不定積分解題方法及技巧總結(jié)材料

1、不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學(xué)好不定積分十分 重要。然而在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過程中對不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。1. 利用基本公式。(這就不多說了 )2. 第一類換元法。(湊微分)設(shè)f(卩)具有原函數(shù)F(卩)。則f (x) (x)dx 二 f :(x)d (x) = F ：(x) C其中(x)可微。用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)

2、真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容， 同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中 拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2:解ln(x 1) -In xx(x 1)dx(ln(x 1) - In x)二1x(x 1)1xIn x |n xdx 二-(In(x 1) - In x)d(ln(x 1) - In x)=-丄(1 n(x 1) - In x)I n x , 例 2:2dx(xIn x)【解(xInx) = 1 Inx1 I n x ,dxI n x x(x 1)2 x 一 (xIn x)23. 第二類換元法:設(shè)x：(t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)

3、，并且(t)=0又設(shè)f (t) (t)具有原函數(shù),則有換元公式.f (x)dx = . f (t) (t)dt C x(x 1)2常見的變換形式需要熟記會第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。 用。主要有以下幾種：(1) 、a2 x2： x 二asint；(2) . x2 a2: x = ata nt；(3) . x2 -a2: x 二asect;x = a costx = a csct;x = ashtx 二 acht(4) ax +b：Tax +b =t=taxcx1x 也奏效。 t(7)當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)一般用t代去根號。當(dāng)被積函數(shù)含有x Wax? +bx + c,有時(shí)倒代

4、換sin xdx： = x2 t sin tdt = _ gt cost - costdt)=-2t cost 2sint C =2.xcos x 2sin x C但當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)高次幕時(shí)可能保留根號,dx1.x t12tJxx-1Lt6-1. dtt，j _t126 二 _t-1 arcs in x c6t1 t = x2 t sin tdt = - gt cost - costdt)二-2t cost 2sint C = -2 x cos x 2sin x C但當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)高次幕時(shí)可能保留根號,dx x x X12 - 1 =,dtJ -t12t66._1 _t12 *1 . arcs in

5、64. 分部積分法.公式：-人- 3 1 2tsin -tsin t( sin t-1)dcost =3dx分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成 不定積分。具體選取 人、時(shí)，通常基于以下兩點(diǎn)考慮:（1）降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)（2）簡化被積函數(shù)的類型例3：3x arccosx _ dx2*1 X觀察被積函數(shù)，選取變換t = arccosx ,則3x arccosx,dx =J -x23 tcos t(_sin t)dt - -1cos3 * * tdt = sint舉兩個(gè)例子吧！31 3 2 1 3 tsin3-tsin tcostcos31 C =33913-x9例

6、4：arcs in2 xdxt(sin t -1)d sin t = td(1 sint _sint) =31 3 1 3t sin tsin t - ( sin tsin t)dt =3 3解arcsin2 xdx = xs in2 x -1x2 arcs in xdx彳 21 一 Xxarcsinx2arcsinxd- x2 lxarcs inx 2 1 - x2 arcsinx Jl_x22 dx = 2xarcs in x 2 1-x arcs in x-2x C上面的例3,降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4,簡化了被積函數(shù)的類型。 有時(shí)，分部積分會產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在d、.中，、.

7、的選取有下面簡單的規(guī)律：(1)=Pm(x)，、=eax,s in ax, cos ax(2) i =1 n x, arcta nx,arcsi n x，二 Pm(x)(3) J 二 eax，二 cos : x, sin x(3)會出現(xiàn)循環(huán)，注意 J 選取的函數(shù)不能改變。 將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是：(lnx arcsinx)Pm(x(aAxsinx)卩V但是，當(dāng)nx，、.二arcsinx時(shí)，是無法求解的對于(3)情況，有兩個(gè)通用公式:I1eaxs in bxaxedx = 22 (asin bx-bcosbx) Ca baxaxel2 = e cosbx dx = 2(acosbx bsinbx

8、) Ca +b(分部積分法用處多多在本冊雜志的涉及l(fā)nx的不定積分中，?？梢钥吹?分部積分)5不定積分中三角函數(shù)的處理1.分子分母上下同時(shí)加、減、乘、除某三角函數(shù)。1被積函數(shù)22dx上下同乘sin x變形為L sin x + cos x1sin x cos xdxcosxd cosx-cos2 x 1 cos x令u = cos x，則為udu1 -u* 1 2 1 u(21 u2E)dU11 ,1 cos xInc21 cos x 41 - cos x1 2 x 12 xIn tansec c2 2422. 只有三角函數(shù)時(shí)盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意sin 1 - cos 2xsin x

9、,221 cos 2xcos x,2不斷降低被積函數(shù)的幕次，直至化為前兩種情形之一為止。 形如.tan n xdx和.cot n xdx的積分（n為正整數(shù)） x cos2 x二1的使用2sin x cos x , dx sin x cos x1in x - cos x2 _jr + 1 sin x cos x - 1 ,2，從而1 u令 u 二 tan xdx，貝U x = arctan u , dxtan n xdx U 2 du,1 + u已轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。類似地，.cot n xdx可通過代換u = cot x轉(zhuǎn)為成有理函數(shù)的積分形如 secn xdx和cscm xdx的積分（n為

10、正整數(shù)）pl.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若令 u = tan x，則x二arctan u, dx一-，于是1 + unnInsecn xdx 二 1 tan2x 2dx 二 1 u2 2du 二 1 u2 2 du1 + u2已轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式的積分。類似地，cscn xdx可通過代換u = cot x轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，利用分部積分法來求即可。4. 當(dāng)有x與三角函數(shù)相乘或除時(shí)一般使用分部積分法。2 ,1 - cos 2x1 21小，x sin xdx = xdx xx cos 2xdxJJ242 J12 112 11.xxd sin 2x x x sin 2xsin 2xdx4 444412

