彈性力學彈性力學的求解方法和一般性原理

1、第五章 彈性力學的求解方法和一般性原理知識點位移解法 位移邊界條件 變形協(xié)調方程 混合解法 應變能定理 解的唯一性原理 圣維南原理彈性力學基本方程邊界條件 位移表示的平衡微分方程應力解法 體力為常量時的變形協(xié)調方程 物理量的性質逆解法和半逆解法解的迭加原理 ,彈性力學基本求解方法、內容介紹通過彈性力學課程學習， 我們已經(jīng)推導和確定了彈性力學的基本方程和常用 公式。本章的任務是對彈性力學所涉及的基本方程作一總結， 并且討論具體地求 解彈性力學問題的方法。彈性力學問題的未知量有位移、應力和應變分量，共計 15 個，基本方程有 平衡微分方程、 幾何方程和本構方程， 也是 15 個。面對這樣一個龐大的

2、方程組， 直接求解顯然是困難的， 必須討論問題的求解方法。 根據(jù)這一要求， 本章的主要 任務有三個：是綜合彈性力學的基本方程，并按邊界條件的性質將問題分類；二是根據(jù)問題性質， 確定基本未知量，建立通過基本未知量描述的基本方程， 得到基本解法。 彈性力學問題的基本解法主要是位移解法、 應力解法和混合解法 等。應該注意的是對于應力解法，基本方程包括變形協(xié)調方程。三是介紹涉及彈性力學求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原 理、疊加原理和圣維南原理等，這些原理將為今后的彈性力學問題解建立基礎。如果你在學習本章內容時有困難，請及時查閱和復習前三章相關內容，以保 證今后課程的學習。二、 重點1、彈性

3、力學的基本方程與邊界條件分類； 2、位移解法與位移表示 的平衡微分方程； 3、應力解法與應力表示的變形協(xié)調方程； 4、混合 解法； 5、逆解法和半逆解法； 6、解的唯一性原理、疊加原理和圣維 南原理5.1 彈性力學的基本方程及其邊值問題學習思路 :通過應力狀態(tài)、應變狀態(tài)和本構關系的討論，已經(jīng)建立了一系列的彈性力學 基本方程和邊界條件。 本節(jié)的主要任務是將基本方程和邊界條件作綜合總結， 并 且對求解方法作初步介紹。彈性力學問題具有 15個基本未知量，基本方程也是 15 個，因此問題求解歸 結為在給定的邊界條件下求解偏微分方程。由于基本方程與 15 個未知量的內在聯(lián)系，例如已知位移分量，通過幾何方

4、 程可以得到應變分量， 然后通過物理方程可以得到應力分量； 反之，如果已知應 力分量，也可通過物理方程得到應變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量， 不過這時的應變分量必須滿足一組補充方程， 即變形協(xié)調方程?；谏鲜龅睦碛?， 為簡化求解的難度，可以選取部分未知量作為基本未知量求解。根據(jù)基本未知量，彈性力學問題可以分為應力解法、位移解法和混合解法。 上述三種求解方法對應于偏微分方程的三種邊值問題。學習要點：1、彈性力學基本方程； 2、本構方程； 3、邊界條件； 4、彈性力學邊值問題 1、彈性力學基本方程首先將彈性力學基本方程綜合如下1、平衡微分方程用張量形式描述2、幾何方程用張量形式描述3、變形

5、協(xié)調方程4、本構方程 -廣義胡克定律用應力表示的本構方程用應變表示的本構方程2、邊界條件如果物體表面的面力 Fsx， Fsy，F(xiàn)sz 為已知，則邊界條件應為稱為面力邊界條件，用張量符號表示為 。如果物體表面的位移 已知，則邊界條件應為稱為位移邊界條件。 除了面力邊界條件和位移邊界條件， 還有混合邊界條件。 綜上所述，彈性力學的基本未知量為三個位移分量，六個應力分量和六個應 變分量， 共計十五個未知量。 基本方程為三個平衡微分方程， 六個幾何方程和六 個物理方程，也是十五個基本方程。這里沒有考慮變形協(xié)調方程，原因是位移已經(jīng)作為基本未知量。對于任意的 單值連續(xù)的位移函數(shù)， 如果設其有三階的連續(xù)導數(shù)

