高中物理競賽基礎(chǔ)：電勢與電勢差

1、e =qu121、1、2 電勢與電勢差電勢差、電勢、電勢能電場力與重力一樣，都是保守力，即電場力做功與具體路徑無關(guān)，只取決于始末位置。我們把在電場中的兩點間移動電荷所做的功與被移動電荷電量的 比值，定義為這兩點間的電勢差，即uab=wabq這就是說，在靜電場內(nèi)任意兩點 a 和 b 間的電勢差，在數(shù)值等于一個單位正電荷從 a 沿任一路徑移到 b 的過程中，電場力所做的功。反映了電場力做功的能力。即電勢差僅由電場本身性質(zhì)決定，與被移動電荷的電量無關(guān)；即使不 移動電荷，這兩點間的電勢差依然存在。如果我們在電場中選定一個參考位置，規(guī)定它為零電勢點，則電場中的某點跟參考位置間的電勢差就叫做該點的電勢。通

2、常我們?nèi)〈蟮鼗驘o窮遠處為零電勢點。電勢是標準量，其正負代表電勢的高低，單位是伏特（v）。電勢是反映電場能的性質(zhì)的物理量，電場中任意一點 a 的電勢，在數(shù)值上等于一個單位正電荷 a 點處所具有的電勢能，因此電量為 q 的電荷放在電場中 電勢為 u 的某點所具有的電勢能表示為 。122、幾種常見帶電體的電勢分布（1）點電荷周圍的電勢如圖 1-2-1 所示，場源電荷電量為 q，在離 qq prp1r1p2r2為 r 的 p 點處有一帶電量為 q 的檢驗電荷，現(xiàn)將圖 1-2-1該檢驗電荷由 p 點移至無窮遠處（取無窮遠處為零電勢），由于此過程中，所受電場力為變力，故將 q 移動的整個過程理解為p r

3、p p r11212( ) ( ) ()12 13 2() () ()12 13 2dq由 p 移至很近的 （離 q 距離為 ）點，再由 移至很近的 （離 q 距離為 ）點直至無窮遠處。在每一段很小的過程中，電場力可視作恒力，因此這一 過程中，電場力做功可表示為：w =kqq qq qqr -r +k r -r +k r -r + r 2 r 2 r 21 2kqq kqq kqq= r -r + r -r + r -r + rr r r r r1 1 2 2 3=kqq kqq kqq kqq kqq kqq - + - + - +r r r r r r1 1 2 2 3=kqqr所以點電荷

4、周圍任一點的電勢可表示為：u =kqr式中 q 為場源電荷的電量，r 為該點到場源電荷的距離。（2）均勻帶電球殼，實心導(dǎo)體球周圍及內(nèi)部的電勢。由于實心導(dǎo)體球處于靜電平衡時，其凈電荷只分布在導(dǎo)體球的外表面，因此其內(nèi)部及周圍電場、電勢的分布與均勻帶電球殼完全相同。由于均勻帶電球殼外部電場的分布與點電荷周圍電場的分布完全相同，因此用上面類似方法不 難證明均勻帶電球殼周圍的電勢為。u =kqrrr式中 q 為均勻帶電球殼的電量，r 為球殼的半徑，r 為該點到球殼球心的距離。在球殼上任取一個微元，設(shè)其電量為 ，該微元在球心 o 處產(chǎn)生的電勢u =ikdqr。由電勢疊加原理，可知 o 點處電勢等于球殼表面

5、各微元產(chǎn)生電勢的rkqr1r r32+q +q+q+q+qr +q r -q r代數(shù)和，u =u =ikdq k= dqr rkqu =r。因為均勻帶電球殼及實心導(dǎo)體球均為等勢體，因而它們內(nèi)部及表面的電勢 kq均為 r 。kqu =r( r r ) ( r r )123、電勢疊加原理電勢和場強一樣，也可以疊加。因為電勢是標量，因此在點電荷組形成的電場中，任一點的電勢等于每個電荷單獨存在時，在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和， 這就是電勢疊加原理 。例 3、如圖 1-2-2 所示，兩個同心導(dǎo)體球，內(nèi)球半徑為 ，外球是個球殼，內(nèi)半徑為 ，外半徑 。在下列各種情況下求內(nèi)外球殼的電勢，以及殼內(nèi)空腔和殼外空間的電

