 x3) ( x2 x3) x3令y1 x1 x2 x3y2x2 x3 ，y3x3即x1 y1 y2x2y2 y3 x3y3則 f 的標準形為 y12 y22 y3 2 此時也為 f 的

20、規(guī)范形所用的可逆線性變換為即y3y32 y2y2 y1 x1x2x3100C011在上例中，由于1f ( x) xT Ax 的對稱矩陣 A 11112 2 ，且將 f 化成標準形所需的可逆線性變換系數(shù)矩陣21100C1 0 11 1 ，則必有 CT AC D 1 011即 A 與對角陣 D 11合同由此可見，要把二次1型 f 化成標準形，關(guān)鍵在于求出一個可逆線性變換系數(shù)矩陣C，使得 CTAC D為對角矩陣例 5 化二次型 f x12 2x1x2 3x22 2x2x3 2x32 為標準形解 方法 由 f ( x12 2x1x2 x22) ( x22 2x2x3 x32) x22 x32(x1 x

21、2)2 (x2 x3)2 x22 x32 由于原二次型為三元二次型， 配方完成后出現(xiàn)了四個平方項， 即平方項的項數(shù)大于二次型的元數(shù)， 這是錯誤的 即 二次型標準化的過程中，標準形中的平方項數(shù)小于等于二次型的元數(shù)怎樣才能避免以上錯誤呢？方法就是按平方項 的變量依次逐個順序完全配方，即遵循拉格朗日配方法的第準則方法f (x12 2x1x2 x22) (2 x22 2x2x3) 2x322 2 1 3 2 (x1 x2)2 2(x22 x2 x3x3)x3242 (x1 x2)2 2(x2 1 x3)2 3 x32 2222y12 2 y2232y3其中，令y1 x1 x21y2x2 3x3 ，y3

22、x3即為所用的可逆線性變換同時可逆線性變換系數(shù)矩陣1 x1 y1 y2 2 y31 x2y2 2 y3x3y3例 6 化 f 2x1x2 2x1x3 6x2x3為標準形，并求所用的可逆線性變換矩陣C其中解 由于 f 中不含有平方項可以令x1 y1 y2 x2y2 y3 ，x3y3x C1 y100C1101101代入 f ，得f 2 x1x2 2x1x3 6x2 x32(y1 y2)(y2 y3) 2(y1 y2)y3 6(y2 y3)y3 222y1 2 y2 4 y1y3 8 y2 y3再配方22f (2 y12 4y1y3) 2y22 8y2 y32 2 22(y1 y3)2 2y32

23、2y22 8y2 y32( y1 y3) 2y2 8y2y3 2y32 2 22(y1 y3)2 2( y2 2y3)2 6y32z1 y1y3令 z2y2 2 y3 ，即z3y3y1 z1z31 0 1y2z2 2 z3 ，亦即 y C2 z ，其中 C2 0 1 2則二次型 f 化成標準形y3z30 0 1f 2z12 2z22 6z32 所用的可逆線性變換矩陣為1C C1C2 01 2 0x Cz ， C 的表達式如上面介紹了利用拉格朗日配方法化二次型為標準形，即所需可逆線性變換為101011131001211101001001此方法與二次型的矩陣A的特征值及特征向量無關(guān)正交變換法化實二

24、次型為標準形正交變換法， 此方法只適用于化實二次型為標準形， 且與實二次型 f 的實對稱矩陣 A 的特征值及特征向量密切相 關(guān)為了介紹 正交變換法，先作一些準備 （P10P19）b b（1）向量的內(nèi)積 定義 3 設有 n 維實列向量aabab1b2na1b1 a2b2anbn aibi ，i1令, a1 a2an稱 , 為向量 與 的內(nèi)積（也稱為 數(shù)量積）顯然，若 與 都為 n 維實行向量，即a1,a2, , an ，b1,b2, ,bn ，則n , a1b1 a2b2anbnaibi .i1 由以上定義可以看出向量內(nèi)積是兩個向量的一種運算，其結(jié)果是一個實數(shù) 內(nèi)積具有以下性質(zhì)： （其中 ， ，

25、 為 n維實向量， k 為實數(shù)） , , ； k , k , ； , , , ； , 0， ,0當且僅當0 ； , , , . （這個不等式稱為 施瓦茨 （Schwarz） 不等式 ） 證明略（2）向量的長度 定義 4 令 ,a12 a22an2ai2稱 為n維實向量 的長度（或范數(shù)、模、模長）其中 a1,a2, ,an為n維實向量 的 n個分量 向量長度具有以下性質(zhì)： 0 ，0 當且僅當 0 ；（非負性） k k （k R ）；（齊次性） ；（三角不等式） 對于 n 維向量 ， 有， , 證明略當 1時，稱 為 單位向量 1對于 Rn 中的任一非零向量 ，有 是一個單位向量，因為111故稱

