【最新】高中數(shù)學(xué)-知識(shí)講解_三角函數(shù)的概念

1、三角函數(shù)的概念編稿：李霞 審稿：孫永釗【考綱要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.2.會(huì)表示終邊相同的角；會(huì)象限角的表示方法.3.理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，熟練掌握三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值.4.熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式并能運(yùn)用他們解決有關(guān)問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】三角函數(shù)的概念角的概念的推廣、弧度制正弦、余弦的誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式任意角的三角函數(shù)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、角的概念與推廣1任意角的概念：正角、負(fù)角、零角2象限角與軸線角：與終邊相同的角的集合：第一象限角的集合：第二象限角的集合：第三象限角的集合：第

2、四象限角的集合：終邊在軸上的角的集合：終邊在軸上的角的集合： 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合： 要點(diǎn)詮釋： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表現(xiàn)形式不是唯一的，終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，還要注意區(qū)間角與象限角及軸線角的區(qū)別與聯(lián)系.考點(diǎn)二、弧度制1弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式：弧長(zhǎng)，扇形面積（其中是圓的半徑，是弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)）.2角度制與弧度制的換算：；要點(diǎn)詮釋：要熟悉弧度制與角度制的互化以及在弧度制下的有關(guān)公式.考點(diǎn)三、任意角的三角函數(shù)1. 定義：在角上的終邊上任取一點(diǎn)，記 則, , ，.2. 三角函數(shù)線：如圖，單位圓中的有向線段，分別叫做的正弦線，余弦線，正切線.3. 三角

3、函數(shù)的定義域：，的定義域是；，的定義域是；，的定義域是.4. 三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)：要點(diǎn)詮釋：三角函數(shù)的定義是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，正確理解了三角函數(shù)的定義，則三角函數(shù)的定義域、三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)以及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系便可以得到牢固掌握利用定義求三角函數(shù)值時(shí)，也可以自覺(jué)地根據(jù)角的終邊所在象限進(jìn)行分情況討論.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，是處理有關(guān)三角問(wèn)題的重要工具，它能把某些繁雜的三角問(wèn)題形象直觀地表達(dá)出來(lái)有關(guān)三角函數(shù)值的大小比較問(wèn)題、簡(jiǎn)單三角不等式及簡(jiǎn)單三角方程的解集的確定等問(wèn)題的解決常結(jié)合使用三角函數(shù)線，這是數(shù)形結(jié)合思想在三角中的具體運(yùn)用.考點(diǎn)四、同角三角函數(shù)間的基

4、本關(guān)系式1. 平方關(guān)系：.2. 商數(shù)關(guān)系：.3. 倒數(shù)關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要用于：（1）已知某一角的三角函數(shù)，求其它各三角函數(shù)值；（2）證明三角恒等式；（3）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.三角變換中要注意“1”的妙用，解決某些問(wèn)題若用“1”代換，如，則可以事半功倍；同時(shí)三角變換中還要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的運(yùn)用.考點(diǎn)五、誘導(dǎo)公式1.的三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值所在象限的符號(hào).2. ，的三角函數(shù)值等于的互余函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值所在象限的符號(hào).要點(diǎn)詮釋：誘導(dǎo)公式其作用主要是將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，本節(jié)公式較多，

5、要正確理解和記憶，誘導(dǎo)公式可以用“奇變偶不變，符號(hào)看象限（奇、偶指的是的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍）”這個(gè)口訣進(jìn)行記憶.【典型例題】類型一、角的相關(guān)概念例1.已知是第三象限角,求角的終邊所處的位置.【答案】是第二或第四象限角【解析】方法一：是第三象限角，即，, 當(dāng)時(shí)，, 是第二象限角，當(dāng)時(shí)，, 是第四象限角，是第二或第四象限角.方法二：由圖知: 的終邊落在二，四象限.【總結(jié)升華】（1）要熟練掌握象限角的表示方法本題容易誤認(rèn)為是第二象限角，其錯(cuò)誤原因?yàn)檎J(rèn)為第三象限角的范圍是解決本題的關(guān)鍵就是為了湊出的整數(shù)倍，需要對(duì)整數(shù)進(jìn)行分類（2）確定“分角”所在象限的方法：若是第k (1、2、3、4)象限的角，利用單位圓

6、判斷，()是第幾象限角的方法：把單位圓上每個(gè)象限的圓弧n等份，并從x正半軸開(kāi)始，沿逆時(shí)針?lè)较蛞来卧诿總€(gè)區(qū)域標(biāo)上1、2、3、4，再循環(huán)，直到填滿為止，則有標(biāo)號(hào)k的區(qū)域就是角 ()終邊所在的范圍。如：k=3，如下圖中標(biāo)有號(hào)碼3的區(qū)域就是終邊所在位置yx12341234舉一反三：【變式1】已知是第二象限角,求角的終邊所處的位置.【答案】是第一或第二或第四象限角【解析】方法一：是第二象限角，即，, 當(dāng)時(shí)，, 是第一象限角，當(dāng)時(shí)，, 是第二象限角，當(dāng)時(shí)，, 是第四象限角，是第一或第二或第四象限角.方法二：k=2，如下圖中標(biāo)有號(hào)碼2的區(qū)域就是終邊所在位置由圖知：的終邊落在一，二，四象限.【高清課堂：三角函

7、數(shù)的概念xxxxxx 例2】【變式2】已知弧長(zhǎng)50cm的弧所對(duì)圓心角為200度，求這條弧所在的圓的半徑（精確到1cm）.【答案】29cm.類型二、任意角的三角函數(shù)例2. 若，則角在 象限.【答案】第一或第三【解析】方法一：由知（1）或（2）由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，所以在第一或第三象限.方法二：由有，所以,即當(dāng)時(shí)，為第一象限，當(dāng)時(shí)，為第三象限故為第一或第三象限.方法三：分別令，代入，只有、滿足條件，所以為第一或第三象限.【總結(jié)升華】角的象限和角的三角函數(shù)值符號(hào)可以相互判定，方法三只能用于選擇題或填空題.舉一反三：【變式1】確定的符號(hào).【答案】原式小于零【解析】因?yàn)榉謩e是第三、

8、第四、第一象限的角，所以，所以原式小于零.【變式2】已知，則是第 象限角.【答案】二【解析】，則是第二象限角.【高清課堂：三角函數(shù)的概念xxxxxx 例4】【變式3】求的值.【答案】當(dāng)為第一象限角時(shí)，值為3；當(dāng)為第二、三、四象限角時(shí)，值為-1.例3.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊為射線，則的值是（ ） 【答案】【解析】在角的終邊上任取一點(diǎn)，則有，則原式，故選.舉一反三： 【變式】已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，求、的值【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，.類型三、誘導(dǎo)公式例4.已知，求的值.【答案】【解析】.舉一反三：【變式1】計(jì)算：【答案】【解析】原式.【變式2】化簡(jiǎn).【答案】【解析】原式.類型四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例5已知，且求、的值；【答案】；【解析】方法一：由可得：，即，、是方程的兩根，或， ，方法二：由可得：，即，