初中數(shù)學知識點總結(華師大)

1、 32 七年級上 有理數(shù) 1相反意義的量向東和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，買進和賣出 2. 正數(shù)和負數(shù) 1 像+2，+12，1.3，258等大于0的數(shù)(“+”通常不寫)叫正數(shù)。 3 像-5，-2.8，- 4等在正數(shù)前面加“一(讀負)的數(shù)叫負數(shù)。 【注】0既不是正數(shù)也不是負數(shù)。 3. 有理數(shù) (1)整數(shù)：正整數(shù)、零和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。 分數(shù)：正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)。 有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。 (2)有理數(shù)分類 按有理數(shù)的定義分類 2 )按正負分類 r 正整數(shù) 正整數(shù) 整數(shù)* 0 正有理數(shù)* 有理數(shù)Y 負整數(shù) 有理數(shù) j 、 正分數(shù) f 正分數(shù) 0 1 負整數(shù) * 分數(shù) 1

2、 負有理數(shù) 負分數(shù) 負分數(shù) 【注】有限循環(huán)小數(shù)叫做分數(shù)。 (3) 數(shù)集 把一些數(shù)組合在一起，就組成了一個數(shù)的集合，簡稱數(shù)集。所有的有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集，類 似的，有整數(shù)集，正數(shù)集，負數(shù)集，所有的正整數(shù)和零組成的數(shù)集叫做自然數(shù)集或叫做非負整數(shù)集，所有負數(shù)和零組 成的數(shù)集叫做非負數(shù)集。 4. 數(shù)軸 (1) 規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。 【注】1)數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度缺一不可。 2)數(shù)軸能形象地表示數(shù)，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點所表示的數(shù)并不都是有理數(shù). (2) 在數(shù)軸上比較有理數(shù)的大小 1) 在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

3、 2) 由正、負數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：正數(shù)都有大于0，負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)。 5. 相反數(shù) (1 )只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)，如-5與5互為相反數(shù)。 (2) 從數(shù)軸上看，位于原點兩旁，且與原點距離相等的兩點所表示的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。(幾何意義) (3) 0的相反數(shù)是0。也只有0的相反數(shù)是它的本身。 (4) 相反數(shù)是表示兩個數(shù)的相互關系，不能單獨存在。 (5 )數(shù)a的相反數(shù)是一a。 (6)多重符號化簡 多重符號化簡的結果是由“-”號的個數(shù)決定的。如果“-”號是奇數(shù)個，則結果為負；如保是偶數(shù)個，則結果為 正。可簡寫為“奇負偶正”。 6. 絕對值 (1 )在數(shù)軸上表示數(shù)a的點離

4、開原點的距離，叫做數(shù) a的絕對值。 (2 )一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零. a, a 0 a 0,a0 a, a 0 (3) 絕對值的主要性質(zhì) 一個數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，即 a0,因此，在實數(shù)范圍內(nèi)，絕對值最小的數(shù)是零. (4) 兩個相反數(shù)的絕對值相等. (5) 運用絕對值比較有理數(shù)的大小 兩個負數(shù)，絕對值大的反而小. (6 )比較兩個負數(shù)的方法步驟是： 1) 先分別求出兩個負數(shù)的絕對值； 2) 比較這兩個絕對值的大小； 3) 根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”作出正確的判斷. 7. 有理數(shù)的加法 (1) 有理數(shù)加法法則 1) 同號兩數(shù)相加，取相同的

5、符號，并把絕對值相加。 2) 絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。 3) 互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。 4) 一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。 (2) 有理數(shù)加法的運算律 加法交換律：a + b= b+ a 加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c) 8. 有理數(shù)的減法 減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。 a-b=a+(-b) 9. 有理數(shù)的加減混合運算 (1) 省略加號和的形式：在一個和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫。例如：把-8+( +10) + (-6 ) + (-4 )寫成省略加號和的形式為-8+10-6-4。讀作“負8

6、,正10,負6，負4的和”也可讀作“負 8加10減6減4。 (2) 適當?shù)膽眉臃ㄟ\算律。 10. 有理數(shù)的乘法 (1) 有理數(shù)的乘法法則 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數(shù)與零相乘都得零。 (2 )幾個不等于零的數(shù)相乘，積的正負號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負號的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負；當負號的個數(shù)為 偶數(shù)時，積為正。 幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零。 (3) 乘法運算律 乘法交換律：ab=ba 乘法結合律：(ab)c=a(bc) 乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac 11. 有理數(shù)的除法 (1) 倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。 【注】0沒有倒數(shù)。 (2 )有理數(shù)除

7、法法則1：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。 【注】0不能做除數(shù)。 1 aba (b 0) b (3) 有理數(shù)的除法法則2 :兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。 零除以任何一個不等于的數(shù)，都得零。 12. 有理數(shù)的乘方 (1) 求幾個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方。 n a a a a a x n個 (2) 乘方的結果叫做幕，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。 (3) 有理數(shù)乘方法則： 正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)，0的任何非0次幕都是零。 13. 科學記數(shù)法 (1 )一般的，10的n次幕，在1的后面有n的0。 (2) 一個大于0的數(shù)就記成a 10的形式。其中1

