z變換離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析

1、第八章z 變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的 z 域分析章節(jié)第八章 z 變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的 z 域分析 1-3 節(jié)日期教學(xué)目的理解 z 變換及其收斂域，掌握典型序列 z 變換教學(xué)重點(diǎn)典型序列 z 變換； z 變換的收斂域教學(xué)難點(diǎn)z 變換的收斂域教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容8.1 引言z變換方法的原理可以追溯到杰出的貢獻(xiàn)。在離散信號(hào)與系統(tǒng)的理論中， 方程轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)方程，使其求解過程得以簡化。因此，其地位類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。下面借助抽樣信號(hào)的拉氏變換引出其定義。x(t )經(jīng)均勻沖激抽樣，則抽樣信號(hào) xs (t)為：xs(t) x(t) T (t) x(nT) (t nT)n0若連續(xù)因果信號(hào)18 世紀(jì)。棣

2、莫弗( De Moivre )、拉普拉斯( P.S.Lapalce)相繼作出過z變換成為一種重要的數(shù)學(xué)工具。它把離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分nT)e stdt取拉氏變換：X s(s) 0 x(t)e stdt 0 x(nT) (t0 0 n 0x(nT) (t nT)e stdtn 0 0snTx(nT )e snT 0 (t nT)dt n 0 0x(nT )e snTn0令： z esT 或?qū)懽?lnTz ，且一般令 T 1 則：X(z) x(nT)z nn0x(n)z nn0(8-1)sze上式即為單邊 z 變換。記為：X(z) Lx(n) x(n)z nn0x(0) x(1) x(2) zz

3、(8-2)8.2 z變換定義、典型序列 z 變換與拉氏變換類似，換為：z 變換也有單邊和雙邊之分，對(duì)于一切 n只都有定義的序列 x(n) ，定義雙邊 z變X(z) L x(n)x(n)z n顯然，如果 x(n) 為因果序列，則雙邊和單邊是等同的。上面兩式表明，序列的 z變換是復(fù)變量 z 1的冪級(jí)數(shù)(亦稱洛朗級(jí)數(shù)) ，其系數(shù)是序列 x(n) 值。有 些文獻(xiàn)當(dāng)中也把 X(z) 稱為序列 x(n) 的生成函數(shù)。由于離散時(shí)間系統(tǒng)非因果序列也有一定的應(yīng)用范圍，因此在著重介紹單邊 z 變換的同時(shí)兼顧雙邊 z 變換分析。下面介紹一些典型序列的 (一)單位樣值函數(shù) 定義為：z 變換。(n)(n 0)(n 0)

4、如圖 8-1 所示。(n)10n 圖 8-1 單位樣值函數(shù)取 z 變換，得到：Z (n) (n)z n 1 n0 可見，與連續(xù)系統(tǒng)單位沖激函數(shù)的拉氏變換類似，單位樣值函數(shù)的 z 變換等 于 1。二)單位階越序列定義為：u(n)(n 0)(n 0)u(n)1n 0n 圖 8-2 單位階越序列如圖 8-2 所示。取 z 變換，得到：Zu(n) u(n)z n z n n 0 n 0 若|z| 1 ，該幾何級(jí)數(shù)收斂，它等于Zu(n)zz1x(n) nu(n)已知，當(dāng) |z| 1時(shí)有：Zu(n) z nn0x(n)0n 圖 8-3 斜變序列(三)斜變序列 斜變序列為：如圖 8-3 所示。取 z 變換，

5、得到：Zx(n) nz n n0 該變換可以用下面的方法間接求得。將上式兩邊分別對(duì) z 1 求導(dǎo)，得到：兩邊各乘 z 1 ，就可得到斜變序列的n(z1)n1n0z 變換：Z nu(n)nz nn01(1 z 1)2z(z 1)2(|z| 1)同樣，若對(duì)上式再對(duì)z 1 求導(dǎo)，可以得到：Zn2u(n)z(z 1)(z 1)3 / 213z(z2 4z 1)Zn3u(n) z(z(z 41)z4 1)(四)指數(shù)序列 單邊指數(shù)序列：x(n) anu(n)x(n)如圖 8-4 。取 z 變換，得到：Zanu(n)anz n(az 1) n0n圖 8-4 單邊指數(shù)序列n0若滿足： |z| | a |，則可

