人力資源調(diào)度的優(yōu)化模型

1、人力資源調(diào)度的優(yōu)化模型摘要本文主要研究人力資源調(diào)度的最優(yōu)化問題。人力資源調(diào)度問題中所要處理的數(shù)據(jù)之間的關系是 比較繁瑣的，所以如何有效地設置決策變量，找出相互關系是我們建立模型的突破口。上述模型屬 于多元函數(shù)的條件極值問題的圍，然而許多實際問題歸結(jié)出的這種形式的優(yōu)化模型，起決策變量個 數(shù) n 和約束條件 m 一般比較大，并且最優(yōu)解往往在可行域的邊界上取到，這樣就不能簡單地用微分 法求解，數(shù)學規(guī)劃是解決這類問題的有效方法。根據(jù)所給的“ PE 公司”技術(shù)人員結(jié)構(gòu)及工資情況表、不同項目和各種人員的收費標準表格，為 了在滿足客戶對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)要求的前提下，使“PE公司”每天的直接收益最大，我們首先

2、對不同項目的不同技術(shù)人員的分配個數(shù)進行假設，從而得到了“ PE 公司”每天總收入 I 和每天總支出 C ，所以每天的直接收益 U I C ，這就是公司每天直接收益的目標函數(shù)。在此基礎上我們建立 了基于 Matlab 軟件上的線性規(guī)劃方法一和基于 Lindo6.0 軟件上的整數(shù)線性規(guī)劃方法二來求解這個 模型。首先我們 Matlab 軟件運行這個函數(shù)，得到求得的值恰好是整數(shù)，滿足題意，在題目的約束條 件下得到的最大公司效益是 27150 元，此時的人員分布如下表所示：項目技術(shù)人員ABCD高級工程師1521工程師6362助理工程師2521技術(shù)員1310因為對題中的數(shù)據(jù)稍做改動時得出的答案就會出現(xiàn)小數(shù)

3、的現(xiàn)象，為了更好的解決該問題，我們 又引入了一個很好地能處理整數(shù)的軟件 Lindo6.0 ，得到了各個有效的數(shù)據(jù)。并在模型擴展中運用已 建立的程序?qū)λ玫慕Y(jié)果進行靈敏度分析，即討論在收費標準不變的情況下技術(shù)人員結(jié)構(gòu)對公司收 益的影響以及在技術(shù)人員結(jié)構(gòu)不變的情況下收費標準對公司收益的影響，并且進一步分析在怎樣的 圍最優(yōu)解保持不變，并聯(lián)系社會實際進行了一定的分析。最后在適當簡化模型的同時，對模型進行 了改進和推廣，預示了高素質(zhì)人才在現(xiàn)代社會中將發(fā)揮著越來越重要的作用。關鍵詞 ：人力資源調(diào)度；決策變量；可行域；靈敏度分析；博弈論. 問題重述：“PE公司”是一家從事電力工程技術(shù)的中美合資公司， 現(xiàn)有

4、41 個專業(yè)技術(shù)人員， 其結(jié)構(gòu)和相應的工資水平分布如表 1 所示。表 1 公司的人員結(jié)構(gòu)及工資情況高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員人數(shù)917105日工資（元）250200170110目前，公司承接有 4個工程項目，其中 2項是現(xiàn)場施工監(jiān)理，分別在 A地和 B地， 主要工作在現(xiàn)場完成；另外 2項是工程設計，分別在 C地和 D地，主要工作在辦公室完 成。由于 4 個項目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不一，因此，各項目的合同對 有關技術(shù)人員的收費標準不同，具體情況如表 2 所示。表 2 不同項目和各種人員的收費標準高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員A1000800600500收費B15008007

5、00600（元/ 天）C1300900700400D1000800700500為了保證工程質(zhì)量，各項目中必須保證專業(yè)人員結(jié)構(gòu)符合客戶的要求，具體情況如 表 3 所示：表 3 ：各項目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求ABCD高級工程師 工程師 助理工程師 技術(shù)員 總計13221 1025223162221 111228 118說明：表中“ 13”表示“大于等于 1，小于等于 3”，其他有“”符號的同理；項目 D，由于技術(shù)要求較高， 人員配備必須是助理工程師以上， 技術(shù)員不能參加； 高級工程師相對稀缺， 而且是質(zhì)量保證的關鍵， 因此，各項目客戶對高級工程師 的配備有不能少于一定數(shù)目的限制。 各項目對其他專

