搞定空間幾何體的外接球復(fù)習(xí)進程

1、1111111o專題 3搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、基本方法：（1）定心：確定球心，構(gòu)造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解（r2 =r 2 +d 2）；該方法是解決外接球問題的主要的通法，但對空間想象能力、作圖能力要求較高；所以熟悉 以下的幾種模型才能準確快速的解決外接球問題。（2）補形：補成長方體，利用長方體對角線求解（4 r2 =a 2 +b 2 +c 2）；有些幾何體比較難確定球心，而幾何體剛好是長方體的一部分，其外接球與長方體的外接球是同一個球，故 可利用長方體模型求解。另外有些不規(guī)則的幾何體還可以選擇建系，設(shè)球心，利用球心到各頂點的距離相等求出球心坐標(biāo)求解。但該方法計算量大

2、，高考一般不會考查。高考中以模型一、二、三、四為主。p類型一：錐體模型（p的射影是dabc的外心即側(cè)棱長相等）第一步：確定球心 o 的位置，取 dabc 的外心 o ，則 p , o , o1 1三點共線；o第二步：先算出小圓 o 的半徑 ao =r1 1，再算出棱錐的高po =h1；ca o1d第三步：勾股定理：oa 2 =o a 2 +o o 2 r 2 =( h -r ) 2 +r 21 1類型二：柱體模型（直棱柱、圓柱），解出r圖5-4b第一步：確定球心 o 的位置，o 是 dabc 的外心，則 oo 平面 abc ；1 11 1第二步：算出小圓 o 的半徑 ao =r ， oo =

3、aa = h ；2 2h2oa 2 =o a 2 +o o 2 r 2 =( ) 2 +r第三步：勾股定理：2h2r r = r 2 +( )，解出2a1o2oa o1圖3-1b1bc1cfe類型三：線面垂直模型（一條直線垂直于一個平面，柱體也可以歸于該模型） 第一步：將 dabc 畫在小圓面上， d 為小圓上任意的一點，；第二步：o1為dabc的外心，所以oo 1平面abc，算出小圓o1的半poo d =r徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得 1a b c 1= = =2 r ）， d =oo = pa；sin a sin b sin c 2r2 =r 2 +d 2第三步：利用勾股定

4、理求三棱錐的外接球半徑：.ab圖51cd圖1-1類型四：長方體模型1.三條棱兩兩垂直，可補形為長方體pppcccbaabcaa bbcaabbc圖1-2方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式( 2 r )2=a2+b2+c2圖1-3，求出 r2.三棱錐（即四面體）中，三組對棱分別相等，亦可補形為長方體 第一步：畫出一個長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a, b, c，ad =bc =x，axdab =cd =y，ac =bd =z，yzxzyccbab第三步：由2 r =a2 +b 2 +c 2=x2+y 22+z2，求出 r .圖2-1類型五：二面角模型（兩

5、個三角形拼在一起，一般為兩等腰三角形或直角三角形） 1.當(dāng)兩等腰三角形由公共底邊折疊時，第一步：先畫出如圖所示的圖形，將 dbcd 畫在小圓上，找出 dbcd 和adabd的外心h1和h2；o第二步：過 h 和 h 分別作其所在平面的垂線，兩垂線的交點即為1 2ah2edh1c球心o，連接oe , oc；b圖6第三步：解doeh1，算出oh1，再由勾股定理：oh2 +ch 2 =oc 2 1 1，求出球的半徑r。2. 當(dāng)兩直角三角形由公共斜邊折疊時，其公共斜邊就是外接球的直徑。 類型六：內(nèi)切球問題1正棱錐的內(nèi)切球.p第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，e , h分別是兩個三角形的外心；第二步：由dpoe相似于dpdh