2019初三數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)之動(dòng)態(tài)幾何語(yǔ)文

1、初三數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)之動(dòng)態(tài)幾何知識(shí)精講一與函數(shù)結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化，引起未知量與知量間 的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系那么，我們一般用以下幾種方法建立函數(shù)： （1）應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式；（2）應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式；（3）應(yīng)用求圖形面積的方法建 立函數(shù)關(guān)系式二動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問(wèn)題背景是特殊圖形，考查問(wèn)題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過(guò)程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一 直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三

2、角形、平行四邊形、 梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線(xiàn)段或面積的最值動(dòng)態(tài)幾何常見(jiàn)的題型有三大類(lèi)：（1）點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題；（2）線(xiàn)動(dòng)問(wèn)題；（3）面動(dòng)問(wèn)題解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn) 題的常見(jiàn)方法有：（1）特殊探路，一般推證；（2）動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)；（3）建立聯(lián)系，計(jì)算說(shuō)明動(dòng)態(tài)幾何習(xí)題的共性：1 代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查；四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué) 結(jié)合、分類(lèi)討論、方程、函數(shù)；2 以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過(guò)設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值三雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題點(diǎn)動(dòng)、線(xiàn)動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問(wèn)題稱(chēng)之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線(xiàn)，集 多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一

3、題這類(lèi)題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐 操作能力，空間想象能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，其中以靈活多變而著稱(chēng)的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題更成為今 年中考試題的熱點(diǎn)常以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問(wèn)題、探求結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題、探求存在性問(wèn)題、探 求函數(shù)最值問(wèn)題雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)問(wèn)題是近幾年來(lái)中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型這類(lèi)試題信息量大，對(duì)同學(xué)們獲取信息和處 理信息的能力要求較高；解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問(wèn)題，挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過(guò)程， 并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動(dòng)中取靜,靜中求動(dòng)第 1 頁(yè)三點(diǎn)剖析一考點(diǎn)：1 三角形、四邊形與函數(shù)綜合問(wèn)題；2 三角形、四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題二

4、重難點(diǎn)：1 三角形、四邊形與函數(shù)綜合問(wèn)題；1 三角形、四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題模精講題模一：三角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例 1.1 如圖 1，在abc 中，acb=90，點(diǎn) p 為abc 內(nèi)一點(diǎn)（1）連接 pb，pc，將bcp 沿射線(xiàn) ca 方向平移，得 dae，點(diǎn) b，c，p 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) d，a，e，連 接 ce1 依題意，請(qǐng)?jiān)趫D 2 中補(bǔ)全圖形；2 如果 bpce，bp=3，ab=6，求 ce 的長(zhǎng)（2）如圖 3，連接 pa，pb，pc，求 pa+pb+pc 的最小值小慧的作法是：以點(diǎn) a 為旋轉(zhuǎn)中心，將abp 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得 amn，那么就將 pa+pb+pc 的值轉(zhuǎn)化為 cp+pm+mn 的

5、值，連接 cn，當(dāng)點(diǎn) p 落在 cn 上時(shí)，此題可解請(qǐng)你參考小慧的思路，在圖 3 中證明 pa+pb+pc=cp+pm+mn并直接寫(xiě)出當(dāng) ac=bc=4 時(shí)，pa+pb+pc 的最小值【答案】 （1）3 3 （2）見(jiàn)解析， 2 2 2 6【解析】 （1）補(bǔ)全圖形如圖所示；如圖，連接 bd、cdbcp 沿射線(xiàn) ca 方向平移，得到dae，bcad 且 bc=ad， acb=90，四邊形 bcad 是矩形，cd=ab=6，第 2 頁(yè)bp=3，de=bp=3，bpce，bpde，dece，在 dce 中，ce=cd 2 -de 2 = 36 -9 = 27 =3 3；（2）證明：如圖所示，以點(diǎn) a

6、為旋轉(zhuǎn)中心，將abp 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得 amn，連接 bn 由旋轉(zhuǎn)可得，amnabp，mn=bp，pa=am，pam=60= ban，ab=an，pam、abn 都是等邊三角形， pa=pm，pa+pb+pc=cp+pm+mn，當(dāng) ac=bc=4 時(shí)，ab=4 2 ，當(dāng) c、p、m、n 四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，由 ca=cb，na=nb 可得 cn 垂直平分 ab，aq=12ab=2 2 =cq，nq= 3 aq=2 6 ，此時(shí) cn=cp+pm+mn=pa+pb+pc= 2 2 +2 6 例 1.2 以平面上一點(diǎn) o 為直角頂點(diǎn)，分別畫(huà)出兩個(gè)直角三角形，記 aob 和cod，其中 （1）點(diǎn) e、f、m

