2020屆4月北京市朝陽區(qū)一模試卷(理科數(shù)學)

1、2222北京市朝陽區(qū)高三年級高考練習一數(shù) 學（考試時間 120 分鐘 滿分 150 分）本試卷分為選擇題（共 40 分）和非選擇題（共 110 分）兩部分2020.4考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共 40 分）一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 （1）已知集合 a =1,3,5，b =xz| ( x -1)(x -4) 0)的焦點為 f ，準線為 l ，點 a 是拋物線 c 上一點， ad l 于 d .若 af =4 ， daf =60 ，則拋物線 c

2、 的方程為（a） y =8 x（b） y =4 x高三數(shù)學試卷（c） y =2 x第1頁（共6頁）（d） y =x（6）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊 5 種在線教學軟件，若某學校要從中隨機選取 3 種作為教師“停課不停學” 的教學工具，則其中甲、乙、丙至多有 2 種被選取的概率為（a）2 2 3 9（b） （c） （d）3 5 5 10（7）在 abc 中， ab =bc ， abc =120 率為若以 a ， b 為焦點的雙曲線經(jīng)過點 c ，則該雙曲線的離心（a）52（b）72（c）3 +12（d） 3（8）已知函數(shù) f ( x) = 3sin(x - ) ( 0)p對稱”的的圖象關于直線 x =

3、3（a）充分而不必要條件（c）充分必要條件的圖象上相鄰兩個最高點的距離為 p，則“ j =（b）必要而不充分條件（d）既不充分也不必要條件p6”是“ f (x)（9）已知函數(shù) f ( x) =x 2 -2 ax +2 a , x 1, 2 x -a ln x , x 1.a若關于 x 的不等式 f ( x ) 在 r 上恒成立，則實數(shù) a 的取值范2圍為（a）( -,2 e3 （b） 0, 2（c） 0,2（d）0, 2 e（10 ）如圖，在正方體 abcd - a b c d 中， m1 1 1 1， n分別是棱 ab ， bb 的中點，點 p 在對角線 ca1 1上運動當 pmn 的面積取

4、得最小值時，點 p 的位置是a1d1（a）線段 ca 的三等分點，且靠近點1ca的中點（b）線段1a1b1c1（c）線段 ca 的三等分點，且靠近點 c1（d）線段 ca 的四等分點，且靠近點 c1nbmpa dc（第 10 題圖）高三數(shù)學試卷第2頁（共6頁）第二部分二、填空題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。（非選擇題 共 110 分）（11）若復數(shù) z =21 +i，則| z |=_（12）已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長為_，它的體積為 32 2 正（主）視圖2 2 側（左）視圖俯視圖（第 12 題圖）（13）某購物網(wǎng)站開展一種商品的預約購買，規(guī)定每個手機號

5、只能預約一次，預約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品規(guī)則如下：（）搖號的初始中簽率為0.19；（）當中簽率不超過1 時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加 0.05為了使中簽率超過 0.9，則至少需要邀請_位好友參與到“好友助力”活動（14）已知函數(shù) f ( x) =x cospx2數(shù)列a n滿足a = f ( n) + f ( n +1) n（ n n*），則數(shù)列a n的前 100項和是_（15）數(shù)學中有許多寓意美好的曲線，曲線c : ( x2+y2)3=4 x2y2被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結論：1 曲線 c2 曲

6、線 c關于直線 y =x 對稱；上任意一點到原點的距離都不超過1 ； 存在一個以原點為中心、邊長為 2的正方形，使得曲線 c在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）其中，正確結論的序號是_（第 15 題圖）注：本題給出的結論中，有多個符合題目要求。全部選對5得分，不選或有錯選得0 分，其他得3 分。高三數(shù)學試卷第3頁（共6頁）三、解答題共 6 小題，共 85 分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （16）（本小題 14 分）在 abc 中， b sin a = a cos(b - （）求 b ；（）若 c = 5， 求 a .p6) 從 b = 7 ， c =p4這兩個條件中任選一個，補充在上面問題

7、中并作答注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。（17）（本小題 14 分）如圖，在三棱柱 abc - a b c 中，平面 acc a 1 1 1 1 1平面 abc ，四邊形 acc a1 1是正方形，點 d ， e分別是棱 bc ，bb 的中點，ab = 4 ，aa = 2 ，bc = 2 51 1c（）求證： ab cc ；1（）求二面角 d - ac - c 的余弦值；1c1（）若點 f 在棱 b c 上，且 b c = 4 b f ，判斷平面 ac d1 1 1 1 1 1d與平面 a ef 是否平行，并說明理由 1aa1fbeb1高三數(shù)學試卷第4頁（共6頁）（18）（本小

8、題 14 分）某科研團隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒 .為了解該試劑盒檢測的準確性，質(zhì)檢部門從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機選取了 80位患者和 100位非患者，用該試劑盒分別對他們進行檢測，結果如下：患者的檢測結果陽性陰性人數(shù)764非患者的檢測結果陽性陰性人數(shù)199（）從該地區(qū)患者中隨機選取一人，對其檢測一次，估計此患者檢測結果為陽性的概率；（）從該地區(qū)患者中隨機選取3人，各檢測一次，假設每位患者的檢測結果相互獨立，以x 表示檢測結果為陽性的患者人數(shù)，利用（）中所得概率，求 x 的分布列和數(shù)學期望；（）假設該地區(qū)有 10 萬人，患病率為 0.01 .從該地區(qū)隨機選取一人，用該試劑盒對其檢測一次

9、 .若檢測結果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.5？并說明理由.（19）（本小題 14 分）已知橢圓 c :x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2，圓 o : x 2 +y 2 =r 2 （ o 為坐標原點） .過點 (0, b) 且斜率為 1 的直線與圓 o 交于點 (1,2) ，與橢圓 c 的另一個交點的橫坐標為 - （）求橢圓 c 的方程和圓 o 的方程；85.（）過圓 o 上的動點 p 作兩條互相垂直的直線 l1， l2，若直線 l 1的斜率為 k ( k 0) 且 l1與橢圓 c 相切，試判斷直線 l2與橢圓 c 的位置關系，并說明理由.高三數(shù)學試卷第5頁（共6

10、頁）（20）（本小題 15 分）已知函數(shù) f (x)=ex-x +1x -1（）求曲線y = f ( x) 在點 (0, f (0) 處的切線方程；（）判斷函數(shù)f ( x )的零點的個數(shù)，并說明理由；（）設 x 是 f ( x ) 0的一個零點，證明曲線 y =e x 在點 ( x ,e0x0)處的切線也是曲線y =ln x的切線（21）（本小題 14 分）設數(shù)列a : a , a ,k , a 1 2n（ n 3）的各項均為正整數(shù)，且a a l a 1 2n若對任意k 3,4,l , n，存在正整數(shù)i, j(1 i j k )使得a =a +a k ij，則稱數(shù)列 a 具有性質(zhì) t （）判斷數(shù)列a :1,2,4,71與數(shù)列a :1,2,3,62是否具有性質(zhì) t ；（只需寫出結論）（）若數(shù)列 a 具有性質(zhì) t ，且a =1 ， a =2 ， a =200 1 2