6、業(yè)人員也有不同的限制或要 求；各項目客戶對總?cè)藬?shù)都有限制；由于 C、D兩項目是在辦公室完成，所以每人每天有 50 元的管理費開支。由 于 收 費 是 按 人 工 計 算 的 ， 而 且 4 個 項 目 總 共 同 時 最 多 需 要 的 人 數(shù) 是 10+16+11+18=55，多于公司現(xiàn)有人數(shù) 41。因此需解決的問題是： 如何合理的分配現(xiàn) 有的技術(shù)力量，使公司每天的直接收益最大？并寫出相應的論證報告。二 . 模型假設和符號說明 :1. 模型假設 根據(jù)問題的要求，并為了達到將問題進一步明確抽象的目的，在我們的模型中有如 下的假設：1) PE公司是在同一時間接手 A、B、C、D 四個工程項目。2

7、) PE公司的各種技術(shù)人員分工相當明確，如高級工程師不能兼職工程師的工作。3) PE公司的專業(yè)技術(shù)人員在接手工程期間不存在著請假，缺席的現(xiàn)象。4) 在 PE公司接手這四個工程的間段， 市場物價穩(wěn)定。 各級技術(shù)人員的收費標準分 別在如下的圍：高級工程師的收費最低不低于 800 元，最高不超過 1600 元； 工程師的收費最低不低于 500 元，最高不超過 1200 元； 助理工程師的收費最低不低于 300 元，最高不超過 900 元； 技術(shù)員的收費最低不低于 150 元，最高不超過 600 元。5) 假設 A，B，C， X 是如下四個矩陣： a11, a12 , a13 , a14 , a21

8、, a22 , a 23 , a 24 ,a31 , a32 , a33 , a34 , a41 , a42 , a43 , a44 b11 ,b12 ,b13 ,b14 ,b21 ,b22 , b23 , b24 , b31 , b32 , b33 , b34 ,b41,b42,b43,b44 C c11 ,c12 , c13 , c14 , c21 , c22 ,c23,c24,c31,c32,c33,c34,c41,c42 ,c43, c44 X x11 , x12 , x13 , x14 , x21, x22,x23, x24, x31, x32 ,x33, x34 , x41, x4

9、2, x43, x44T2. 符號說明x11, x12 , x13 , x14 分別代表的是在 A、B、C、D項目中高級工程師的人數(shù)安排x21,x22,x23,x24分別代表的是在 A、B、C、D項目中工程師的人數(shù)安排x31, x32, x33 , x34分別代表的是在 A、B、C、D項目中助理工程師的人數(shù)安排x41,x42,x43,x44分別代表的是在 A、B、C、D項目術(shù)員的人數(shù)安排a11 , a12 , a13 , a14分別代表的是高級工程師在 A、B、C、D項目中的每天收費標準a21,a22,a23 ,a24分別代表的是工程師在 A、B、C、D項目中的每天收費標準a31 , a32

10、, a33 ,a34 分別代表的是助理工程師在 A、B、C、D項目中的每天收費標準a41,a42,a43 ,a44分別代表的是技術(shù)員在 A、B、C、D項目中的每天收費標準b11 , b12 ,b13 ,b14 分別代表的是 PE公司為 A、B、C、D項目中的高級工程師每天所支付 的費用b21,b22,b23,b24分別代表的是 PE公司在 A、B、C、D項目中的工程師每天所支付的 費用 b31,b32,b33,b34分別代表的是 PE公司為 A、B、C、D項目中的助理工程師每天所支付 的費用b41,b42,b43,b44 分別代表的是 PE公司為 A、B、C、D項目中的技術(shù)員每天所支付的費 用

