平方差與完全平方專題含問題詳解

1、實(shí)用文檔乘法公式的復(fù)習(xí)、復(fù)習(xí) :2 2 2 2 2 2 2 2(a+b)(a-b)=a 2-b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a 3 b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化， x y y x x2 y2 符號(hào)變化， x y x y x 2 y2 x 2 y2 指數(shù)變化， x2 y2 x2 y2 x4 y422 系數(shù)變化， 2a b 2a b 4a2 b2 換式變化， xy z m xy z m22xy z m22xy z m z m2 2 2 2x y z

2、zm zm m2 2 2 2x y z 2zm m 增項(xiàng)變化， x y z x y z22x y z2x y x y z2 2 2x xy xy y z2 2 2x 2xy y z22 連用公式變化， x y x y x2 y22 2 2 2x y x y44xy 逆用公式變化， x y z 2 x y z 2x y z x y z x y z x y z2x 2y 2z4xy 4xz例 1已知 a b 2 ，22ab 1，求 a 2 b 2的值。實(shí)用文檔解： (a b)2 a2 2ab b2a2 b2 =(a b)2 2ab a b 2，ab 1 a2 b2=22 2 1 2例 2已知 a

3、b 8，ab 2，求 (a b)2的值。22 2 22 2解： (a b)2a22ab b2(a b)2a22ab b22 2 2 2 (a b)2 (a b)2 4ab (a b)2 4ab=(a b)222 a b 8， ab 2 (a b)2 82 4 2 562例 3：計(jì)算 19992-2000 1998解析此題中 2000=1999+1， 1998=1999-1 ，正好符合平方差公式。解： 19992-2000 1998 =1999 2-(1999+1)( 1999-1 )2 2 2 2 2=19992- ( 19992-1 2)=19992-1999 2+1 =1例 4：已知 a+

4、b=2，ab=1，求 a2+b2和 (a-b) 2的值。解析此題可用完全平方公式的變形得解。2 2 2解： a2+b2=(a+b) 2-2ab=4-2=222( a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5：已知 x-y=2 ， y-z=2 ， x+z=14 。求 x2-z 2的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z 的值，比較麻煩，考慮到 x2-z 2是由 x+z和 x-z 的積得來的，所以只要求出 x-z 的值即可。22解：因?yàn)?x-y=2 ， y-z=2 ，將兩式相加得 x-z=4 ，所以 x2-z 2=（ x+z ）（x-z）=14 4=56。例 6：判斷（ 2+1）（2

5、2+1）（24+1）（ 22048+1）+1 的個(gè)位數(shù)字是幾？解析 此題直接計(jì)算是不可能計(jì)算出一個(gè)數(shù)字的答案， 故有一定的規(guī)律可循。 觀察到 1=（ 2-1 ）和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解：（2+1）（22+1）（ 24+1）（ 22048+1） +12 4 2048= （2-1 ）（ 22+1）（ 24+1）（ 22048+1）+1=24096實(shí)用文檔=161024因?yàn)楫?dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是 6 的時(shí)候，這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字都是6，所以上式的個(gè)位數(shù)字必為 6。例 7運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算22（ 1） 1032（2）19822222解：（1） 1032100321002210033210000

6、6009106092222（ 2） 1982200222002220022240000800439204例 8 計(jì)算1） a 4b 3c a 4b 3c（ 2） 3x y 2 3x y 2解：（ 1）原式a3c4ba 3c4ba3c 24b 2a26ac 9c2 16b22）原式3xy 23xy 29x2y 24y 49x2y24y4例 9解下列各式1)已知2)已知3)4)分析：a2 b2 13，ab 6，求 a b 2， a b 2 的值。a b 2 7， a b 2 4，求 a2 b2，ab 的值。22a2 b2 ab 的值。a a 1 a2 b 2，求11 x3 ，求 x4 的值。xx在

7、公式 a b 2 a2 b2 2ab中，如果把 a b，a2 b2和 ab 分別看作是一個(gè)整體，則公已知已知式中有三個(gè)未知數(shù)，知道了兩個(gè)就可以求出第三個(gè)。22解：（1） a2 b2 13， ab 6a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 2522（ 2） a b 7 ， a b 422a 2ab b 7 222a b a b 2ab 13 2 6 122a 2ab b 4 得 2 a2 b2 11，即 a2 b2 11 得 4 ab 3，即 ab 3423）由 a a 1 a2 b 2實(shí)用文檔22ab2ab 1 a2 b2 2ab 1 a b 2 1 2 214）由 x 1x3 ，得 x

