彈性力學(xué)彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理

1、第五章 彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理知識點(diǎn)位移解法 位移邊界條件 變形協(xié)調(diào)方程 混合解法 應(yīng)變能定理 解的唯一性原理 圣維南原理彈性力學(xué)基本方程邊界條件 位移表示的平衡微分方程應(yīng)力解法 體力為常量時的變形協(xié)調(diào)方程 物理量的性質(zhì)逆解法和半逆解法解的迭加原理 ,彈性力學(xué)基本求解方法、內(nèi)容介紹通過彈性力學(xué)課程學(xué)習(xí)， 我們已經(jīng)推導(dǎo)和確定了彈性力學(xué)的基本方程和常用 公式。本章的任務(wù)是對彈性力學(xué)所涉及的基本方程作一總結(jié)， 并且討論具體地求 解彈性力學(xué)問題的方法。彈性力學(xué)問題的未知量有位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量，共計(jì) 15 個，基本方程有 平衡微分方程、 幾何方程和本構(gòu)方程， 也是 15 個。面對這樣一個龐大的

2、方程組， 直接求解顯然是困難的， 必須討論問題的求解方法。 根據(jù)這一要求， 本章的主要 任務(wù)有三個：是綜合彈性力學(xué)的基本方程，并按邊界條件的性質(zhì)將問題分類；二是根據(jù)問題性質(zhì)， 確定基本未知量，建立通過基本未知量描述的基本方程， 得到基本解法。 彈性力學(xué)問題的基本解法主要是位移解法、 應(yīng)力解法和混合解法 等。應(yīng)該注意的是對于應(yīng)力解法，基本方程包括變形協(xié)調(diào)方程。三是介紹涉及彈性力學(xué)求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原 理、疊加原理和圣維南原理等，這些原理將為今后的彈性力學(xué)問題解建立基礎(chǔ)。如果你在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時有困難，請及時查閱和復(fù)習(xí)前三章相關(guān)內(nèi)容，以保 證今后課程的學(xué)習(xí)。二、 重點(diǎn)1、彈性

3、力學(xué)的基本方程與邊界條件分類； 2、位移解法與位移表示 的平衡微分方程； 3、應(yīng)力解法與應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程； 4、混合 解法； 5、逆解法和半逆解法； 6、解的唯一性原理、疊加原理和圣維 南原理5.1 彈性力學(xué)的基本方程及其邊值問題學(xué)習(xí)思路 :通過應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)和本構(gòu)關(guān)系的討論，已經(jīng)建立了一系列的彈性力學(xué) 基本方程和邊界條件。 本節(jié)的主要任務(wù)是將基本方程和邊界條件作綜合總結(jié)， 并 且對求解方法作初步介紹。彈性力學(xué)問題具有 15個基本未知量，基本方程也是 15 個，因此問題求解歸 結(jié)為在給定的邊界條件下求解偏微分方程。由于基本方程與 15 個未知量的內(nèi)在聯(lián)系，例如已知位移分量，通過幾何方

4、 程可以得到應(yīng)變分量， 然后通過物理方程可以得到應(yīng)力分量； 反之，如果已知應(yīng) 力分量，也可通過物理方程得到應(yīng)變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量， 不過這時的應(yīng)變分量必須滿足一組補(bǔ)充方程， 即變形協(xié)調(diào)方程。基于上述的理由， 為簡化求解的難度，可以選取部分未知量作為基本未知量求解。根據(jù)基本未知量，彈性力學(xué)問題可以分為應(yīng)力解法、位移解法和混合解法。 上述三種求解方法對應(yīng)于偏微分方程的三種邊值問題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、彈性力學(xué)基本方程； 2、本構(gòu)方程； 3、邊界條件； 4、彈性力學(xué)邊值問題 1、彈性力學(xué)基本方程首先將彈性力學(xué)基本方程綜合如下1、平衡微分方程用張量形式描述2、幾何方程用張量形式描述3、變形