11、注： PE 公司支出費用包括技術(shù)人員的工資和 C、D項目中每個人員每天的 50 元管 理費。三. 模型的建立：模型：基于 Matlab 的線性規(guī)劃方法根據(jù)題意以及上面的符號說明可以得到下列 A， B， C的值A=1000 1500 1300 1000 800 800 900 800 600 700 700 700 500 600 400 500B=250 250 300 300 200 200 250 250 170 170 220 220 110 110 160 160C=AB=750 1250 1000 700 600 600 650 550 430 530 480 480 390 490

12、 240 340 于是得到目標函數(shù)：4MaxZ CX(aij bij ) xiji,j 1s.t.x11x12x13x149x21x22x23x2417x31x32x33x3410x41x42x43x445x11x21x31x4110x12x22x32x4216x13x23x33x4311x14x24x34x4418x113x125x132x142x24812x11 , x14 , x34 , x41 , x 43x12 , x13 , x 21, x 22 , x 23 , x24 , x31 , x32 , x 33x42 x44我們首先來觀察表 1 和表 3，因為 A、B、C、D四個工程

13、需要的技術(shù)員最低限分別是 1、3、1、0，而 PE公司的技術(shù)員恰好只有 5 人，所以關于技術(shù)員的調(diào)度就已經(jīng)確定， A工程 1人，B程 3人，工程 1人，工程 0人。即： x41 1,x42 3,x43 1,x44 0。又有 C工程中高級工程師的數(shù)量已定， x13 2 ，因此其實只有 11 個決策變量在影響最終公司 效益。用 Matlab 6.5 軟件中的函數(shù) x,fval=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)解 , 具體程序看附錄 1：得出數(shù)據(jù) X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMax Z=CX=27150通過對高級工程師的人數(shù)變化時

14、( 其他因素全都不變 ), 分析其對最大公司效益的影 響, 分別取高級工程師的人數(shù)是 9,10,11,12 的情況 :得出結(jié)果如下表所示高級工程師人數(shù)x11x12x13x14.91.00005.00002.00001.0000101.70205.00002.00001.2980112.56485.00002.00001.4352123.00005.00002.00002.0000x21x22x23x24,96.00003.00006.00002.0000105.29803.10866.00002.5933114.43523.85066.00002.7143124.00004.01876.000

15、02.9813高級工程師人數(shù)x31x32x33x3492.00005.00002.00001.0000102.00004.89142.00001.1086112.00004.14942.00001.8506122.00003.98132.00002.0187高級工程師人數(shù)x41x42x43x4491.00003.00001.00000.0000101.00003.00001.00000.0000111.00003.00001.00000.0000121.00003.00001.00000.0000上述表格缺陷在于人員分配個數(shù)出現(xiàn)了小數(shù) , 這跟實際問題相違背。 分析其原因主要 在于：我們用這個

16、 Matlab6.5 軟件做出來的就是基于用單純形法引入松弛變量而得出來 的。因為松弛問題是作為一個線形規(guī)劃問題，其可行解的集合是一個凸集，任意兩個可 行解的凸集組合仍為可行解。由于整數(shù)規(guī)劃問題的可行解一定也是松弛問題的可行解 (反之則不一定)，所以前者最優(yōu)解的目標函數(shù)值不會優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標函數(shù)值。在一般情況下，松弛問題的最優(yōu)解不會剛好滿足變量的整數(shù)約束條件，因而不是整 數(shù)規(guī)劃的可 行解，自然就 不是整 數(shù)規(guī)劃的最優(yōu) 解。我們用 Matlab 6.5 中函數(shù) x,fval=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 求解出來的當高級工程師人數(shù)變化時出現(xiàn) 了小數(shù)現(xiàn)象，就是上

17、述所述的問題。此時，若對松弛問題的這個最優(yōu)解中不符合整數(shù)要 求的分量簡單的取整，所得到的解不一定是整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解，甚至也不一定是整 數(shù)規(guī)劃問題的可行解?；谶@個問題我們引入了解這個模型的第二種方法。 模型 :基于 LinDo6.0 的整數(shù)規(guī)劃方法：對于該問題我們有同于 4.1 的目標函數(shù)及約束條件 , 即MaxZCXi, j(aij1bijs.t.x11x12x13x149x21x22x23x2417x31x32x33x3410x41x42x43x445x11x21x31x4110x12x22x32x4216x13x23x33x4311x14x24x34x4418x113x125x132

