初等及高等數(shù)學(xué)中齊次線性方程組的運(yùn)用

1、初等及高等數(shù)學(xué)中齊次線性方程組的運(yùn)用關(guān)鍵詞：齊次線性方程組; 矩陣的秩; 非零解;Abstract：In this paper,the basic theory of linear equations is briefly explained,and the theory of homogeneous linear equations is applied to solve some problems in elementary mathematics and higher mathematics,which makes the connection between theory and pr

2、actice more closely,and fully embodies the practical value of the theory of linear equations.Keyword：homogeneous linear equations; rank of matrix; nonzero solution;齊次線性方程組作為高等代數(shù)理論的一項重要分支，源于生活和生產(chǎn)實踐.齊次線性方程組是高等代數(shù)的基本研究內(nèi)容之一，同時也是貫穿高等代數(shù)知識的主線1.隨著計算機(jī)應(yīng)用的普及，線性方程組理論被廣泛應(yīng)用到科學(xué)、技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域.齊次線性方程在解決各類科學(xué)知識中有著極為廣泛的應(yīng)用.

3、隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，已有很多高等數(shù)學(xué)的知識滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中2,3.近年來，國際中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽的試題中，與齊次線性方程有關(guān)的題目呈遞增的趨勢4,5.本文介紹了齊次線性方程組的基本理論，并運(yùn)用齊次線性方程組的相關(guān)理論，探究其在初等數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，進(jìn)而對齊次線性方程組有更深入地理解.1 、線性方程組的基本理論定理11n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零.推論12若齊次線性方程組中s=n，方程組有唯一零解的充要條件是方程組的系數(shù)行列式不等于零.定理23若在齊次線性方程組中，方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，那么這個方程組必有非零解.定理34設(shè)齊

4、次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r2 、齊次線性方程組在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2.1 、證明等式的應(yīng)用此方面的應(yīng)用是將已知條件聯(lián)立成齊次線性方程組，然后利用齊次線性方程組有非零解的條件，即方程組的系數(shù)行列式為零，證得所要證明的等式關(guān)系.例1若ax1+by1=1,bx1+cy1=1,cx1+ay1=1，求證：ab+bc+ca=a2+b2+c2.證明由已知條件可得這表明(x1,y1,1)是齊次線性方程組的解，顯然是非零解，因此其系數(shù)行列式D=0，將其展開即得ab+bc+ca=a2+b2+c2.例2如果x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by，其中，x,y,z不全為零，則ab+bc+ac+2abc=1.2

5、.2、 證明三角恒等式的應(yīng)用此方面的應(yīng)用是利用已知條件，并結(jié)合中學(xué)的三角函數(shù)知識，構(gòu)造成齊次線性方程組，然后利用齊次線性方程組有非零解的條件，即方程組的系數(shù)行列式為零，證得所要證明的等式關(guān)系.例3在ΔABC中，設(shè)三個內(nèi)角為A,B,C，其所對應(yīng)的邊分別為a,b,c，求證：(1)c2=a2+b2-2abcos C;(2)cos2A+cos2B+cos2C+2cos Acos Bcos C=1.證明(1)在ΔABC中，由射影定理得構(gòu)造方程組得所以方程組有非零解(cos A,cos B,1)，因而由定理1得即得c2=a2+b2-2abcos C.(2)在ΔABC中，

6、式（1）可改寫為上式可看成關(guān)于a,b,c的齊次線性方程組必有非零解，由定理1得即得cos2A+cos2B+cos2C+2cos Acos Bcos C=1.例4設(shè)A+B+C=π，xsin A+ysin B+zsin C=0，求證：證明因為A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B).而又因為所以同理可得到聯(lián)立（2)(3)(4）得此方程組可看成一個關(guān)于sin A,sin B,sin C的三元一次方程組，而sin A,sin B,sin C不同時為零，由定理1可得化簡整理得2.3 、求值及數(shù)量關(guān)系中的應(yīng)用此方面的應(yīng)用是將已知條件轉(zhuǎn)化成齊次線性方程組，然后利用齊次線性方程組有非零解的