6、收斂為：Zanu(n) 1 1az 1 zza若令 a eb，當(dāng)|z| |eb |時(shí)，則：同樣，對(duì)單邊指數(shù)序列變換式兩邊對(duì)Zabnu(n)z bze z 1 求導(dǎo)，可以求得：1Znanu(n) (1 aazz 1) 2Zn2anu(n)az(z a)2 az(z a)(z a)3(五)正余弦序列單邊余弦序列 cos( 0n)如圖 8-5所示。因?yàn)椋篫abnu(n)z b (| z| |eze 令 b j 0 ，則當(dāng) |z| |ej 0 | 1 時(shí)，得：|)同樣，令 b j 0 ，則得：Zaj 0nu(n) z zej 0Za j 0nu(n)zz e j0將上兩式相加，得：Za j 0nu(n

7、) Za j 0nu(n)由 z變換的定義可知：兩序列之和的 z 變換等于各序列 到余弦序列的 z 變換：zzz ej 0 z e j 0 z 變換的和。根據(jù)歐拉公式，從上式可以直接得Zcos( 0n)u(n) 21 z zej 02 z ej 0zz e j 0z2 2zcos 0 1z(z cos 0 )同理可得正弦序列 z 變換：1zZsin( 0n)u(n)j 02j z ej 0 以上兩式得收斂域都為： | z| 1。zz e j0zsin 0z2 2zcos 0 1在指數(shù)序列的變換式中，令 a e 0 ，則有：同理：Z na j 0nu(n)1 ej 0z 1Z na j 0 nu

8、(n)借助歐拉公式，有上面兩式可以得到：1 z 1 cos 01 2 z 1 cos 0 2 z 2 z 1 sin 01 2 z 1 cos 0 2 z 2 上面兩式就是單邊指數(shù)衰減 ( 1) 及增幅 ( 1)的余弦、正弦的Z n cos( 0n)u(n)Z n sin( 0 n) u( n)z(z cos 0)z2 2 zcos 0 2zsin 0z2 2 zcos 0 2z 變換。收斂域?yàn)椋?| z| | | 。一些典型的單邊 z 變換列于附錄五。8.3 z 變換的收斂域只有當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)， z變換才有意義。對(duì)于任意給定的有界序列 x(n) ，使 z變換定義式級(jí)數(shù)收斂 之所有 z 值的集合

9、，稱為 z變換的收斂域( region of convergence ，簡寫為 ROC)。對(duì)于單邊變換，序列與變換式一一對(duì)應(yīng)，同時(shí)也有唯一的收斂域。而在雙邊變換時(shí)，不同的序列在 不同的收斂域條件下可能映射為同一個(gè)變換式。也即：兩個(gè)不同的序列由于收斂域不同，可能對(duì)應(yīng)于相 同的 z變換。因此，為了單值的確定 z變換所對(duì)應(yīng)的序列，不僅要給出序列的 z 變換式，而且必須同時(shí) 說明它的收斂域。在收斂域內(nèi)， z 變換及它的導(dǎo)數(shù)是 z的連續(xù)函數(shù)，即 z變換函數(shù)是收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上 的解析函數(shù)。雙邊 z 變換的表達(dá)式滿足收斂的充分條件是絕對(duì)可積：| x(n)z n | n 上式左邊構(gòu)成正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有兩種方法判定收

10、斂性：比值判定法和根值判定法。若一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)為|an | ，判定其收斂的方法為：n比值判定：lnim n |an |當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)1 時(shí)無法判定。利用上述判定方法討論幾類序列的收斂域。( 1)有限長序列 這類序列只在有限區(qū)間( n1 n n2)內(nèi)有非零的有限值，此時(shí) z 變換為： n2z 時(shí)，若 n 0 ，則 z n ； z 0 時(shí)，若 n 0，則 z n。當(dāng) n1, n2都大于 0 時(shí)，收斂域包括 ； 當(dāng) n1, n2都小于 0 時(shí)，收斂域包括 0。X(z) x(n)z n n n1 上式是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)。 當(dāng) n1 0,n2 0時(shí)，收斂域?yàn)?z且 z 0，即： 0 |z

11、| ；當(dāng) n1 0,n2 0時(shí)，收斂域?yàn)?z，即： |z| ；當(dāng) n1 0,n2 0時(shí)，收斂域?yàn)?z 0，即： |z| 0。( 2)右邊序列這類序列是有始無終的序列，即當(dāng) n n1 時(shí)， x(n) 0 ，此時(shí) z變換為： / 21由根植判定法，該級(jí)數(shù)收斂應(yīng)滿足X (z) x(n)z nn n1lim n | x(n)z n | 1 n即：| z| nlim n |x(n) | Rx1n其中， Rx1 是級(jí)數(shù)的收斂半徑?？梢?，右邊序列的收斂域是半徑為Rx1的圓外部分。若 n1 0 ，則收斂域包括 z ，即 | z | Rx1 ；若 n1 0 ，則收斂域不包括 z ，即 Rx1 | z |。顯然，

