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文檔簡介
1、MATLAB程序設(shè)計期中考查 在許多問題中,通常根據(jù)實驗、觀測或經(jīng)驗得到的函數(shù)表或離散點上的信息, 去研究分析函數(shù)的有關(guān)特性。其中插值法是一種最基本的方法,以下給出最基本 的插值問題一一三次樣條插值的基本提法: 對插值區(qū)間a,b進行劃分:a Xo XiXn b,函數(shù)y f x在節(jié)點 Xi上的值 y f Xi i 0,1,2, n,并且如果函數(shù) S x在每個小區(qū)間 Xi,x上 是三次多項式,于a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則稱Sx是a,b上的三次樣條函數(shù), 如果S x在節(jié)點Xi上還滿足條件 S Xiyii 0,1, n 則稱S x為三次樣條插值函數(shù)。 三次樣條插值問題提法:對 a, b上給定的數(shù)表如下
2、 X X0 X1 Xn y y。 y1 yn 求一個分段三次多項式函數(shù)S x滿足插值條件S Xi y i 0,1, n式,并在 插值區(qū)間a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。這就需要推導(dǎo)三次樣條插值公式: 記f x在節(jié)點Xi處的值為f Xi mi (i 0,1, n )(這不是給定插值問題數(shù) 表中的已知值)。在每個小區(qū)間Xi ,Xi 1利用三次Hermite插值公式,得三次插值 公式: S x i x yi i 1 x yi 1 i Xj mji m 1, x Xi, Xi 1。為了得到這個公 式需要4n個條件: (1).非端點處的界點有2n個;(2).一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)有n 1個條件;(3).二階導(dǎo)數(shù) 連續(xù)有n
3、 1個條件,其中邊界條件:。1 S X0 m S Xnm. Word資料 S xn x 4S Xo Xn 6S Xn Yn Xo Xn X00 Xn 0 其中: Xj 0, 1, xj0 i Xj 0 且(i,j 0,1)。 i Xj 0, 1, mi 為對應(yīng)變量的一階導(dǎo)數(shù)。 其推導(dǎo)過程如下: 為了確定mi的值,把 展開為: Sx 2 . Xix Xi hi 2 Xi 1 x Yi h? Yi 1 這里hi 考慮S 2 Xi 1 X Xi 2 X xiX mi-廠 hi Xi 1 mi 1, Xi 1Xi 連續(xù)求兩次導(dǎo),得: 6x 2xi 4Xi 1 hi2 mi 6x 4xi 2xi 1 h
4、i2 mi 在節(jié)點Xi處的右極限值,得: S xi 0 42 mimi hihi 6 hi2 同理, 在相鄰小區(qū)間 Xi 1, Xi上可得S 6x 2xi 1 hi12 6x 4xi 6 xi Yi i 及S x在節(jié)點Xi處的左極限值為: S xi 0 mi hi 1 mi hi 1 6 hi12 的連續(xù)性條件 S xi S xi xi 1 2x hYi1 Yi 。 x的表達式為: Yi yi 。于是 0,這里i 2xi6 xi 1 xi 2x mi Yi Yi 1 。利用S x二階導(dǎo)數(shù)于節(jié)點Xi處 n 1,有下式成立: 1 Word資料 1 2 hi 1 111 mimi hi 1hihi
5、3 yi 1 yiyiy 1 i 1322 hihi 1 ,用右 hi 1 除等式兩 hi 邊,并注意 yi yi 1 yi hi f Xi, Xi 1 ,上式可簡記為: i mi 1 2mi i 1,2 hi 1 gi 3 i f i f Xi , Xi i 最后求得m1 mn的線性方程組為: 210 0 0 1 g1 2 22 0 0 0 m2 g2 (*) 0 0 0 2 n 1n 1 mn 1 gn 1 n 00 0 n 2 mn gn Xi i, Xi i h i h 1 hi 且 i h i hi 通過以上復(fù)雜的求解和迭代, 就可以求解出插值函數(shù)的近似表達式 得出來的表 Word資
6、料 達式就可以用MATLAB軟件來求解。具體求解過程如下: 已知n對數(shù)據(jù)點X1,y1,X2, y2,X3, ya ,Xn,yn,,假設(shè)函數(shù)關(guān)系為 y f x,但解析式不確定,數(shù)據(jù)插值就是構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) g x,使 Xi i 1,2,3, ,n,滿足關(guān)系 g Xif Xi。 例題:求滿足下面函數(shù)表所給出的插值條件的三次自然樣條函數(shù)。 X 1 2 4 5 y f x 1 3 4 2 分析:表中所列出的是函數(shù)對點,首先要把對應(yīng)的插值函數(shù)求出來,再用 MATLAB軟件來求區(qū)間1,5上間隔為0.5的各點的值。 求解過程如下: 因自然樣條插值函數(shù)的邊界條件為 S Xo S Xn 0, 這里n 3,故確定
7、m,mi,m2,m3的方程組形式形如上面的(*)式,其中系數(shù)i, i 和gi可按如下步驟進行: hi : ho211, h14 2 h25 41; hi2 h2 i gi: 1 1 g1 g2 go g3 h0 h13 1 f X1,X2 h1 h2 1 f Xo,X1 3 2f X2,X32f X1,X2 3f Xo,X1 ho 7yo 6; 將上述參數(shù)帶入(*)式,得到以下方程組: 2 1 o o 2 1 mo 2 - o 3 3 m1 o 1 2 m2 2 - 33 m3 o o 1 2 解得: 3f X2,X3 h2 6. 6 9 2 7 2 6 177 m。其圖像如下 884 3.5 3 2.5 y 2 1.5 1 0.5 11.522.533.54 x 命令如下: x=1:4;y=(-1/8)*x43+(2/8)*x.A2+(7/4)*x-1;xi=1:0.5:4; y1=i nterp1(x,y,xi,spli
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