7、 分別是 ac、cd、db 的中點(diǎn)，連接 fm、em如圖 1，當(dāng)點(diǎn) d、c 分別在 ao、bo 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，fmem=_；如圖 2，將圖 1 中的aob 繞點(diǎn) o 沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) a角（ 0a 60），其他條件不變，判斷fmem的值是否發(fā)生變化，并對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明；（2）如圖 3，若 bo =3 3 ，點(diǎn) n 在線(xiàn)段 od 上，且 no =2 點(diǎn) p 是線(xiàn)段 ab 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在將aob 繞 點(diǎn) o 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線(xiàn)段 pn 長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)，最大值為_(kāi)【答案】 （1）3 fm 3 的值不變（2）2 em 23 -2 ； 3 3 +2【解析】 該題考查旋轉(zhuǎn)與相似（1）連接 ef，點(diǎn) e

8、、f、m 分別是 ac、cd、db 的中位線(xiàn)，ef、fm 分別 acd 和dbc 的中位線(xiàn)，ef/ad,fm/cb， efm =90,efm 是直角三角形em/cd， emf =mfd =30 cos30 =fm 3 fm= 結(jié)論： 的值不變. em 2 em第 3 頁(yè)連接 ef、ad、bc.（如圖 8） aob 中， aob =90， abo =30， cod 中， cod =90， dco =30，又 aod =90+bod ， boc =90+bod ， aodboc點(diǎn) e、f、m 分別是 ac、cd、db 的中點(diǎn)，efad，fmcb，且 ef =1 1 ad ， fm = cb .2

9、2 1 +4 +6 =90，即 3 +4 =90在 efm 中， efm =90， tan emf =（2）過(guò) o 作 oe ab 于 e，ef 3= ，fm 3當(dāng)點(diǎn) p 在點(diǎn) e 處時(shí)，點(diǎn) p 到 o 點(diǎn)的距離最近為3 32，這時(shí)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到 oe 與 od 重合時(shí)，np 取最小值為， op -on =3 32=2當(dāng)點(diǎn) p 在點(diǎn) b 處時(shí)，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到 ob 在 do 的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，np 的最大值 ob +on =3 3 +2例 1.3 在 abc 中 ， acb =90， bac =30， 將 abc 繞 頂 點(diǎn) c 順 時(shí) 針 旋 轉(zhuǎn) ， 旋 轉(zhuǎn) 角 為 q（ 0q180），得到 abc（1）如

10、圖 1，當(dāng) abac 時(shí)，設(shè) ac與 ab 相交于點(diǎn) d證明：bcd 是等邊三角形；（2 ）如圖 2，連接 aa、 bb，設(shè) aca 比；和 bcb的面積分別為 s 和 s 求： s 與 s 的aca bcb aca bcb （3）如圖 3，設(shè) ac 中點(diǎn)為 e， ab 求出 ep 的最大值中點(diǎn)為 p， bc =a ，連接 ep，求：角 q為多少度時(shí)，ep 長(zhǎng)度最大，并【答案】 （1 ）見(jiàn)解析；（ 2 ） saca : sbcb =3:1 ；（ 3 ）角 q=150時(shí)， ep 長(zhǎng)度最大，其最大值是3 +22a【解析】 （1）證明：如圖 1，在abc 中， acb =90 ， bac =30，第

11、 4 頁(yè) cba =60（直角三角形的兩個(gè)銳角互余） abac，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知， cab=cab=30 ， aca=cab =30，即 q =30，在cdb 中， dcb =cbd =bdc =60 ，bcd 是等邊三角形；（2）解：如圖 2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 ac =ca ， bc =cb ，1 1又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知， aca =bcb1 1（3）解：如圖，連接 cp，當(dāng)abc 旋轉(zhuǎn)到 abc的位置時(shí)，此時(shí) q=aca=150， ep =ec +cp =1 1 1 1 3 +2 ac + a b = 3a + 2 a = a2 2 2 2 2即角 q=150時(shí)，ep 長(zhǎng)度最大，其最大值是3

