判別式二次方程根的檢測(cè)器

1、第二講 判別式次方程根的檢測(cè)器為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使 用驗(yàn)鈔機(jī)，類(lèi)似地，在解一元二次方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)，最好能知道根的特性：如是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù) 根，根的符號(hào)特點(diǎn)等我們形象地說(shuō)，判別式是一元二次方程根的“檢測(cè)器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng) 用：利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性； 運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍； 通過(guò)判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題； 借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題【例題求解 】【例 1】 已知關(guān)于 x的一元二次方程 (1 2k)x2

2、2 k 1x 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么 k 的取值范圍是 ( 廣西中考題 )思路點(diǎn)撥 利用判別式建立關(guān)于 k的不等式組，注意 1 2k、 k 1的隱含制約注：運(yùn)用判別式解題，需要注意的是：(1) 解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不為 0 的隱含制約；(2) 在解涉及多個(gè)二次方程的問(wèn)題時(shí)，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下，綜合運(yùn)用方程、 不等式的知識(shí)【例 2】已知三個(gè)關(guān)于 y 的方程：y2y a0，(a1)y22y 10 和(a2)y22y 1 0 ，若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( )11A a 2B a 或1 x 2C a 1 D a 144(山

3、東省競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥 “至少有兩個(gè)方程有實(shí)根”有多種情形，從分類(lèi)討論人手，解關(guān)于a 的不等式組，綜合判斷選擇例 3】 已知關(guān)于 x 的方程 x2 (k 2)x 2k 0 ，(1) 求證：無(wú)論 k 取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2) 若等腰三角形 ABC 的一邊長(zhǎng) a 1，另兩邊長(zhǎng) b、c 恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求 ABC 的周長(zhǎng)(湖北省荊門(mén)市中考題 )思路點(diǎn)撥 對(duì)于(1)只需證明 0；對(duì)于(2)由于未指明底與腰， 須分 b c或b 、c中有一個(gè)與 c相等兩種情 況討論，運(yùn)用判別式、根的定義求出b、 c 的值注：( 1)涉及等腰三角形的考題，需要分類(lèi)求解，這是命題設(shè)計(jì)的一個(gè)熱點(diǎn)，但不一定每個(gè)

4、這類(lèi)題均有多 解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍( 2)運(yùn)用根的判別式討論方程根的個(gè)數(shù)為人所熟悉，而組合多個(gè)判別式討論方程多個(gè)根(三個(gè)以上 )是近年中考，競(jìng)賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類(lèi)問(wèn)題常用到換元、分類(lèi)討論等思想方法例 4】 設(shè) 方程x2 ax 4 ， 只 有 3 個(gè) 不 相 等 的 實(shí) 數(shù) 根 ， 求 a 的 值 和 相 應(yīng) 的 3 個(gè)根 (重慶市競(jìng)賽題 )思路點(diǎn)撥 去掉絕對(duì)值符號(hào)，原方程可化為兩個(gè)一元二次方程原方程只有 3 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則其中 一個(gè)判別式大于零，另一個(gè)判別式等于零【例 5】已知：如圖，矩形 ABCD 中，AD a ，DCb，在 AB 上 使 E 點(diǎn)與 C、D

5、的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似，設(shè)AE x，找一點(diǎn) E， 問(wèn)：這樣的這樣的點(diǎn) E 有幾個(gè) ?請(qǐng)說(shuō)明理由(云南省中考題 )點(diǎn) E 是否存在 ?若存在，思路點(diǎn)撥 要使 RtADE、RtBEC、RtECD 彼此相似，點(diǎn) E 必須滿足 AED+BEC90，為此， 可設(shè)在 AE 上存在滿足條件的點(diǎn) E 使得 Rt ADE RtBEC，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)判別式 討論點(diǎn) E 的存在與否及存在的個(gè)數(shù)注：有些與一元二次方程表面無(wú)關(guān)的問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平道路，常見(jiàn)的構(gòu)造方法有：(1)利用根的定義構(gòu)造；(2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造；(3) 確定主元構(gòu)造學(xué)力訓(xùn)練1已知 a 4 b 1