26、1 為非零向量單位化公式1，即任一非零實向量 都可以利用 1 化為一個單位向量（3）向量的夾角 定義 5 當 0, 0 時，令,( 0)稱 為 n 維非零實向量與 的夾角 例 7 設 3 2 2 1 T ,1 5 1 3 T ，求 與 的夾角 解 由 , 3 2 ， , 6 , 18 ，得, 18 2 arccos arccos arccos 3 2 6 2 4（4）向量的正交性定義 6 若兩實向量 與 的內(nèi)積是零，即 , 0，則稱 與 正交 .顯然，若 0 ，則 與任意實向量都正交 定義 7 若 n 維實向量組 , , , r 都是非零向量且兩兩正交，即i 0 （i 1,2, ,r），且 i

27、 j （i, j 1,2, ,r ），有（ i, j） 0，則稱 , , , r 為正交向量組1001例如， Rn 中的 0，000面討論正交向量組的性質(zhì)個正交向量組定理 3 若 n維向量組 , , , r 為一個正交向量組，則, , , r 線性無關(guān)，即正交向量組一定是線性無關(guān)向量組證 設有 k1,k2, ,kr R使得k1 1 k2 2kr r 0.T用 T 左乘上式兩端，得k1 1T 1 k2 1T 2kr 1T r 0 ，由于 , , , r 為正交向量組，故 0 ， j0 (2 j r) 即有k1 0，即得 k1 0 同理可證 k2 k3kr0 于是, , , r 線性無關(guān)1212，

28、21正交，10例 8 已知 R3 中的兩個向量：試求一個非零向量T 使 , , 為正交向量組2110則A 0 ，即可取齊次線性方程組Ax 0 的一個非零解作為 注 ： R 中任一正交向量組的向量個數(shù)不超過 n ； 若向量組 , , , r 兩兩正交且都為單位向量，則稱這樣的正交向量組為 規(guī)范正交向量組 解 由題意可知： 3 0 ， 3 0 即T 3 0.2T得基礎解系15 2 5 ，1取 3 1 即可定義 8 設V( R ) 是一個向量空間， 若 , , , r 是向量空間的 V 的一個基，且兩兩正交，則稱 , , , r 為向量空間 V 的一個 正交基 若e1,e2, ,er是向量空間 V

29、的一個基，同時滿足 e1,e2, ,er兩兩正交，且都是單位向量，則稱e1,e2, ,er為V 的一個 規(guī)范正交基 (或 標準正交基 )例如， e110030， e21， e30為 R3 的一個規(guī)范正交基001100010推廣， n 維單位向量組 100n，2， ， n為 R 的一個規(guī)范正交基0001若e1,e2, ,er為V的一個規(guī)范正交基，那么 V 中的任一向量 能由e1,e2, ,er惟一線性表示，即存在惟一的1, 2, , r ，使得1e1 2e2r er .則 ( 1, 2, , r ) 為向量 在規(guī)范正交基 e1,e2, ,er 下的坐標，且i eiTei, ， (i 1,2, ,

30、r)因此，在求向量空間的基時，往往求一個規(guī)范正交基(5) 求規(guī)范正交基的方法設 , , , r 是向量空間 V 的一個基，要求 V 的一個規(guī)范正交基，相當于求一組兩兩正交的單位向量e1,e2, ,er ，使它與 , , , r等價我們將這樣的一個問題稱為 線性無關(guān)向量組 , , , r 的規(guī)范正交化 規(guī)范正交化可由以下正交化和單位化兩個步驟完成 . 正交化：令 1 1 ，1, 21, 1 1121， r2 , r r 1 , rr r1，1,1r122,r22rr11,rr1r1，易驗證 1, 2, , r 兩兩正交，且 1, 2, , r與 , , , r 等價上述過程稱為 施密特正交化過程