12、+22a例 1.4 用如圖，所示的兩個(gè)直角三角形（部分邊長(zhǎng)及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出），完成以下兩個(gè)探究 問(wèn)題：探究一：將以上兩個(gè)三角形如圖拼接（bc 和 ed 重合），在 bc 邊上有一動(dòng)點(diǎn) p（1） 當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到cfb 的角平分線(xiàn)上時(shí)，連接 ap，求線(xiàn)段 ap 的長(zhǎng)；（2） 當(dāng)點(diǎn) p 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中出現(xiàn) pa =fc 時(shí)，求pab 的度數(shù)探究二：如圖，將def 的頂點(diǎn) d 放在abc 的 bc 邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn) d 為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)def，使 def 的兩直角邊與abc 的兩直角邊分別交于 m、n 兩點(diǎn)，連接 mn在旋 def 的過(guò)程中，amn 的周 長(zhǎng)是否存在有最小值？若存在，求出它的

13、最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 見(jiàn)解析【解析】 探究一：（1）依題意畫(huà)出圖形，如圖所示：由題意，得 cfb =60 ，fp 為角平分線(xiàn)，則 cfp =30過(guò)點(diǎn) a 作 agbc 于點(diǎn) g，則 ag =1 3bc = ，2 2第 5 頁(yè)2 22 2 212 4 43 1 10在 apg 中，由勾股定理得： ap = ag +pg = + = 2 2 2（2）由（1）可知， fc = 3 如圖所示，以點(diǎn) a 為圓心，以 fc = 3 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與 bc 交于點(diǎn) p 、 p ，則 ap =ap =1 2 1 21 3過(guò)點(diǎn) a 過(guò) agbc 于點(diǎn) g，則 ag =bc = ，2 23ag 3

14、， p ag =30 在 agp1 中， cos p ag = = =1ap 3 21同理求得， p ag =30 ， p ab =45 +30=75 2 2pab 的度數(shù)為 15或 75探究二 amn 的周長(zhǎng)存在有最小值如圖所示，連接 ad，abc 為等腰直角三角形，點(diǎn) d 為斜邊 bc 的中點(diǎn)，mad =c amd 與cnd 中， ad =cd ，mda =ndcamdcnd（asa） am =cn 3設(shè) am =x ，則 cn =x ， an =ac -cn =在 amn 中，由勾股定理得：2 3 2 bc -cn = -x2 2，amn 的周長(zhǎng)為： am +an +mn =3 223

15、2 9 + x - + 當(dāng) x =3 24時(shí)，有最小值，最小值為3 2 9 3 +3 2 + = 2 4 2第 6 頁(yè)amn 周長(zhǎng)的最小值為3 3 22例 1.5 如圖，在abc 中，ab=ac=10cm，bc=16cm，de=4cm動(dòng)線(xiàn)段 de（端點(diǎn) d 從點(diǎn) b 開(kāi)始）沿 bc 邊以 1cm/s 的速度向點(diǎn) c 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn) e 到達(dá)點(diǎn) c 時(shí)運(yùn)動(dòng)停止過(guò)點(diǎn) e 作 efac 交 ab 于點(diǎn) f（當(dāng)點(diǎn) e 與點(diǎn) c 重合時(shí)，ef 與 ca 重合），連接 df，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（t0）（1） 直接寫(xiě)出用含 t 的代數(shù)式表示線(xiàn)段 be、ef 的長(zhǎng)；（2） 在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，def 能否為等

16、腰三角形？若能，請(qǐng)求出 t 的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）設(shè) m、n 分別是 df、ef 的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，mn 所掃過(guò)的面積5 12 156 9【答案】 （1）be=ef= （t+4）（cm）（2）t=0、 或 （3）8 5 25 2【解析】 （1）bd=tcm，de=4cm，be=bd+de=（t+4）cm，efac，befbca，ef：ca=be：bc，即 ef：10=（t+4）：16，解得：ef=58（t+4）（cm）；（2）分三種情況討論：如圖 1，當(dāng) df=ef 時(shí)，edf=def， ab=ac，b=c，efac，def=c，edf=b，點(diǎn) b 與點(diǎn) d 重合， t=0

17、；如圖 2，當(dāng) de=ef 時(shí)，第 7 頁(yè)8則 4=58（t+4），解得：t=125；如圖 3，當(dāng) de=df 時(shí)，有dfe=def=b=c， defabc即5(t +4)4= ，10 16解得：t=15625；綜上所述，當(dāng) t=0、12 156或 秒時(shí)，def 為等腰三角形 5 25（3）如圖 4，設(shè) p 是 ac 的中點(diǎn)，連接 bp，efac，fbeabc又ben=c，nbepbc，nbe=pbc點(diǎn) b，n，p 共線(xiàn)，點(diǎn) n 沿直線(xiàn) bp 運(yùn)動(dòng)，mn 也隨之平移如圖 5，設(shè) mn 從 st 位置運(yùn)動(dòng)到 pq 位置，則四邊形 pqst 是平行四邊形 m、n 分別是 df、ef 的中點(diǎn)，mnd