8、a 10, n是正整數(shù)。像這樣的記數(shù)法叫做科學記數(shù)法。 (3) 用科學記數(shù)法表示一個數(shù)時，10的指數(shù)等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減 1 o (或等于小數(shù)點向右移動的位數(shù)。 14. 有理數(shù)的混合運算 (1 )先算乘方，再算乘除，最后算加減。 (2 )同級運算，按照從左至右的順序進行。 (3)如果有括號，就先算小括號里的，再算中括號里的，然后算大括號里的。 15. 近似數(shù)和有效數(shù)字 (1 )準確數(shù)：完全符合實際的數(shù)。 (2) 近似數(shù)：和準確數(shù)非常接近的數(shù)。近似數(shù)和準確數(shù)接近的程度叫做精確度。 (3) 一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起到精確 到的位數(shù)止

9、，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。 (4 )近似數(shù)的精確度有兩種形式：1 )精確到哪一位，2)保留幾個有效數(shù)字。 第三章整式的加減 1. 用字母表示數(shù) 2. 代數(shù)式 (1) 由數(shù)和字母用運算符號連接起所成的式子叫做代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫代數(shù)式。 【注】運算符號指加、減、乘、除、乘方、開方。代數(shù)式中不可含有“”、“”、“=”、“ ”、“ ”、“”等表示 相等或不等關系的符號。 (2 )代數(shù)式書寫要求 1) 代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號，通常寫作“? ”或省略不寫。但數(shù)字與數(shù)字相乘時，要用“ ”。 2) 數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字寫在字母的前面。 3) 除法運算寫成分數(shù)形式。 4) 帶分數(shù)與字母相

10、乘時，要把帶分數(shù)寫成假分數(shù)。 5) 在一些實際問題中，有時表示數(shù)量的代數(shù)式有單位名稱，若代數(shù)式是積或商的形式，則單位直接寫在后面，若代數(shù) 式是和或差的形式，則必須先把代數(shù)式用括號括起來，再將單位名稱寫在后面。 (3)解釋簡單代數(shù)式表示的實際背景 (4 )列代數(shù)式 在解決實際問題時，常常先把問題中與數(shù)量有關的詞語用代數(shù)式表示出來，即列代數(shù)式。 【注】抓住題中表示運算關系的關鍵詞：如和、差、積、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、減少、幾分之幾等。 (5) 代數(shù)式的值 一般的，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中運算計算得出的結果叫做代數(shù)式的值。 【注】1)代數(shù)式中的值隨著代數(shù)式中字母取值的變化

11、而變化。所以求代數(shù)式值時，在代入前必須寫出“當時” 2)代數(shù)式里字母的取值必須確保代數(shù)式有意義。 3. 單項式 2 (1 )如100t、6a 、2.5x、vt、-n，它們都是數(shù)或字母的積，像這樣的式子叫做單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母 也是單項式。 (2) 單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。 (3 )單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。 【注】1)當一個單項式的系數(shù)是 1或-1時，“1 ”通常省略不寫。 2)單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，通常寫成假分數(shù)。 4. 多項式 (1 )幾個單項式的和，叫做多項式。其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫

12、做常數(shù)項。 (2 )多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。 2 (3) 一個多項式含有幾項，就叫幾項式；例如： x +2X+18是一個二次三項式。 【注】1)多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)和。 2)多項式的每一項都包括它前面的正負號。 5. 整式單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。 6. 升幕排列與降幕排列 為便于多項式的運算，可以用加法交換律將多項式各項的位置按某個字母的指數(shù)的大小順序重新排列。 若按某個字母的指數(shù)從大到小的順序排列，叫做這個多項式按這個字母降幕排列。 若按某個字母的指數(shù)從小到大的順序排列，叫做這個多項式按這個字母升幕排列。 【注】重新排列的多項式，每一項一定要連

13、同它的正負號一起移動。 含有兩個或兩個以上字母的多項式，常常按照其中某一個字母升幕排列或降幕排列。 7. 整式的加減 (1 )同類項：所含字母相同，并且相同字母指數(shù)也相同的項叫做同類項，所有的常數(shù)項都是同類項。 (2)合并同類項：根據(jù)乘法對加法的分配律把多項式中同類項合并成一項叫做合并同類項。 合并同類項法則：在合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變。 (3)去括號與添括號 1) 去括號法則：括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不改變正負號；括號前是“一” 號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號里各項都改變正負號。 a+(b+c)

14、=a+b+ca_(b+c)=a_b_c 2) 添括號法則：所添括號前面是“十”號，括到括號里的各項都不改變正負號；所添括h號前是“一”號，括到括 號里的各項都改變正負號。 a+b+c= a+(b+c) a_b_c= a_(b+c) (4) 整式的加減先去括號，再合并同類項。 第五章圖形的初步認識 1. 生活中常見的立體圖形 (1) 球體 (2) 柱體：包括圓柱和棱柱。 1) 圓柱：有兩個底面是圓，側(cè)面是曲面。 2) 棱柱：上下兩個底面是兩個平行且相同的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。 棱柱可按底面多邊形邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 (3) 椎體：包括圓錐和棱錐。 1) 圓錐：有一個底面是圓，側(cè)