12、當(dāng) n1 0 時(shí)，右邊序列變成因果序列，也就是說，因果序列是右邊序列的一種特殊情況。(3)左邊序列這類序列是無始有終的序列，即當(dāng) n n2 時(shí)， x(n) 0 ，此時(shí) z變換為： n2X ( z)x(n)z n進(jìn)行變量代換可得：X (z) x( n)znn n 2由根植判定法，該級(jí)數(shù)收斂應(yīng)滿足lim n | x( n)zn |1n即：Rx2 的圓內(nèi)部分。|z| lnim n | x( n) | 其中， Rx2 是級(jí)數(shù)的收斂半徑。可見，右邊序列的收斂域是半徑為若 n2 0 ，則收斂域不包括 z 0 ，即 0 | z | Rx2 ；若 n2 0 ，則收斂域包括z 0 ，即 | z | Rx 2 。

13、4)雙邊序列 般寫作：該式可以看作是右邊序列X ( z)x(n) z n第一項(xiàng)) 和左邊序列1x( n) z nx( n) z nn 0 n 第二項(xiàng)) 的疊加。 收斂域?yàn)閮刹糠质諗坑虻闹丿B部分：Rx1 | z| Rx2其中 Rx1 0,Rx2。所以，雙邊序列的收斂域通常是環(huán)形。若Rx1 Rx2 ，則該序列不收斂。以上可以看到，收斂域取決于序列的形式。 P52 表 8-1 列出了幾類雙邊變換的收斂域。例 8-1 求序列 x(n) anu(n) bnu( n 1) 的 z變換，并確定它的收斂域(其中 b a 0)。解：這是一個(gè)雙邊序列。 先求單邊 z 變換：X(z) x(n)z nanu(n) b

14、nu( n 1)z nan z nn 0 n 0 n 0如果 |z| a ，則該級(jí)數(shù)收斂，可得到：n n z X(z) a zn 0 z a 其零點(diǎn)位于 z 0 ，極點(diǎn)位于 z a ，收斂域?yàn)?|z| a。再求雙邊 z 變換：X(z) x(n)z nanu(n) bnu( n 1)z nn - n -1n n n n a z b z n 0 n0n n n n a z 1 b z n 0 n 若|z| a且|z| b ，則該級(jí)數(shù)收斂，可得到：X(z) z 1 b z z z a z b z a z b 其零點(diǎn)位于 z 0及 z (a b) / 2，極點(diǎn)位于 z a及 z b ，收斂域?yàn)?b |

15、z| a。注： z變換 X ( z)在收斂域內(nèi)是解析的，因此收斂域內(nèi)不應(yīng)該包含任何極點(diǎn)。通常，收斂域以極點(diǎn) 為邊界。對(duì)于多個(gè)極點(diǎn)的情況，右邊序列的收斂域是從X(z) 最外面(最大值)有限極點(diǎn)向外延伸至z (可能包括 )；左邊序列的收斂域是從 X (z) 最里面(最小值) 非零極點(diǎn)向內(nèi)延伸至 z 0(可 能包括 z 0 )。備 注 / 21章節(jié)第八章 z 變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的z 域分析 4-5 節(jié)日期教學(xué)目的掌握 z 變換基本性質(zhì)以及逆變換的求法教學(xué)重點(diǎn)z 變換基本性質(zhì)以及逆變換的求法教學(xué)難點(diǎn)逆變換的求法教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容8.4 逆 z 變換若X(z) L x(n) ，則 X ( z)的逆變換

16、記作 L 1 X (z) ，它由以下圍線積分給出：1 1 n 1x(n) L 1X(z)CX(z)zn 1dz2 j CC 是包圍 X (z)zn 1 所有極點(diǎn)之逆時(shí)針閉合積分路線，通常選擇z平面收斂域內(nèi)以原點(diǎn)為中心的圓。證明略。求逆變換的計(jì)算方法有三種。(一)留數(shù)法(圍線積分法)借助于復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理，可以把逆變換的積分表示為圍線C內(nèi)所包含 X(z)zn 1的各極點(diǎn)留數(shù)之和。即：x(n) 1 X(z)zn 1dzX(z)zn 1在C內(nèi)極點(diǎn)的留數(shù) 2 j C m或簡寫為：z zmx(n)Res X(z)zn 1m式中， Res 表示極點(diǎn)的留數(shù)，zm為 X(z)zn1的極點(diǎn)。若 zm 為一階極