11、 11=一 x x sin 2x cos 2xc4485. 幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分有理函數(shù)器先化為多項(xiàng)式和真分式需之和，再把鴿分解為若干個(gè)部分分式之和。（對各部分分式的處理可能會比較復(fù)雜。出現(xiàn)Indx2 - _ 2 n (a x )時(shí)，記得用遞推公式：In2a2(n-1)(x2 a2)n，2a2(門-1)山)1.有理真分式化為部分分式之和求解簡單的有理真分式的拆分dxx1 x廠 dx =Inxhn1 +x44c注意分子和分母在形式上的聯(lián)系dxx6dxdtx 3 x7x7 3x7dtIn tIn 3 tIn x7 - In 3 x此類題目一般還有另外一種題型:dx2x 2dx

12、2x52x5ln x22x 5 c2.注意分母（分子）有理化的使用dx、2x 3、2x - 12x3 - 2x - 141 3 1 3F2x32-石“3 C例5:Ke I 爲(wèi)/dxx (x +1)解x6 x4 -4x2 -2 x6 x4 4x2 2 x3(x2 1)2- X3(x2 1)2 X3(x2 1)2x4x2 22322x 1 x (x 1)Xx21dx 才(x21) C4x2 2.322 dx =x3(x21)24x2 2 2x2 1422 Xdx =422x4(x2 1)2x4(x2 1)2登亡井“）故不定積分求得1e 1)21x2(x2 1)(2) 三角函數(shù)有理式的積分C丄x2t

13、a n sin x =1 +ta n2-萬能公式:21 ta n 2cos x =-I1+ta n2I2P(sinx,cosx)dx可用變換t=tanX化為有理函數(shù)的積分，但由于計(jì)算較煩,Q(sin x, cos x)2應(yīng)盡量避免。對于只含有tanx (或cotx )的分式，必化成色蟲或cosx。再用待定系數(shù) cosx sin xA(a cosx bsin x) B(a cosx bsin x) 一來做。(注：沒舉例題并不代表不重要)a cosx bsin x(3) 簡單無理函數(shù)的積分 一般用第二類換元法中的那些變換形式。像一些簡單的，應(yīng)靈活運(yùn)用。如：同時(shí)出現(xiàn) 和1 x時(shí)，可令x = tan2

14、t ；同時(shí)出現(xiàn) x和.1-x時(shí)，可令x=sin2t ；同時(shí)出現(xiàn).1-x2和 arcsinx 時(shí)，可令 x=sint ；同時(shí)出現(xiàn).1-x2和arccosx時(shí)，可令x=cost等等。(4) 善于利用ex，因?yàn)槠淝髮?dǎo)后不變J /(x +1)dxexx 1xexxex11 xexd xex1二 xexdtt 1 t=Inc1 +t=lnxex1xex這道題目中首先會注意到xex，因?yàn)槠湫问奖容^復(fù)雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)后為exxex與分母差ex，另外因?yàn)閑x求導(dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同乘以ex。(5) 某些題正的不行倒著來sin 2 xIn sin x dxsin xIn udu1 1 一子u I

15、nu du二 In ud、u2 - 1=._11 n u _4duuu .u2 一 1u=tan2原式-sin xd cotx - - cot x In sin x cot xd In sin x-cotInsin-cotInsincos x cos x , dx sin x sin xcot2 xdx-cotInsin一 cot x - x ctan y,-duu = sec ysec y tan ydysecyydytan y - y c這道題換元的思路比較奇特，一般我們會直接使用 u二sin x，然而這樣的換元方法是解不出本題的。我概括此類題的方法為“正的不行倒著來”，當(dāng)1u = sin

16、 x這類一般的換元法行不通時(shí)嘗試下sin x。這種思路類似于證明u題中的反證法。In x 2x In x 1 - 2x In 2 x（6）注意復(fù)雜部分求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)dxt = I n xdtt 1 - 2t 2d注意到：1 6t 2d -2t 3etyiy2y3t -2t3et t 2:3 t - 2t3et1 - 2t 2et t 1 - 2 3t 2t 1 *=y1-y2dtt + 2應(yīng)1 _ 6t 2ef _ 2t 3et -2t3eo 1 _ 2t 2ef廠l dt沖 dty-rdt - 3盯廠t 1 一 2t 2dt - 2t 3ett - 2t 3ett 1 一 2t 2d=I nt

17、 - 2t 3et -1 - 3 l nt c=In (n x 2Qn x jeln x ) In x 31n In x + c本題把被積函數(shù)拆為三部分：yi,y2,y3, yi的分子為分母的導(dǎo)數(shù)，y?的值為1,y3的分子為分母因式分解后的一部分。此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競賽中出現(xiàn)。(7) 對于.R(x, .ax2 - bx - c)dx(a飛0)型積分，考慮厶二b2 一 4ac的符號來確定取不同的變換。如果厶 0，設(shè)方程ax2 bx c = 0兩個(gè)實(shí)根為:，令ax2 bx c 二 t x - r ，可使上述積分有理化。如果二:0，則方程ax2 bx c = 0沒有實(shí)根，令ax2bx c - ax t ，可使上述積分有理化。此中情況下，還可以設(shè)、ax2bx c = xt 二 i C，至于采用哪種替換，具體問題具體分析。2 1x (x 2)1x arccosx C3 3dx2 sin x cos xfdx血 sin( x + 兀 / 4)1 1=-(sin x - cos x ) = In tan22佢三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難, 適當(dāng)?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題