15、面是曲面。 2) 棱錐：底面是多邊形，側(cè)面是三角形。 棱錐可按底面多邊形邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等。 (4 )多面體：由平的面圍成的立體圖形。 2. 畫立體圖形 (1) 視圖：就是從正面、上面、和側(cè)面(左面或右面)三個不同的方向看一個物體，然后描繪三張所看到的圖，即 視圖 射線：有一個端點，向一方無限延伸，不可度量。有一種表示方法射線 0A. 正視圖：從正面看到的圖形。 俯視圖：從上面看到的圖形。 側(cè)視圖：從側(cè)面看到的圖形。依觀看方向不同，有左視圖、右視圖。 三視圖：通常把正視圖、俯視圖、與左(或右)視圖稱作一個物體的三視圖。 (2 )球體的三視圖都是圓。 正方體的三視圖都是正方形 圓柱

16、體的正視圖和左視圖都是長方體，俯視圖是圓。 圓錐體的正視圖和左視圖都是三角形，俯視圖是圓，中心有一個點。 3. 由視圖到立體圖形 主視圖：可分清物體的長與高。 俯視圖：可分清物體的長與寬。 左視圖：可分清物體的寬與高。 口訣：主俯長對正，主左高齊平，俯左寬相等。 4. 立體圖形的表面展開圖 多面體是由平面圖形圍成的的立體圖形，沿著多面體的一些棱將它剪開，可以把多面體的表面展開成一個平面圖形， 這個平面圖形叫做多面體的表面展開圖。 正方體的表面展開圖：有“一四一型”、“一三二型”、“二二二型”、“三三型” 口訣：一行不過四，“田” “凹”應棄之，相間、Z端是對面。 5. 平面圖形 (1 )圓是由

17、曲線圍成的封閉圖形。 (2) 多邊形：由在同一平面且不在同一直線上的三條或三條以上的 線段首尾順次連結所組成的封閉 圖形叫做多邊形 按照組成多邊形的邊的個數(shù)，多邊形可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形 在多邊形里，三角形是最基本的圖形，每個n邊形都可以分割成(n-2)個三角形。 6. 最基本的圖形 點和線 (1) 點：通常表示一個物體的位置。 (2) 線段、射線、直線 線段：有兩個端點，不向任何一方延伸，可度量。有兩種表示方法線段AB(BA)，或線段a。 .a AB OA 直線：沒有端點，向兩方限延伸，不可度量。有兩種表示方法直線AB(BA)，直線I I AB (3 )兩點之間，線段最短。 經(jīng)

18、過兩點有且只有一條直線。 (4 )線段長短的比較 1) 度量法 2) 疊合法，就是把其中一條線段移到另一條線段上，使其一個端點重合，然后去加以比較。 (5) 畫一條線段等于已知線段。 已知：線段MN, 求作：一條線段AC,使AC=MN 做法：1)畫一條射線AB 2) 用圓規(guī)量出線段MN的長 3) 在射線AB上截取AC=MN則線段AC就是要畫的線段。 (6 )線段中點把一條線段分成相等的點，叫做這條線段的中點。 7. 角 (1 )角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形。 (2 )角也可以看成是有一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形。射線的端點叫做角的頂點，起始位置的射線叫做角 的始邊，終止位置的射線

19、叫做角的中邊。 【注】角的大小只與開口大小有關，與角的邊的長短無關。 (3) 角的表示方法 1)用數(shù)字表示單獨的一個角。如/1，/ 2等 2) 用小寫的希臘字母表示單獨的一個角。如/，/ 等 3) 用一個大寫的英文字母表示獨立(在一個頂點處只有一個角)的角。如/O, Z A等。 360 4)用三個大寫的英文字母表示任意一個角，但必須把表示角的頂點的字母寫在中間。 如Z AOB Z BOC等 (4 )角的分類 Oo 銳角0 /90 o 直角/ =90 oo 鈍角 90 z ”或“ ”、“b a xa 1時需要注意 axb，那么 a+cb+c，a_cb_c。 性質(zhì)2不等式的兩邊都乘以（或除以）同一

20、個正數(shù)，不等號的方向不變。 如果ab，并且c0，那么acbc。 性質(zhì)3不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。 如果ab，并且c0，那么acr，a 0) 2. 整式的乘法 (1) 單項式與單項式相乘將它們的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，對于只在一個單項式中出現(xiàn)的字母，則連同它 的指數(shù)一起作為積的一個因式。 (2) 單項式與多項式相乘將單項式分別乘以多項式的每一項，再將所得的積相加。 (3) 多項式與多項式相乘先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 (a+b) (m+n)=am+bm+an+bn 3. 乘法公式 (1)平方差公式：兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的