5、協(xié)調(diào)方程4、本構(gòu)方程 -廣義胡克定律用應(yīng)力表示的本構(gòu)方程用應(yīng)變表示的本構(gòu)方程2、邊界條件如果物體表面的面力 Fsx， Fsy，F(xiàn)sz 為已知，則邊界條件應(yīng)為稱為面力邊界條件，用張量符號表示為 。如果物體表面的位移 已知，則邊界條件應(yīng)為稱為位移邊界條件。 除了面力邊界條件和位移邊界條件， 還有混合邊界條件。 綜上所述，彈性力學(xué)的基本未知量為三個位移分量，六個應(yīng)力分量和六個應(yīng) 變分量， 共計(jì)十五個未知量。 基本方程為三個平衡微分方程， 六個幾何方程和六 個物理方程，也是十五個基本方程。這里沒有考慮變形協(xié)調(diào)方程，原因是位移已經(jīng)作為基本未知量。對于任意的 單值連續(xù)的位移函數(shù)， 如果設(shè)其有三階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)

6、， 則變形協(xié)調(diào)方程僅僅是幾何 方程微分的結(jié)果， 自然地滿足， 所以位移作為基本未知量時， 不需要考慮變形協(xié) 調(diào)方程。要使基本方程有確定的解，還要有對應(yīng)的面力或位移邊界條件彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。3、彈性力學(xué)邊值問題當(dāng)然，具體求解彈性力學(xué)問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可 以而且必須做出必要的簡化。 根據(jù)幾何方程和本構(gòu)方程可見， 位移、應(yīng)力和應(yīng)變 分量之間不是相互獨(dú)立的。假如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應(yīng)變分量，然后通過物理方程可 以得到應(yīng)力分量。反之，如果已知應(yīng)力分量，也可通過物理方程得到應(yīng)變分量， 再由幾何方程的積分求出位移分量

7、，不過這時的應(yīng)變分量必須滿足一組補(bǔ)充方 程，即變形協(xié)調(diào)方程?；谏鲜龅睦碛?，為簡化求解的難度，選取部分未知量作為基本未知量。 若以位移函數(shù)作為基本未知量求解，稱為位移解法； 若以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量，稱為應(yīng)力解法； 若以部分位移分量和部分應(yīng)力分量作為基本未知量，稱為混合解法。 在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題， 數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程 的邊值問題。按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類邊值問題。第一類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力 Fbx，F(xiàn)by，F(xiàn)bz 和其表面的面力 Fsx， Fsy，F(xiàn)sz，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量，這時的邊界條件 為面力邊界條件。第二類邊值問題：

8、已知彈性體內(nèi)的體力分量 Fbx，F(xiàn)by，F(xiàn)bz 以及表面的位移分 量 ，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量， 這時的邊界條 件為位移邊界條件。第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量 Fbx，F(xiàn)by，F(xiàn)bz，以及物體表面的 部分位移分量和部分面力分量， 求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分 量。這時的邊界條件在面力已知的部分， 用面力邊界條件， 位移已知的部分用位 移邊界條件，稱為混合邊值問題。以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實(shí)際工程問題。若不考慮物體的剛體 位移，則三類邊值問題的解是唯一的。5.2 位移解法位移表示的平衡微分方程學(xué)習(xí)思路 :以位移函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學(xué)

9、問題的方法稱為位移法。 位移解法的基本方程是位移表示的平衡微分方程。位移分量求解后，則可以 通過幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。如果問題的邊界條件為位移邊界條件，邊界條件描述比較簡單。如果問題為 面力邊界條件，由于邊界條件是通過位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)描述的，因此應(yīng)用困難。總之若以位移為基本未知函數(shù)求解時， 歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移 表示的平衡微分方程，即拉梅方程。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、位移表示的應(yīng)力分量； 2、位移表示的平衡微分方程； 3、位移邊界條件1、位移表示的應(yīng)力分量位移解法是以位移函數(shù)作為基本未知函數(shù)求解的， 所以需要通過幾何方程將 位移函數(shù)表達(dá)為應(yīng)變分量， 再通過物理方程將其

