高中必修第一冊數(shù)學《2.2 基本不等式》課時練習

1、xxy122.2 基本不等式【本節(jié)明細表】知識點、方法基本不等式直接應(yīng)用利用基本不等式求最值利用基本不等式解決實際問題基礎(chǔ)鞏固題號1,2,3,57,8,9,10,114,12,131若a2n 0 ，則 n +9n的最小值為（ ）b4 c6 d8【答案】c【解析】n +9n2 9 =6（當且僅當 n3 時等號成立）故選：c2已知 ，y (0,+)，x+y=1，則 的最大值為（ ）a1b12c13d14【答案】d【解析】因為 x ，y (0,+)，x+y=1，所以有1 =x +y 2 xy xy ( )22=14，當且僅當x =y =12時取等號，故本題選 d.3若實數(shù) x ， y 滿足xy=1，

2、則 x2+4 y2的最小值為_【答案】4【解析】因為xy=1，所以 x2+4 y2=x2+(2y)2x 2 y =4 xy =4 ，當x =2 y時取“ =”，所以 x2+4 y2的最小值為 4，故答案為 4.4用籬笆圍一個面積為100 m 2 的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆 是（ ）a30【答案】cb36 c40 d50【解析】設(shè)矩形的長為x ( m)，則寬為100x( m)，設(shè)所用籬笆的長為y ( m )，所以有y =2 x +2 100x，根據(jù)1aba( )( )x , y基本不等式可知： y =2 x +2 100 1002 2 x 2 =40 x

3、x，（當且僅當2 x =2 100x時，等號成立，即x =10時，取等號）故本題選 c.5已知正實數(shù) a ，b滿足a +4 1=1 ，則b a+b的最小值為（ ）a4【答案】cb6c9 d10【解析】a 0，b 0 ， a +4 1 4 1 =1 ， +b =a+ +b b 4 4=5 +ab + 5 +2 ab =9 ab ab，當且僅當 4ab = , 1 ab a = , 時，即 3 時取“ =”.故答案選 c 4a + =1 b =6 b6若a 0, b 0，則“a +b 4 ”是 “ ab 4 ”的_條件【答案】充分不必要【解析】當a 0, b 0時，由基本不等式，可得 a +b 2

4、 ab ，當a +b 4時，有 2 ab a +b 4 ，解得ab 4，充分性是成立的；例如：當a =1, b =4時，滿足 ab 4 ，但此時 a+b =54，必要性不成立，綜上所述，“a +b 4 ”是“ ab 4 ”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要條件.7已知 x -1，則3 x +3x +1的最小值是_.【答案】3【解析】因為 x -1，所以x +1 0，所以 3 x +3 3 3 =3 x +1 + -3 2 3 x +1 x +1 x +1 x +1-3 =3（當且僅當x =0時，等號成立）.8已知正實數(shù) 滿足 【答案】6x+ y+ 3 = xy，則 x +y 的最小值為_2

5、2 + 7 3 + 6m（ x +y )【解析】由題得 x+ y+ 3 = xy 42,所以（x +y ) 2 -4( x +y） -12 0，所以（x +y -6)( x +y +2) 0，所以 x+y6 或 x+y-2(舍去)，所以 x+y 的最小值為 6. 當且僅當 x=y=3 時取等.故答案為：69（i）證明： 2 + 7 3+ 6 ；（ii）正數(shù) a ，b滿足 a +4b =1，求1 1+a b的最小值.9【答案】（）見解析（）【解析】（）證明：要證 2 + 7 3 + 6 ，只需證( )2( )2，即證 9 +2 14 9 +2 18 .由于 14 18 ，所以 9 +2 149

6、+2 18 成立， 即 2 + 7 0, y 0，且2 1+ =1x y，x +2 y m 2 +7 m恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（）ac( -8,1)( -,-1)(8, +)bd( -,-8) (1,+) ( -1,8)【答案】a3() (ma , b6 +400【解析】由基本不等式得x +2 y =2 1 4 y x 4 y x+ x +2 y = + +4 2 +4 =8 x y x y x y，當且僅當4 y x= x , y 0 x y)，即當x =2 y時，等號成立，所以，x +2 y的最小值為8.由題意可得m2+7 m (x+2y)min=8，即 m2+7 m -8 0 ，解

7、得m 1 .因此，實數(shù) 的取值范圍是(-,-8)u(1,+)，故選：b.11下列命題中：若 a2 +b 2 =2 ，則 a +b的最大值為 2 ；當a 0, b 0時，1a+1b+2 ab 4；y =x +4x -1a b的最小值為 5 ； 當且僅當 均為正數(shù)時， + 2b a恒成立.其中是真命題的是_(填上所有真命題的序號) 【答案】【解析】若 a 2 +b 2 =2 ，則 a +b的最大值為 2a2+b2=2 2 ab ( a +b )2=a2+b2+2 ab 4 a +b 2，正確當a 0, b 0時，1a+1b+2 ab 41 1 1+ +2 ab 2 +2 ab 4 a b ab，a

8、 =b =1時等號成立，正確y =x +4x -1的最小值為5，取x =0, y =-4錯誤當且僅當 a , b 均為正數(shù)時，ab+ba2恒成立a , b均為負數(shù)時也成立.故答案為 12已知 a、b 兩地的距離是 100km，按交通法規(guī)定，a、b 兩地之間的公路車速 x 應(yīng)限制在 60120km/h，假 x 2 設(shè)汽油的價格是 7 元/l，汽車的耗油率為 l / h，司機每小時的工資是 70 元（設(shè)汽車為勻速行駛），那么最經(jīng)濟的車速是多少？如果不考慮其他費用，這次行車的總費用是多少？4s =6 x + yy =6 x +y =720 x +【答案】80,280【解析】設(shè)總費用為w則w =100

9、 x 2 100 4200 7 x 7000 11200 7 x6 + 7 +70 = + + = + (60 x 120) x 400 x x 4 x x 4w =11200 7 x+ 280(60 x 120) x 4當11200 7 x= x =80 x 4時等號成立，滿足條件故最經(jīng)濟的車速是80km / h，總費用為 280.素養(yǎng)達成13某單位修建一個長方形無蓋蓄水池，其容積為1875立方米，深度為3米，池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為120 元，設(shè)池底長方形的長為 x 米.（1）用含 x 的表達式表示池壁面積 s；（2）當 x 為多少米時，水池的總造價最低，最低造價是多少？【答案】（1） 625x；（2）當 x =25 米時，最低造價是 98500 元.【解析】（1）由題意得：池底面積為1875 625 =625 平方米，池底長方形的寬為 米3 x 625 s =2 x + 3 =6 x + x 6