18、x142x24841x11 , x14 , x34 , x41 , x43x12 , x13 , x 21 , x22 , x23 , x24 , x31 , x32 , x33) xijx42x44用 Lindo6.0 求解問題 , 程序具體見附錄 2:得出數(shù)據(jù) X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0 TMaxZ=CX=27150 結(jié)果跟方法一的相同，從而也驗證了結(jié)果的正確性。 下面著重通過人數(shù)變化（其他因素都不變）對公司最大效益的影響進行分析，得出下列 數(shù)據(jù)：高級工程師人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值 （單位為 元）9412715010422785011432855

19、0124429250134529250工程師人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值 （ 單位為 元）174127150184227700194328250204428800214529350224629900234730450244831000254931550265032100275132150285232150助理工程師的人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值 （ 單位為 元）1041271501142276301243281101344285901445290701546295501647300301748305101849309901950314702051319502152324302253329102

20、35433390245533870技術(shù)員人數(shù)的變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值 （ 單位為 元）5412715064227590743280308442847094528910104629250114729590124829930134930270145030410155130410四. 模型分析：主要采用靈敏度分析法 :上面表格中除了告訴我們問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值以外， 還能挖掘出許多隱含著的有用 信息：1. （在允許圍）每增加一個高級工程師使得公司效益增加 700 元，如高級工程師的人 數(shù)從 9 個增加到 10個公司效益就增大了 700 元。增加一個工程師使得公司效益增加 550 元，增加一個助理工

21、程師使得公司效益增加 480 元，增加一個技術(shù)員使得公司效益增加 440 元，上面公司效益的增加可以看作人數(shù)的潛在價值稱為 “影子價格”，即高級工程師 的影子價格是 700 元，工程師的影子價格是 550 元，助理工程師的影子價格是 480 元， 技術(shù)員的影子價格是 440 元。2. 當目標函數(shù)的系數(shù)發(fā)生變化時（假定約束條件不變） ，最優(yōu)解會改變嗎？帶著這個問 題，我們又用 Lindo6.0 軟件進行了單個系數(shù)變化的處理 . 即在最初的最優(yōu)解不變的情況 下，求出各系數(shù)允許的變化圍 （以其他系數(shù)不變作為前提， 求出一個目標系數(shù)變化的圍） 。 D公司不需要技術(shù)員， C 公司對高級工程師的人數(shù)是常數(shù)

22、 2，所以他們不會對最終公司效 益產(chǎn)生影響，這里就只分析其他的自變量前的系數(shù)的變化。列出表格如下：此變 量前 的系 數(shù)X11X12X13X14X21X22X23X24允許 的變 化圍0-1249751- +0- +0-1249551- +551-650551- +0-599公司 效益 變化 幅度15216362此變量X31X32X33X34X41X42X43前的系 數(shù)允許的 變化圍0-529480- +0-5800-5300- +0- +0- +公司效 益變化 幅度2521131說明：表格的第一行表示列出的各變量 xij 前系數(shù)（表格中就用變量代替表示） 。 第二行表示在最優(yōu)解不變的情況下其系

23、數(shù)的變化圍。如 0-1249 是指其前面的系數(shù)從 0 變化到 1249 元，最優(yōu)解都是不會變化的。第三行表示當變量前面的系數(shù)在這個圍變化時，雖然最優(yōu)解不發(fā)生變化，但是最優(yōu) 值將發(fā)生變化，目標系數(shù)變化一個單位時，最優(yōu)值以表格中列的數(shù)值為幅度變化。而還 可以發(fā)現(xiàn)這個幅度就是得出的最優(yōu)解里的相應項目中具體人員分布的人數(shù)， 我們得出的 最優(yōu)解是 X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1 。由上述表格還可以畫出最大公司效益 與目標系數(shù)的關系圖，這里只列舉 x11，x12,x 13，x22 前面目標系數(shù)變化時，最大公司效 益和目標系數(shù)的變化關系。同理其他的都可以歸結(jié)為這四類中的一類。