18、e，且 st=mn=12de=2分別過(guò)點(diǎn) t、p 作 tkbc，垂足為 k，plbc，垂足為 l，延長(zhǎng) st 交 pl 于點(diǎn) r，則四邊形 tklr 是矩 形，當(dāng) t=0 時(shí)，ef=5 5 1 1 5 3 3 （0+4）= ，tk= efsindef= = ；8 2 2 2 2 5 4第 8 頁(yè)平行四pqst邊形2當(dāng) t=12 時(shí)，ef=ac=10，pl=1 1 3 acsinc= 10 =32 2 53 9pr=plrl=pltk=3= 4 49 9s=stpr=2 = 4 2整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，mn 所掃過(guò)的面積為92cm 題模二：四邊形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例 2.1 如圖，四邊形 abcd 是正方形

19、abe 是等邊三角形，m 為對(duì)角線(xiàn) bd（不含 b 點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，連 結(jié) am、cm（1） 當(dāng) m 點(diǎn)在何處時(shí)，amcm 的值最?。唬?） 當(dāng) m 點(diǎn)在何處時(shí)，ambmcm 的值最小，并說(shuō)明理由；（3） 當(dāng) ambmcm 的最小值為 3 +1 時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)【答案】 （1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3） 2【解析】 該題考查的是四邊形綜合（1）當(dāng) m 點(diǎn)落在 bd 的中點(diǎn)時(shí)， am +cm 的值最小1 分（2）如圖，連接 ce，當(dāng) m 點(diǎn)位于 bd 與 ce 的交點(diǎn)處時(shí)am +bm +cm的值最小2 分理由如下：m 是正方形 abcd 對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn) 又 ab =bc ， bm =bmabm c

20、bm又bam =bcmbe =ba =bc3 分bec =bam在 ec 上取一點(diǎn) n 使得en =am，連結(jié) bn又 eb =abbne abm3 分第 9 頁(yè)又 ebn +nba =60 即 nbm =60bmn 是等邊三角形 bmmn4 分根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，得 en +mn +cm =ec最短當(dāng) m 點(diǎn)位于 bd 與 ce 的交點(diǎn)處時(shí)， am +bm +cm 5 分的值最小，即等于 ec 的長(zhǎng)（3）過(guò) e 點(diǎn)作ef bc交 cb 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 f設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x，則 bf =32x ， ef =x26 分在 efc 中，解得 x = 2 （舍去負(fù)值）正方形的邊長(zhǎng)為 27 分例

21、2.2 如圖 1，已知線(xiàn)段 bc =2 ，點(diǎn) b 關(guān)于直線(xiàn) ac 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn) d，點(diǎn) e 為射線(xiàn) ca 上一點(diǎn)，且ed =bd ，連接 de，be（1） 依題意補(bǔ)全圖 1，并證明 bde 為等邊三角形；（2） 若 acb =45，點(diǎn) c 關(guān)于直線(xiàn) bd 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn) f，連接 fd、fb cde 繞點(diǎn) d 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（ 0a360）得到 c de ，點(diǎn) e 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 e ，點(diǎn) c 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) c 如圖 2，當(dāng) a =30時(shí)，連接 bc 證明： ef =bc ；如圖 3，點(diǎn) m 為 dc 中點(diǎn)，點(diǎn) p 為線(xiàn)段 c e 上的任意一點(diǎn)，試探究：在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段 pm 長(zhǎng)度的取值范圍？【答

22、案】 （1）如圖 1，證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析； 2 -1 pm 2 2 +1【解析】 （1）補(bǔ)全圖形，如圖 1 所示；證明：由題意可知：射線(xiàn) ca 垂直平分 bd又 ed =bdebd 是等邊三角形第 10 頁(yè)（2）證明：如圖 2：由題意可知 bcd =90， bc =dc 又點(diǎn) c 與點(diǎn) f 關(guān)于 bd 對(duì)稱(chēng)四邊形 bcdf 為正方形，由（1 bde 為等邊三角形又 e dc 是由 edc 旋轉(zhuǎn)得到的，edf dbc （sas）線(xiàn)段 pm 的取值范圍是： 2 -1 pm 2 2 +1 設(shè)射線(xiàn) ca 交 bd 于點(diǎn) o，i：如圖 3（1）當(dāng) e c dc，mp e c ，d、m、p、c 共線(xiàn)

