高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)：電勢(shì)與電勢(shì)差

1、e =qu121、1、2 電勢(shì)與電勢(shì)差電勢(shì)差、電勢(shì)、電勢(shì)能電場(chǎng)力與重力一樣，都是保守力，即電場(chǎng)力做功與具體路徑無(wú)關(guān)，只取決于始末位置。我們把在電場(chǎng)中的兩點(diǎn)間移動(dòng)電荷所做的功與被移動(dòng)電荷電量的 比值，定義為這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，即uab=wabq這就是說(shuō)，在靜電場(chǎng)內(nèi)任意兩點(diǎn) a 和 b 間的電勢(shì)差，在數(shù)值等于一個(gè)單位正電荷從 a 沿任一路徑移到 b 的過(guò)程中，電場(chǎng)力所做的功。反映了電場(chǎng)力做功的能力。即電勢(shì)差僅由電場(chǎng)本身性質(zhì)決定，與被移動(dòng)電荷的電量無(wú)關(guān)；即使不 移動(dòng)電荷，這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差依然存在。如果我們?cè)陔妶?chǎng)中選定一個(gè)參考位置，規(guī)定它為零電勢(shì)點(diǎn)，則電場(chǎng)中的某點(diǎn)跟參考位置間的電勢(shì)差就叫做該點(diǎn)的電勢(shì)。通

2、常我們?nèi)〈蟮鼗驘o(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)點(diǎn)。電勢(shì)是標(biāo)準(zhǔn)量，其正負(fù)代表電勢(shì)的高低，單位是伏特（v）。電勢(shì)是反映電場(chǎng)能的性質(zhì)的物理量，電場(chǎng)中任意一點(diǎn) a 的電勢(shì)，在數(shù)值上等于一個(gè)單位正電荷 a 點(diǎn)處所具有的電勢(shì)能，因此電量為 q 的電荷放在電場(chǎng)中 電勢(shì)為 u 的某點(diǎn)所具有的電勢(shì)能表示為 。122、幾種常見(jiàn)帶電體的電勢(shì)分布（1）點(diǎn)電荷周?chē)碾妱?shì)如圖 1-2-1 所示，場(chǎng)源電荷電量為 q，在離 qq prp1r1p2r2為 r 的 p 點(diǎn)處有一帶電量為 q 的檢驗(yàn)電荷，現(xiàn)將圖 1-2-1該檢驗(yàn)電荷由 p 點(diǎn)移至無(wú)窮遠(yuǎn)處（取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)），由于此過(guò)程中，所受電場(chǎng)力為變力，故將 q 移動(dòng)的整個(gè)過(guò)程理解為p r

3、p p r11212( ) ( ) ()12 13 2() () ()12 13 2dq由 p 移至很近的 （離 q 距離為 ）點(diǎn)，再由 移至很近的 （離 q 距離為 ）點(diǎn)直至無(wú)窮遠(yuǎn)處。在每一段很小的過(guò)程中，電場(chǎng)力可視作恒力，因此這一 過(guò)程中，電場(chǎng)力做功可表示為：w =kqq qq qqr -r +k r -r +k r -r + r 2 r 2 r 21 2kqq kqq kqq= r -r + r -r + r -r + rr r r r r1 1 2 2 3=kqq kqq kqq kqq kqq kqq - + - + - +r r r r r r1 1 2 2 3=kqqr所以點(diǎn)電荷

4、周?chē)我稽c(diǎn)的電勢(shì)可表示為：u =kqr式中 q 為場(chǎng)源電荷的電量，r 為該點(diǎn)到場(chǎng)源電荷的距離。（2）均勻帶電球殼，實(shí)心導(dǎo)體球周?chē)皟?nèi)部的電勢(shì)。由于實(shí)心導(dǎo)體球處于靜電平衡時(shí)，其凈電荷只分布在導(dǎo)體球的外表面，因此其內(nèi)部及周?chē)妶?chǎng)、電勢(shì)的分布與均勻帶電球殼完全相同。由于均勻帶電球殼外部電場(chǎng)的分布與點(diǎn)電荷周?chē)妶?chǎng)的分布完全相同，因此用上面類(lèi)似方法不 難證明均勻帶電球殼周?chē)碾妱?shì)為。u =kqrrr式中 q 為均勻帶電球殼的電量，r 為球殼的半徑，r 為該點(diǎn)到球殼球心的距離。在球殼上任取一個(gè)微元，設(shè)其電量為 ，該微元在球心 o 處產(chǎn)生的電勢(shì)u =ikdqr。由電勢(shì)疊加原理，可知 o 點(diǎn)處電勢(shì)等于球殼表面