10、表達(dá)為應(yīng)力分量， 代入平衡微分 方程即可得到位移解法的基本方程。首先，根據(jù)物理方程和幾何方程，可以得到由位移分量表達(dá)的應(yīng)力分量，即其中2、位移表示的平衡微分方程將上述位移表示的應(yīng)力分量代入平衡微分方程，整理后可得這里 是拉普拉斯運(yùn)算符號，即 。上述方程是以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（ Lam）方程，它可以表 示為張量形式或表達(dá)為矢量形式上式中 為拉普拉斯算符矢量。3、位移邊界條件對于邊界條件，如果物體表面的位移已知，則直接由位移形式給定，即使用 位移邊界條件如果給定的邊界條件是物體表面的面力， 則面力邊界條件式需用位移分量表示，將應(yīng)力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力邊界條件或

11、表達(dá)為張量形式顯然，如果給定的邊界條件是面力邊界條件，那么位移解法的邊界條件表達(dá) 式十分復(fù)雜，因此求解的難度將是比較大的?？傊?，如果以位移函數(shù)作為基本未知函數(shù)求解彈性力學(xué)問題，歸結(jié)為在給定 的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后， 則可通過幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力 分量。5.3 應(yīng)力解法應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程學(xué)習(xí)思路 :如果選用應(yīng)力分量或者應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學(xué)問題稱為應(yīng) 力解法。應(yīng)力解法的基本方程不僅有平衡微分方程，而且有變形協(xié)調(diào)方程。因?yàn)閮H僅 滿足平衡微分方程的應(yīng)力分量并不一定是真實(shí)應(yīng)力， 這組應(yīng)力分量求出的應(yīng)變分 量代入幾何方程，

12、 將可能得到一組矛盾方程， 這就不可能求出單值連續(xù)的位移分 量。由于變形協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變表示的，在應(yīng)力解法中，需要轉(zhuǎn)化為基本未知量應(yīng) 力分量表示。利用平衡微分方程的求導(dǎo)形式簡化變形協(xié)調(diào)方程， 可以得到應(yīng)力分量表示的 變形協(xié)調(diào)方程。總之，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時，歸結(jié)為在給定的邊界條件下， 求解平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)力解法的基本方程； 2、變形協(xié)調(diào)方程的簡化； 3、應(yīng)力分 量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程； 4、體力為常量時的變形協(xié)調(diào)方程。1、應(yīng)力解法的基本方程以應(yīng)力作為基本未知函數(shù)求解彈性力學(xué)問題時， 應(yīng)力分量必須滿足平衡微分 方程和面力邊界條件。但

13、是僅此還不夠，僅僅滿足上述條件的應(yīng)力分量并不是真正的應(yīng)力。因?yàn)檫@ 組應(yīng)力分量求出的應(yīng)變分量代入幾何方程， 將可能得到一組矛盾方程， 不可能求 出單值連續(xù)的位移分量。 要使這組方程不矛盾， 則要求應(yīng)力分量不僅滿足平衡微 分方程和面力邊界條件，而且應(yīng)力分量對應(yīng)的應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié)調(diào)方程。這個問題也可以從物理上解釋，應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條 件，只能保證物體的平衡， 但是不能保證物體的連續(xù)。 只有這組應(yīng)力分量求出的 應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程時，才能保證變形后的物體是連續(xù)的。當(dāng)位移分量作為基本未知函數(shù)求解時，變形協(xié)調(diào)方程是自然滿足的。如果位 移表示基本未知量， 只有應(yīng)力作為基本未知函數(shù)

14、求解時， 變形協(xié)調(diào)方程作為一組 補(bǔ)充方程是必須的。因此，對于應(yīng)力解法，應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程。 由于變形協(xié)調(diào)方程是由應(yīng)變分量表達(dá)的，在應(yīng)力解法中，需要將其轉(zhuǎn)換為由 應(yīng)力分量表達(dá)。將物理方程改寫為其中將上式代入變形協(xié)調(diào)方程的第一，四兩式，可得輪換 x，y，z可得其余四個方程，由此可得應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程。2、變形協(xié)調(diào)方程的簡化為了使問題進(jìn)一步簡化，就是使上式有更簡單的形式，利用平衡微分方程再 次對變形協(xié)調(diào)方程作進(jìn)一步的簡化。將平衡微分方程的第一和第二兩式分別對 x，y 求偏導(dǎo)數(shù)后再相加，則將上式代入應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程第一式并且注意到 ，可得輪換 x，y，z 以后，可