23、時(shí)，pm 有最小值此時(shí) dp =do = 2 ， dm =1 ii：如圖 3（2）當(dāng)點(diǎn) p 與點(diǎn) e 重合，且 p、d、m、c 共線(xiàn)時(shí)，pm 有最大值此時(shí) dp =de =de =db =2 2 ， dm =1線(xiàn)段 pm 的取值范圍是： 2 -1 pm 2 2 +1例 2.3 如圖 1，在菱形 abcd 中，ab=6 5 ，tanabc=2，點(diǎn) e 從點(diǎn) d 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度 沿著射線(xiàn) da 的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（秒），將線(xiàn)段 ce 繞點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 （ = bcd），得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段 cf（1） 求證：be=df；（2） 當(dāng) t=_秒時(shí)，df 的長(zhǎng)度有最小

24、值，最小值等于_；（3） 如圖 2，連接 bd、ef、bd 交 ec、ef 于點(diǎn) p、q，當(dāng) t 為何值時(shí)，epq 是直角三角形？（4） 如圖 3，將線(xiàn)段 cd 繞點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 （ =bcd），得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段 cg在點(diǎn) e 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn) f 位于直線(xiàn) ad 上方時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn) f 到直線(xiàn) ad 的距離 y 關(guān)于時(shí)間 t 的函數(shù)表達(dá)式 【答案】 （1）見(jiàn)解析（2） 6 5 +6，12（3） 6 秒和 6 5 秒第 11 頁(yè)（4）y=2 5 24 5t125 5【解析】 分析：（1）由ecf=bcd 得dcf=bce，結(jié)合 dc=bc、ce=cf 證dcfbce 即 可得

25、；（2） 當(dāng)點(diǎn) e 運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) e時(shí)，由 df=be知此時(shí) df 最小，求得 be、ae即可得答案；（3） eqp=90時(shí)，由ecf=bcd、bc=dc、ec=fc 得bcp=eqp=90，根據(jù) ab=cd=6 5 ， tanabc=tanadc=2 即可求得 de；epq=90時(shí)，由菱形 abcd 的對(duì)角線(xiàn) acbd 知 ec 與 ac 重合，可得 de=6 5 ；（4）連接 gf 分別交直線(xiàn) ad、bc 于點(diǎn) m、n，過(guò)點(diǎn) f 作 fhad 于點(diǎn) h， dcegcf 可得3=4=1=2，即 gfcd，從而知四邊形 cdmn 是平行四邊形，由平行四邊形得 mn=cd=6 5 ；再由cgn= d

26、cn= cng 知 cn=cg=cd=6 5 ，根據(jù) tan abc=tan cgn=2 可得 gm=6 5 +12 ，由 gf=de=t 得 fm=t6 5 12，利用 tanfmh=tanabc=2 即可得 fh（1）ecf=bcd，即bce+dce=dcf+dce，dcf=bce，四邊形 abcd 是菱形，dc=bc，在dcf 和bce 中，dcfbce（sas），df=be；（2）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) e 運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) e時(shí)，df=be，此時(shí) df 最小，在 abe中，ab=6 5 ，tanabc=tanbae=2，設(shè) ae=x，則 be=2x，第 12 頁(yè)ab= 5 x=6 5 ，則 ae=6

27、de=6 5 +6，df=be=12，故答案為：6 5 +6，12；（3）ce=cf，ceq90，當(dāng)eqp=90時(shí)，如圖 2，ecf=bcd，bc=dc，ec=fc， cbd=cef，bpc=epq，bcp=eqp=90，ab=cd=6 5 ，tanabc=tanadc=2， de=6，t=6 秒；當(dāng)epq=90時(shí)，如圖 2，菱形 abcd 的對(duì)角線(xiàn) acbd，ec 與 ac 重合，de=6 5 ，t=6 5 秒；（4）y=2 5 24 5t125 5，如圖 3，連接 gf 分別交直線(xiàn) ad、bc 于點(diǎn) m、n，過(guò)點(diǎn) f 作 fhad 于點(diǎn) h，第 13 頁(yè)由（1）知1=2，又1+dce=2+