6、 0，若方程 kx2 ax b 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 k= 2若關(guān)于 x的方程 x2 2 kx 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k 的取值范圍是(遼寧省中考題 )3已知關(guān)于 x 方程 x2 2k 4x k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn) k 2 k2 4k 44若關(guān)于 x 的一元二次方程 (m 2)2x2 (2m 1)x 1 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 m的取值范圍是 (AB m 34Cm 43且m 2 Dm 34且 m 2(山西省中考題 )5已知一直角三角形的三邊為a 、b、 c， B90，那么關(guān)于 x的方程 a(x2 1) 2cx b(x2 1) 0的根的情況為 ( )B 沒(méi)有實(shí)數(shù)根D

7、無(wú)法確定A 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(河南省中考題 )226如果關(guān)于 x 的方程 (m 2)x2 2(m 1)x m 0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程mx2 (m 2)x (4 m) 0 的根的情況是 ( )A 沒(méi)有實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根(2003 年河南省中考題 )7在等腰三角形 ABC 中， A、 B、 C的對(duì)邊分別為 a、b、c，已知 a 3，b和c是關(guān)于 x的21方程 x2 mx 2 m 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 ABC 的周長(zhǎng)2(濟(jì)南市中考題 )28已知關(guān)于 x 的方程 x 2 2(2 m)x 3 6m 0(1)求證：無(wú)論 m 取什么

8、實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根； (2)如果方程的兩實(shí)根分別為 x1、 x2，滿足 x1 =3 x2 ，求實(shí)數(shù) m的值(鹽城市中考題 )9 a 、 b為實(shí)數(shù)，關(guān)于 x 的方程 x2 ax b 2 有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根(1) 求證： a2 4b 8 0 ；(2) 若該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一個(gè)內(nèi)角是60；(3) 若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求 a和 b 的值( 江蘇省蘇州市中考題 )10關(guān)于的兩個(gè)方程 x2 4mx 2m 3 0， x2 (2m 1)x m2 0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則 m的取值范圍是 (2002 年四川省競(jìng)賽題 )11當(dāng) a=

9、， b= 時(shí)，方程 x2 2(1 a)x (3a2 4ab 4b2 2) 0有實(shí)數(shù)根(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )12若方程 x2 5x a 有且只有相異二實(shí)根，則 a 的取值范圍是13如果關(guān)于 x的方程 mx2 2(m 2)x m 5 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于 x 的方程 (m 5)x2 2(m 2)x m 0的 實(shí)根的個(gè)數(shù) ( )A 2B1C0 D 不能確定14已知一元二次方程 x2 bx c 0，且 b、c可在 1、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實(shí)數(shù)根的方 程共有 ( )A12 個(gè)B10 個(gè) C 7 個(gè) D5 個(gè)(河南省中考題 )15已知 ABC 的三邊長(zhǎng)為 a、b、c，且滿足方程 a

10、x2 (c2 a2 b2)x b2 0 ，則方程根的情況是 ( ) A 有兩相等實(shí)根B有兩相異實(shí)根C無(wú)實(shí)根D不能確定(河北省競(jìng)賽題 )16若 a、b、c、 d0，1 x22c dx ab 02根證明 ：在方 程 1x22a bx cd 0 ； 1x2 2b cx ad 0 ；2212 x2 2d ax bc 0 中 ， 至 少 有 兩 個(gè) 方 程 有 兩 個(gè) 不 相 等 的 實(shí) 數(shù)(湖北省黃岡市競(jìng)賽題 )317已知三個(gè)實(shí)數(shù) a、b、c 滿足 a b c 0 ， abc 1，求證： a、b、c 中至少有一個(gè)大于 218關(guān)于 x 的方程 kx2 (k 1)x 1 0 有有理根，求整數(shù)是的值(山東省