6、， 則變形協(xié)調方程僅僅是幾何 方程微分的結果， 自然地滿足， 所以位移作為基本未知量時， 不需要考慮變形協(xié) 調方程。要使基本方程有確定的解，還要有對應的面力或位移邊界條件彈性力學的任務就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。3、彈性力學邊值問題當然，具體求解彈性力學問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可 以而且必須做出必要的簡化。 根據(jù)幾何方程和本構方程可見， 位移、應力和應變 分量之間不是相互獨立的。假如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應變分量，然后通過物理方程可 以得到應力分量。反之，如果已知應力分量，也可通過物理方程得到應變分量， 再由幾何方程的積分求出位移分量

7、，不過這時的應變分量必須滿足一組補充方 程，即變形協(xié)調方程?；谏鲜龅睦碛?，為簡化求解的難度，選取部分未知量作為基本未知量。 若以位移函數(shù)作為基本未知量求解，稱為位移解法； 若以應力函數(shù)作為基本未知量，稱為應力解法； 若以部分位移分量和部分應力分量作為基本未知量，稱為混合解法。 在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題， 數(shù)學上稱為偏微分方程 的邊值問題。按照不同的邊界條件，彈性力學有三類邊值問題。第一類邊值問題：已知彈性體內的體力 Fbx，F(xiàn)by，F(xiàn)bz 和其表面的面力 Fsx， Fsy，F(xiàn)sz，求平衡狀態(tài)的彈性體內各點的應力分量和位移分量，這時的邊界條件 為面力邊界條件。第二類邊值問題：

8、已知彈性體內的體力分量 Fbx，F(xiàn)by，F(xiàn)bz 以及表面的位移分 量 ，求平衡狀態(tài)的彈性體內各點的應力分量和位移分量， 這時的邊界條 件為位移邊界條件。第三類邊值問題：已知彈性體內的體力分量 Fbx，F(xiàn)by，F(xiàn)bz，以及物體表面的 部分位移分量和部分面力分量， 求平衡狀態(tài)的彈性體內各點的應力分量和位移分 量。這時的邊界條件在面力已知的部分， 用面力邊界條件， 位移已知的部分用位 移邊界條件，稱為混合邊值問題。以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實際工程問題。若不考慮物體的剛體 位移，則三類邊值問題的解是唯一的。5.2 位移解法位移表示的平衡微分方程學習思路 :以位移函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學

9、問題的方法稱為位移法。 位移解法的基本方程是位移表示的平衡微分方程。位移分量求解后，則可以 通過幾何方程和物理方程求出相應的應變分量和應力分量。如果問題的邊界條件為位移邊界條件，邊界條件描述比較簡單。如果問題為 面力邊界條件，由于邊界條件是通過位移函數(shù)的導數(shù)描述的，因此應用困難。總之若以位移為基本未知函數(shù)求解時， 歸結為在給定的邊界條件下求解位移 表示的平衡微分方程，即拉梅方程。學習要點：1、位移表示的應力分量； 2、位移表示的平衡微分方程； 3、位移邊界條件1、位移表示的應力分量位移解法是以位移函數(shù)作為基本未知函數(shù)求解的， 所以需要通過幾何方程將 位移函數(shù)表達為應變分量， 再通過物理方程將其

10、表達為應力分量， 代入平衡微分 方程即可得到位移解法的基本方程。首先，根據(jù)物理方程和幾何方程，可以得到由位移分量表達的應力分量，即其中2、位移表示的平衡微分方程將上述位移表示的應力分量代入平衡微分方程，整理后可得這里 是拉普拉斯運算符號，即 。上述方程是以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（ Lam）方程，它可以表 示為張量形式或表達為矢量形式上式中 為拉普拉斯算符矢量。3、位移邊界條件對于邊界條件，如果物體表面的位移已知，則直接由位移形式給定，即使用 位移邊界條件如果給定的邊界條件是物體表面的面力， 則面力邊界條件式需用位移分量表示，將應力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力邊界條件或

11、表達為張量形式顯然，如果給定的邊界條件是面力邊界條件，那么位移解法的邊界條件表達 式十分復雜，因此求解的難度將是比較大的?？傊绻晕灰坪瘮?shù)作為基本未知函數(shù)求解彈性力學問題，歸結為在給定 的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后， 則可通過幾何方程和物理方程求出相應的應變分量和應力 分量。5.3 應力解法應力表示的應變協(xié)調方程學習思路 :如果選用應力分量或者應力函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學問題稱為應 力解法。應力解法的基本方程不僅有平衡微分方程，而且有變形協(xié)調方程。因為僅僅 滿足平衡微分方程的應力分量并不一定是真實應力， 這組應力分量求出的應變分 量代入幾何方程，

