不定積分精品

1、第四章不定積分內容提要：一、原函數(shù)與原函數(shù)存在定理1. 原函數(shù)：F(x) = f(x)稱F(x)為f (x)的原函數(shù)2. 原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有連續(xù)原函數(shù)二、原函數(shù)與不定積分不定積分是帶任意常數(shù)的原函數(shù)。即：f(x)dF(x) C三、微積分的關系d f (x)dx = f (x)dxdF(x)二 F(x) C四、基本積分公式-略五、不定積分的線性性質：加法，數(shù)乘六、兩類換元法(倒代換)1 第一類換元法：少代多2 第二類換元法：多代少七、分部積分法：.udv二uv - ：vdu八、有理分式九、萬能公式作變換：u =ta， x =2arctanu ,22將sin x cosx二 _ ,dx

2、彳 du代入積分式中。1+u1+u1 +u十、 根式第一節(jié)換元法、換元原則之一：分母單項化1 (1 -x)x ,3dx 2,(1 x)1 dx二、復雜積分式的湊微分法1 cosx , dx x sin x2 . (x2x)ex (x23x 1)exdxarctaJ3 Vdx尸 ex cos x #、x .4 e (cosx -sin x)e dx 5：ln(x 1 x2) 51 x2dx36 (xln x)(1 lnx)dx三、輔助因子法x2141 x41dx 2 上Mydx (x Tn x)ln x 23 2x ln x(1 xln x)dxcos x - sin xsin x dxcosx

3、(1 cosxe )四、抽象函數(shù)的不定積分-f (lnx)-dx X、f (ln x)sin x2求xf (2x)dx，其中f (x)的原函數(shù)為 xsin xsin x解：設f (x)的原函數(shù)為F(x)，貝y f(x)dx = F(x)二Xx亠xcosxsi nx2xcos2xsi n2x或 f(x)二 F(x)2，f(2x)-2x1 1xf (2x)dx xf (2x)d2x xdf(2x)4x2冷xf(2x)_ f(2x)dx二 jxf(2x)f(2x)d2x =五、抵消型一分部型x sin x , dx1 -1 cosxx xx 2si n cos2 2dx2cos2-2xx二xtan

4、tan dx 亠 itan二dx222x2 x 2cos 一 2dx 亠 i tandx = xd tan?亠 i tandx 2 222 2Sexdx1 cosxex(1 2s in xcos-)2 厶 dx =(2 x-2cos 一22co詣ex tan )dxd（e電）=(ex(tan)(ex) tan)dx2 2第二節(jié)分部積分法、公式：udv = uv - vdu ；uv dx = uv - vu dx ；udv 亠 i vdu = uv二、 如何確定 U，V?反對幕指三，在前為U，在后為V三、 簡化：反幕-幕三，對幕 幕指四、 幕指，幕三型-表格法 1 . （x4 - 2x - 1）

5、e2xdx 2 （x53x2 - 2x 5） cosxdx五、指三型-表格法3 e sin(ax b)dx六、咼次冪指型（ 對冪冪指4 x3(ln x)4dx七、分母平方考慮后移5區(qū)斗(x 2)2xf xe ,6 x 2 dx(ex 1)2八、遞推法7建立遞推分式:tann xdxI n = secn xdx第三節(jié)有理分式的不定積分、結構：ABx +C(x _a)k，(x2px q)k三、因式分解的定值法（方程法）.x +11 rdxx5x 6三、倒代換2dx(2x1)( x2 x 1)3 二 dx(x-1)(x2 -1)第四節(jié)分段函數(shù)的不定積分1 符號函數(shù) f (x) =sgn(x) = 0

6、 ， -1x C1, x 0F(x) = C2, x=0-x C3,x解:02 求 I = max1,|x|dx解：設 f (x) =max1, x,x 0X =o在(-：，：)內是否存在原函數(shù)？為什么?x 0 +C,F(x)才 C,_ x + C,x, x ： -1 f(x) = t 1, 1 蘭XW1,但 F (0)不存在，即 F (0) = 0=f(0)x,1 2 -(x 1) C,x C,1 2T(x2 1) C,.2Jmax1, xdx = *x :F(x)=x 1-1 x2 +Cx 12x + C2,1 蘭xE1.1 X2 +C3, x A 1L 23依據(jù)：原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)

7、一定有連續(xù)原函數(shù)第五節(jié)三角函數(shù)的不定積分、萬能公式:、輔助積分Isin xsin x cosxdxcosxsin x cosxdx三、三角有理式-非萬能，但常用(第二萬能公式)1. 若 R(sin x, cosx)二-R(sin x, cosx),可令 u 二 cosx2. 若 R(sin x,cosx)二-R(sinx, cosx),可令 u = sin x3. 若 R(-sin x,-cosx)二 R(sin x,cosx),可令 u 二 tanx1例 1 Idxsin x cosx設 R(sin x, cosx) 1sin xcosx解一： R(-sin x,cosx)二R(sinx,c

8、osx),可令 u = cosx , f 1, f 1 d cos x f du = s；dxsinxcosx-sinx 解二:R(sin x, cosx) = -R(sin x,cosx), 可令 u = sinx ,1,1 d sin x, duIdx廠sinxcosx sin xcosx cosx u(1_u )解三： R(_s in x,_cosx)=R(s in x,cosx),可令 u = ta nx ,I-dxsin xcosx解四：I1dx sin xcosx1 d ta n xd ta n x -2 = J =sin xcosx sec x tanx1 d2x = csc2x

9、d2x = sin 2x解五：2 2,1,sin x+cos x ,丄、Idxdx 二 (tanx cotx)dx =sinxcosxsin xcosx224 c ,1,1 d tanx d tanx,1+tan x,1+u例 2-4 dx42424 d tan X4du -sin x sin x sec x tan xcos xtan xu14 2 24dx = csc xdx = - (1 cot x)dcotx = - (1 u )du 二sin x四、巧用“ 1”與三角函數(shù)公式tan4 xdx 二 (sex2x -1)tan2 xdx 二 sec2 x tan2xdx- tan2 xd

10、x2213tan xd ta nx (sec x1)dx tan x ta nx x c3或：原式=Jta n4u = tanx 2 du1 u2R(-sinx,-cosx) =R(sinx,cosx),可令 u = tanx4 d ta nx x 1 ta n x2 2.1,.sin x+cos x .1,丄.cosx ,2 -3dx3dxdx廠 dx =sin xcosxsin xcosxsin xcosx sin x五、積化和差公式第六節(jié)看看真題arcta n x. r xe .1( 03S2) I亍T?dx(1 +x )解：令 t = arctan x, x 二 tant, I 二 et sintdt = 循環(huán)法2(00S2)設 f(ln x) Jn(1 X)，求 f(X)dxx解:令 t =1 nx, x =, f (t)n(1 t e)， f (x)dx 二-ln(1 ex)de二-e l n(1 ex). dxe1 + e+ dx(1-)dx=x1 e-ln (