高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)數(shù)列專題講座

1、2009 年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)數(shù)列專題講座一、試題特點1、近四年高考各試卷數(shù)列解答題考查情況統(tǒng)計2005 年高考各地的 16 套試卷中， 每套試卷均有 1 道數(shù)列解答題試題，處于壓軸位置的有6 道數(shù)列 解答題屬于中檔題或難題其中，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的試題有 11 道，有關(guān)遞推數(shù)列的有 8 道，關(guān) 于不等式證明的有 6 道另外，等比求和的錯位相減法，廣東卷的概率和數(shù)列的交匯，湖北卷的不等式型 的遞推數(shù)列關(guān)系都是高考試題中展現(xiàn)的亮點2006 年高考各地的 18 套試卷中,有 18 道數(shù)列解答試題其中與函數(shù)綜合的有 6 道，涉及數(shù)列不等式 證明的有 8 道，北京還命制了新穎的“絕對差數(shù)列”,值得一

2、提的是，其中有 8 道屬于遞推數(shù)列問題，這在高 考中是一個重點2007 年高考各地的各套試卷中都有數(shù)列題，有 7 套試卷是在壓軸題的位置，有 9 套是在倒數(shù)第二道的 位置，其它的一般在第二、三的位置，幾乎每道題涉及到遞推數(shù)列,有 9 道涉及到數(shù)列、不等式或函數(shù)的綜 合問題，安徽省還出現(xiàn)了一道數(shù)列應(yīng)用題2008 年高考各地的各套試卷中都有數(shù)列題，也都是幾乎每道題涉及到遞推數(shù)列, 數(shù)列、不等式或函數(shù) 的綜合問題綜上可知，數(shù)列解答題是高考命題的一個每年必考且難度較大的題型，其命題熱點是與不等式交匯、 呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題當(dāng)中，以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點列為命題載體，有著高等數(shù)學(xué)背 景的數(shù)列

3、解答題仍將是未來高考命題的亮點，而以考查學(xué)生歸納、猜想、數(shù)學(xué)試驗等能力研究性試題也將 成為高考命題的一個新亮點2、主要特點數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是與大學(xué)銜接的內(nèi)容，由于在測試學(xué)生邏輯推理能力和理性思維 水平，以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等方面有不可替代的作用，所以在歷年高考中占有重要地位，近 幾年更是有所加強(qiáng)數(shù)列解答題大多以數(shù)列為考查平臺，綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運用遞推思想、函數(shù) 與方程、歸納與猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和 解決問題的能力，其難度屬于中、高檔難度高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列、等比數(shù)列的考查每年都

4、不會遺漏一般情況下都是一個客觀 題和一個綜合解答題，數(shù)列的綜合題難度都很大，甚至很多都是試卷的壓軸題，它不僅考查函數(shù)與方程、 轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，還涉及了配方法、換元法、待定系數(shù)法、放縮法等基本數(shù)學(xué)方法其 中的高考熱點探索性問題也出現(xiàn)在近年高考的數(shù)列解答題中3、考查知識（1） 考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識、基本技能（2） 常與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識相結(jié)合，考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過程中知識的遷移、 組合、融會，進(jìn)而考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)1（3）常以應(yīng)用題或探索題的形式出現(xiàn)，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識和發(fā)揮創(chuàng)造能力提供廣闊的空間 二、教學(xué)要求1、 了解數(shù)列的概念

5、和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)理解數(shù) 列的通項公式的意義2、 理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式，能運用公式解決一些簡單問題 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系3、理解等比數(shù)列的概念；掌握等比數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式，能運用公式解決一些簡單問題 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系探索等差、等比數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式4、數(shù)列教學(xué)，要注意的問題：（1） 教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)

6、（2） 會根據(jù)簡單數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式（3） 教學(xué)中，要掌握數(shù)列中各量之間的基本關(guān)系但訓(xùn)練要控制難度和復(fù)雜程度，避免繁瑣的計算、人 為技巧化的難題（4） 等差數(shù)列和等比數(shù)列有著廣泛的應(yīng)用，教學(xué)中應(yīng)重視在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或 等比關(guān)系這樣做，即突出了問題意識，也有助于學(xué)生理解數(shù)列的本質(zhì)三、考試要求：內(nèi)容要求abc數(shù)列有關(guān)概念數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列四、2008 年高考數(shù)列試題類型類型一：考查等差、等比數(shù)列的基本問題等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，它們是數(shù)列部分的重點，也是高考考查的熱點等差、等比數(shù) 列的定義、通項公式、前 n 項的和等基本知識一直是高考考查的重點，這

7、方面考題的解法靈活多樣，技巧 性強(qiáng)，考查的目的在于測試考生靈活運用知識的能力，這個“靈活”就集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上1（全國數(shù)學(xué)文科 19）在數(shù)列an中，a1=1 ， an +1=2 a +2nn（）設(shè)b =nan2n -1證明：數(shù)列b是等差數(shù)列；（）求數(shù)列 na的前n 項和 s n n（全國數(shù)學(xué)文科 18）等差數(shù)列an中，a =104且a ，a ，a 3 6 10成等比數(shù)列，求數(shù)列an前20 項的和s20類型二：考查遞推數(shù)列的通項公式問題對于由遞推式所確定的數(shù)列的通項公式問題，通常可對遞推式進(jìn)行變形，從而轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列 問題來解決這類問題一直是高考久考不衰的題型，尤其以 2007 年高考

