實(shí)驗(yàn)5傅立葉變換綜述

1、實(shí)驗(yàn)五 傅立葉變換與頻率域?yàn)V波一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 理解傅立葉變換；2. 熟悉 MATLAB 中各種傅立葉變換相關(guān)的函數(shù)；3. 掌握頻域?yàn)V波的步驟以及 MATLAB 的實(shí)現(xiàn)方法；4. 理解頻域?yàn)V波器與空域?yàn)V波器的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1、傅立葉變換及傅立葉反變換1)傅立葉變換相關(guān)函數(shù)MATLAB 提供了幾個(gè)和傅立葉變換相關(guān)的函數(shù)。其說(shuō)明如下：F=fft2(f); 二維傅立葉變換 real(F); 傅立葉變換的實(shí)部 imag(F); 傅立葉變換的虛部 abs(F); 獲得傅立葉頻譜 fftshift(F); 將變換的原點(diǎn)移至頻率矩形的中心 ifft2(F); 二維傅立葉反變換 iffshift(F

2、); 反中心平移(2)傅立葉頻譜 傅立葉頻譜(傅立葉變換的幅度)反映了圖像的頻率成分。幅值譜的能量往 往集中于中低頻部分，并且中低頻部分的能量反映了圖像的實(shí)體。 圖像的噪聲 往往集中于高頻部分。下面的例子對(duì)課本中 123 頁(yè)的圖 Fig4.03(a).jpg 進(jìn)行傅立葉變換，得到傅立 葉頻譜。例： x=imread(Fig4.03(a).jpg);F=fft2(x);%二維傅立葉變換FP=sqrt(real(F).A2+imag(F)42);%計(jì)算傅立葉頻譜，或者使用abs()函數(shù)imshow(uint8(FP)%顯示傅立葉頻譜，直流成分分布在四個(gè)邊角figure(2); imshow(uin

3、t8(fftshift(FP) % 中心平移的頻譜圖客雜五0弈進(jìn)五11電.子2 丁號(hào)韋志東思考題1 :對(duì)課本125頁(yè)的圖Fig4.04(a).jpg進(jìn)行傅立葉變換，得到傅立葉頻譜，為清楚地顯示該譜，將其進(jìn)行對(duì)數(shù)變換處理，增強(qiáng)其灰度細(xì)節(jié)。結(jié)果類 似于圖5_1。圖5_1Fig4.04(a)的傅立葉譜x=imread(Fig4.04(a).jpg);F=fft2(x);FP=sqrt(real(F).A2+imag(F).A2);PP=fftshift(FP)imshow(x) figure(2);imshow(log(abs(PP)+1),)(3)傅立葉變換對(duì)將一幅圖像進(jìn)行傅立葉變換，再進(jìn)行傅立葉

4、反變換，可以得到原始圖像。下 面的例子對(duì)課本中134頁(yè)的圖Fig4.11 (a)進(jìn)行傅立葉變換，然后再進(jìn)行傅立葉反 變換，觀察并了解實(shí)現(xiàn)過(guò)程。理論上，經(jīng)過(guò)傅立葉變換和傅立葉反變換，應(yīng)該得到原始圖像。比較fa和f， 基本差不多。查看變量C的內(nèi)容，可以看到他們之間還是有細(xì)微的差別的。例： close allf=imread(Fig4.11(a).jpg);F=fft2(f); %傅立葉變換 ff=ifft2(F);%反傅立葉變換fa=real(ff); % 取實(shí)部 subplot(2,2,1),imshow (f); subplot(2,2,2),imshow(F); % 只顯示變換的實(shí)部 sub

5、plot(2,2,3),imshow(ff,);subplot(2,2,4),imshow(fa,);figure(2)C=fa-double(f);%反變換回來(lái)的圖像和原圖相減imshow(C,);%兩者是有差別的2、頻率域?yàn)V波按照頻域?yàn)V波的步驟，在 MATLAB中是很容易編程實(shí)現(xiàn)頻域?yàn)V波。由于濾 波器就是頻率域中的函數(shù)， 關(guān)鍵是如何構(gòu)造濾波器函數(shù)。頻域?yàn)V波的步驟為：對(duì)圖像進(jìn)行傅立葉變換DFT，即F(u,v)；傅立葉變換原點(diǎn)中心平移；用濾波器函數(shù)H(u,v)乘以F (u,v)；將原點(diǎn)反中心平移；傅立葉反變換；取上一步結(jié)果中的實(shí)部，即頻域?yàn)V波后的結(jié)果。(1)低通濾波低通濾波是使低頻部分通過(guò)，而

6、使高頻部分受到抑制，從而使圖像變得平 滑。常用的低通濾波有理想低通濾波、巴特沃斯低通濾波和高斯低通濾波。下面的例子實(shí)現(xiàn)了對(duì)課本135頁(yè)圖Fig4.11(a)進(jìn)行理想低通濾波處理，截 止頻率D0 = 30。例：close allclear allf=imread(Fig4.11(a).jpg);% -構(gòu)造理想低通濾波器Hh Hw=size(f); H(1: Hh,1: Hw)=0; xO=Hh/2; yO=Hw/2;for x=1:Hh%以圖像的行列值作為濾波器的行列%濾波器的初值為0%濾波器的中心點(diǎn)for y=1:Hw%理想低通濾波器 D0=30if(sqrt(x- x0)*(x- x0)+(