8、 1xx9即 x2 12 2 9x2x2 12 11xx2 x1x121即 x4 14 2 121 x14 119x例 10 四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上 1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？2分析：由于 1 2 3 4 1 25 5222 3 4 5 1 121 11223 4 5 6 1 361 192 得猜想：任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，都是平方數(shù)。解：設(shè) n，n 1，n 2，n 3 是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 1 n 2 1222n 3n 2 n 3n 12 2 2 2n 3n n 3n 2 1 n 3n 1n是整數(shù)， n 2，3n都是整數(shù)n2 3n 1 一

9、定是整數(shù)2n2 3n 1 是一個(gè)平方數(shù)四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積與 1 的和必是一個(gè)完全平方數(shù)。2 2 2例 11計(jì)算（1） x2 x 1 2 （2） 3mn p 22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2解：（ 1） x x 1 x x 1 2 x x 2 x 1 2 x 1 x x 1 2x 2x 2x 432x 2x 3x 2x 12 2 2 2 2 2 2（2） 3mn p 3m n p 23mn 2 3m p 2n p 9m n p 6mn 6mp 2np 分析：兩數(shù)和的平方的推廣a b c 2 a b c 2 a b 2 2 a b c c2 a2 2ab b2 2ac 2bc c22

10、 2 2 2 2 2 2a b c 2ab 2bc 2ac即 a b c a b c 2ab 2bc 2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的 2 倍。二、乘法公式的用法（一）、套用 : 這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈， 準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。實(shí)用文檔22例 1. 計(jì)算： 5x2 3y2 5x2 3y2 解：原式 5x23y2 25x4 9y4（二）、連用 :連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例 2. 計(jì)算： 1 a a 1 a2 1 a4 1解：原式 1 a2 1 a2 1 a41 a4

11、1 a41 a8例 3. 計(jì)算： 3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 1解：原式 2y 5z 3x 1 2y 5z 3x 1222y 5z 3x 14y2 9x2 25z2 20yz 6x 1三、逆用 : 學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出 公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。22例 4. 計(jì)算： 5a 7b 8c 5a 7b 8c解：原式 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c10a 14b 16c140ab 160ac四、變用 : 題目變形后運(yùn)用公式解題。例 5. 計(jì)算： x y 2z x y 6z解：原式 x y 2z 4

12、z x y 2z 4z22x y 2z 4zx2 y2 12z2 2xy 4xz 4yz五、活用 : 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形 或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：實(shí)用文檔2221. ab2aba2b22222. ab2aba2b22 2 2 23. a ba b2 a2 b2224. a ba b4ab靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。 例 6. 已知 a b 4，ab 5，求 a2 b2 的值。解： a2 b2 a b 2ab 42 2 5 2622 例 7. 計(jì)算： a b c d b c d a解：

13、原式 b c a d b c a d2 b c a d2 2 2 22a2 2b2 2c2 2d2 4bc 4ad例 8. 已知實(shí)數(shù) x、y、z 滿足 x y 5，z2 xy y 9 ，那么 x 2y 3z （ ）解：由兩個(gè)完全平方公式得： ab 1 a b a b4從而 z2 1 52 x y y 9425 1 25 2y y 944 y2 6y 9 y2 6y 92 y3 z2 y 3 0 z 0， y 3 x 2 x 2y 3z 2 2 3 0 8實(shí)用文檔三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題(一) 、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例1 計(jì)算(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩

14、個(gè)因式中 “-5”相同，“2x2”符號(hào)相反， 因而“-5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2 中的 a，而“ 2x2”則是公式中的 b解：原式 =(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5) 2-(2 x2) 2=25-4 x422例 2 計(jì)算(- a2+4b)2分析：運(yùn)用公式 (a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“ - a2”就是公式中的 a，“ 4b”就是公式中的 b； 若將題目變形為 (4 b- a2) 2時(shí)，則“ 4b”是公式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b(解略)(二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3 計(jì)算(2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析

15、：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、“ 5”兩項(xiàng)同號(hào)，y”、“ z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式解：原式 = (2 x+5)+( y-z) (2 x+5)-( y-z) =(2x+5)2-( y- z) 2=422x2+20x+25- y+2yz-z2例4 計(jì)算( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3+1) 2分析： 若先用完全平方公式展開，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用冪的運(yùn)算法則， 則可利用 乘法公式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便解：2 6 3 2原式 =( a-1)( a2+a+1)( a6+a3+1) 23 6 3 2=( a -1)(