28、gcf， dce=gcf，在dce 和gcf 中，dcegcf（sas）， 3=4，1=3，1=2，2=4，gfcd，又ahbn，四邊形 cdmn 是平行四邊形，mn=cd=6 5 ，bcd=dcg，cgn=dcn=cng，cn=cg=cd=6 5 ，tanabc=tancgn=2， gn=12，gm=6 5 +12，gf=de=t，fm=t6 5 12，tanfmh=tanabc=2，fh=2 55（t6 5 12），第 14 頁(yè)即 y=2 5 24 5t125 5例 2.4 在正方形 abcd 中，點(diǎn) e 是對(duì)角線(xiàn) ac 的中點(diǎn)，點(diǎn) f 在邊 cd 上，連接 de、af，點(diǎn) g 在線(xiàn)段 a

29、f 上 （1）如圖，若 dg 是adfd 的中線(xiàn)，dg=2.5，df=3，連接 eg，求 eg 的長(zhǎng)；（2） 如圖，若 dgaf 交 ac 于點(diǎn) h，點(diǎn) f 是 cd 的中點(diǎn)，連接 fh，求證：cfh=afd；（3） 如圖，若 dgaf 交 ac 于點(diǎn) h，點(diǎn) f 是 cd 上的動(dòng)點(diǎn)，連接 eg當(dāng)點(diǎn) f 在邊 cd 上（不含端點(diǎn)）運(yùn) 動(dòng)時(shí)，egh 的大小是否發(fā)生改變？若不改變，求出egh 的度數(shù)；若發(fā)生改變，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 （1）12（2） 答案見(jiàn)解析（3） 不改變，egh=45【解析】 （1）解：四邊形 abcd 是正方形，ad=cd=bc，adf=bcd=90，dac=acb=acd=

30、45， dg 是adf 的中線(xiàn)，dg=2.5，af=2dg=5，cd=ad=af 2 -df 2=52 -32=4，cf=cddf=1，點(diǎn) e 是對(duì)角線(xiàn) ac 的中點(diǎn)，g 是 af 的中點(diǎn)， eg 是acf 的中位線(xiàn)，eg=1 1cf= ；2 2（2）證明：延長(zhǎng) dh 交 bc 于 m，如圖所示， dgaf，agh=dga=dgf=90，afd+fdg=90，dmc+fdg=90，afd=dmc，第 15 頁(yè)bcd =adf在cdm 和daf 中， dmc =afd ，cd =adcdmdaf（aas），cm=df，點(diǎn) f 是 cd 的中點(diǎn)，df=cf，cm=cf，cm =cf在cmh 和cf

31、h 中， hcm =hcf ，ch =chcmhcfh（sas），cmh=cfh，cfh=afd；（3）解：egh 的大小不發(fā)生改變，egh=45；理由如下： 點(diǎn) e 是對(duì)角線(xiàn) ac 的中點(diǎn)，adc=90，de=12ac=ae，ade=dac=45，aed=90=agd，a、d、g、e 四點(diǎn)共圓，age=ade=45，egh=9045=45例 2.5 如圖，菱形 abcd 中，對(duì)角線(xiàn) ac，bd 相交于點(diǎn) o，且 ac=6cm，bd=8cm，動(dòng)點(diǎn) p，q 分別從點(diǎn) b，d 同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為 1cm/s，點(diǎn) p 沿 bcd 運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn) d 停止，點(diǎn) q 沿 dob 運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn) o 停止 1

32、s 后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn) b 停止，連接 ap，aq，pq設(shè)apq 的面積為 y（cm2）（這里規(guī)定：線(xiàn)段是面積 0 的 幾何圖形），點(diǎn) p 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x（s）（1）填空：ab=_cm，ab 與 cd 之間的距離為_(kāi)cm；第 16 頁(yè)2菱 abcd形（2） 當(dāng) 4x10 時(shí)，求 y 與 x 之間的函數(shù)解析式；（3） 直接寫(xiě)出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使 pq 與菱形 abcd 一邊平行的所有 x 的值【答案】 （1）5，245（2）y= 6- +6(4 x 5)5 3 36 57- x + x - (5 x 9) 10 5 212(9 x 10)（3）滿(mǎn)足條件的 x 的值為40 85或13 13【解析