17、點(diǎn)，則若 zm 為 s 階極點(diǎn)，則ResX(z)zn 1z zm (z zm)X(z)zn 1z zmmResX(z)zn1zzz zm)sX(z)zn 1z zm例 8-2 已知 X(z) (z3z1)(z5z2) ,1 z 2，求 x(n) Z 1 X(z)。(z 1)( z 2)解：因?yàn)閄(z)zn1(3z 5) zn (z 1)( z 2) 1)當(dāng) n 0時(shí)，圍線內(nèi)只有 z 1 這個(gè)極點(diǎn)。所以x(n) ResX(z)zn 1z 1(3z 5) znz22z1n 1圍線內(nèi)所有極點(diǎn)z 2 。根據(jù)留數(shù)的性質(zhì)：2)當(dāng) n 0時(shí)， z 0, z 1均為圍線內(nèi)的極點(diǎn)。所以x(n)Res X (z)

18、z本題中圍線內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn) z 0, z 1 ，圍線外有一個(gè)極點(diǎn)Res X (z) z 圍線內(nèi)所有極點(diǎn)ResX (z) z 圍線外所有極點(diǎn)因此可以求得：2nz2x(n)ResX(z)zn 1z 2(3zz 51)z綜合( 1)(2)可以得到：x(n) 2u(n) 2nu( n 1) 這道題說明，在應(yīng)用留數(shù)法求逆變換時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意收斂域內(nèi)圍線所包圍的極點(diǎn)情況，特別應(yīng)關(guān)注對(duì) 不同的 n 值，在 z 0處的極點(diǎn)可能具有不同的階次。另外，收斂域的不同也會(huì)得到不同的結(jié)果，如書 上 P56,例 8-2 。(二)長除法(冪級(jí)數(shù)展開法)因?yàn)?x(n) 的 z 變換定義為 z 1 的冪級(jí)數(shù)X(z) x(n)z nN

19、(z),D(z) 。若收斂域?yàn)?|z| Rx1，則 若收斂域?yàn)?| z| Rx2，則 N(z),D(z)所以，只要在給定的收斂域內(nèi)把 X (z)展開成冪級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n) 。一般情況下， X (z)是有理數(shù)，令分子、分母多項(xiàng)式分別為1N(z),D(z)按z的降冪(或 z 1的升冪)次序排列， 進(jìn)行長除法； 按 z的升冪(或 z 1 的降冪)次序排列，進(jìn)行長除法。2例 8-3 求 X(z)2z ,|z| 1的逆變換 x(n)。z1解：根據(jù)收斂域可將 X (z)展開成按 z的降冪排列的形式：X(z)2 z z2 1進(jìn)行長除法可得： X(z) 1 z 2 z 4 z 61所以： x(n

20、) 121 ( 1)nu(n)例 8-4 求收斂域分別為 |z| 1,|z| 1兩種情況下，解：對(duì)于 |z| 1， X ( z)相應(yīng)的序列x(n) 是因果序列進(jìn)行長除法可得： X(z) 1 4z 1得到： x(n) (3n 1)u(n)1 2z 11 2z1 z 2 的逆變換 x(n)。右邊序列) ，這時(shí) X(z)寫成按 z的降冪排列：X(z)1 2z 1X(z) 1 21 2z z7z 2(3n 1)z nn0x(n) 是左邊序列，這時(shí) X(z)寫成按 z的升冪排列：2z 1 1X(z) 2 1z 2 2z 1 11 進(jìn)行長除法可得： X(z) 2z 5z2(3n 1)zn(3n 1)z n

21、n 1 n對(duì)于 |z| 1， X(z)相應(yīng)的序列得到： x(n) (3n 1)u( n 1)(三)部分分式展開法這里，部分分式展開法類似于拉氏變換中的部分分式展開法，不再細(xì)述，需要說明的是，z變換的 / 21基本形式是 z ，所以在使用 z 變換部分分式展開法時(shí)， z zm通常是將 X(z) 用部分分式法展開，然后 z每個(gè)分式乘以 z ，這樣對(duì)于一階極點(diǎn)， X ( z)便可以展開成z 的形式。 z zm例 8-5 已知 X (z)2z2 1.z5z 0.5,|z| 1，求 x(n)。解：2A2zz 2 1.5z 0.5 z 0.5 z 1X(z)式中：因此A1A1Xz(z) (z 0.5)zA

22、2Xz(z) (z 1)z1z 0 .52z1X ( z)z 1 z 0.5 由于收斂域 |z| 1，所以 x(n) 是因果序列(右邊序列) ，因此x(n) (2 0.5n )u(n)z3 2z2 1例 8-6 已知 X(z),|z| 1，求 x(n)。z(z 1)( z 0.5)解：X (z)z3 2z2 1 2 6 822zz2 (z 1)(z 0.5) z213z z 1 z 0.5所以13zX (z) 2 6 8 zz z 1 z 0.5容易求得：x(n) 2 (n 1) 6 (n) 8 13(0.5) nu(n) 部分逆變換列于表 8-2,3,4( P60)。8.5 z 變換的基本性