8、試題最為明顯。2-x3n全國卷近三年理科所考查六個解答題中有四道（2006 年全國理科第 22 題、2007 年全國理科第 22題 、2007 年全國理科第 21 題 、2008 年全國理科第 20 題）(占了三分之二)都是形如：an +1=ca +dn( c 0, c 1, d 0) 或者 a =c gann -1+d gbn( c 0, c 1, d 0, b c )的遞推數(shù)列求其通項公式的問題2（全國數(shù)學(xué)理科 22）設(shè)函數(shù)f ( x ) =x -x ln x數(shù)列an滿足0 a 11，an +1= f ( a ) n（）證明：函數(shù)f ( x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)；（）證明：a ann

9、+1bk +13（全國數(shù)學(xué)理科 20）設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn已知a =a1，an +1=s +3nn，n n*（）設(shè)b =s -3 n nn，求數(shù)列bn的通項公式；（）若an +1an，n n*，求a的取值范圍類型三：考查數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式都是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，一些常見的解題技巧和思想方法在數(shù)列與不等式的綜合問題中 都得到了比較充分的體現(xiàn)以兩者的交匯處為主干，構(gòu)筑成知識網(wǎng)絡(luò)型代數(shù)推理題，在高考中出現(xiàn)的頻率 相當(dāng)高，占據(jù)著令人矚目的地位4（陜西卷理科數(shù)學(xué) 22）已知數(shù)列a 的首項 a = n 135，a =n +13an2a +1n，n =1，2，l（）求a n的通項公式；（

10、）證明：對任意的x 0，a n1 1-1 +x (1+x )22 ，n =1，2，l；（）證明：a +a +l +a 1 2 nn2n +1類型四：考查考察存在性和探索性問題課程改革突出強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力，2008 年江蘇卷對此考查全面且達(dá)到了一定的深 度，特別是第 19 題數(shù)列題使這樣的考查達(dá)到了相當(dāng)?shù)乃?，體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)思想5（08 江蘇卷 19）（）設(shè)a , a ,l l , a 1 2n是各項均不為零的等差數(shù)列（ n 4 ），且公差 d 0 ，若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：a當(dāng) n =4 時，求 1 的數(shù)值；求 n 的所有可能值；d（）求證

11、：對于一個給定的正整數(shù) n(n4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列 中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列b , b , l l , b 1 2 n，其6（2007 年江蘇卷）已知a n是等差數(shù)列，b n是公比為q的等比數(shù)列，a =b , a =b a 1 1 2 2 1，記sn為數(shù)列b 的前 n 項和 （1）若 nb =a ( m, k k m是大于2 的正整數(shù) ) ，求證：sk -1=( m -1)a1；3（2）若b3a (ii是某一正整數(shù) ) ，求證： q 是整數(shù)，且數(shù)列b n中每一項都是數(shù)列a n中的項；（3）是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列b n中有三項成等差數(shù)列？若存在，

12、寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由五、二輪復(fù)習(xí)建議：1、填充題力爭確保（1） 填充題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前 n 項和等內(nèi)容，對基本的計算技能要 求不是很高，建議要強(qiáng)化方程思想在解題中的作用（基本量），知道前 n 項和與通項的關(guān)系，對中等及偏 下的學(xué)生不必介紹過多解題技巧，對基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可適當(dāng)介紹（2） 填充題有可能出現(xiàn)與歸納推理有關(guān)的問題，此類題的難度不大，但對閱讀問題及思路要求很高，情 境也可能相對比較新穎2、解答題要有所為有所不為（1） 從江蘇近幾年的試題來看，數(shù)列題在最后兩題中出現(xiàn)的可能性較大（2） 對試卷中放在最后的壓軸數(shù)列題，重點應(yīng)放在前二

13、問，基礎(chǔ)較好的應(yīng)沖刺最后一問，要加強(qiáng) 12 問 的訓(xùn)練，不能刻意求全，能做到分步得分就好同時不能放棄數(shù)列常規(guī)題的復(fù)習(xí)教學(xué)，這仍是一個重點， 這是一項“根深葉茂”的基礎(chǔ)工程，至關(guān)重要3、 數(shù)列是考查學(xué)生自主探索、自主發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)試驗、歸納猜想等直覺思維的良好載體，復(fù)習(xí)中建議多讓 學(xué)生猜猜、算算、證證，反樸歸真，回歸數(shù)學(xué)的本源4、 對于遞推數(shù)列問題，生源好的學(xué)?？梢赃m當(dāng)加強(qiáng)，生源一般的學(xué)校無須舍本求末得不償失5、 培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣讓學(xué)生想一想做一做嘗試嘗試，不要題目一出來就分析，那是教師在分析，學(xué)生很難分析起來不要 用教師過早的“引導(dǎo)”限制、代替學(xué)生的思維，一旦學(xué)生養(yǎng)成了等待的習(xí)慣，學(xué)生離開了你該這么辦，可以 師生共做要讓學(xué)生首先熟悉題意，重視思維過程的指導(dǎo)，暴露如何想？怎么做？談來龍去脈，重視通性 通法的運用題目一出來，學(xué)生就立即做立即畫，這是主動學(xué)習(xí)表現(xiàn)；若學(xué)生抬著頭等你講，那是思維懶惰的表現(xiàn) 多讓學(xué)生感到自然，與你共鳴少讓學(xué)生感到突然，強(qiáng)加給學(xué)生努力使學(xué)生覺得，你老師想到的，我也