15、得另外兩個類似的公式將輪換后得到的三個公式相加，可得將上式回代到簡化方程可得輪換 x，y，z 以后，可得另外兩個類似的公式。3、應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程面我們對應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程的第二式作簡化首先對平衡微分方程的第二和第三兩式分別對 得到z，y 求偏導(dǎo)數(shù)，然后相加可以將上式與變形協(xié)調(diào)方程的第二式相加后并整理，可得上式為簡化后的方程，輪換 x，y，z 以后，可得另外兩個類似的公式。 綜上所述，我們一共得到以下六個關(guān)系式上述方程即為應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程， 通常稱為貝爾特拉米 -米切爾方程。4、體力為常量時的變形協(xié)調(diào)方程如果彈性體體力為常量，則應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程可以簡化為上述

16、方程為應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程，通常簡稱為應(yīng)力協(xié)調(diào)方程。但是 應(yīng)該注意：應(yīng)力是不需要協(xié)調(diào)的，其實(shí)質(zhì)仍為應(yīng)變分量所滿足的變形協(xié)調(diào)關(guān)系。如果用張量形式表達(dá)，則上述公式可寫作總而言之，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程組。5.4 混合解法 學(xué)習(xí)思路 :如果選取應(yīng)力分量和位移分量作為基本未知量求解彈性力學(xué)問題， 稱為混合 解法。基本方程為平衡微分方程和應(yīng)力分量表達(dá)的幾何方程。混合解法三個平衡微分方程和六個幾何方程， 共計(jì)九個方程對應(yīng)九個未知函 數(shù)，加上給定的邊界條件，則可得到唯一的解學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1、彈性力學(xué)的混合解法

17、1、彈性力學(xué)的混合解法混合解法以六個應(yīng)力分量和三個位移分量作為基本未知量求解彈性力學(xué)問 題。通過物理方程中消去應(yīng)變分量， 其基本方程為平衡微分方程和由應(yīng)力分量表 達(dá)的幾何方程，即這里有三個平衡微分方程和六個幾何方程，共計(jì)九個方程對應(yīng)九個未知函 數(shù)，加上給定的邊界條件，則可得到唯一的解。彈性力學(xué)的基本求解方法的應(yīng)用要根據(jù)問題性質(zhì)， 主要是根據(jù)邊界條件選擇 使用。對于面力邊界條件問題，使用應(yīng)力解法； 位移邊界條件應(yīng)用位移解法； 混合解法主要應(yīng)用于混合邊界條件，即彈性體的部分邊界位移已知，部分邊 界面力已知的問題。5.5 體力為常量時一些物理量的特性 學(xué)習(xí)思路 :本節(jié)討論體力為常量條件下，彈性力學(xué)的

18、基本未知量的特性。通過這些物理 量性質(zhì)的研究，將有助于今后進(jìn)一步探討彈性力學(xué)問題。從位移表達(dá)的平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程入手， 可以得到體積 應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)均為調(diào)和函數(shù)； 而位移分量， 應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均為 雙調(diào)和函數(shù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、體積應(yīng)力和體積應(yīng)變； 2、位移分量； 3、應(yīng)力和應(yīng)變分量。1、體積應(yīng)力和體積應(yīng)變本節(jié)將從位移表達(dá)的平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程入手， 推導(dǎo)體 力為常量時的應(yīng)力分量， 應(yīng)變分量， 位移分量，以及體積應(yīng)力和體積應(yīng)變所遵循 的規(guī)律，為進(jìn)一步分析和理解彈性力學(xué)問題作必要的準(zhǔn)備。將位移分量表示的平衡微分方程的三個公式分別對 x，y，z 求偏導(dǎo)數(shù)，