23、質(zhì)(一)線性 表現(xiàn)在疊加性與均勻性，若：Zx(n) X(z)， (Rx1 |z| Rx2)Zy(n) Y(z)， (Ry1 |z| Ry2)則：Zax(n) by(n) aX(z) bY(z)， (R1 |z| R2)其中， R1 max(Rx1, Ry1 ) ， R2 min( Rx2 , Ry2 ) 。相加后序列收斂域一般為兩個(gè)收斂域的重疊部分， 然而，如果在這些線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。例 8-7 求序列 anu(n) anu(n 1) 的 Z 變換。解：設(shè)x(n) anu(n) ， y(n) anu(n 1)已知：X(z) z (|z| |a|) za而：n n

24、 n aY(z) y(n)z nanz n (|z| |a|)n 0 n 1 z a所以：Lanu(n) anu(n 1) X(z) Y(z) 1收斂域變大，擴(kuò)展到整個(gè)z 平面。例 8-8 求序列 cos(n 0)u(n)和sin(n 0)u(n)的Z 變換。 解：已知cos(n 0)u(n) 1(ejn 0 e jn 0 )u(n)2Zejn 0u(n)z j 0 |z| 1ze0jnzZe jn0u(n)zj 0|z| 1ze0因此：Zcos(n 0 )u(n)zz z(z cos 0)z e j 0 z2 2zcos 0 1|z| 1Zsin(n 0)u(n)2zzsin 02zcos

25、0 1|z| 1(二)位移性位移性表示序列位移后的 Z 變化與原序列 Z 變換的關(guān)系。 實(shí)際中可能遇到序列的左移 (超前) 或右 移(延遲) 兩種情況， 所取的變換形式又可能有單邊與雙邊變換， 他們的位移性基本相同， 又各具特點(diǎn)， 分以下情況討論。(1)雙邊 Z 變換設(shè)序列 x(n) 的雙邊 Z 變換為 Zx(n) X(z) ，則Zx(n m) z m X(z)證明：根據(jù)定義Z x(n m) x(n m)z n z m x(k)z k z mX(z) nk同理可得到：Zx(n m) zmX(z) 由以上特性可以看出， 序列位移只會(huì)使 Z 變換在 z 0或 z 處的零極點(diǎn)發(fā)生變化。 如果 x(n

26、) 為雙邊 序列，則 X ( z)收斂域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，在這種情況下序列位移并不會(huì)使Z 變換收斂域發(fā)生變化。(2)單邊 Z 變換 若 x(n)是雙邊序列，其單邊 Z 變換為 Zx(n)u(n) X(z)。則m1Zx(n m)u(n) zmX(z)x(k)z kk0 / 21證明：根據(jù)單邊 Z 變換的定義，可得Z x(n m)u(n) x(n m)z n z m x(n m)z (n m)n 0 n 0 m1 zm x(k)z k zm x(k)z k x(k)z k k m k 0 k 0m1zmX(z)x(k)z k k0同樣可以證明右移序列：1Zx(n m)u( n) z mX (z)x(k)

27、z k km1對(duì)于因果序列，由于x(k )z k 為零，于是對(duì)于右移序列有kmZx(n m)u(n) z m X(z)而左移序列的 Z 變換不變。y(n)。例 8-9 已知 y(n) 0.9y(n 1) 0.05u(n)，邊界條件 y( 1) 0，用 Z 變換法求系統(tǒng)響應(yīng)解：對(duì)方程式兩端分別取Z 變換，注意使用到位移定理。1 0.05zY (z) 0.9z 1Y(z)z1Y(z) ( z 0.9)( z 1)0.05z2為求逆變換，令Y(z)z (z 0.9)( z 1)0.05zA1A2( z 0.9) (z 1)容易求得：A1 0z.051zz10.45z 0.90.05zz 0.90.5

28、z10.45z 0.5z z (z 0.9) ( z 1) y(n) 0.45 (0.9)n 0.5u( n)A2Y(z)(三)時(shí)間反轉(zhuǎn)特性若 L x(n) X (z) ， 證明：則 Zx( n) X (z 1)Zx( n) x( n)z nx(n)(z 1) n X (z 1)(四) 序列線性加權(quán)( z 域微分) 若已知 Z x(n) X(z) ，則：dZnx(n) zddz X(z)證明：對(duì) Z 變換式兩邊求導(dǎo)z 1 nx(n)z n01Lnx(n)dX(z) d x(n)z n x(n) d z ndz dz n 0 n 0 dz因此有：dZnx(n)zddz X(z)利用上式可以得到：