12、 將可能得到一組矛盾方程， 這就不可能求出單值連續(xù)的位移分 量。由于變形協(xié)調方程是應變表示的，在應力解法中，需要轉化為基本未知量應 力分量表示。利用平衡微分方程的求導形式簡化變形協(xié)調方程， 可以得到應力分量表示的 變形協(xié)調方程?？傊?，在以應力函數(shù)作為基本未知量求解時，歸結為在給定的邊界條件下， 求解平衡微分方程和應力表達的變形協(xié)調方程所組成的偏微分方程。學習要點：1、應力解法的基本方程； 2、變形協(xié)調方程的簡化； 3、應力分 量表達的變形協(xié)調方程； 4、體力為常量時的變形協(xié)調方程。1、應力解法的基本方程以應力作為基本未知函數(shù)求解彈性力學問題時， 應力分量必須滿足平衡微分 方程和面力邊界條件。但

13、是僅此還不夠，僅僅滿足上述條件的應力分量并不是真正的應力。因為這 組應力分量求出的應變分量代入幾何方程， 將可能得到一組矛盾方程， 不可能求 出單值連續(xù)的位移分量。 要使這組方程不矛盾， 則要求應力分量不僅滿足平衡微 分方程和面力邊界條件，而且應力分量對應的應變分量必須滿足變形協(xié)調方程。這個問題也可以從物理上解釋，應力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條 件，只能保證物體的平衡， 但是不能保證物體的連續(xù)。 只有這組應力分量求出的 應變分量滿足變形協(xié)調方程時，才能保證變形后的物體是連續(xù)的。當位移分量作為基本未知函數(shù)求解時，變形協(xié)調方程是自然滿足的。如果位 移表示基本未知量， 只有應力作為基本未知函數(shù)

14、求解時， 變形協(xié)調方程作為一組 補充方程是必須的。因此，對于應力解法，應力分量必須滿足平衡微分方程和變形協(xié)調方程。 由于變形協(xié)調方程是由應變分量表達的，在應力解法中，需要將其轉換為由 應力分量表達。將物理方程改寫為其中將上式代入變形協(xié)調方程的第一，四兩式，可得輪換 x，y，z可得其余四個方程，由此可得應力表達的變形協(xié)調方程。2、變形協(xié)調方程的簡化為了使問題進一步簡化，就是使上式有更簡單的形式，利用平衡微分方程再 次對變形協(xié)調方程作進一步的簡化。將平衡微分方程的第一和第二兩式分別對 x，y 求偏導數(shù)后再相加，則將上式代入應力分量表示的變形協(xié)調方程第一式并且注意到 ，可得輪換 x，y，z 以后，可

15、得另外兩個類似的公式將輪換后得到的三個公式相加，可得將上式回代到簡化方程可得輪換 x，y，z 以后，可得另外兩個類似的公式。3、應力分量表達的變形協(xié)調方程面我們對應力分量表示的變形協(xié)調方程的第二式作簡化首先對平衡微分方程的第二和第三兩式分別對 得到z，y 求偏導數(shù)，然后相加可以將上式與變形協(xié)調方程的第二式相加后并整理，可得上式為簡化后的方程，輪換 x，y，z 以后，可得另外兩個類似的公式。 綜上所述，我們一共得到以下六個關系式上述方程即為應力分量表達的變形協(xié)調方程， 通常稱為貝爾特拉米 -米切爾方程。4、體力為常量時的變形協(xié)調方程如果彈性體體力為常量，則應力分量表達的變形協(xié)調方程可以簡化為上述

16、方程為應力分量表達的變形協(xié)調方程，通常簡稱為應力協(xié)調方程。但是 應該注意：應力是不需要協(xié)調的，其實質仍為應變分量所滿足的變形協(xié)調關系。如果用張量形式表達，則上述公式可寫作總而言之，在以應力函數(shù)作為基本未知量求解時，歸結為在給定的邊界條件下，求解平衡微分方程和應力表達的變形協(xié)調方程所組成的偏微分方程組。5.4 混合解法 學習思路 :如果選取應力分量和位移分量作為基本未知量求解彈性力學問題， 稱為混合 解法?；痉匠虨槠胶馕⒎址匠毯蛻Ψ至勘磉_的幾何方程。混合解法三個平衡微分方程和六個幾何方程， 共計九個方程對應九個未知函 數(shù)，加上給定的邊界條件，則可得到唯一的解學習要點： 1、彈性力學的混合解法