31、，它可以將任一線性無關(guān)的向量組, , , r 化成與之等價的正交向量組1, 2, , r 單位化： 令e11111 1， e2 12 2， ，則e1,e2, ,er為V 的一個規(guī)范正交基由以上步驟可以看出， 施密特正交化過程可以將 Rn 中的任一線性無關(guān)的向量組, , , r 化為與之等價的1正交組 1, 2, , r ；再利用單位化公式，令 ei1 i （i 1,2, ,r） ，得到與 , , , r 等價的規(guī)范正交向量i組e1,e2, ,er 我們將以上二步稱為正交規(guī)范化過程在這一過程中，必須先正交化，再單位（規(guī)范）化注： Rn 空間中任意 n個線性無關(guān)的向量都可以作為Rn的一個基，且這個

32、基一定可以通過正交規(guī)范化化成與之等價的 Rn 的一個規(guī)范正交基（6）正交矩陣和正交變換 .定義 9 若n階實方陣 A滿足 ATA E ，則稱 A為正交矩陣，簡稱為正交陣 例如由于ATA2222222 22 222 22 22A 22 22 2 2 2 故 A 為正交矩陣正交矩陣有以下重要性質(zhì)： A為正交矩陣 A為n階實方矩陣且 AAT EA為n階實方矩陣且 AT A 1； 若 A 為正交矩陣，則 AT 、 A 1、 A* 、 Ak 、 A 也是正交矩陣； 兩個正交矩陣的乘積仍為正交矩陣； 若 A 為正交矩陣，則 A 1 或 1ATA E ，即等價于定理 4 A為正交矩陣的充分必要條件是 A 的

33、列向量組(行向量組)是 規(guī)范正交向量組 證 將 A按列分塊，設 A ( 1, 2, , n) . A為正交矩陣等價于( 1, 2, , n)T ( 1, 2, , n) E ， 故H 為正交矩陣1T2TnT即( 1, 2， ， n) T1T 1T21T n1T1T 22T 2T n2i i 1,Ti j 0,ii T故 1, 2, , n為 規(guī)范正交向量組 (行向量的情況利用T1T nT2T nT nni 1,2, ,ni j;i, j 1,2, ,nAAT E 可以類似證明)定義 9 設 P為正交矩陣，稱線性變換 y Px 為正交變換 設 y Px 為正交變換，則有 yyTy( Px)T (

34、 Px)xT PT PxxT (PTP)xxTExxTx x這說明正交變換不改變向量的長度，這是正交變換的優(yōu)良特性所在131 ，驗證 P 不是正交矩陣211解 P 的行向量組的第一個向量為 1 1, , ，其長度為 1，故 1不是單位向量因此， P 的行向量 23組不是 單位正交組， 故 P 不是正交矩陣 . 例 10 設 為n維單位列向量，令 H E 2 T ，證明： A為對稱的正交矩陣證 由于H T ( E 2 T )T ET ( 2 T )T E 2 T H ，故H 為對稱矩陣由 為 n 維單位列向量，得T1 ，即 T1. 又T 2 T 2 2 T T 2 HTH H H H 2(E 2

35、 T)2E24 T(2 T)2E 4 T 4( T)2 E 4 T 4( T)( T)E 4 T 4 ( T ) T E 4 T 4 T E綜上知， H 為對稱的正交矩陣(7) 實對稱矩陣的特征性質(zhì)在上一節(jié)我們討論了一般的 n 階方陣 A的相似對角化問題，并得出了一些有效的結(jié)論本節(jié)我們僅對 A為實對稱 矩陣的情況進行討論，實對稱陣具有許多一般矩陣所設有的特殊性質(zhì)定理 5 實對稱矩陣的特征值都為實數(shù)證明 設復數(shù) 為對稱矩陣 A特征值，復向量 x 為對應的特征向量，即：Ax x ， x 0以 表示 的共軛復數(shù)， x 表示 x 的共軛復向量，則Ax A x ( Ax) x xT T T 于是有 x

36、A x x (Ax) x x x x ，及T T T T T T x A x ( x AT ) x ( Ax)T x ( x)T x x x以上兩式相減，得()( x x) 0由假設 x 0 ，所以有T n n 2x xxi xixi0 ，i 1 i1故0 ，即，這說明 為實數(shù)對于實對稱陣 A ，由于其特征值 i( i 1,2, , n )全為實數(shù)，故線性方程組：( i E A) x 0是實系數(shù)齊次線性方程組，由其系數(shù)行列式 i E A 0知它必有實得基礎解系，所以 A的特征向量可以取實向量 定理 6 設 1, 2是實對稱矩陣 A的兩個特征值， p1, p2是對應于的特征向量，若 12，則 p