21、差，等于這兩個數(shù)的平方差。 aba b 2 a b2 完全平方公式： 兩數(shù)和 (或差) 的平方，等于它們的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的 2倍 a b 2 2 a 2ab b2 2 2 2 a ba 2ab b 4.整式的除法 (1) 單項式除以單項式把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除作為商的因式，對于只在被除式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指 數(shù)一起作為商的一個因式。 (2) 多項式除以單項式 先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。 5. 因式分解 (1)把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解。 (2 )公因式：多項式 ma+mb+m中的每一項都含有一個相同的因式 m我們

22、稱之為公因式。 (3) 提取公因式法：把公因式提出來，多項式ma+mb+m就可以分解成兩個因式 m和(a+b+c)的乘積，這種因式分 解的方法，叫做提取公因式法。 (4 )公式法：將乘法公式反過來用，對多項式進行因式分解的，這種因式分解的方法成為公式法。 2 (5)十字相乘法：X (a b)X ab = (x a)(x b) (a、b是常數(shù)) 公式特點：1)右邊相乘的兩個因式都只含有一個相同的字母，都是一次二項式，并且一次項的系數(shù)為一。2)左邊是 二次三項式，二次項的系數(shù)是 1，一次項系數(shù)是兩常數(shù)項之和，積的常數(shù)項等于兩個因式中常數(shù)項之積。 勾股定理 6. 中心對稱 o (1)在平面內(nèi)，一個圖

23、形繞著中心點旋轉(zhuǎn)180 后，與自身重合，我們把這種圖形叫做中心對稱圖形。這個中心點 1對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為 a、b，斜邊為c，那么一定有a1 2 b2 c2 叫做對稱中心。 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 o 【注】中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)角度為 180的旋轉(zhuǎn)對稱圖形。 2.直角三角形的判定：如果三角形的三邊長 2 a,b,c有關系，a b2 2 C ，那么這個三角形是直角三角形 o (2)把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn) 180 ，如果它能夠和另一個圖形重合，那么，我們就說這兩個圖形成中心對稱。 這個點叫做對稱中心，這兩個圖形的對應點，叫做關于中心的對稱點。

24、 平移與旋轉(zhuǎn) 1. 平移：圖形的平行移動，簡稱為平移。它由移動的方向和距離所決定。 7. 中心對稱的特征 (1)在成中心對稱的兩個圖形中，連結對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。反過來，如果兩個圖 (2)在成中心對稱的兩個圖形中，對應線段平行且相等或在同一條直線上且相等，對應角相等。 形的所有對稱點連成的的線段都經(jīng)過某一點，并且都被該點平分，那么這兩個圖形一定關于這一點成中心對稱。 如下圖：把點A與點 A 叫做對應點，把線段 AB與線段 A B叫做對應線段，/ A與 A 叫做對應角。 ABC平 II 移的方向就是由點b到點B的方向，平移的距離就是線段 BB的長度。 8.圖形的全等

25、A (1)能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形。 (2) 一個圖形經(jīng)過翻折、平移和旋轉(zhuǎn)等變換所得到的新圖形一定與原圖形全等；反過來，兩個全等的圖形經(jīng)過上述 【注】在平移過程中，對應線段也可能在一條直線上。 (3) 2. 平移的特征 (1)平移后的圖形與原來的圖形的對應線段平行并且相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。 E C 變換后一定能夠互相重合。 全等多邊形經(jīng)過變換而重合，互相重合的頂點叫做對應頂點。相互重合的邊叫做對應邊。相互重合的角叫做對 應角 (2)平移后對應點所連的線段平行并且相等。 符號 表示全等，讀作“全等于” 全等多邊形的性質(zhì) 3.旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)某一個或幾個基本的圖形繞一個定點沿某

26、一個方向 (順時針或逆時針)轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運 全等多邊形的對應邊相等，對應角相等。 動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，這個角度叫做旋轉(zhuǎn)角。顯然, 旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，圖形的旋轉(zhuǎn)由 (6)判斷全等多邊形全等的方法 【注】在平移過程中，對應點所連的線段也可能在一條直線上。 邊、角分別對應相等的兩個多邊形全等。 旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)的角度、旋轉(zhuǎn)的方向所決定。 4.旋轉(zhuǎn)的特征 (7 )全等三角形對應邊相等，對應角相等。 ABC ABC 對稱圖形的旋轉(zhuǎn)中心。 第16章平行四邊形的認識 (8)如果兩個三角形的邊、角分別對應相等，那么這兩個三角形全等。 1平行四邊形：有兩組對邊分別平行的四邊形

27、。 平行四邊形ABC呵以記作 ABCD。:一： 2. 平行四邊形的性質(zhì) （1）平行四邊形兩組對邊分別平行。 （2）平行四邊形對邊相等，對角相等。 （3 ）平行四邊形對角線互相平分。 （4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線交點。 （4 ）平行線之間的距離處處相等。 【注】兩條直線平行，其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做兩條平行線間的距離。 3. 矩形 （1）有一個角為直角的平行四邊形。 （2 ）矩形特有的性質(zhì) 1 ）矩形的四個角都是直角。 2）矩形的對角線相等且互相平分。 3）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。 4. 菱形 （1）有一組鄰邊相等的平行四邊形。 （2 ）菱