11、競(jìng)賽題 )19考慮方程 (x2 10x a)2 b (1)若 a =24，求一個(gè)實(shí)數(shù) b ，使得恰有 3個(gè)不同的實(shí)數(shù) x滿足式(2)若a 25，是否存在實(shí)數(shù) b ，使得恰有 3個(gè)不同的實(shí)數(shù) x滿足式 ?說(shuō)明你的結(jié)論(國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題 )20如圖，已知邊長(zhǎng)為 a 的正方形 ABCD 內(nèi)接于邊長(zhǎng)為 b 的正方形參考答案判別式二次方程的糧的檢測(cè)器【例麵求解】例I 由0且】一祕(mì)得一瘟*0.40*山 卅I些也時(shí)4 c扌馬，故a 不能為慨.制4 方程導(dǎo)價(jià)于如下兩個(gè)方程*4一4-0F+d+4=0兩方程無(wú)相同妁報(bào).由于原方思R有3牛不相等的實(shí)極.故必脊且只有衣程或冇質(zhì)報(bào)，“+16鼻(,心=/一“ 沁ti

12、l于心4； 故只可能處應(yīng)壊符廳秤根為一2+-22#2,22ftj 5 由-生=L * 鴨理，得 F虹十=0*心=6： 4a： 仿+2口)厲 24) j a1) *-0.即& 2a0-即仃如時(shí)A0.方程冇購(gòu)個(gè)不棚等實(shí)觀山“ 生2爭(zhēng)土都韓合題意.即岸在兩牛點(diǎn)腳足希件.【學(xué)力訓(xùn)練】1. -42.居 303. 44, C S. A . C 7, A ABC?的周長(zhǎng)為普或了&加0 或 -49. (1)原方程即為,+ar十6二士2、二疋一 +84=小一 458因?yàn)樵匠逃腥齻€(gè)不尊的實(shí)數(shù)根所以b .4中必有 個(gè)大于0另一個(gè)等于0,顯然即一4680(2)設(shè)方程才十心十6=2的根為廠、比方程x2+ar + 6-

13、2的根為珀則町+曲+血=180又二+孔=一幺才,= a 12060 邁專亠則(號(hào))./ a 4 2+ ( 2 (二 )1解得 6 = 760=0(舍去.*5 = 6211. A=-4(l-a), + (a + 2Z),0,又一4(1一門(mén)：+ (a + 2O訂=0.得 4匕1 一aF +(a + 20. a = 】=一*12. a = 0或a年當(dāng)a = 0時(shí)方稈有相異二實(shí)根$當(dāng)a0時(shí)有F乂一“ = 0(1)一5才+ a二0嚴(yán)25 + 4a&25 44a 則、0 且 At4)當(dāng)加5時(shí)后一個(gè)方悝為一次方6h當(dāng)m4時(shí)且m#5時(shí)$014. A 15. C16. Ai 2a+&2 Vcd= 26+ c2 /4=2c*+d2=20厶 +厶一(石一/J十 g/S7?) +6十017. a.Ke必有一個(gè)為正不妨設(shè)Q0則a + b-cgb + g、b可看作方程廣+ * = 0購(gòu)實(shí)根 = J-4 X ( * )0 18(門(mén)當(dāng)女 0時(shí)才一1方程有有理根 (2)當(dāng)AH0時(shí)肉方程有有理根故若決是整數(shù).則=一 1F 4* =，一6冷+1必為完全平方數(shù)即存在非負(fù)整數(shù)處使*2-6*+l=m配方得(*-3)2-mf=8.即(點(diǎn)一3 +加)(點(diǎn)3加=8.而殳一 1 +加與怡一 3 m奇偶性相冋”一 3十加m：_3 加一:或女_：“加_解得點(diǎn)=6或& = 0(舍去). 一 3加=23加=-4 19.若有