初中數(shù)學(xué)競賽：韋達(dá)定理(附練習(xí)題及答案)

1、22b、或 2 c、d、2222 222初中數(shù)學(xué)競賽：韋達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因為該定理是由 16 世紀(jì)法國最杰出 的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的。韋達(dá)定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；運用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等。韋達(dá)定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路。韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這 類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法?！纠}求

2、解】【例 1】 已知 a 、 b是方程 x2-x -1 =0 的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式 a +a(b -2) 的值為 。思路點撥：所求代數(shù)式為 a 、 b的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例 2】如果 a 、 b都是質(zhì)數(shù)，且 a2-13a +m =0 ， b2-13b +m =0 ，那么b a+a b的值為( )a、123 125 125 12322 22 22 22或 2思路點撥 ：可將兩個等式相減，得到a 、 b 的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視a 、 b 為方程x -13 x +m =0 的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，

3、一般是關(guān)于 x、x1 2的對稱式，這類問題可通過變形用 x+ x 、 x x 1 2 1 2表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對稱式。【例 3】 已知關(guān)于 x的方程： x -(m -2) x -m4=0(1)求證：無論 m 取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根。(2)若這個方程的兩個實根 x、 x1 2滿足 x = x +2 ，求 m 的值及相應(yīng)的 x 2 1、 x1 2。思路點撥：對于(2)，先判定 x1、 x2的符號特征，并從分類討論入手?！纠?4】 設(shè) x 、x 是方程 2 x -4 mx +2 m +3m -2 =0 的兩個實

4、數(shù)根，當(dāng) m 為何值時，x +x1 2 1 2并求出這個最小值。1有最小值?1 722思路點撥：利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用 m 的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束 條件下(0)進(jìn)行的。注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時，須滿足判別 式0 這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性?！纠?5】 已知：四邊形 abcd 中，abcd，且 ab、cd 的長是關(guān)于 x的方程 x -2 mx +( m - ) + =02 4的兩個根。(1) 當(dāng) m2 和 m2 時，四邊形 abcd 分別是哪種四邊形?并說明理由。(2)

5、若 m、n 分別是 ad、bc 的中點，線段 mn 分別交 ac、bd 于點 p，q，pq1，且 abcd，求 ab、cd 的 長思路點撥：對于(2)，易建立含 ac、bd 及 m 的關(guān)系式，要求出 m 值，還需運用與中點相關(guān)知識找尋 cd、 ab 的另一隱含關(guān)系式。注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形” 向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負(fù)性2223 22 22222bd222韋達(dá)定理專題訓(xùn)練1 、 (1) 已 知 x 和 x 為 一 元 二 次 方 程 2 x -2 x +3m -1 =0 的 兩 個

6、實 根 ， 并 x 和 x 滿 足 不 等 式1 2 1 2x x1 2 x +x -41 21 ，則實數(shù) m取值范圍是 。(2) 已知關(guān)于 x的一元二次方程 8x +(m +1) x +m -7 =0 有兩個負(fù)數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是 。2、已知 a 、 b 是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式 a +a b+ab+b的值為 。3、cd 是 abc 斜邊上的高線，ad、bd 是方程 x -6 x +4 =0 的兩根，則abc 的面積是 。4、設(shè) x、 x1 2是關(guān)于 x的方程 x +px +q =0 的兩根， x1+1、 x2+1 是關(guān)于 x的方程 x +qx +p =0 的兩根，則 p 、 q

7、 的值分別等于( ) a1，-3 b1，3 c-1，-3 d-1，35、在 abc 中，c90，a、b、c 分別是a、b、c 的對邊，a、b 是關(guān)于 x 的方程 x -7 x +c +7 =0 的兩根，那么 ab 邊上的中線長是( )a3 52 2c5 d26、方程 x 2 +px +1997 =0 恰有兩個正整數(shù)根 x1、 x2，則p( x +1)( x +1) 1 2的值是( )a1 b-l c -1 12 27 、若關(guān)于 x的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關(guān)系式：x ( x +1) +x ( x +1) =( x +1)( x +1) 1 1 2 2 1 2，判斷( a +b ) 2 4

8、是否正確?8、已知關(guān)于 x的方程 x -(2k -3) x +k +1 =0 。(1) 當(dāng) k 是為何值時，此方程有實數(shù)根；(2)若此方程的兩個實數(shù)根 x、 x1 2滿足： x + x =3 ，求 k 的值。 2 19、已知方程 x +px +q =0 的兩根均為正整數(shù)，且 p +q =283，那么這個方程兩根為 。2b acd2221222 22+10、 已知 a 、 b 是方程 x -x -1 =0 的兩個根，則 a4 +3b的值為 。11、 abc 的一邊長為 5，另兩邊長恰為方程 2 x 2 -12 x +m =0 的兩根，則 m 的取值范圍是 。12、兩個質(zhì)數(shù) a、 b恰好是整系數(shù)方

9、程的兩個根，則 +a b的值是( )a9413 b9413 9413 9413194 99 9713、設(shè)方程有一個正根 x1，一個負(fù)根 x2，則以 x 、 x 1 2為根的一元二次方程為( )a x2-3 x -m -2 =0b x2+3 x -m -2 =0c x - 1 -4 mx -2 =0d x - 1 -4 mx +2 =014、如果方程 ( x -1)( x -2 x +m ) =0 的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù) m 的取值范圍是 ( )a0m1 bm34c34bc)的長是關(guān)于 x (1)求 rn 的值；的方程的兩個根。（2）若 e 是 ab 上的一點，cfde 于 f，求 be 為何值時 cef 的面積 ced 的面積的 ，請說明理3由16、設(shè) m 是不小于 -1的實數(shù)，使得關(guān)于 x的方程工 x +2(m -2) x +m -3m +3 =0 有兩個不相等的實數(shù)根x1、 x2。(1) 若 x +x 1 2=6 ，求 m 的值。 （2）求mx mx1 2 1 -x 1 -x122的最大值。17、如圖，已知在abc 中，acb=90，過 c 作 cdab 于 d，且 adm，bd=n，ac2：bc22：1；又關(guān)42222于 x 的方程14x -2( n -1) x +m -12 =0