28、形特有的性質(zhì) 1）菱形的四條邊都相等。 2）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。 3）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。 5. 正方形 （1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。 有一個角是直角的菱形是正方形。 （2）正方形的性質(zhì) 1）四個角都是直角，四條邊都相等。 2）正方形兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。 6. 梯形 （1 ）只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。 （2）等腰梯形總可以看成是一個平行四邊形與一個三角形的組合。 1）等腰梯形是軸對稱圖形。只有一條對稱軸，一底的垂直平分線。 2）

29、等腰梯形同一底邊上的兩個內(nèi)角相等。 3）等腰梯形的兩條對角線相等。 八年級下 第17章分式 1 .分式 A 形如B （ A、B是整式，且B中含有字母， B 0 ）的式子，叫做分式。其中 A叫做分式的分子，B叫做分式的分 母。 【注】分式中。分母不能為零，否則分式無意義。 2. 有理式 整式和分式統(tǒng)稱為有理式。 3. 分式的基本性質(zhì) 分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。 最簡分式 分子與分母沒有公因式的分式稱為最簡分式。 6. 最簡公分母 各分母所有因式的最高次幕的積 7. 分式的運算 （1）分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，如果得到的不是

30、最簡分式，應該通過約分進 行化簡。 （2）分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相除。 （3 ）分式的乘方等于分子分母分別乘方。 （4）同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。 異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。 8. 分式方程 （1）分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 （2）解分式方程，實質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解。所乘的整 式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母。 （3）增根是指不適合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必須進行檢驗。 (4) 解分式方程進行檢驗的關鍵是看所求得的整式方程的根是否使原分

31、式方程中的分式的分母為零。有時為了方便 起見，可將它代入最簡公分母中，看它的值是否為零，若為零，則為增根。 9. 零指數(shù)幕與負整指數(shù)幕 (1) 任何不等于零的數(shù)的零次幕都等于 1。 【注】0的零次幕沒有意義。 (2) 任何不等于零的數(shù)的-n (n為正整數(shù))次幕，等于這個數(shù)的 n次幕的倒數(shù)。 1 a n n（a 0,n a是正整數(shù)） n a 10 的形式，其中n是正整 利用10的負整指數(shù)幕，用科學記數(shù)法表示一些絕對值較小的數(shù)，即將它們表示成 數(shù)，1 a 10 第18章函數(shù)及其圖像 1 .變量與函數(shù) (1) 變量：在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量 2) 列表法 3) 圖像法 (4)

32、在問題的研究過程中，還有一種量，它的取值始終保持不變，我們稱之為常量。 (5) 函數(shù)自變量的取值范圍是指使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。通常從兩方面考慮1)在實際問題中，自變量 x 的取值會受到實際意義的限制。2)使函數(shù)的解析式有意義。 2. 函數(shù)的圖像 (1) 直角坐標系 1)在平面上畫兩條原點重合、互相垂直且具有相同單位長度的數(shù)軸，這就建立了平面直角坐標系。通常把其中水平的 一條數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩數(shù)軸的交點O叫做坐 標原點。 2)在平面直角坐標系中，任意一點都可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示。例如點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為

33、M 和N。這時，點M在x軸上對應的數(shù)字是 m,稱為點P的橫坐標；點N在y軸上的坐標為n，稱為點P的縱坐標，得到 一對有序?qū)崝?shù)(m n)，稱為點P的坐標，可記為P ( m n)。 3) 在平面直角坐標系中，兩條坐標軸把平面分成I、n、皿、w四個區(qū)域，分別稱為第一、二、三、四象限，坐標軸 上的點不屬于任何一個象限。 4) 在平面直角坐標系中的點和有序?qū)崝?shù)對是對應的。 rN I miv 5)不同位置點的坐標的特征 x軸 0 任意實數(shù) y軸 任意實數(shù) 0 (2)函數(shù)的圖像 (3)表示函數(shù)關系的方法 1)解析法(關系式法)：兩個變量之間的關系，有時可以用一個含有這兩個變量的等式表示，這種方法叫解析式法。

34、 y t 1)一般來說，函數(shù)的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成。圖像上的每一點的坐標 (X，y)代表函數(shù)的一對對應值，它的橫坐標x表示自變量的某一個值，縱坐標 y表示與它對應的函數(shù)值。 2 )畫函數(shù)圖像的方法：描點法。即列表、描點、連線三步。 3. 一次函數(shù) (1 )函數(shù)的解析式都是用自變量的一次整式表示，我們稱它們?yōu)橐淮魏瘮?shù)。 一次函數(shù)通常可以表示為 y=kx+b的形式，其中k、b是常數(shù)，k 0。 特別的，當b=0時，一次函數(shù)y=kx (常數(shù)k 0)，也叫做正比例函數(shù)。 (2 )一次函數(shù)的圖像 一次函數(shù)y=kx+b (k、b是常數(shù)，k 0)的圖像是一條直線，通常也稱為直線y=kx+b。特別