29、Zn2x(n) zddzZnx(n) zddz zddzXdz dzz2 ddz2 X(z)zddzX(z)同樣道理可以得到：符號(hào) dzdzdzdzz d z d dz dzZnmx(n)zdz X(z)zdz X(z) 共求導(dǎo) m次。例 8-10 求斜變序列 nu(n) 的 Z 變換。 解：dd Znu(n) z d Zu(n) z ddz dz z 1 (z 1)(五) 序列指數(shù)加權(quán)( z 域尺度變換)Zanx(n) X az (Rx1若已知 Z x(n) X(z) (Rx1 |z| Rx2 ) ， a為非零實(shí)數(shù)，則：a Rx2)證明：Zan x(n)anx(n)z nn0x(n)n0Xa

30、同樣可以得到：Za n x( n) X(az) (Rx1 |az| Rx2)Z( 1) n x(n) X( z) (Rx1 | z| Rx2)(六) 初值定理若 x(n)是因果序列，已知 Zx(n) X(z) x(n)z n ，則： n0x(0) lim X(z) z證明：因?yàn)閄(z) x(n)z n x(0) x(1)z 1 x(2)z 2 n0當(dāng) z ，上式中除了第一項(xiàng)外，都趨于零。所以結(jié)論得證。(七) 終值定理若 x(n)是因果序列，已知 Zx(n) X(z) x(n)z n ，則：n0x( ) lim x(n) lim ( z 1)X(z)n z 1證明：因?yàn)?/ 21Zx(n 1)

31、x(n) zX(z) zx(0) X(z) (z 1)X (z) zx(0)取極限得到：lim(z 1)X (z)x(0) lim x(n 1 x(n) z n z 1n 0x(0) x(1) x(0) x(2) x(1) x(3) x(2) x( )所以可以看出，終值定理只有當(dāng) 單位圓內(nèi)(在單位圓上只能位于 zlim x(n) lim( z 1)X (z) n z 1n 時(shí) x(n)收斂才可應(yīng)用。也就是說，要求 X(z) 的極點(diǎn)必須處在 z 1 點(diǎn)且是一階極點(diǎn)) 。例如 X(z) ，則 x(0) lim X (z) 1，而 x( )不存在，因?yàn)橛袠O點(diǎn) z 1。 z 1 z以上兩個(gè)定理的應(yīng)用類

32、似于拉氏變換， 如果已知序列 x(n) 的 Z 變換 X ( z) ，在不求逆變換的情況下， 可以利用這兩個(gè)定理方便的求出序列的初值和終值。(Rx1 | z| Rx2) (Rh1 | z| Rh2 )(八) 時(shí)域卷積定理 已知兩序列 x(n), h( n) ，其 z變換為Z x(n) X(z) Z h( n) H (z) 則：Zx(n)* h(n) X(z)H(z)或?qū)懽鳎?1x(n)* h(n) Z-1X(z)H(z)一般情況下，其收斂域是兩收斂域的重疊部分，即max(Rx1,Rh1) |z| min(Rx2,Rh2) 。若位于某一 z變換的極點(diǎn)被另一 z 變換的零點(diǎn)抵消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。

33、證明：Zx(n) * h(n) x(n)* h(n)z nx( m)h(n m)z nnmx(m) h(n m)z (n m) z mmnx(m)z mH (z)mX(z)H (z) 可見兩序列在時(shí)域中的卷積等效于在z 域中兩序列 z變換的乘積。例 8-11 求下列兩單邊指數(shù)序列的卷積：x(n) a nu(n), h(n) bnu(n) 。解：因?yàn)閄(z) z (|z| |a|); H(z) z (|z| |b|)z a z bz2Y(z) X(z)H(z) (z a)(z b)顯然，其收斂域?yàn)閮墒諗坑虻闹丿B部分。用部分分式法求逆變換1Y(z)az bz 例 8-12 求下列兩序列的卷積：a

34、b z a z by(n) x(n)* h(n) 1 (an 1 bn 1)u(n)abx(n) u(n),h(n) anu(n) an 1u(n 1) 。解：已知X(z) zz1(| z| 1);H (z)z1zz 1a (|z| |a|)Y(z)X(z)H(z) z 1 z a z a y(n) anu(n) 顯然，零極點(diǎn)相消了，若 |a| 1 ，則收斂域比兩收斂域重疊部分要大。(| z| |a|)則：(九)序列相乘( z 域卷積定理) 已知兩序列 x(n),h(n) ，其 z 變換為Lx(n)Lh(n)X(z) (Rx1 |z| Rx2) H (z) (Rh1 |z| Rh2)1Lx(n