24、如下圖：紅線表 示的就是上面表格中列的最優(yōu)解保持不變時，系數(shù)變動對最優(yōu)值的影響區(qū)域。對上面圖形說明： 各個圖中的黑點 （即折線的交點） 表示最優(yōu)解發(fā)生變化的臨界點。 用這個分析結(jié)果很容易看到， 若某一個工程項目只增加其中一種技術(shù)人員的收費標 準時（該工程中其他技術(shù)人員的收費標準和其它項目中人員的收費標準，人數(shù)需求均保 持不變），可以使公司的最大效益增加，但是人力資源調(diào)度不變。這樣公司可以根據(jù)這 個標準跟對方商談價格， 在一定的人數(shù)圍， 公司的領導階層可以盡可能地提高收費標準， 為公司獲得最大的效益； 同時對需求方來說他則要出低一點的收費標準來得到項目需求 的人數(shù)，這樣需求方可以使支出大大減小。

25、這個盡可能低的工資從理論上來說有的甚至 可以達到零值，但是這是不符合實際情況的。主要原因是我們算出來的是理論值，從理 論上來說是可以的。我們不能說只根據(jù)理論而去采取使高級工程師的工資為250 元（固定工資），而技術(shù)員的工資還是 500 元這樣的收費標準，即使是人員分配還是符合項目 的要求。這就要求公司和需求方共同商議來達到一個較好的值，所以模型要跟實際聯(lián)系 起來才能得到更好的實際意義。3. 對上面的第 1點的人員分配做進一步的分析：（1）. 對于高級工程師來說，隨著高級工程師單位人數(shù)的增加，最大公司效益以 700 元的幅度遞增。但是當人數(shù)增加到 12 人時，最大公司效益卻不再增加。此時在達到這

26、 個最大公司效益的上限值時， 對應著一個總?cè)藬?shù)是 4（4 55）。為什么會出現(xiàn)這個現(xiàn)象呢？ 按照正常的想法應該是高級工程師越多越好。但在此題中對此很好解釋，因為高級工程 師的人數(shù)都有一個上限， 即他不能像我們想象的那樣可以無限增加直到 55。又由于實際 中高級工程師相對稀缺，而且是質(zhì)量保證的關鍵。因此各個項目客戶對高級工程師的配 備有不能少于一定數(shù)目的限制是需要的。（2）. 對于工程師來說，同樣隨著工程師單位人數(shù)的增加，最大公司效益以 550 元的 幅度遞增。當人數(shù)達到 27人時，最大公司效益也不再增加，而是保持在 27150 元這個 值不變。此時的總?cè)藬?shù)是 51（55），又出現(xiàn)了這樣的現(xiàn)象。

27、顯然這里并不是純粹的如上 面的原因，仔細觀察上面的數(shù)據(jù)圖可以看到此時 A、B、C三個項目都已經(jīng)達到了最大的 約束項限制，而在 D地卻沒有達到，從這里就可以得出主要原因是在 D 地，同樣的在 D 地對工程師的人數(shù)需 28，又是上面提到的存在上限的問題。（3）. 對于助理工程師來說，隨著助理工程師單位人數(shù)的增加，最大公司效益以小一 點的值 480 元的幅度遞增。當人數(shù)達到 24 人時，已經(jīng)達到了使最大公司效益不變的值， 此時最大值 33870元，此時總?cè)藬?shù)剛好達到題目限制的最大值 55 人，得到了較好的人 數(shù)分配，使得每個工程項目都能有足夠的人力資源來進行工作。（4）. 對于技術(shù)員來說， 相對于技