35、的，正比例函數(shù)y=kx (k 0)的圖像是經(jīng)過原點(0, 0)。 對于直線y=kx+b (k、b是常數(shù)，k 0)，k表示直線的傾斜程度。b是直線與y軸交點的縱坐標。 (3) 一次函數(shù)的性質(zhì) 當k0時，y隨x的增大而增大，這時函數(shù)的圖像從左到右上升。 當k0，b0時，函數(shù)經(jīng)過I、n、皿象限。 當k0，b0時，函數(shù)經(jīng)過I、皿、W象限。 當k0時，函數(shù)經(jīng)過I、n、W象限。 當k0，b0時，函數(shù)的圖像在第I、皿象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增大 而減小。 2) 當k0的自變量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b0的解集。 第19章全等三角形 1 .命題 判斷它是正確

36、的或是錯誤的句子叫做命題。正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫假命題。 命題可以寫成“如果，那么”的形式。 2. 定理 數(shù)學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命 題叫做公理。 3. 公理 數(shù)學中有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為判斷 其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定公理。 4. 全等三角形的判定 一般三角形 SSS SAS ASA AAS 直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL 5. 尺規(guī)作圖 只有使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺這兩種工具去作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖。

37、(1) 作一條線段等于已知線段 (2) 作一個角等于已知角 (3) 作已知角的平分線 (4) 經(jīng)過一已知點(直線上、直線外)作已知直線的垂線 (5) 作已經(jīng)線段的垂直的平分線 6. 逆命題 (1) 對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題， 其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題。 (2) 原命題為真，它的逆命題不一定為真 7. 等腰三角形的判定 (1)利用定義：兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。 (2 )如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。(等角對等邊) 8. 勾股定理的逆定理 如果三角形的一條邊的平方

38、等于另外兩條邊的和，那么這個三角形是直角三角形。 9. 角平分線 到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。 10. 線段垂直平分線 到一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 (1 )兩腰相等的梯形是等腰梯形。 (2 )在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 (3 )兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。 第21章 數(shù)據(jù)的整理與初步處理 1.算術平均數(shù) 平行四邊形的判定 1. 平行四邊形的判定 (1 )兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 (2 )兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 (3) 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 (4 )兩組對角分別相等的四邊形是平

39、行四邊形。 (5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 2. 矩形的判定 (1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形。 (2) 對角線相等的平行四邊形是矩形。 (3) 有三個角是直角的四邊形是矩形。 3. 菱形的判定 (1) 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 (2) 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 (3) 四條邊都相等的四邊形是菱形。 (4 )每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形。 4. 正方形的判定 (1) 有一組鄰邊相等的矩形是正方形。 (2) 有一個角是直角的菱形是正方形。 (3) 有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。 5. 等腰梯形的判定 1 X 片 x2 x3 若

40、一組數(shù)據(jù)為X1 ,X2, X3Xn，它們的平均數(shù)為X，則n Xn 。 映了這組數(shù)據(jù)中個數(shù)據(jù)的平均大小或者是集中趨勢。 2.加權平均數(shù) 一般來說，由于各個指標在總結果中占有不同的重要性，因而會被賦予不同的權重，各指標乘以相應的權重后所得的 平均數(shù)就是加權平均數(shù)。 f?X2 fn n) 3.扇形統(tǒng)計圖的制作 (1) 先計算出各部分數(shù)量占總數(shù)量的百分比。 (2) 再算出表示各部分數(shù)量的扇形的圓心角的度數(shù)。 (3 )按照圓心角度數(shù)，在圓中畫出各個扇形。 (4)在每個扇形中標出所表示各個部分數(shù)量名稱和所占的百分比。 5. 中位數(shù) 把一組數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列，若有奇數(shù)個數(shù)時，則處在正中間的數(shù)是中位數(shù)。

41、 若有偶數(shù)個數(shù)時，則取中間兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。 中位數(shù)也反映的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。 6. 眾數(shù) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)值。它也反映的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。 一組數(shù)據(jù)中可以不止一個眾數(shù)，也可以沒有眾數(shù)。 7. 極差=最大值一最小值，反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍。 平均數(shù)反 8.方差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均 得到的結果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個結果叫做方差。 2 通常 用 s 表示 一組 數(shù)據(jù)的 方差，x表示一組數(shù)據(jù)的平均數(shù) 2 2 2 2 1 s X1 x X2 x Xnx n 9.標準差 . ab . a 一 b（a ,b ） 4.二次根式的除法 兩個二次根

42、式相除，將它們的被開方數(shù)相除。 a - b ,b) s 1 X x2X2x2xnx2 n 商的算術平方根 商的算術平方根，等于各因式算術平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式 中不含有分母。 九年級上 第22章二次根式 1.二次根式 、a / b(a ，b 7.最簡二次根式 ）表示非負數(shù)a的算術平方根，也就是說, ）是一個非負數(shù)，它的平方等于 a，即有：（1） ) .a (a ) (2). a a(a ) 被開方數(shù)中不含分母，并且被開方數(shù)中所有因式的幕的指數(shù)都小于2,這樣的二次根式稱為最簡二次根式 8. 二次根式化簡主要包括兩方面 （1）如果被開方數(shù)中含有分母