19、然后 相加可得由于所以由體積應(yīng)力和體積應(yīng)變的關(guān)系，可得 由上述公式可知，如果體力為常量，體積應(yīng)力和體積應(yīng)變均滿足拉普拉斯 （Laplace）方程，即體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)均為調(diào)和函數(shù)。2、位移分量如果對位移表示的平衡微分方程作 Laplace 算符運(yùn)算，并注意到由于體積應(yīng)變均滿足拉普拉斯（ Laplace）方程，所以寫作張量形式3、應(yīng)力和應(yīng)變分量同理，對應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程作 Laplace 算符運(yùn)算，則有根據(jù)胡克定律，可得寫作張量形式根據(jù)上述公式可以看出，如果體力為常量，位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量 均滿足雙調(diào)和方程。也就是說，它們均為雙調(diào)和函數(shù)。5.6 彈性力學(xué)解的唯一性原理學(xué)習(xí)思路

20、 :本節(jié)通過應(yīng)變能原理推導(dǎo)彈性力學(xué)的解的唯一性定理。彈性力學(xué)解的唯一性定理：假如彈性體內(nèi)受已知體力的作用，物體表面面力 已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。則彈性 體處于平衡狀態(tài)時， 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量都是唯一的。 對于表 面有部分或全部位移已知的，則位移分量也是唯一的。解的唯一性定理證明可以根據(jù)不同的方法證明。解的唯一性定理的意義是為彈性力學(xué)問題的求解提供了重要的理論依據(jù)。 由于偏微分方程邊值問題求解的困難， 因此在彈性力學(xué)問題分析中， 經(jīng)常需要使用 逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理為這些方法奠定了基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)變能定理； 2、解的唯一性

21、原理； 3、解的唯一性原理與邊界條件1、應(yīng)變能定理為了證明彈性力學(xué)解的唯一性定理，首先證明一個重要的定理，即應(yīng)變能定 理。應(yīng)變能定理是指：彈性體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時，物體內(nèi)存儲的彈性 勢能，即應(yīng)變能， 等于外力由原始位置到平衡位置所做的功。 假如外力是由零連 續(xù)變化到其最終數(shù)值的，則在加載的過程中，物體始終是處于平衡狀態(tài)的。以下證明彈性體的應(yīng)變能定理。 設(shè)彈性體處于體力 Fbx, Fby, Fbz和面力 Fsx, Fsy, Fsz 的作用下，彈性體內(nèi)產(chǎn)生位移 u，v，w。則外力在位移過程中作功為將面力邊界條件代入上式的第二個積分，并利用高斯積分公式，可得因此由此可以證明，外力所做的功等于

22、彈性體存儲的彈性勢能。2、解的唯一性原理利用變形能定理，容易證明彈性力學(xué)解的唯一性定理。 唯一性定理認(rèn)為：假如彈性體內(nèi)受已知體力的作用，表面受已知面力作用， 或者表面位移為已知； 或者部分表面面力已知， 部分表面位移已知。 則彈性體處 于平衡狀態(tài)時， 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量都是唯一的。 如果彈性體 表面有部分或全部位移已知，則位移分量也是唯一的。下面我們證明解的唯一性定理。假設(shè)在同一體力 Fbx, Fby, Fbz的作用下， 并在同一邊界條件下有兩組不同的彈 性力學(xué)解，有兩組不同的位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量，即第一組為第一組為為了證明這兩組解相同，假設(shè)這兩組解的差為一組新的解答，

23、有由于第一組應(yīng)力和第二組應(yīng)力均為彈性力學(xué)的解， 其應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方 程。因此，兩組平衡微分方程相減可得因此，第三組應(yīng)力滿足體力為零的平衡微分方程。3、解的唯一性原理與邊界條件由于兩組應(yīng)力同時滿足相同的邊界條件，其對應(yīng)三種情況：1、第一種邊界條件 :前兩組應(yīng)力滿足相同的面力邊界條件，則第三組應(yīng)力將 滿足面力為零的邊界條件，有2、第二種邊值問題 :前兩組位移滿足相同的位移邊界條件，則第三組位移將 滿足邊界零位移的邊界條件，即3、第三種邊值問題，在表面面力已知的部分，將滿足面力為零的邊界條件， 在表面位移已知的部分，將滿足零位移的邊界條件。上述分析表明，第三組應(yīng)力在彈性體內(nèi)滿足無體力的平衡微分方