37、1與 p2正交證明 由題意可知Ap1 p1， Ap p ， ，因 A 為對稱陣，故T T T T T T1p1 ( 1 p1) (Ap1) p1 A p1 A ，于是1p1Tp2(p1TA)p2p1T ( Ap2)p1TATp1T(2p2)2p1T p2，移項有 ( 1 2)p1T p2 0，由 12 ，故 p1 p2 0 ，即 p1 與 p2 正交定理 6 說明實對稱矩陣不同的特征值對應的特征向量不但是線性無關(guān)的，同時也是正交的定理 7 設 A為 n階實對稱陣， 是 A 的特征方程的 r 重特征根，則矩陣 E A的秩 r( E A) n r ，從而對應于特征值 恰有 r 個線性無關(guān)的特征向量

38、定理 6 說明實對稱陣一定可以相似對角化以上準備知識本身也是很重要的 .實對稱矩陣正交相似對角化定理 8 設 A為 n階實對稱陣，則必存在正交陣 P ，使 P 1AP，即 PTAP其中 是以 A的 n個特征值為對角元素的對角陣證 設 A的互不相等的特征值為1, 2, , t ，它們的重數(shù)分別為 n1,n2, , ns重，( n1 n2ns n)由定理 5 和定理 6 知，對應于特征值 i ( i 1,2, ,n )的線性無關(guān)的特征向量共有 ni 個( i 1,2, ,n )，把它們正交化， t再單位化即得 A對應于 i 的ni個單位正交特征向量，由于ni n ，故 A總體而言有 n個特征向量，

39、再由定理 6i1知，這 n個單位特征向量兩兩正交，以它們按列排列夠成的P 為正交矩陣，則 P 1AP PTAP求正交陣 P 使實對稱矩陣 A 正交相似對角化的步驟求出 A的全部互異特征值 1, 2, , t ；對每個特征值 i( i 1,2, ,n)，有 iE Ax 0求出一個基礎解系； 將每組基礎解系(特征向量)正交化，再單位化； 以這些單位正交向量作為列向量構(gòu)成正交陣P ，則 P 1AP PTAP(其中 P 中的列向量的排列順序與矩陣02622210 2 2 10 22 23解得 A 的特征值為c2 2c1c3 2c10 202(5)(2 64)(5)(1)(2)023對22由230220

40、21020142100220010的對角線上的特征值的排列順序相對應) 我們將以上過程稱為 實對稱矩陣的正交相似對角化過程 120例 11設實對稱陣 A2221T，求正交陣 P ，使 P 1AP PT AP為對角矩陣023解由矩陣 A 的特征方程為得 ( E A ) x 0 的基礎解系 1 (2,2,1)T ；1 2 01 2 0r21 0 112 0 2r2 2r1 0 4 2r3 2r2010 2 12 1 0 2 1r1 2r220 0 0當對 2 2 ，由得(2E A)x 0的基礎解系 2 ( 2,1,2)T ；21101100r2r2r31021222100022232420當對 3

41、 5 ，由得(5E A)x 0的基礎解系 3 (1, 2,2)T p1 1p1 1由 1, 2 , 3 互異，知 1令 P ( p1, p2, p3)23233311232 3 ，則 P 為正交陣，且2311T1PT AP P 1AP2235注： P 的列向量的次序要與0例 12 設 A 11EA11 r r 1 1 1 11 1 1 0 c1 c2 0 11 1 2 11220 ( 1)( 22) ( 1)2(2) 0解得 A 的特征值1 2 ， 2 1 (二重根)由 2E A21212 r3 r1 0 013r2 r1 r2110010100得 ( 2E A)x 0 的基礎解系 1，將 1

42、 單位化，p111若令 P (p1, p3, p2)，則對角陣35；22的對角元素的次序相一致：35若令 P (p3,p2, p1) ，則對角陣2211110 1 ，求一個正交陣 P ，使 P 1AP PT AP為對角矩陣10解 由矩陣 A 的特征方程111，3001得 (E A)x 0 的基礎解系 210010100將 2, 3 正交化，令 2 2, 3 3111011202再將 2 , 3 單位化得，令 p22266663最后令 P (p1, p2,p3)即為所求的矩陣使1TP 1AP PT AP21213為對角矩陣由于任一實對稱矩陣 A都可以正交相似對角化，即存在正交矩陣 P使得PT A