33、】 （1）菱形 abcd 中，ac=6cm，bd=8cm， acbd，ab= (ac bd) 2 +( ) 2 = 32 +4 2 =5， 2 2設(shè) ab 與 cd 間的距離為 h，abc 的面積 s=12abh，又abc 的面積 s=1 1 1 1s = acbd= 68=12， 2 2 2 412abh=12，h=24 24= ab 53 4（2）設(shè)cbd=cdb=，則易得：sin= ，cos= 5 5當(dāng) 4x5 時(shí)，如答圖 11 所示，此時(shí)點(diǎn) q 與點(diǎn) o 重合，點(diǎn) p 在線(xiàn)段 bc 上 pb=x，pc=bcpb=5x過(guò)點(diǎn) p 作 phac 于點(diǎn) h，則 ph=pccos=45（5x）第

34、 17 頁(yè)22y=s =apq1 1 4 6 qaph= 3 （5x）= x+6；2 2 5 5當(dāng) 5x9 時(shí)，如答圖 12 所示，此時(shí)點(diǎn) q 在線(xiàn)段 ob 上，點(diǎn) p 在線(xiàn)段 cd 上 pc=x5，pd=cdpc=5（x5）=10x3過(guò)點(diǎn) p 作 phbd 于點(diǎn) h，則 ph=pdsin= （10x）5y=s =s s s sapq 菱形 abcd abq 四邊形 bcpq apd=s s （s s ）s菱形 abcd abq bcd pqd apd=1 1 1 1 1acbd bqoa（ bdoc qdph） pdh2 2 2 2 21 1 1 1 3 1 24 68 （9x）3 83 （

35、x1） （10x） （10x）2 2 2 2 5 2 5=3 36 57 x + x ；10 5 2當(dāng) 9x10 時(shí)，如答圖 13 所示，此時(shí)點(diǎn) q 與點(diǎn) b 重合，點(diǎn) p 在線(xiàn)段 cd 上y=s = apq1 1 24abh= 5 =12 2 2 5綜上所述，當(dāng) 4x10 時(shí)，y 與 x 之間的函數(shù)解析式為：y= 6- +6(4 x 5)5 3 36 57- x + x - (5 x 9) 10 5 212(9 x 10)（3）有兩種情況：若 pqcd，如答圖 21 所示此時(shí) bp=qd=x，則 bq=8x pqcd，即x 8 -x= ，5 8第 18 頁(yè)22x=4013；若 pqbc，如答

36、圖 22 所示此時(shí) pd=10x，qd=x1 pqbc，即x -1 10 -x = ，8 5x=8513綜上所述，滿(mǎn)足條件的 x 的值為40 85或 13 13隨堂練習(xí)隨練 1.1 在平面直角坐標(biāo)系中，o 為原點(diǎn)，點(diǎn) a（4，0），點(diǎn) b（0，3），把a(bǔ)bo 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 得abo，點(diǎn) a，o 旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 a，o，記旋轉(zhuǎn)角為 （）如圖，若 =90，求 aa的長(zhǎng)；（）如圖，若 =120，求點(diǎn) o的坐標(biāo)；（）在（）的條件下，邊 oa 上 的一點(diǎn) p 旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 p，當(dāng) op+bp取得最小值時(shí)，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）【答案】 （1）5 2（2）（3 32，92）（

37、3）（6 35，275）【解析】 （1）如圖，點(diǎn) a（4，0），點(diǎn) b（0，3），oa=4，ob=3，ab= 3 +4 =5，abo 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得bo， ba=ba，aba=90，第 19 頁(yè) aba為等腰直角三角形，aa= 2 ba=5 2 ；（2）作 ohy 軸于 h，如圖，abo 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120，得bo， bo=bo=3，obo=120，hbo=60，在 bho中，boh=90hbo=30，bh=1 3 3 3 bo= ，oh= 3 bh= ，2 2 2oh=ob+bh=3+3 9= ，2 2o點(diǎn)的坐標(biāo)為（3 32，32）；（3）abo 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋

38、轉(zhuǎn) 120，得bo，點(diǎn) p 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 p， bp=bp，op+bp=op+bp，作 b 點(diǎn)關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) c，連結(jié) oc 交 x 軸于 p 點(diǎn)，如圖，則 op+bp=op+pc=oc，此時(shí) op+bp 的值最小，點(diǎn) c 與點(diǎn) b 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，c（0，3），設(shè)直線(xiàn) oc 的解析式為 y=kx+b，3 3 9 5 33 3 9 k+b= k= 把 o（ ， ），c（0，3）代入得 2 2 ，解得 32 2b=3 b=3第 20 頁(yè)，直線(xiàn) oc 的解析式為 y=5 33x3，當(dāng) y=0 時(shí)，5 3 3 3 3 3 x3=0，解得 x= ，則 p（3 5 5，0），op=3 35，op=