17、1、彈性力學的混合解法混合解法以六個應力分量和三個位移分量作為基本未知量求解彈性力學問 題。通過物理方程中消去應變分量， 其基本方程為平衡微分方程和由應力分量表 達的幾何方程，即這里有三個平衡微分方程和六個幾何方程，共計九個方程對應九個未知函 數(shù)，加上給定的邊界條件，則可得到唯一的解。彈性力學的基本求解方法的應用要根據(jù)問題性質， 主要是根據(jù)邊界條件選擇 使用。對于面力邊界條件問題，使用應力解法； 位移邊界條件應用位移解法； 混合解法主要應用于混合邊界條件，即彈性體的部分邊界位移已知，部分邊 界面力已知的問題。5.5 體力為常量時一些物理量的特性 學習思路 :本節(jié)討論體力為常量條件下，彈性力學的

18、基本未知量的特性。通過這些物理 量性質的研究，將有助于今后進一步探討彈性力學問題。從位移表達的平衡微分方程和應力表達的變形協(xié)調方程入手， 可以得到體積 應力函數(shù)和體積應變函數(shù)均為調和函數(shù)； 而位移分量， 應變分量和應力分量均為 雙調和函數(shù)。學習要點：1、體積應力和體積應變； 2、位移分量； 3、應力和應變分量。1、體積應力和體積應變本節(jié)將從位移表達的平衡微分方程和應力表達的變形協(xié)調方程入手， 推導體 力為常量時的應力分量， 應變分量， 位移分量，以及體積應力和體積應變所遵循 的規(guī)律，為進一步分析和理解彈性力學問題作必要的準備。將位移分量表示的平衡微分方程的三個公式分別對 x，y，z 求偏導數(shù)，

19、然后 相加可得由于所以由體積應力和體積應變的關系，可得 由上述公式可知，如果體力為常量，體積應力和體積應變均滿足拉普拉斯 （Laplace）方程，即體積應力函數(shù)和體積應變函數(shù)均為調和函數(shù)。2、位移分量如果對位移表示的平衡微分方程作 Laplace 算符運算，并注意到由于體積應變均滿足拉普拉斯（ Laplace）方程，所以寫作張量形式3、應力和應變分量同理，對應力表示的變形協(xié)調方程作 Laplace 算符運算，則有根據(jù)胡克定律，可得寫作張量形式根據(jù)上述公式可以看出，如果體力為常量，位移分量，應變分量和應力分量 均滿足雙調和方程。也就是說，它們均為雙調和函數(shù)。5.6 彈性力學解的唯一性原理學習思路

20、 :本節(jié)通過應變能原理推導彈性力學的解的唯一性定理。彈性力學解的唯一性定理：假如彈性體內受已知體力的作用，物體表面面力 已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。則彈性 體處于平衡狀態(tài)時， 彈性體內任一點的應力分量和應變分量都是唯一的。 對于表 面有部分或全部位移已知的，則位移分量也是唯一的。解的唯一性定理證明可以根據(jù)不同的方法證明。解的唯一性定理的意義是為彈性力學問題的求解提供了重要的理論依據(jù)。 由于偏微分方程邊值問題求解的困難， 因此在彈性力學問題分析中， 經(jīng)常需要使用 逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理為這些方法奠定了基礎。學習要點：1、應變能定理； 2、解的唯一性

21、原理； 3、解的唯一性原理與邊界條件1、應變能定理為了證明彈性力學解的唯一性定理，首先證明一個重要的定理，即應變能定 理。應變能定理是指：彈性體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時，物體內存儲的彈性 勢能，即應變能， 等于外力由原始位置到平衡位置所做的功。 假如外力是由零連 續(xù)變化到其最終數(shù)值的，則在加載的過程中，物體始終是處于平衡狀態(tài)的。以下證明彈性體的應變能定理。 設彈性體處于體力 Fbx, Fby, Fbz和面力 Fsx, Fsy, Fsz 的作用下，彈性體內產(chǎn)生位移 u，v，w。則外力在位移過程中作功為將面力邊界條件代入上式的第二個積分，并利用高斯積分公式，可得因此由此可以證明，外力所做的功等于

22、彈性體存儲的彈性勢能。2、解的唯一性原理利用變形能定理，容易證明彈性力學解的唯一性定理。 唯一性定理認為：假如彈性體內受已知體力的作用，表面受已知面力作用， 或者表面位移為已知； 或者部分表面面力已知， 部分表面位移已知。 則彈性體處 于平衡狀態(tài)時， 彈性體內任一點的應力分量和應變分量都是唯一的。 如果彈性體 表面有部分或全部位移已知，則位移分量也是唯一的。下面我們證明解的唯一性定理。假設在同一體力 Fbx, Fby, Fbz的作用下， 并在同一邊界條件下有兩組不同的彈 性力學解，有兩組不同的位移分量，應變分量和應力分量，即第一組為第一組為為了證明這兩組解相同，假設這兩組解的差為一組新的解答，