43、，通?？衫梅质降幕拘再|(zhì)將分母配成完全平方，再“開方”出來。 （2 ）如果被開方數(shù)中含有完全平方的因式（或因數(shù)），可利用積的算術平方根的性質(zhì)，將它“開方”出來。 9. 同類二次根式 ）的式子叫做二次根式 二次根式的性質(zhì): a (a ) a(a ) 像3、3與23，3 a、2 a與4 a這樣的幾個二次根式，稱為同類二次根式 二次根式的加減，先把各個二次根式化簡，再將同類二次根式合并。 2.二次根式的乘法 兩個二次根式相乘，將它們的被開方數(shù)相乘。 a b ab(a ,b) 3. 積的算術平方根 積的算術平方根，等于各因式算術平方根的積。主要用于二次根式的化簡 第23章一元二次方程 1. 一元二次

44、方程 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程叫做一元二次方程。 2 一般形式：ax bx c （a,b,c是已知數(shù)，a ）。其中a,b,c分別叫做二次項的系數(shù)，一次項的 系數(shù)，常數(shù)項。 2. 一元二次方程的解法 (1) 直接開平方法 (2) 因式分解法 (3) 配方法 X (4)公式法 ； 2 b 一 b 4ac 2a 2 b 4ac 0 3.一元二次方程的判別式，b2 4ac (2)如果ad=bc, (a,b,c,d都不等于零)，那么bd a c a b c d 4. (1)如果b d，那么 b d。 a c a c (2)如果b d，那么 a b c d 。 k就是這兩

45、個相似三角形的相似比。 ,那么這兩個三角形相似。 ，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似 ,那么這兩個三角形相似。 當時，方程有兩個不等的實根。 當0時，方程有兩個相等的實根。 當0時，方程沒有實數(shù)根。 bc x-ix2 ,X! x2 aa 圖形的相似 1. 相似圖形 把具有相同形狀的圖形稱為相似圖形。 2. 成比例線段 a c (a : b c : d) 對于四條線段a，b，c,d,如果其中兩條線段的長度的比等于另外兩條線段的比，如b d 那么這四條線段叫做成比例線段。簡稱比例線段，此時也稱這四條線段成比例。 3. 比例的基本性質(zhì) 5. 相似多邊形的性質(zhì) 對應邊成比例，對應角相等。(也是

46、判斷兩個多邊形相似的方法) 6. 相似三角形 (1 )相似用“s來表示。 (2) ABCSA A B C，對應頂點要寫在對應位置上。 AB BC AC , ；k (3) 如果記A BB C A C，那么這個比值 (4) 全等三角形是相似三角形的特例。 7. 相似三角形的判定 (1 )如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等 (2) 如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例 (3) 如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例 8. 相似三角形的性質(zhì) (1) 相似三角形的對應高的比等于相似比。 (2) 相似三角形面積的比等于相似比的平方。 (3 )相似三角

47、形的對應中線、對應角平分線的比等于相似比。 (4) 相似三角形周長的比等于相似比。 9. 中位線 (1)三角形的中位線：連結三角形兩邊中點的線段。 三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。 (1)如果b d ，那么ad=bc 1 (2)三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的線段的長是對應中線長的3 (3) 梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底邊和的一半。 10. 畫相似圖形 位似：兩個相似的多邊形，它們對應頂點的連線相交于一點，像這樣的相似叫做位似。這一點叫做位似中心。 位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離等于位似比。 45o 2 2 1 1 6

48、0o 品 1 2 2 3 2.解直角三角形，只有兩種情況 解直角三角形 1銳角三角函數(shù) (1 )在 RtA ABC中 Z A的正弦：sinA= Z A的對邊/斜邊 / A的余弦：cosA= ZA的鄰邊/斜邊 Z A的正切：tanA= Z A的對邊/ Z A的鄰邊 Z A的余切：cotA= Z A的鄰邊/ Z A的對邊 (2) 0sinA1 0cosA0時，圖像開口向上，函數(shù)有最小值。當x0時，y隨x的增大而增大。 當ao時，圖像開口向下，函數(shù)有最大值。當x0時，y隨x的增大而減小。 3. y ax2 k(a 0）的圖像與性質(zhì) 值，拋物線的形狀不變，所以平移時，可根據(jù)頂點坐標的改變，確定平移前、

49、后的函數(shù)關系式及平移的路徑.此外, 圖象的平移與平移的順序無關。 2 2 y ax k(a 0)由 y ax (a 0）向上（或向下）平移k個單位得到的 （2 ）對稱軸是y軸，頂點坐標是（0,k ）。 （3）當a0時，圖像開口向上，函數(shù)有最小值，即當 x=0時，y=k。當x0時，y 隨x的增大而增大。 當ao時，圖像開口向下，函數(shù)有最大值，即當 x=0時，y=k。當x0時，y隨x的 增大而減小。 2 6 .通過配方把二次函數(shù)yax bx c(a 2 0)化成ya(x h) +k ( a0 )的形式，即 .b、2 4ac b2 y a(x) 2a 4a b b 4ac b2 x （1）對稱軸2a