39、op=3 35，作 p doh 于 d，boa=boa=90，boh=30， dpo=30，od=1 3 3 9 op = ，p d= 3 od= ，2 10 10dh=ohod=3 3 3 3 6 3 = ，2 10 5p 點(diǎn)的坐標(biāo)為（6 35，275）隨練 1.2 如圖，在四邊形 abcd 中， abc =90， ab =cb ， ad =cd ，點(diǎn) m 為對(duì)角線(xiàn) bd（不含點(diǎn) b） 上任意一點(diǎn)，abe 是等邊三角形，將 bm 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 bn，連接 en、am、cm（1） 求證：ambenb；（2） 直接回答：當(dāng)點(diǎn) m 在何處時(shí)， am +cm 的值最??？當(dāng)點(diǎn) m 在

40、何處時(shí)， am +bm +cm 的值最??？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 （1）見(jiàn)解析；（2）連接 ac，當(dāng)點(diǎn) m 位于 bd 與 ac 的交點(diǎn)處時(shí)， am +cm 最??；（3）當(dāng) 點(diǎn) m 位于 bd、ce 的交點(diǎn)處時(shí)， am +bm +cm 的值最小，即等于 ec 的長(zhǎng)理由見(jiàn)解析【解析】 （1）abe 是等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)知， mb =nb ， mbn =60 ，即 mba =nbe ，第 21 頁(yè)在amb 和enb 中，ambenb（sas）；（2）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，連接 ac，當(dāng)點(diǎn) m 位于 bd 與 ac 的交點(diǎn)處時(shí)， am +cm 最小； 連接 ce，當(dāng)點(diǎn) m 位于 bd、ce 的交點(diǎn)處

41、時(shí)， am +bm +cm 最小理由如下：如圖，連接 ce 交 bd 于點(diǎn) m，連接 am，在 em 上取一點(diǎn) n，使 mbn =60 ，在abd 和cbd 中，abdcbd（sss），即 1 =3 ，在ebn 和cbm 中，ebncbm（asa），此時(shí) bn 由 bm 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到，由（1）知：ambenb，bmn 是等邊三角形，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”可知當(dāng)點(diǎn) m 位于 bd、ce 的交點(diǎn)處時(shí)， am +bm +cm 的值最小，即等于 ec 的長(zhǎng)隨練 1.3 在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為 2 的正方形 abcd 與邊長(zhǎng)為 2 2 的 正方形 aef

42、g 按圖 1 位置放置，ad 與 ae 在同一直線(xiàn)上，ab 與 ag 在同一直線(xiàn)上（1） 小明發(fā)現(xiàn) dgbe，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由（2） 如圖 2，小明將正方形 abcd 繞點(diǎn) a 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) b 恰好落在線(xiàn)段 dg 上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí) be 的長(zhǎng)（2） 如圖 3，小明將正方形 abcd 繞點(diǎn) a 繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段 dg 與線(xiàn)段 be 將相交，交點(diǎn)為 h，寫(xiě)出 ghe 與bhd 面積之和的最大值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由【答案】 （1）見(jiàn)解析（2） 2 + 6（2） 6【解析】 （1）四邊形 abcd 和四邊形 aefg 都為正方形，ad=ab，dag=bae=90，ag=ae，在adg 和a

43、be 中，第 22 頁(yè)22adgabe（sas），agd=aeb，如圖 1 所示，延長(zhǎng) eb 交 dg 于點(diǎn) h，在adg 中，agd+adg=90，aeb+adg=90，在edh 中，aeb+adg+dhe=180，dhe=90，則 dgbe；（2）四邊形 abcd 和四邊形 aefg 都為正方形，ad=ab，dab=gae=90，ag=ae，dab+bag=gae+bag，即dag=bae，在adg 和abe 中，adgabe（sas），dg=be，如圖 2，過(guò)點(diǎn) a 作 amdg 交 dg 于點(diǎn) m，amd=amg=90， bd 為正方形 abcd 的對(duì)角線(xiàn)，mda=45，在 amd 中，mda=45，cos45=dmad，ad=2，dm=am= 2 ，在 amg 中，根據(jù)勾股定理得：gm= ag -am = 6 ，dg=dm+gm= 2 6 ，第 23 頁(yè)ch =abbe=dg= 2 + 6（3）ghe 和bhd 面積之和的最大值為 6，理由為：對(duì)于egh，點(diǎn) h 在以 eg 為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn) h 與點(diǎn) a 重合時(shí)，egh 的高最大