16、a +a +1)9 2 18 9=( a -1) =a -2a +12 4 8 例5 計(jì)算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) 分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)( 2-1 )，則可運(yùn)用公式， 使問題化繁為簡(jiǎn)解：248原式 =(2-1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)22 4 8=(22-1)(22+1)(2 4+1)(2 8+1)=(24-1)(24+1)(2 8+1)=(28-1 )( 28+1)實(shí)用文檔=216-1(三) 、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由 ( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到： 2222( a+b+c)

17、 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積的 2 倍 例 6 計(jì)算(2 x+y-3) 2解：原式 =(2 x) 2+y2+(-3) 2+22xy+22x(-3)+2 y(-3)22=4x +y +9+4xy -12 x-6 y(四) 、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式3 3 2 2例 7 (1) 已知 x+y=10，x3+y3=100，求 x2+y2 的值；2(2)已知： x+2y=7，xy=6，求( x-2y) 2的值分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=(x+y)2-2 xy，3 3 3 2 2x3+y

18、3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-( x- y) 2 =4xy，問題則十分簡(jiǎn)單解：(1) x3+y3=(x+y) 3-3 xy( x+y) ，將已知條件代入得 100=103-3 xy 10，2 2 2 2 xy=30故 x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2 30=402 2 2(2)( x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8 6=12 2 2例 8 計(jì)算( a+b+c) 2+( a+b- c) 2+( a- b+c)+( b-a+c)2分析：直接展開，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b) 2+( a- b) 2=2(a2+b2) ，因而問

19、題容易解決解：2222原式 =( a+b)+ c 2+( a+b)- c 2+ c+( a- b) 2+ c-( a-b) 22 2 2 2=2( a+b) 2+c2+2 c2+( a- b)22 2 2=2(a+b) 2+( a- b) 2+4 c2=4a2+4b2+4c2(五) 、注意乘法公式的逆運(yùn)用22例 9 計(jì)算( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2分析：若按完全平方公式展開，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡(jiǎn) 便得多解：原式 =( a-2 b+3c)+( a+2b-3 c)( a-2 b+3c)-( a+2b-3 c) =2 a(-4 b+6c)=-8

20、ab+12ac例 10 計(jì)算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5b) 2分析： 此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開后計(jì)算，但逆用完全平方公式， 則運(yùn)實(shí)用文檔算更為簡(jiǎn)便解：原式 =(2 a+3b) 2+2(2 a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b) 22=(2 a+3b)+(4 a-5 b) 2 =(6a-2b)2=36a2-24 ab+4b2四、怎樣熟練運(yùn)用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征 這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘， 且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同， 另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)； 等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平

21、方差， 且 是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公 式（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母 a、b 可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式理解了字母含義 的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式如計(jì)算（x+2y 3z）2，若視 x+2y 為公式中的 a， 3z 為 b，則就可用（ a b）2=a22ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化 有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特 征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)常見的幾種變化是：1、位置變化 如（ 3x+5y）（ 5y3x）交換 3x 和 5y 的位置后即可

22、用平方差公式計(jì)算了2、符號(hào)變化 如（ 2m7n）（ 2m 7n）變?yōu)椋?2m+7n）（2m7n）后就可用平方差公 式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如 98102，992，912 等分別變?yōu)椋?1002）（100+2），（1001）2，（90+1） 后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如（4m+n ）（2m n ）變?yōu)?2（2m+n ）（2m n ）后即可用平方差公式2 4 4 4進(jìn)行計(jì)算了5、項(xiàng)數(shù)變化 如（ x+3y+2z）（ x 3y+6z）變?yōu)椋?x+3y+4z 2z）（ x 3y+4z+2z）后再適 當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了四）、注意公式的靈活運(yùn)用實(shí)用文

23、檔還要注意逆向（從右到左） 運(yùn)用如有些題目往往可用不同的公式來解， 此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便 如計(jì)算 （a2+1）2（a21）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步 計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便即原式 = （a2+1）（a21） 2=（a41）2=a82a4+11111即原式=（1 1 ）（1+ 1 ）（1 1 ）（ 1+ 1 ）2233111 1 ）（ 1+ 1 ）10 10322233計(jì)算（ 1 212 ）（ 1 312 ）（1 412 ）（ 1 912 ）（1 1102 ），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難， 而且容易出錯(cuò)則可巧解本題若注意到各因式均