24、程，在彈性 體的表面， 或者是面力為零， 或者是位移為零， 或者是部分面力為零而部分位移為零。根據(jù)應(yīng)變能公式，可以得到由于 U00，所以上式成立的條件為： U0 =0。所以由此可以證明由此證明了在彈性力學(xué)問題中，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量是唯一的。對于位移分量，在第一類邊值問題中，對于完全確定的應(yīng)變分量，在對幾何方程積分求解位移時，求解的位移分量將允許有一個剛體位移，即可以相差容易理解，上述公式表示的剛體位移在第二類和第三類邊值問題中，由于彈 性體的表面全部或者部分位移為已知， 此時剛體位移將為零。 因此在第二類和第 三類邊值問題中，位移分量也是唯一的。5.7 逆解法與半逆解法 解的迭加原理 學(xué)習(xí)思路

25、 :由于偏微分方程邊值問題求解困難， 因此直接由給定的邊界條件求解彈性力 學(xué)的基本方程幾乎是不可能的。 所以對于彈性力學(xué)問題的求解， 經(jīng)常采用的方法 是逆解法和半逆解法。逆解法就是根據(jù)問題的性質(zhì)，確定基本未知量，寫出相應(yīng)的基本方程并且假 設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)。 然后在確定的坐標(biāo)系下， 考察 具有確定的幾何尺寸和形狀的物體， 其表面將受什么樣的面力作用或者將有什么 樣的位移，然后確定假設(shè)的函數(shù)。半逆解法就是對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征 和變形的特點(diǎn)或已知的一些簡單結(jié)論， 如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論， 假設(shè)部分應(yīng) 力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知

26、， 由基本方程確定其他的未知量， 然 后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。逆解法和半逆解法將在以后的章節(jié)中作介紹。其求解過程帶有 “試算 ”的性 質(zhì)，顯然彈性力學(xué)解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。 解的迭加原理：彈性力學(xué)解的迭加原理是指在線彈性條件下，對于滿足小變 形條件的彈性體，在兩組不同的外力作用下所得到的彈性力學(xué)解相加等于這兩組 外力同時作用于彈性體的解答。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、逆解法和半逆解法； 2、解的迭加原理。1、逆解法和半逆解法對于一般的工程構(gòu)件，即彈性體，由于偏微分方程邊值問題在數(shù)學(xué)上求解的 困難，因此直接根據(jù)給定的邊界條件求解彈性力學(xué)的基本方程是十分困難的。為了避開偏微

27、分方程邊值問題直接求解的困難，在彈性力學(xué)問題的求解中， 經(jīng)常采用的方法是逆解法和半逆解法。逆解法就是根據(jù)研究問題的性質(zhì)和研究對象特點(diǎn)，確定基本未知量，寫出相 應(yīng)的基本方程并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)。 然后在確 定的坐標(biāo)系下， 考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體， 根據(jù)邊界條件確定表面 作用面力或者已知位移。由此確定假設(shè)函數(shù)可以求解的彈性力學(xué)問題。半逆解法就是對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征 和變形的特點(diǎn)或者已知的一些簡單結(jié)論， 如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論， 假設(shè)部分 應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量， 然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。逆解法和半逆解法的應(yīng)用將在以后的章節(jié)中作詳細(xì)介紹。 逆解法和半逆解法的求解過程帶有 試算的性質(zhì)，顯然彈性力學(xué)解的唯一性 定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。2、解的迭加原理。解的迭加原理：彈性力學(xué)解的迭加原理是指在線彈性條件下，對于滿足小變 形條件的彈性體，在兩組不同的外力作用下所得到的彈性力學(xué)解相加等于這兩組 外力