35、)h(n) 21j21j C1 X vz H(v)v 1dv或?qū)懽鳎篖x(n)h(n) 1 C X(v)H z v 1dv2 j C2vz 變換一些主要式中， C1,C2 分別為 X z, H(v) 或 X(v),H z 收斂域重疊部分內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圍線。 vv這里對(duì)收斂域和積分圍線的選取限制較嚴(yán)，從而限制了它的應(yīng)用。這里不再細(xì)講。 性質(zhì)列于表 8-5( P73)。 / 21章節(jié)第八章 z 變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的z 域分析 6-8 節(jié)日期教學(xué)目的使用 z 變換分析系統(tǒng)教學(xué)重點(diǎn)z 變換解差分方程；離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)z 變換解差分方程教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容8.6 z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系三種

36、變換域方法之間有著密切的聯(lián)系， 在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。 第四章討論過拉氏變換與傅氏 變換的關(guān)系，現(xiàn)在研究 z 變換與拉氏變換的關(guān)系。（一） z 平面與 s 平面的映射關(guān)系z(mì) 變換定義的時(shí)候有 z 與 s 的關(guān)系：sT 1z e 或 s ln zT式中， T 是序列的時(shí)間間隔。為了說明 坐標(biāo)的形式，即：s z 的映射關(guān)系，將 s 表示成直角坐標(biāo)形式，而把 z 表示成極sj z re j因此有：re j e( j )T于是得到：r e T e2sT 2 s上式表明 s平面上任一點(diǎn) s0映射為 z平面上一點(diǎn) z es0T 。特殊情況下， s z平面有如下應(yīng)設(shè)關(guān)系：（1）s平面上的虛軸（0,s j

37、 ）映射到 z平面是單位圓，其右半平面（0 ）映射到 z平面是單位圓的圓外，而左半平面（ 0 ）是單位圓的圓內(nèi)。（2）s平面上的實(shí)軸（0,s ）映射到 z 平面是正實(shí)軸，平行于實(shí)軸的直線（ 為常數(shù)）映射k到 z平面是始于原點(diǎn)的輻射線， 通過 j s （k 1, 3, ） 而平行于實(shí)軸的直線映射到 z平面是負(fù)實(shí)軸。2s z平面映射關(guān)系如表 8-6（P75）。（3）由于 e j 是以 s為周期的周期函數(shù)，因此在 s平面上沿虛軸移動(dòng)對(duì)應(yīng)于 z平面上沿單位圓周期性 旋轉(zhuǎn)，每平移 s，則沿單位圓轉(zhuǎn)一圈。所以 s z映射并不是單值的。P76圖 8-11說明了上述映射關(guān)系。掌握上述映射關(guān)系，容易利用 s域中

38、零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的類似方法研究離散時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)z 平面特性與系統(tǒng)時(shí)域特性、頻響特性以及穩(wěn)定性的關(guān)系。（二） z 變換與拉氏變換表達(dá)式之對(duì)應(yīng) 此部分內(nèi)容討論能否借助 X（s）寫出 X（z） 。以下分析中，必須注意對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的突變點(diǎn)函 數(shù)值與對(duì)應(yīng)序列樣值的區(qū)別。若連續(xù)時(shí)間信號(hào) x?（t）由 N 項(xiàng)指數(shù)信號(hào)相加組合而成，即： NN x?（t）x?i （t）Aiepit u（t）i 1 i 1其拉氏變換為：N AiL x?（t）Aii 1 s pi若序列 x（nT）是對(duì) x?（t）的抽樣信號(hào)，由 N 指數(shù)序列相加組合而成，即：NNx(nT) xi(nT)AiepinTu(nT)i 1 i 1

39、其 z 變換為：N Zx(nT) i1 x(nT )的樣值等于 x?(t)在t nT 各點(diǎn)之抽樣值。 此點(diǎn)波形發(fā)生跳變。具體講，對(duì)于任意 i 值有：0, Ai2 Aiepitx?i (t)xi (nT)可以看出，按抽樣規(guī)律建立二者聯(lián)系時(shí)必須在Ai1 epiT z 1然而在 t 0(n 0) 點(diǎn)違反了這一規(guī)律， 原因是在(t 0)(t 0)(t 0)(n 0)(n 0)(n 0)0,AiAiepinT0 點(diǎn)補(bǔ)足 Ai /2 ，即：xi (nT)u(n)x?i(t)u(t)|t ntn 0例 8-13 已知 x(t) e atu(t), X(s)1x?i(t)u(t)|t nt Ai /2 n 0