24、為平方差的形式而逆用平方差公式，對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向 （從左到右） 運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，9 11 = 1 11 = 1110 10 2 10 20有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變式， 乘法公式的變式主 要有： a2+b2=（a+b） 22ab，a2+b2=（ab）2+2ab 等用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效如已知 m+n=7，mn=18，求 m2+n2，m2mn+ n2 的值 面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解，2 2 2 2即 m2+n2=（m+n）2 2mn=722（ 18）=49+36=85，2 2 2 2m2mn+ n2= （m+n）2 3mn=72 3（

25、 18） =103下列各題，難不倒你吧？！1、若 a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12 ，（2）（a 1 ）2 的值 aa2a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1 的末位數(shù)字 （答案： 1. （ 1）23；（2）212. 6 ）五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次2 2 2 2乘法公式： （a b）（a b）=a 2 b2， （a b）=a 22abb2，2 2 3 3（a b）（a 2ab b2）=a 3b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用例 1 計(jì)算實(shí)用文檔(2)( 2x y)(2x y) 22(2) 原式

26、=( y) 2x( y) 2x=y 2 4 8 16 =（2 2 1）（2 21）（2 4 1）（2 81） 1=216 4x2第二層次逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用例 2 計(jì)算22(1)1998 2 19983994 19972；解(1) 原式 =1998221998199719972 =(1998 1997) 2=1第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有 時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例 3 化簡(jiǎn)： （2 1）（2 2 1）（2 例 4 計(jì)算： （2x 3y 1）（ 2x3y5） 分析仔細(xì)觀察， 易見兩個(gè)因式的字母部分與平方差公式相近， 但常數(shù)不符

27、 于是可創(chuàng)造 條件“拆”數(shù)： 1=2 3，5=23，使用公式巧解 1）（2 81） 1分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)， 注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增添一個(gè)因式“ 21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解2 4 8解原式 =（2 1）（2 1）（2 21）（2 41）（2 81） 1實(shí)用文檔解原式 =（2x 3y3 2）（ 2x3y32）=（2 3y）（2x 3）（2 3y） （2x 3）=（2 3y） 2 （2x 3）2=9y24x212x12y5第四層次變用 ：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如 a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(a b)等，則求

28、解十分簡(jiǎn)單、明快2 2 3 3例 5已知 ab=9，ab=14，求 2a2 2b2和 a3b3的值2 2 2 2解：ab=9，ab=14， 2a22b2=2（a b） 2 2ab=2（9 2 2 14）=106 ，3 3 3 3a3b3=（ab）33ab（a b）=933149=351第五層次綜合后用 ：將 （ab）2=a22abb2和（ab）2=a22abb2綜合，2 2 2 2 2 2可得 （a b） 2 （a b） 2=2（a 2b2） ； （a b） 2 （a b） 2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡(jiǎn)捷例 6 計(jì)算： (2x yz5)(2x yz5) 1 2 1

29、解：原式 = （2x+y-z+5）+（2x-y+z+5）2- （2x+y-z+5）-（2x-y+z+5）442 2 2 2 2=（2x 5） 2（y z） 2=4x220x25y22yzz2六、正確認(rèn)識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式：對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種(三個(gè))乘法公式：平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2、完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2 ；(a-b) 2=a2-2ab+b 2，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè) a、b 都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法公式。如圖 1，兩個(gè)矩形的面積之和 (即陰影部分的面積) 為 (a

30、+b)(a-b) ，通過左右兩圖的對(duì)照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b 2；圖 2 中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為 (a+b) 2 與(a-b) 2，通過 面積的計(jì)算方法，即可得到兩個(gè)完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 與實(shí)用文檔2 2 2 (a-b) =a -2ab+b 。2、乘法公式的使用技巧： 提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。例1、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：2)(-2m-1)2222-(3x) 2=1-9x 2.(1) (-1+3x)(-1-3x) ；解：(1) (-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)

31、=(1-3x)(1+3x)=12 2 2 22) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1) 2= 4m2+4m+1. 改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序，可以使公式的特征更加明顯例2、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：1)(13a-41b )(- 14b - 3a );22) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)解：( 1) ( 31a- 41b )(-1a1111b - )=(- b+ a )(- b - a )434343=( 14b- 3a )( 4b + 3a )=( 4b)2- ( 3a)4 3 4 3 4 31 2 1 2 1 2 1 24 2 3