5、各微元產(chǎn)生電勢(shì)的rkqr1r r32+q +q+q+q+qr +q r -q r代數(shù)和，u =u =ikdq k= dqr rkqu =r。因?yàn)榫鶆驇щ娗驓ぜ皩?shí)心導(dǎo)體球均為等勢(shì)體，因而它們內(nèi)部及表面的電勢(shì) kq均為 r 。kqu =r( r r ) ( r r )123、電勢(shì)疊加原理電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)一樣，也可以疊加。因?yàn)殡妱?shì)是標(biāo)量，因此在點(diǎn)電荷組形成的電場(chǎng)中，任一點(diǎn)的電勢(shì)等于每個(gè)電荷單獨(dú)存在時(shí)，在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和， 這就是電勢(shì)疊加原理 。例 3、如圖 1-2-2 所示，兩個(gè)同心導(dǎo)體球，內(nèi)球半徑為 ，外球是個(gè)球殼，內(nèi)半徑為 ，外半徑 。在下列各種情況下求內(nèi)外球殼的電勢(shì)，以及殼內(nèi)空腔和殼外空間的電

6、勢(shì)分布r3r2r1規(guī)律。（1） 內(nèi)球帶 ，外球殼帶 。（2） 內(nèi)球帶 ，外球殼不帶電。（3） 內(nèi)球帶 ，外球殼不帶電且接地。（4） 內(nèi)球通過(guò)外殼小孔接地，外球殼帶 。解: 如圖 1-2-2 所示，根據(jù)疊原理：（1） 1 處有均勻的 ， 2 必有均勻的 ， 3 處當(dāng)然有圖 1-2-2+(q+q)電荷，（ r ）rr +q r -q r +q1內(nèi)r r21rr +q r -q21r31內(nèi)r r21因此：內(nèi)球外球u =k1u =k2q q (q+q)-k =kr r r1 2 3q q (q+q) (q+q) -k +k =kr r r r2 2 3 3電勢(shì)差u =u -u =k 12 1 2q q

7、-kr r1 2腔內(nèi)u =k內(nèi)q q (q+q)-k +kr r r r r2 3 1 2殼外u =k外qq (q+q) (q+q) -k +k =krr r r3 3（r 3 ）（2） 1 處有 ， 2 處有 ， 3 處有 ，因此：內(nèi)球q q q u =k -k +kr r r1 2 3外球u =k2q q q q -k +k =kr r r r2 2 3 3電勢(shì)差u =u -u =k 12 1 2q q-kr r1 2腔內(nèi)q q q u =k -k +kr r r2 3（ r ）殼外u外=kqqqq -k +k =krrrr（r 3 ）（3） 處有 ， 處有 ，外球殼接地，外球殼q qu

8、=k -kr r內(nèi)球1 2u =02， 處無(wú)電荷。電勢(shì)差u =u -u =k 12 1 2q q-kr r1 2腔內(nèi)q q u =k -kr r2（ r ）r-q r +q r2q()()殼外u外qq =k -k =0rr（r 3 ）（4）內(nèi)球接地電勢(shì)為零，內(nèi)球帶 ， 處有 ， 3 處有+(q+q)，先求 ，因?yàn)?kq q (q+q +k +kr r r1 2 3)=0解得內(nèi)球q =qr r / (rr +r r -r r1 2 1 2 2 3 1 3 u =01)外球u =-k2q q (q-q +k +kr r r2 2 3)=kq(r-r )/(rr+r r -r r )=u 2 1 1

9、 2 2 3 1 321腔內(nèi)u =-k內(nèi)q q (q-q +k kq r r2 3)=kqr r 2 1- 1 r1 r2 +r2 r3 -r1 r3 r （ r 1 r r2 ）殼外u外=-kq q (q-q +k +kr r r3)=k q r(r-r ) 3 2 1r r +r r -r r r 1 2 2 3 1 3124、勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系場(chǎng)強(qiáng)大小和方向都相同的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩塊帶等量異種電荷的平板之間的電場(chǎng)可以認(rèn)為是勻強(qiáng)電場(chǎng)，它的電場(chǎng)線特征是平行、等距的直線。場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)雖然都是反映場(chǎng)強(qiáng)本身性質(zhì)特點(diǎn)的物理量，但兩者之間沒(méi)有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)聯(lián)系，但沿著場(chǎng)強(qiáng)方向電勢(shì)必定降低，而電勢(shì)

10、階低最快的方向也就是 場(chǎng)強(qiáng)所指方向，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng) e 與電勢(shì)差 u 之間滿足u =ed這就是說(shuō)，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，兩點(diǎn)間的電勢(shì)等于場(chǎng)強(qiáng)大小和這兩點(diǎn)在沿場(chǎng)強(qiáng) 方向的位移的乘積。e =0 eppe e e e上 下上 下e e e e上 下上 下p0例 4、半徑為 r 的半球形薄殼，其表面均勻分布面電荷密e下度為 s 的電荷，求該球開(kāi)口處圓面上任一點(diǎn)的電勢(shì)。o p解：設(shè)想填補(bǔ)面電荷密度亦為 +s 的另半個(gè)球面如圖e上1-2-3 所示，則球內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均為 0，對(duì)原半球面開(kāi)口處圖 1-2-3圓面上的任一點(diǎn) p 而言，也有，而 是上、下兩個(gè)半球在 p 點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng) 、 的合成。另?yè)?jù)對(duì)稱性易知， 、 的大小必定相等，而 、 的合場(chǎng)強(qiáng)為零，說(shuō)明 、 均垂直于半球開(kāi)口平面，故在半球面帶均勻電荷的情況下，它