7、條件，即方程組的系數(shù)行列式為零，求值或給出數(shù)量關(guān)系.解由已知得把sinx,siny,sinz看作未知數(shù)，由已知條件可知，sinx,siny,sinz不為零，故方程組有非零解，于是行列式系數(shù)為零，即因而(k+1)2(k+2)=0，所以k=-1或者k=2.例6已知x,y,z不全為零，且任意兩個不相等，又已知，求a,b,c之間的關(guān)系式.解由已知得方程組因為x,y,z不全為零，且任意兩個不相等，所以關(guān)于x,y,z的齊次線性方程組（5）有非零解.故系數(shù)矩陣行列式為零，即，將行列式展開得a+b+c=2-abc.這就是a,b,c所滿足的關(guān)系式.在上面的例題中，直接求解a,b,c之間的關(guān)系比較麻煩.但題設(shè)中的

8、已知x,y,z不全為零，且其中任意的兩個不相等，由此去構(gòu)造以x,y,z為未知量的齊次線性方程組，進(jìn)而化簡問題的求解，便可使問題一目了然.3 、齊次線性方程組在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1 、判斷向量組線性相關(guān)性中的應(yīng)用定義11對于向量組α1,α2,?,αm，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,km，使得則稱α1,α2,?,αm線性相關(guān)，否則線性無關(guān).如果要判斷向量組線性相關(guān)性，可以將向量組作為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，構(gòu)造線性方程組，進(jìn)而討論方程組解的情況，來判別向量組是線性相關(guān)的還是線性無關(guān)的.例7判斷向量組α

9、1=(2,1,4,3),α2=(-1,1,-6,6),α3=(1,1,-2,7),α4=(2,4,4,9)的線性相關(guān)性.解設(shè)x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0，得到方程組將系數(shù)矩陣作如下運(yùn)算由于矩陣R(A)=3故向量組α1,α2,α3,α4線性相關(guān).因此方程組有非零解，等價于方程組的列向量組是線性相關(guān)的；若方程組只有零解，等價于方程組的列向量組是線性無關(guān)的.3.2 、在證明行列式等于零中的應(yīng)用如果要證明某個行列式等于零，可以轉(zhuǎn)為證明以這個行列式所對應(yīng)的矩陣

10、為系數(shù)矩陣的某個齊次線性方程組有非零解，進(jìn)而證得行列式為零.例8設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明若|A|=0，則|A*|=0.證明1）若A=0，顯然|A|=0，必然有|A*|=0;2）若A≠0，當(dāng)|A|=0時，不妨設(shè)并假設(shè)矩陣A的第j列元素不全為零，即因為所以即齊次線性方程組A*X=0有非零解，由定理1可知|A*|=0.3.3 、在證明矩陣秩中的應(yīng)用線性方程組理論在高等數(shù)學(xué)的矩陣中，也有著廣泛的應(yīng)用，例如在證明矩陣秩等相關(guān)問題的過程中，也可以運(yùn)用齊次線性方程組的理論進(jìn)行證明.例9證明R(A,B)≤minR(A),R(B).證明設(shè)矩陣Am×n與Bm×n，根據(jù)

11、齊次線性方程組可知式（6）的解顯然為式（7）的解，由此可以將其兩邊化簡，得到R(A,B)≤R(B)；同理可得R(A,B)≤R(A)，即結(jié)論成立.因為根據(jù)線性方程組理論，s-q+1≤i≤s-t，所以Ay=0的線性無關(guān)的解向量個數(shù)至少為(s-t)-(s-q)=q-t，從而n-p≥q-t，即R(A,B)≥R(A)+R(B)-n.該題在使用線性方程組理論解題時，就有很好的解題效果，根據(jù)此題的解題過程，還可以將結(jié)論推廣為：設(shè)Ai(1≤i≤k)，其為m×n型矩陣，由此可得4、 結(jié)語以上研究了齊次線性方程組理論在初等數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.在證明中引入齊次線性方程組理論，從而使問題化難為易，讓我們從中不僅能體會到創(chuàng)造性解題的樂趣，還體現(xiàn)了齊次線性方程組在解決數(shù)學(xué)問題時的簡潔和易行.參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)M