32、 2 = 16b2- 9a22(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x22+1/4)實(shí)用文檔222=(x 解：( 1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=1-1/4) (x 2+1/4)= x 2-1/16. 逆用公式 將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b) ，逆用積的乘方公式，得 anbn=(ab) n, 等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、 計(jì)算：21) (x/2+5) 2-(x/2-5)2)(a-1/2)2 2 22(a

33、 2+1/4) 2(a+1/2)解：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5)=(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x10=10x.2) (a-1/2)2 2 22(a 2+1/4) 2 (a+1/2)2 2=(a-1/2)(a 2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2 ) (a+1/2) (a22+1/4)222 4 2 8 4=(a 2-1/4 ) (a2+1/4)2=(a 4-1/16) 2=a8-a 4/8+1/256.合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因 式

34、的前面， 視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面，視為另一組； 再依次用平方差公式與完全平 方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：(1)(x+y+1)(1-x-y);2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).2-(x+y)22=1-(x +2xy+y )= 1-x2-2xy-y2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)2 2 2 2 2 = (2x+5) -(y-z) =(4x +20x+25)-(y -2yz+z )2 2 2 2 2 2= 4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z

35、2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘 多項(xiàng)式，運(yùn)算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將 其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運(yùn)算就顯得簡(jiǎn)便易行。一 . 先分組，再用公式例 1. 計(jì)算： (a b c d)( a b c d)簡(jiǎn)析：本題若以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式(a b c d) 運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形為 ( b d) (a c)；將另一個(gè)整式實(shí)用文檔( a b c d) 變形為 ( b d) (a c) ，則從其中找出了特點(diǎn)，

36、從而利用平方差公式即 可將其展開。解：原式 ( b d) (a c) b d a c( b d)2 (a c)22 2 2 2 b2 2bd d 2 a2 2ac c2例 2. 計(jì)算： 8x y24x y4簡(jiǎn)析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一則可利用乘法公式。y解：原式 2 4x4x y42兩個(gè)多項(xiàng)式中的2二. 先提公因式，再用公式x 的系數(shù)成倍數(shù)， y 的系數(shù)也成倍個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù) 2 出來，變?yōu)?2 4x4，2 4x 222y 32x28三. 先分項(xiàng)，再用公式例 3. 計(jì)算： 2x 3y 2 2x 3y 6簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知

37、數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)， x的系數(shù)相同， y 的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將 2 分解成 4 與 2 的和，將 6 分解成 4 與 2 的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。解：原式 = (2x 4) (2 3y) 2x 4 2 3y(2x 4)2 2 3y 2224x2 16x 12 12y 9y2四. 先整體展開，再用公式(a 2b) 1 ，再將例 4. 計(jì)算： (a 2b)(a 2b 1)簡(jiǎn)析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無聯(lián)系，但把第二個(gè)整式分成兩部分，即實(shí)用文檔第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解：原式 (a 2b) (a 2b) 1(a 2b)(a 2b

38、) (a 2b)22a 2 4b2 a 2b五. 先補(bǔ)項(xiàng)，再用公式例 5. 計(jì)算： 3 (38 1)(34 1)(32 1)(3 1)簡(jiǎn)析：由觀察整式 (3 1) ，不難發(fā)現(xiàn)，若先補(bǔ)上一項(xiàng) (3 1) ，則可滿足平方差公式。 多次利用平方差公式逐步展開，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便易行。解：原式 3 (38 1)(34 1)(32 1)(3 1)(3 1)23 (38 1)(34 1)(32 1)(32 1)323 (38 1)(34 1)(34 1)323 (38 1)(38 1)323 (316 1)25 31622六 . 先用公式，再展開例 6. 計(jì)算：簡(jiǎn)析：第一個(gè)整式11 2 可表示為由簡(jiǎn)單的變化，可看出整式符合11111111111223344平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡(jiǎn)即可。解：原式 11103 1 4 2 5 3 11 9 11 2 2 3 3 4 4 10 10 20七. 乘法公式交替用例 7. 計(jì)算： (x z)(x2 2xz z2)(x z)(x2 2xz z2 )實(shí)用文檔把第二個(gè)整式與第三簡(jiǎn)析： 利用乘法交換律， 把第一個(gè)整式和第四個(gè)整式結(jié)合在一起， 個(gè)整式結(jié)合，則可利用乘法公式展開。解