50、 ，頂點坐標（ 2a 4a ) 4. y a(x h)2 (a 0) 的圖像與性質(zhì) 2 b 4ac bb 2 (1) y a(x h) (a 0)由 y ax2(a 0）向左（或向右）平移h個單位得到的。 （2 ）對稱軸是x=h，頂點坐標是（h, 0） （3）當a0時，圖像開口向上，函數(shù)有最小值，即當x=h時，y=0。當xh時，y 隨x的增大而增大。 當ao時，圖像開口向下，函數(shù)有最大值，即當x=h時，y=0o當xh時，y隨x的 增大而減小。 （2）當a0時，圖像開口向上，函數(shù)有最小值，即當 x= 2a 時，y= 4a 。當x 2a時，y隨x的增大而增大。 b 4ac b2 b 當ao時，圖像

51、開口向下，函數(shù)有最大值，即當x= 2a 時，y= 4a 。當 當 x0時，圖像開口向上，函數(shù)有最小值，即當x=h時，y=k。當xh時，y 隨x的增大而增大。 當ao時，圖像開口向下，函數(shù)有最大值，即當x=h時，y=k。當xh時，y隨x的 增大而減小。 b 增大，當x 2a時，y隨x的增大而減小。 7. 最大值或最小值的求法，第一步確定 a的符號，a 0有最小值，a 0有最大值；第二步配方求頂點，頂點的縱坐 標即為對應的最大值或最小值。 解決實際問題時，應先分析問題中的數(shù)量關系，列出函數(shù)關系式，再研究所得的函數(shù)，得出結果。 8. 會根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關系式。 二次函數(shù)

52、的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù) a(x h)2 +k (a 0）中k的值；左右平移，只影響h的 （1 ）一般式： y 2 ax bx c(a 0) 給出三點坐標可利用此式來求。 （2 ）頂點式： y a(x h)2 k(a 0) ，給出兩點，且其中一點為頂點時可利用此式來求。 (3)交點式：y a(x xi)(x x2)(a0)，給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點(xi,0)、(x2,) 時可利用此式來求。 9.拋物線與直線的交點 一次函數(shù)y ax b(a 0)與二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0)交點的個數(shù)由方程組 y ax b ax2 bx c的解得個數(shù)決定。 當方程組有兩個不同解時

53、，兩函數(shù)圖像有兩個交點 當方程組有兩個相同解時，兩函數(shù)圖像有一個交點 當方程組無解時，兩函數(shù)圖像沒有交點。 10.二次函數(shù)與一元二次方程的關系 (1)二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0) 當y=0時，二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程 2 ax 2 ax ax2 ax2 2 ax 2 ax bx bx bx bx bx bx 0的解集為x Xi,X X2(Xi X2)； 0的解集為Xl 0的解集為x 0的無解。 X X2(Xi X2)。 X1,2 ； 0的解集為X可取任意實數(shù)。 0的無解。 2 ax bx c 0(a0) 拋物線與x軸交點的個數(shù)就由一元二次方程 2 ax bx 0(a0)中的 b2

54、 4ac決定。 0，拋物線與x軸有兩個交點，方程 ax2 bx 0(a 0)有兩個不等的實根，這兩個與 x軸交 點的橫坐標就是一元二次方程的兩個實根。 0，拋物線與x軸有一個交點，方程 2 ax bx 0(a 0)有兩個相等的實根，此時一元二次方 程的根就是拋物線頂點的橫坐標。 2 0，拋物線與x軸沒有交點，方程ax bx 0(a 0)無實根，a 0拋物線在x軸上方, a 0，拋物線在x軸下方。 ii.二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0)與一元二次不等式之間的關系 圓 i.圓的認識 (1) 當一條線段OA繞著它的一個端點 O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一個端點 A的軌跡叫做圓。或到一個定點的距

55、 離等于定長的點的集合。這個以點 O為圓心的圓叫作“圓O”記為“0 0”。 (2) 線段OA OB OC都是圓的半徑，線段 AC為直徑。 (3 )連結圓上任意兩點之間的線段叫做弦如線段AB BC AC都是圓O中的弦。 (4 )圓上任意兩點間的部分叫做弧。如曲線 BC BAC都是圓中的弧，分別記為 BAC BC 、 BAC 其中像弧BC這樣小 于半圓周的圓叫做劣弧。像弧 這樣的大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧。 (3)圓心角：頂點在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角。如/AOB Z AOC Z BOC就是圓心角 2.圓的對稱性 (1) 在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等。 (2) 在同一個圓中，如果弦相等，那么所對的圓心角、所對的弧相等。 (3) 在同一個圓中，如果弧相等，那么所對的圓心角，所對的弦相等。 (1)兩圓外離d R r ； (4 )圓是軸對稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。 3. 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。 推論：平分弦的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的?。黄椒只〉闹睆酱怪逼椒诌@條弧所對的弦 4. 圓周角 (1) 圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角。 (2) 半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90(直角)。 90的圓周角所對的弦是圓的直徑。 (3) 同圓或等圓中，一條弧