23、有由于第一組應力和第二組應力均為彈性力學的解， 其應力應滿足平衡微分方 程。因此，兩組平衡微分方程相減可得因此，第三組應力滿足體力為零的平衡微分方程。3、解的唯一性原理與邊界條件由于兩組應力同時滿足相同的邊界條件，其對應三種情況：1、第一種邊界條件 :前兩組應力滿足相同的面力邊界條件，則第三組應力將 滿足面力為零的邊界條件，有2、第二種邊值問題 :前兩組位移滿足相同的位移邊界條件，則第三組位移將 滿足邊界零位移的邊界條件，即3、第三種邊值問題，在表面面力已知的部分，將滿足面力為零的邊界條件， 在表面位移已知的部分，將滿足零位移的邊界條件。上述分析表明，第三組應力在彈性體內滿足無體力的平衡微分方

24、程，在彈性 體的表面， 或者是面力為零， 或者是位移為零， 或者是部分面力為零而部分位移為零。根據(jù)應變能公式，可以得到由于 U00，所以上式成立的條件為： U0 =0。所以由此可以證明由此證明了在彈性力學問題中，應力分量和應變分量是唯一的。對于位移分量，在第一類邊值問題中，對于完全確定的應變分量，在對幾何方程積分求解位移時，求解的位移分量將允許有一個剛體位移，即可以相差容易理解，上述公式表示的剛體位移在第二類和第三類邊值問題中，由于彈 性體的表面全部或者部分位移為已知， 此時剛體位移將為零。 因此在第二類和第 三類邊值問題中，位移分量也是唯一的。5.7 逆解法與半逆解法 解的迭加原理 學習思路

25、 :由于偏微分方程邊值問題求解困難， 因此直接由給定的邊界條件求解彈性力 學的基本方程幾乎是不可能的。 所以對于彈性力學問題的求解， 經(jīng)常采用的方法 是逆解法和半逆解法。逆解法就是根據(jù)問題的性質，確定基本未知量，寫出相應的基本方程并且假 設一組滿足全部基本方程的應力函數(shù)或位移函數(shù)。 然后在確定的坐標系下， 考察 具有確定的幾何尺寸和形狀的物體， 其表面將受什么樣的面力作用或者將有什么 樣的位移，然后確定假設的函數(shù)。半逆解法就是對于給定的彈性力學問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征 和變形的特點或已知的一些簡單結論， 如材料力學得到的初等結論， 假設部分應 力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知

26、， 由基本方程確定其他的未知量， 然 后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。逆解法和半逆解法將在以后的章節(jié)中作介紹。其求解過程帶有 “試算 ”的性 質，顯然彈性力學解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。 解的迭加原理：彈性力學解的迭加原理是指在線彈性條件下，對于滿足小變 形條件的彈性體，在兩組不同的外力作用下所得到的彈性力學解相加等于這兩組 外力同時作用于彈性體的解答。學習要點：1、逆解法和半逆解法； 2、解的迭加原理。1、逆解法和半逆解法對于一般的工程構件，即彈性體，由于偏微分方程邊值問題在數(shù)學上求解的 困難，因此直接根據(jù)給定的邊界條件求解彈性力學的基本方程是十分困難的。為了避開偏微

27、分方程邊值問題直接求解的困難，在彈性力學問題的求解中， 經(jīng)常采用的方法是逆解法和半逆解法。逆解法就是根據(jù)研究問題的性質和研究對象特點，確定基本未知量，寫出相 應的基本方程并且假設一組滿足全部基本方程的應力函數(shù)或位移函數(shù)。 然后在確 定的坐標系下， 考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體， 根據(jù)邊界條件確定表面 作用面力或者已知位移。由此確定假設函數(shù)可以求解的彈性力學問題。半逆解法就是對于給定的彈性力學問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征 和變形的特點或者已知的一些簡單結論， 如材料力學得到的初等結論， 假設部分 應力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量， 然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。逆解法和半逆解法的應用將在以后的章節(jié)中作詳細介紹。 逆解法和半逆解法的求解過程帶有 試算的性質，顯然彈性力學解的唯一性 定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。2、解的迭加原理。解的迭加原理：彈性力學解的迭加原理是指在線彈性條件下，對于滿足小變 形條件的彈性體，在兩組不同的外力作用下所得到的彈性力學解相加等于這兩組 外力