43、P P1AP為由 A的特征值為對角元素的對稱矩陣從而任一實對稱矩陣都可以 合同對角化定理 9 任一實二次型 f (x) xT Ax ，總存在正交變換 x Py，使 f xTAx (Py)T A(Py) yT (PT AP) y為標準2 2 2形： f1y122y22nyn2其中 1, 2, , n恰好為實二次型 f 的實對稱矩陣 A的n個特征值通過以上討論可得利用 正交變換法化實二次型為標準形的基本步驟 ： 將實二次型 f 寫成矩陣形式 f (x) xT Ax ，求出實對稱矩陣 A； 求出 A的所有特征值 1, 2, , n ；n 求出 A 的不同特征值對應的線性無關(guān)的特征向量 將特征向量 1

44、, 2, n 正交化，再單位化得： p1, p2, , pn ，記P (p1,p2, , pn)； 作正交變換 x Py ，則T T T T T 2 2 2 f xTAx (Py)T A(Py) yT(PTAP)y yT y1y122y22nyn2例 13 將二次型 f 17x12 14x22 14x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3利用正交變換 x Cy 化成標準形1722解 二次型 f 對應的實對稱矩陣 A21442414 求 A 的特征值17214424 r3 r21417202141822( 18)( 2 27 170 8) ( 18) 2( 9) 02 17 2 24 c2

45、c3 2 14 418 0 0 18得 1 9, 2 3 18 ； 求 A 的特征向量 對 1 9 ，由8(9 E A) 2220050991001002001001210得 (9E A)x 0 的基礎解系為1對 2 3 18 ，由18E A1222002001002424得 (18E A)x 0 的基礎解系為3 正交化單位化由 1與 2, 3 正交，故只需將 2, 3正交化令121 1 11再單位化 . 令132523 51 p1 123，2， p2 215，3， p3 33523035令 P （p1, p2, p3 ） ，即為所求的正交變換矩陣，所求的正交變換為x Py 且在正交變換 x

46、Py下原二次型化成標準形f 9y12 18y22 18y32 習題 31. 求二次型 f （x1,x2） 2x12 2x1x2 2x22 的標準形 .并求得到標準形和規(guī)范形分別所用的可逆線性變換. 【建議用三種不同的方法求其標準形以及所用的可逆線性變換】2. 將下列二次型化為標準形 , 并求所用的可逆線性變換矩陣 .（1） fx122x225x322x1x22x1x36x2x3（2） fx123x225x322x1x24x1x3（3） f 2x1x2 2x2 x33. 求一個正交變換 x Py ，將二次型f 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4 化為標準形 .

47、4. 二次曲面 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4 可經(jīng)正交變換 橢圓柱面方程 2 4 2 4 ，求 a,b 的值與正交陣 P.3 二次型的規(guī)范形化簡在以上的討論過程中我們可以看出：任意二次型都可以標準化 . 雖然標準形的形式并不唯一，但是對于實二次型， 在標準形中，正，負平方項的項數(shù)及 0 項的項數(shù)是唯一確定的，即正平方項的項數(shù)等于 f 對應的對稱矩陣 A的正特征 值的個數(shù)，負平方項的項數(shù)等于A的負特征值的個數(shù)， 0 項的項數(shù)等于 A的特征值為 0 的個數(shù)(其中重根按重數(shù)計算)在此基礎上，如有必要我們可以重新安排變量的次序，使平方項的順序分別為正平方項，負平方項和 0 項則秩

48、為r的二次型 f 的標準形可以化成f d1x12 d2x22dpxp2 d p 1xp 12drxr 2 0 0其中 di 0，i 1,2, ,r ，r r(A)為 f 的秩進而化成f (d1x1)2(d2x2)2(dpxp)2(dp 1xp 1)2(drxr)2，若再作可逆線性變換(這個變換通常稱為 開方變換 )：y1d1 x1y2d2 x2yrdr xryr 1 xr 1ynxn2 2 2 2y1ypyp 1yr即二次型 f 最終可化成以上形式的標準形（此種標準形是一種特殊的 規(guī)范形 ）因此我們有以下定理即 1, 1 系數(shù)的項數(shù)定理 10 任何實二次型都可以通過可逆線性變換化成規(guī)范形且規(guī)范形是由二次型本身唯一確定 及0 項的項數(shù)是唯一確定的） ，與所作的可逆線性變換無關(guān)通常將實二次型 f的規(guī)范形的正項個數(shù) p稱為 f的正慣性指數(shù)，負項個數(shù) r p q稱為負慣性指數(shù)，s p q稱為f 的符號差，p q r正好為 f的秩，也為 f對應的矩陣 A的秩r （ A） 同時也可以看出：二次型 f的正慣性指數(shù)等于 f 對應的矩陣 A的正特征值的個數(shù)，負慣性指數(shù)q r p 為 A的負特征