7、y-y0)*(y- y0)30)%理想高通濾波器D0=15,D 仁30,D2=80H(x,y)=1;endendend% -傅立葉變換及頻域?yàn)V波F=fft2(f);F=fftshift(F);% 中心平移FF=F.*H; %頻域?yàn)V波。注意必須是點(diǎn)乘FFS=ifftshift(FF);g=ifft2(FF);%傅立葉反變換g=abs(real(g);%取變換后的實(shí)部，并取絕對(duì)值%顯示并比較結(jié)果subplot(2,3,1), imshow(f);title(原圖)subplot(2,3,2),imshow(H);title(理想高通濾波器)subplot(2,3,3), imshow(log(ab

8、s(F)+1), );title(頻率譜)% 對(duì)數(shù)變換，便于顯示結(jié)果subplot(2,3,4),imshow(log(abs(FF)+1), );title(頻域?yàn)V波)subplot(2,3,5),imshow(g,);title(濾波結(jié)果)(1)15:Figure No. I原圖理想高通濾波器頻率譜lllllllll 瑟頻域?yàn)V波濾波結(jié)果11電辛27號(hào)韋志東File 鈕it Vi ew Insert Tools Window HelpCSAZ /妙Q C(2)30:(3)80:思考題4:構(gòu)造巴特沃思高通濾波器，并使用它對(duì)圖Fig4.11(a).jpg 進(jìn)行 高通濾波處理。其中階數(shù)n=2，截止

9、頻率DO分別為15、30、80，和思考題3 使用理想高通濾波器濾波結(jié)果進(jìn)行比較和分析。注：巴特沃思高通濾波器(BHPF )的傳遞函數(shù)為：H (u,v)11 DO/ D(u, v)2nclose allclear allf=imread(Fig4.11(a).jpg);% -構(gòu)造理想高通濾波器Hh Hw=size(f); %以圖像的行列值作為濾波器的行列H(1: Hh,1: Hw)=0;%濾波器的初值為0x0=Hh/2; y0=Hw/2;%濾波器的中心點(diǎn)for x=1:Hhfor y=1:Hwif(sqrt(x- x0)*(x-x0)+(y-y0)*(y-y0)D)% 理想高通濾波器D0=15,

10、D 仁30,D2=80H(x,y)=1/(1+D/sqrt(x- x0)*(x- x0)+(y-y0)*(y- y0)A4);endendend%傅立葉變換及頻域?yàn)V波 F=fft2(f);F=fftshift(F); %中心平移FF=F.*H; %頻域?yàn)V波。注意必須是點(diǎn)乘FFS=ifftshift(FF);g=ifft2(FF); %傅立葉反變換g=abs(real(g);%取變換后的實(shí)部，并取絕對(duì)值%顯示并比較結(jié)果subplot(2,3,1), imshow (f); title(原圖)subplot(2,3,2),imshow(H);title(理想高通濾波器)subplot(2,3,3)

11、, imshow(log(abs(F)+1), );title(頻率譜)%對(duì)數(shù)變換，便于顯示結(jié)果 subplot(2,3,4),imshow(log(abs(FF)+1), );title(頻域?yàn)V波) subplot(2,3,5),imshow(g,);title(濾波結(jié)果)(1)15:(2)30:(3)80:三、頻域?yàn)V波器的空間形式由卷積定理我們知道，空間域?yàn)V波和頻域?yàn)V波之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。頻域?yàn)V波 器在空間域存在對(duì)應(yīng)的空間域?yàn)V波器。例： close allclear%構(gòu)造理想低通濾波器H(1:256,1:256)=0;x0= 256/2; y0= 256/2;for x=1:256for y

12、=1:256if(sqrt(x- x0)*(x- x0)+(y-y0)*(y- y0)30)% 注 1H(x,y)=1;endendendfigureimshow(H,)fh=ifft2(H); %頻域?yàn)V波器進(jìn)行傅立葉反變換fh=fftshift(fh);figure imshow(log(1+abs(real(fh),) title( 理想低通濾波器的空間形式 )程序：close all clear% 構(gòu)造理想低通濾波器H(1:256,1:256)=0;x0= 256/2; y0= 256/2;for x=1:256for y=1:256if(sqrt(x- x0)*(x- x0)+(y-y0)*(y- y0)30) H(x,y)=1;endendend subplot(1,2,1),imshow(H,) fh=ifft2(H); % 頻域?yàn)V波器進(jìn)行傅立葉反變換 fh=fftshift(fh);subplot(1,2,2),imshow(log(1+abs(real(fh),) title( 理想低通濾波器的空間形式 )思考題5 :觀察截止頻率分別為15、30、50時(shí)，理想低通濾波器的空間形式。了解：頻域?yàn)V波器越窄，在空域的濾波器越寬，即空域?yàn)V波模板越大，濾除 的低頻成