40、,求抽樣序列 e anTu(nT )的 z變換。 sa解：只有一個(gè)一階極點(diǎn) s a ，因此X(z) 1 aT1 z e0例 8-14 已知 x(t) sin( 0t)u(t),X(s)2 0 2 ,求抽樣序列 sin( 0nT)u(nT)的 z變換。s0解：顯然，極點(diǎn)位于 s j 0 ， X(s) 可展成部分分式j(luò)z 1 sin( 0T)X(s) s j2s j 0jjX(z) 12 jT 12jT 1 2X(z)1 z 1ej0T1 z 1ej0T1 2z 1cos(0T)z 2這種對(duì)應(yīng)規(guī)律在借助模擬濾波器原理設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器是會(huì)很有用。 P79表 8-7列出了常用連續(xù)信號(hào) 的拉氏變換與抽樣序

41、列 z 變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系。8.7 利用 z 變換解差分方程這種方法的原理是基于 z 變換的線性和位移性， 把差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程， 從而使求解過程簡化。 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程一般形式是NMak y(n k)br x(n r)k 0 r 0 將等式兩邊取單邊 z 變換，并利用 z變換的位移公式可以得到：N 1 M 1akz kY(z)y(l)z l br z rX(z) x(m)z mk 0 l k r 0 m r / 21若系統(tǒng)為零輸入響應(yīng)，則Nak y(n k) 0 k0是，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列是上式的逆變換，即：Nakzk0Y(z)1kY(z)y(l )z l 0lkNak z kk0N

42、kakzk01y(l)z l lky(n) Z 1Y(z)顯然這是零輸入響應(yīng)，該響應(yīng)由系統(tǒng)的起始狀態(tài)y(l)( N l 1) 而產(chǎn)生的。若系統(tǒng)為零起始狀態(tài)，即 y(l ) 0( N l NM k ak z kY(z) k 0 r 0 若激勵(lì)信號(hào)為因果序列，上式可變成：1) ，則：1rmbr z r X (z)x(m)z mmrNMakz kY(z)br z rX(z)k 0 r 0是，Mbr z rY(z) X (z) rN0X(z)H (z)kakzk0這里，Mbr z rr0H ( z) rN0稱為系統(tǒng)函數(shù)，是由系統(tǒng)的特性所決定的。此時(shí)對(duì)應(yīng)的序列為：k akz k0y(n) Z 1X(z)

43、H (z) 這里得到的是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，它完全是由激勵(lì)產(chǎn)生的。綜合以上兩種情況可以看出，離散系統(tǒng)的總 響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的和。例 8-15 離散系統(tǒng)為 y(n) by(n 1) x(n)，若激勵(lì) x(n) anu(n) 。1)起始值 y( 1) 0 ，求響應(yīng)y(n) 。2)起始值 y( 1) 2 ，求響應(yīng)y(n) 。解：(1)對(duì)差分方程兩邊取單邊z 變換：Y(z) bz 1Y( z) by( 1) X (z)由于 y( 1) 0 ，所以Y(z) bz 1Y(z) X (z)Y(z) 1Xb(zz)1已知 X(z) zza(| z| |a|) ，于是z2az bz由于該系統(tǒng)處于零狀

44、態(tài)，(2)此時(shí)Y(z)(z a)(z b)y(n) 1 (an 1 bn 1)u(n) ab 所以系統(tǒng)的完全響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)。Y(z) 1 bz 11X(z) by( 1)1 bz 1 (z a)(z b) z b az bz 2bz a b z a z b z bz22bzy(n)1 (an 1 bn 1) 2bn 1 (n 0) ab8.8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(一)單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)上節(jié)已給出系統(tǒng)函數(shù)的形式為H (z)Y(z) X(z)Mbr z r r0Nakz kk0它表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)的z 變換的比值。將上式分子與分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解可寫為：M(1 zrz 1)H(z)

45、 G rN 1 1(1 pkz 1) k1單位樣值響應(yīng)的卷積表示：y(n) x(n)* h(n)由時(shí)域卷積定理Y(z) X(z)H (z)則y(n) Z 1X(z)H(z)其中H (z) Zh(n) h(n)z n n0其中 zr,pk是 H ( z)的零極點(diǎn)，它們由差分方程的系數(shù) ak,br 決定。利用系統(tǒng)函數(shù)可以求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)(除了使用卷積方法外) 。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以用激勵(lì)與 例 8-16 求下列差分方程描述系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位樣值響應(yīng)：y(n) ay(n 1) bx(n)解：將差分方程兩邊取 z 變換：Y(z) az 1Y(z) ay( 1) bX(z) / 21Y(z)(1 az 1) bX ( z) ay( 1) 如果系統(tǒng)處于零狀態(tài)，即 y( 1) 0 ，則：z變換函數(shù) X ( z)的形式反映了時(shí)間函數(shù)H(z) YX(zz) 1 baz 1 zbza X ( z) 1 az 1 z a h(n) ban u(n) (二)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)特性的影響 (1)由系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定單位樣值響應(yīng)