28、術(shù)員單位人數(shù)的增加， 最大公司效益也是以幅度 440 元來遞增。雖然技術(shù)員并沒有像上面所說有上限的限制，但是在最大公司效益不再改變 時，技術(shù)員有 14 人，此時總?cè)藬?shù)是 50 人，并不能達到 55 人。此時最大公司效益已經(jīng) 達到了 30410 元。這里雖然沒有像上面所說的上限約束的限制，可是人數(shù)還是不能達到 最大分配。這里還是要從題目表格里仔細觀察發(fā)現(xiàn)： D 地由于技術(shù)要求較高，技術(shù)員不 能參加。這里就給了人數(shù)一個很大的限制，所以技術(shù)員在是A，B，C三地達到最大滿足后不能再增加了。這個分析結(jié)果對實際應用很有價值。像這里 A，B，C，D四個項目共需要 55 個人， 當公司有足夠的人員來分配給他們

29、時，如果它不加考慮的就分配這樣會出現(xiàn)人員浪費。 比如就拿技術(shù)員來說，他達到 14 人時公司效益不再增加。公司如果分配了 18人給需求 方，這樣這四個技術(shù)員就好似沒有得到任何利潤，就存在著這種浪費現(xiàn)象。實際中公司 接手的項目往往有很多個，這里人員分配就顯得更加重要，否則很可能會出現(xiàn)分配了這 里而在那里得不到滿足。可見考慮這個問題是非常必須的。用這個模型可以很方便的解 決這些問題。五. 模型的改進與推廣：（1）以上的模型還沒有講到各級技術(shù)人員分別對公司效益的產(chǎn)生影響。實際情況 中，不同級別的技術(shù)人員對公司的效益都是不同的，下面我們就以問題為代表來討論高 級工程師、工程師、助理工程師、 技術(shù)員在整體

30、上和人均上每天為公司所創(chuàng)的效益。 （注： 在這里我們假設在 C、D 兩個項目中每人每天不需要 50 元的管理開支費。）那么，在整 體上：9 個高級工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為：1000 1 1500 5 1300 2 1000 1 250 9 9850（元）17 個工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為：800 6 800 3 900 6 800 2 200 17 10800（元）10 個助理工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為：600 2 700 5 700 2 700 1 170 10 510（0 元）5 個技術(shù)員每天為公司所創(chuàng)的純收入為：500 1 600 3 400 1 500 0 110 5 2

31、150（元）各級技術(shù)人員整體上每天為公司所創(chuàng)的純收入（表1）在人均上：每個高級工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入： 9850 9 1094.（4 元） 每個工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入： 10800 17 635.（3 元） 每個助理工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入： 5100 10 51（0 元） 每個技術(shù)員每天為公司所創(chuàng)的純收入： 2150 5 430（元）各級技術(shù)人員人均上每天為公司所創(chuàng)的純收入（表 2）從上面表 1 中可以看出高級工程師和工程師在公司中所起的作用是舉足輕重的，由 此可見一個公司若沒有高技術(shù)人員的加盟，它的效益就不會高，在激烈的競爭中就很難 立足，有可能就會面臨破產(chǎn)的悲劇。從表 2

32、 中可以看出高級工程師每天人均為公司所創(chuàng)的純收入是十分可觀的， 正因為如此 現(xiàn)在無論各個行業(yè)各個部門都希望高素質(zhì)人才加盟自己的隊伍， 而國際上也把科學技術(shù) 作為衡量一個國家綜合國力的重要標志，這也印證了“科學技術(shù)是生產(chǎn)力”的道理，符 合當今社會現(xiàn)實潮流。六 . 模型評價 ：模型的優(yōu)點如下：1）模型的主體采取 L 軟件處理數(shù)據(jù)和對其進行靈敏度分析，準確性高，容量大，邏輯 性嚴格，計算速度快，具有較強的說服力和適應能力。2）動態(tài)的分析了各種人員人數(shù)變化對公司效益的影響和各種人員收費標準變化對公司 效益的影響。3）從單純的問題分析中，預見到了現(xiàn)今社會對高技術(shù)人才的需求程度。 模型的缺點如下：1） 我們在靈敏度分析中，對模型中最優(yōu)值的影響因素只是從單個方面的變化考慮。不是十分的全面參考文獻1. 胡運權(quán)，郭耀煌 . 運籌學教程 . 清華大學 . 19982. 啟源 , 金星, 葉