6、勢分布r3r2r1規(guī)律。（1） 內(nèi)球帶 ，外球殼帶 。（2） 內(nèi)球帶 ，外球殼不帶電。（3） 內(nèi)球帶 ，外球殼不帶電且接地。（4） 內(nèi)球通過外殼小孔接地，外球殼帶 。解: 如圖 1-2-2 所示，根據(jù)疊原理：（1） 1 處有均勻的 ， 2 必有均勻的 ， 3 處當(dāng)然有圖 1-2-2+(q+q)電荷，（ r ）rr +q r -q r +q1內(nèi)r r21rr +q r -q21r31內(nèi)r r21因此：內(nèi)球外球u =k1u =k2q q (q+q)-k =kr r r1 2 3q q (q+q) (q+q) -k +k =kr r r r2 2 3 3電勢差u =u -u =k 12 1 2q q

7、-kr r1 2腔內(nèi)u =k內(nèi)q q (q+q)-k +kr r r r r2 3 1 2殼外u =k外qq (q+q) (q+q) -k +k =krr r r3 3（r 3 ）（2） 1 處有 ， 2 處有 ， 3 處有 ，因此：內(nèi)球q q q u =k -k +kr r r1 2 3外球u =k2q q q q -k +k =kr r r r2 2 3 3電勢差u =u -u =k 12 1 2q q-kr r1 2腔內(nèi)q q q u =k -k +kr r r2 3（ r ）殼外u外=kqqqq -k +k =krrrr（r 3 ）（3） 處有 ， 處有 ，外球殼接地，外球殼q qu

8、=k -kr r內(nèi)球1 2u =02， 處無電荷。電勢差u =u -u =k 12 1 2q q-kr r1 2腔內(nèi)q q u =k -kr r2（ r ）r-q r +q r2q()()殼外u外qq =k -k =0rr（r 3 ）（4）內(nèi)球接地電勢為零，內(nèi)球帶 ， 處有 ， 3 處有+(q+q)，先求 ，因為-kq q (q+q +k +kr r r1 2 3)=0解得內(nèi)球q =qr r / (rr +r r -r r1 2 1 2 2 3 1 3 u =01)外球u =-k2q q (q-q +k +kr r r2 2 3)=kq(r-r )/(rr+r r -r r )=u 2 1 1

9、 2 2 3 1 321腔內(nèi)u =-k內(nèi)q q (q-q +k kq r r2 3)=kqr r 2 1- 1 r1 r2 +r2 r3 -r1 r3 r （ r 1 r r2 ）殼外u外=-kq q (q-q +k +kr r r3)=k q r(r-r ) 3 2 1r r +r r -r r r 1 2 2 3 1 3124、勻強電場中電勢差與場強的關(guān)系場強大小和方向都相同的電場為勻強電場，兩塊帶等量異種電荷的平板之間的電場可以認為是勻強電場，它的電場線特征是平行、等距的直線。場強與電勢雖然都是反映場強本身性質(zhì)特點的物理量，但兩者之間沒有相應(yīng)的對應(yīng)聯(lián)系，但沿著場強方向電勢必定降低，而電勢

10、階低最快的方向也就是 場強所指方向，在勻強電場中，場強 e 與電勢差 u 之間滿足u =ed這就是說，在勻強電場中，兩點間的電勢等于場強大小和這兩點在沿場強 方向的位移的乘積。e =0 eppe e e e上 下上 下e e e e上 下上 下p0例 4、半徑為 r 的半球形薄殼，其表面均勻分布面電荷密e下度為 s 的電荷，求該球開口處圓面上任一點的電勢。o p解：設(shè)想填補面電荷密度亦為 +s 的另半個球面如圖e上1-2-3 所示，則球內(nèi)任一點的場強均為 0，對原半球面開口處圖 1-2-3圓面上的任一點 p 而言，也有，而 是上、下兩個半球在 p 點產(chǎn)生場強 、 的合成。另據(jù)對稱性易知， 、 的大小必定相等，而 、 的合場強為零，說明 、 均垂直于半球開口平面，故在半球面帶均勻電荷的情況下，它