坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點0與點M的距離|0M|叫做點M的極1 / 4.注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系1. 平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換:x(0)的作用下，點P(x,y)對應(yīng)到點P (x,y),稱y gy (0)為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換.2. 極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系,在平面內(nèi)取一個定點0，叫做極點，自極點0引一條射線Ox,叫

2、做極軸；再選定一個長度單位， 個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這 樣就建立了一個極坐標(biāo)系.徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的角xOM叫做點 M的極角，記為.有序數(shù)對(，)叫做點 M的極坐標(biāo)，記作 M(,).一般地,不作特殊說明時，我們認(rèn)為0，可取任意實數(shù).特別地，當(dāng)點M在極點時，它的極坐標(biāo)為(0,)( R).和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定 ，2 ,那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯的極坐標(biāo)(，)表示；同時,極坐標(biāo)(，)表示的點也是唯一確 定的3. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸的正半軸 作為極軸,

3、并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖所示：(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo) 是(x，y),極坐標(biāo)是(，)(),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 公式如表：點M直角坐標(biāo)(x,y)極坐標(biāo)(,)互化公式x cos ysin2 2 2x yytan (x )x在一般情況下，由tan確定角時，可根據(jù)點M所在的象限最 小正角.4. 常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在 極點， 半徑為 r的圓0r(2 )圓心為(r,)J半徑為 r的圓2r cos (一)22圓心為%)J半徑為r的圓2r sin ()過極 點，傾 斜角為的直 線(R)或(R)(2)()和()過 點(a,)J 與極軸

4、垂直的 直線(u.O)匸cos a()22過 點(形)J 與極軸 平行的 直線It、一 S)-0 ：sina()注：由于平面上點的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即(，)，(,2)(,),(,),都表示同一點的坐標(biāo)，這與點的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐 標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可.M (-)例如對于極坐標(biāo)方程 ，點 4* 可以表示為6 / 4.(, 2 )或(一，一 2 )或,)(,)4 44 44 4等多種形式，其中，只有4 4的極坐標(biāo)滿足方程二、參數(shù)方程1. 參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x f(t)x，y都是某

5、個變數(shù)t的函數(shù)y g(t),并且對于t的每一個允許 值，由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么方程 就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù), 簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方 程叫做普通方程.必須使x，y的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯- 應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用 的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3. 圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓O的半徑為r，點M從初始位置M。出發(fā)，按逆時針方向在圓o上作勻速圓周運動，設(shè)M(x,y),x rcos(為參數(shù))y r sin。這就

6、是圓心在原點O，半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中 幾何意義是OMo轉(zhuǎn)過的角度。(x圓心為(a,b),半徑為r的圓的普通方程2 2 2a) (y b) r它的參數(shù)方程為:以坐標(biāo)原點O為中心，焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2. 參數(shù)方程和普通方程的互化(1) 曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2) 如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系,例如x f (t), 把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y g(t),那么x f(t)y g(t)就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的互化中，a rcos z(為參數(shù))b r sino4.

7、 橢圓的參數(shù)方程x a cosb2 1(a b 0),其參數(shù)方程為y bsin (為參數(shù))，其中參數(shù)稱為離心角；焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是22x b COS爲(wèi)冷1（a b 0）,（為參數(shù)），a2 b2 其參數(shù)方程為 y asin其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為 0 , 2 ）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在0到2的范圍0 內(nèi)），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng) 2時，0 一相應(yīng)地也有 2，在其他象限內(nèi)類似。5.雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點0為中心，焦點在X軸上的雙

8、曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為2 X2 a石1（a0,bx0）,其參數(shù)方程為yasec bta n（為參數(shù)）,其中0,2)且 2,2a2焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2X21(a 0,b 0),b其參數(shù)方程為bcot a csc（為參數(shù)，其中(0,2 )e且6. 拋物線的參數(shù)方程2以坐標(biāo)原點為頂點，開口向右的拋物線y2px（P 0）的參X 2pt （t為參數(shù)）.數(shù)方程為y 2 pt7. 直線的參數(shù)方程（ 一）經(jīng)過點M0（X0,y0），傾斜角為I2丿的直線I的普通方程是y y0 tan （x X。）,而過M0（X0,y0），傾斜角為 的直線I的參數(shù)方X x0 t cos程為 y y。tsin （t為參數(shù)）。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點M0（X0,y0），X x0 t cos傾斜角為 的直線I的參數(shù)方程為y y0 tsin （t為參數(shù)），其中t 表示直線1上以定點Mo為起點，任一點M（x, y）為終點的有向線uuLuun段M0M的數(shù)